Acasă > Psihologia autodezvoltării > Două tipuri de sisteme numerice. Sisteme numerice

Două tipuri de sisteme numerice. Sisteme numerice

Folosind acest calculator online puteți converti numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Se oferă o soluție detaliată cu explicații. Pentru a traduce, introduceți numărul original, setați baza sistemului de numere al numărului sursă, setați baza sistemului de numere în care doriți să convertiți numărul și faceți clic pe butonul „Traduceți”. Vezi mai jos partea teoretică și exemple numerice.

Rezultatul a fost deja primit!

Conversia numerelor întregi și fracțiilor dintr-un sistem numeric în oricare altul - teorie, exemple și soluții

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe, pe care îl folosim în viața de zi cu zi, este pozițional, dar sistemul de numere roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice.Un număr în sistemul numeric zecimal este format din mai multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din mai multe cifre (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15.În tabelul Tab.1 numerele sunt prezentate în diferite sisteme numerice.

tabelul 1
Notaţie
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi convertiți din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16, etc.) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.

Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Când convertiți un număr dintr-un SS zecimal într-un SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru numărul hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti fracții zecimale regulate (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s, este necesar să înmulțim succesiv acest număr cu s până când partea fracțională conține un zero pur sau obținem numărul necesar de cifre . Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci în stânga acestuia se scrie un zero. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .

Prin urmare putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

A primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.

Există multe moduri de a reprezenta numere. În orice caz, un număr este reprezentat printr-un simbol sau un grup de simboluri (un cuvânt) dintr-un anumit alfabet. Astfel de simboluri se numesc numere.

Sisteme numerice

Sistemele numerice non-poziționale și poziționale sunt utilizate pentru a reprezenta numere.

Sisteme numerice non-poziționale

De îndată ce oamenii au început să numere, au început să aibă nevoie să noteze numere. Descoperirile arheologilor pe siturile oamenilor primitivi indică faptul că inițial numărul de obiecte era afișat printr-un număr egal de pictograme (etichete): crestături, liniuțe, puncte. Ulterior, pentru a ușura numărarea, aceste icoane au început să fie grupate în grupuri de câte trei sau cinci. Acest sistem de scriere a numerelor se numește unitate (unară), deoarece orice număr din el se formează prin repetarea unui semn, simbolizând unul. Ecouri ale sistemului de numere de unități se găsesc și astăzi. Deci, pentru a afla în ce curs învață un cadet de școală militară, trebuie să numărați câte dungi sunt cusute pe mâneca lui. Fără să-și dea seama, copiii folosesc sistemul de numere a unităților, arătându-și vârsta pe degete, iar bețișoarele de numărat sunt folosite pentru a-i învăța pe elevii de clasa I cum să numere. Să ne uităm la diferite sisteme de numere.

Sistemul de unități nu este cel mai convenabil mod de a scrie numere. Înregistrarea unor cantități mari în acest fel este plictisitoare, iar înregistrările în sine sunt foarte lungi. De-a lungul timpului, au apărut alte sisteme numerice mai convenabile.

Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic. În jurul mileniului III î.Hr., vechii egipteni au venit cu propriul sistem numeric, în care numerele cheie erau 1, 10, 100 etc. au fost folosite icoane speciale – hieroglife. Toate celelalte numere au fost compuse din aceste numere cheie folosind operația de adunare. Sistemul numeric al Egiptului Antic este zecimal, dar nepozițional. În sistemele de numere nepoziționale, echivalentul cantitativ al fiecărei cifre nu depinde de poziția sa (locul, poziția) în înregistrarea numerelor. De exemplu, pentru a reprezenta 3252, au fost desenate trei flori de lotus (trei mii), două frunze de palmier rulate (două sute), cinci arce (cinci zeci) și doi stâlpi (două unități). Mărimea numărului nu depindea de ordinea în care se aflau semnele sale constitutive: puteau fi scrise de sus în jos, de la dreapta la stânga sau intercalate.

