Найти основание системы счисления. Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).
Система счисления:
- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа .
Отдельная позиция в отображении числа называется разряд , значит, номер позиции - номер разряда .
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные .
восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Способы представления чисел
Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.
Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую
Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счисления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.
Пример №1
.
Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).
Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.
Пример №2
. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3
. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.
Пример №4
.
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10
Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления.
108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10
Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.
108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС
- Из десятичной системы счисления:
- разделить число на основание переводимой системы счисления;
- найти остаток от деления целой части числа;
- записать все остатки от деления в обратном порядке;
- Из двоичной системы счисления
- Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
- Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблица соответствия систем счисления:
| Двоичная СС | Шестнадцатеричная СС |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления
Пример №2
. Перевести число 100,12 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно. Пояснить причины расхождений.
Решение
.
1 Этап. .
Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 144
100 = 144 8
Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.12*8 = 0.96 (целая часть 0
)
0.96*8 = 7.68 (целая часть 7
)
0.68*8 = 5.44 (целая часть 5
)
0.44*8 = 3.52 (целая часть 3
)
Получаем число в 8-ой системе счисления: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления
.
Обратный перевод из восьмеричной системы счислений в десятичную.
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Разница в 0,0001 (100,12 - 100,1199) объясняется погрешностью округлений при переводе в восьмеричную систему счислений. Эту погрешность можно уменьшить, если взять большее число разрядов (например, не 4, а 8).
Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.
Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:
Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.
Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.
Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).
Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.
Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:
Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.
Например, .
1. Поиск основания системы счисления
Пример 1.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Решение:
Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.
Пример 2.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.
Решение:
Обозначим искомое основание x. Тогда
Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.
Ответ: 3
Пример 3
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.
Решение:
Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,
Ответ: 6, 8, 12, 24
Пример 4
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.
Решение:
Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).
Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.
Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.
2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:
68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит
68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит
68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит
68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит
Ответ: 4, 68
2. Поиск чисел по условиям
Пример 5
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?
Решение:
Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.
Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:
Ответ: 5, 21
3. Решение уравнений
Пример 6
Решите уравнение:
Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).
Решение:
Переведем все числа в десятичную систему счисления:
Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .
Ответ: 20
4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения
Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:
При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.
При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.
Пример 7
Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?
Решение:
Представим все числа выражения, как степени двойки:
В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:
Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.
Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:
Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.
Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 3722471
Также может быть интересно:
- Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