Sistemul de numere romane. Un exemplu de sistem non-pozițional care a supraviețuit până în zilele noastre este sistemul numeric care a fost folosit în urmă cu mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma Antică. Sistemul numeric roman se baza pe semnele I (un deget) pentru numărul 1, V (palma deschisă) pentru numărul 5, X (două palme îndoite) pentru 10, iar primele litere ale cuvintelor latine corespunzătoare au început să fie folosit pentru a desemna numerele 100, 500 și 1000 (Centum – o sută, Demimille – jumătate de mie, Mille – o mie). Pentru a scrie un număr, romanii l-au descompus în suma de mii, jumătate de mie, sute, cincizeci, zeci, tocuri, unități. De exemplu, numărul zecimal 28 este reprezentat după cum urmează:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (două zeci, tocuri, trei).

Pentru a înregistra numerele intermediare, romanii foloseau nu numai adunarea, ci și scăderea. În acest caz, s-a aplicat următoarea regulă: fiecare semn mai mic plasat în dreapta celui mai mare se adaugă la valoarea sa, iar din acesta se scade fiecare semn mai mic plasat în stânga celui mai mare. De exemplu, IX înseamnă 9, XI înseamnă 11.

Numărul zecimal 99 are următoarea reprezentare:

XCIХ = –10+100–1+10.

Numerele romane au fost folosite de foarte mult timp. Chiar și acum 200 de ani, în documentele de afaceri, numerele trebuiau notate cu cifre romane (se credea că cifrele arabe obișnuite sunt ușor de contrafăcut). Sistemul numeric roman este folosit astăzi în principal pentru denumirea de date semnificative, volume, secțiuni și capitole din cărți.

Sisteme numerice alfabetice. Sistemele alfabetice erau sisteme numerice non-poziționale mai avansate. Astfel de sisteme de numere au inclus greacă, slavă, feniciană și altele. În ele, numerele de la 1 la 9, numerele întregi de zeci (de la 10 la 90) și numerele întregi de sute (de la 100 la 900) au fost desemnate prin litere ale alfabetului. În sistemul numeric alfabetic al Greciei Antice, numerele 1, 2, ..., 9 erau desemnate de primele nouă litere ale alfabetului grecesc etc. Următoarele 9 litere au fost folosite pentru a desemna numerele 10, 20, ..., 90, iar ultimele 9 litere au fost folosite pentru a desemna numerele 100, 200, ..., 900.

La popoarele slave, valorile numerice ale literelor au fost stabilite în ordinea alfabetului slav, care a folosit mai întâi alfabetul glagolitic și apoi alfabetul chirilic.

În Rusia, numerotarea slavă a fost păstrată până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Sub Petru I a predominat așa-numita numerotare arabă, pe care o folosim și astăzi. Numerotarea slavă a fost păstrată doar în cărțile liturgice.

Sistemele numerice non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:

Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.

Este imposibil să se reprezinte numere fracționale și negative.

Este dificil să se efectueze operații aritmetice deoarece nu există algoritmi pentru efectuarea lor.

Sisteme numerice poziționale

În sistemele de numere poziționale, echivalentul cantitativ al fiecărei cifre depinde de poziția (poziția) acesteia în codul (înregistrarea) numărului. În zilele noastre suntem obișnuiți să folosim sistemul pozițional zecimal - numerele sunt scrise folosind 10 cifre. Cifra cea mai din dreapta denotă unități, cea din stânga - zeci, chiar mai la stânga - sute etc.

De exemplu: 1) sexagesimal (Ancient Babylon) – primul sistem numeric pozițional. Până acum, la măsurarea timpului, se folosește o bază de 60 (1min = 60s, 1h = 60min); 2) sistem de numere duozecimal (numărul 12 — „duzină” — a fost utilizat pe scară largă în secolul al XIX-lea: există două duzini de ore într-o zi). Numărând nu cu degetele, ci cu degetele. Fiecare deget, cu excepția degetului mare, are 3 articulații - 12 în total; 3) în prezent cele mai comune sisteme de numere poziționale sunt zecimal, binar, octal și hexazecimal (folosit pe scară largă în programarea de nivel scăzut și, în general, în documentația computerizată, deoarece în computerele moderne unitatea minimă de memorie este un octet de 8 biți, valorile din care sunt scrise convenabil cu două cifre hexazecimale).

În orice sistem pozițional, un număr poate fi reprezentat ca un polinom.

Să arătăm cum să reprezentăm un număr zecimal ca polinom:

Tipuri de sisteme numerice

Cel mai important lucru pe care trebuie să-l știți despre sistemul numeric este tipul acestuia: aditiv sau multiplicativ. În primul tip, fiecare cifră are propriul său sens, iar pentru a citi numărul trebuie să însumați toate valorile cifrelor utilizate:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

În al doilea tip, fiecare cifră poate avea semnificații diferite în funcție de locația sa în număr:

(hieroglifele în ordine: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Aici hieroglifa „2” este folosită de două ori și, în fiecare caz, a luat semnificații diferite „2000” și „20”.

2' 1000 + 4' 100+2' 10+5 = 2425

Pentru un sistem aditiv („supliment”), trebuie să cunoașteți toate numerele și simbolurile cu semnificațiile lor (există până la 4-5 zeci de ele) și ordinea înregistrării. De exemplu, în notație latină, dacă o cifră mai mică este scrisă înaintea uneia mai mari, atunci se efectuează scăderea, iar dacă după, atunci adunarea (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Pentru un sistem multiplicativ, trebuie să cunoașteți imaginea numerelor și semnificația lor, precum și baza sistemului numeric. Determinarea bazei este foarte ușoară; trebuie doar să recalculați numărul de cifre semnificative din sistem. Pentru a spune simplu, acesta este numărul de la care începe a doua cifră a numărului. De exemplu, folosim numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sunt exact 10, deci baza sistemului nostru de numere este, de asemenea, 10, iar sistemul numeric este numită „zecimală”. Exemplul de mai sus folosește numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (auxiliarul 10, 100, 1000, 10000 etc. nu contează). Există, de asemenea, 10 numere principale aici, iar sistemul de numere este zecimal.

După cum puteți ghici, câte numere sunt, pot exista atâtea baze de sistem de numere. Dar sunt folosite doar bazele cele mai convenabile ale sistemelor numerice. De ce crezi că baza celui mai des folosit sistem de numere umane este 10? Da, tocmai pentru că avem 10 degete pe mâini. „Dar sunt doar cinci degete pe o mână”, vor spune unii și vor avea dreptate. Istoria omenirii cunoaște exemple de sisteme numerice în cinci ori. „Și cu picioare sunt douăzeci de degete”, vor spune alții și, de asemenea, vor avea perfectă dreptate. Exact asta credeau mayașii. Acest lucru poate fi văzut chiar și în numerele lor.

Conceptul de „duzină” este foarte interesant. Toată lumea știe că acesta este 12, dar puțini oameni știu de unde provine acest număr. Uită-te la mâinile tale, sau mai bine zis, la o mână. Câte falange sunt pe toate degetele unei mâini, fără a număra degetul mare? Așa e, doisprezece. Iar degetul mare este destinat să marcheze falangele numărate.

Și dacă, pe de altă parte, vom marca cu degetele numărul de zeci întregi, vom obține binecunoscutul sistem babilonian sexagesimal.

Diferitele civilizații au numărat diferit, dar și acum poți găsi chiar și în limbă, în numele și imaginile numerelor, rămășițele unor sisteme de numere complet diferite care au fost folosite cândva de acești oameni.

Așa că francezii aveau odată un sistem numeric de bază 20, deoarece 80 în franceză sună ca „de patru ori douăzeci”.

Romanii, sau predecesorii lor, au folosit cândva sistemul de cinci ori, deoarece V nu este altceva decât imaginea unei palme cu degetul mare întins, iar X este două mâini din aceeași mână.

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale.

În sistemele numerice nepoziționale greutatea unei cifre (adică, contribuția pe care o aduce la valoarea numărului) nu depinde de pozitia eiîn scris numărul. Astfel, în sistemul numeric roman în numărul XXXII (treizeci și doi), ponderea numărului X în orice poziție este pur și simplu zece.

În sistemele numerice poziționale greutatea fiecărei cifre variază în funcţie de poziţia (poziţia) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul. De exemplu, în numărul 757,7, primul șapte înseamnă 7 sute, al doilea - 7 unități, iar al treilea - 7 zecimi de unitate.

Însăși notația numărului 757,7 înseamnă o notație prescurtată a expresiei

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Orice sistem de numere pozițional este caracterizat de acesta bază.

Orice număr natural poate fi luat ca bază a sistemului - doi, trei, patru etc. Prin urmare, nenumărate sisteme poziționale posibile: binar, ternar, cuaternar etc. Scrierea numerelor în fiecare sistem numeric cu o bază qînseamnă o expresie stenografică

A n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... +a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

Unde A i - numerele sistemului de numere; n Și m - numărul de cifre întregi și, respectiv, fracționale. De exemplu:

Ce sisteme numerice folosesc specialiștii pentru a comunica cu un computer?

Pe lângă zecimal, sistemele cu o bază care este o putere întreagă de 2 sunt utilizate pe scară largă, și anume:

binar(se folosesc cifrele 0, 1);

octal(se folosesc cifrele 0, 1, ..., 7);

hexazecimal(pentru primele numere întregi de la zero la nouă se folosesc cifrele 0, 1, ..., 9, iar pentru următoarele numere - de la zece la cincisprezece - se folosesc simbolurile A, B, C, D, E, F ca cifre).

Este util să ne amintim notația din aceste sisteme de numere pentru primele două zeci de numere întregi:

Dintre toate sistemele numerice mai ales simplu prin urmare Sistemul de numere binare este interesant pentru implementarea tehnică în computere.

Să ne uităm la unul dintre cele mai importante subiecte din informatică -. În programa școlară, se dezvăluie mai degrabă „modest”, cel mai probabil din cauza lipsei de ore alocate acestuia. Cunoștințe pe această temă, în special pe traducerea sistemelor numerice, sunt o condiție prealabilă pentru promovarea cu succes a Examenului de stat unificat și admiterea la universități din facultățile relevante. Mai jos discutăm în detaliu concepte precum sisteme de numere poziționale și nepoziționale, sunt date exemple ale acestor sisteme de numere, sunt prezentate reguli pentru conversia numerelor zecimale întregi, fracțiilor zecimale adecvate și numerelor zecimale mixte în orice alt sistem de numere, conversia numerelor din orice sistem de numere în zecimal, conversia din sistemele de numere octale și hexazecimale în numere binar sistem. Există o mulțime de probleme pe această temă la examene. Capacitatea de a le rezolva este una dintre cerințele solicitanților. În curând: pentru fiecare subiect al secțiunii, pe lângă materialul teoretic detaliat, vor fi prezentate aproape toate opțiunile posibile sarcini pentru auto-studiu. În plus, veți avea posibilitatea de a descărca complet gratuit de la un serviciu de găzduire de fișiere soluții detaliate gata făcute la aceste probleme, ilustrând diverse modalități de a obține răspunsul corect.

sisteme de numere poziționale.

Sisteme numerice non-poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre nu depinde de localizarea acesteia în număr.

Sistemele numerice non-poziționale includ, de exemplu, romanul, unde în loc de numere există litere latine.

eu	1 unu)
V	5 (cinci)
X	10 (zece)
L	50 (cincizeci)
C	100 (o sută)
D	500 (cinci sute)
M	1000 (mii)

Aici litera V reprezintă 5, indiferent de locația sa. Cu toate acestea, merită menționat faptul că, deși sistemul numeric roman este un exemplu clasic de sistem de numere non-pozițional, acesta nu este complet non-pozițional, deoarece Din acesta se scade numărul mai mic din fața celui mai mare:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

sisteme de numere poziționale.

Sisteme numerice poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre depinde de localizarea acesteia în număr.

De exemplu, dacă vorbim despre sistemul numeric zecimal, atunci în numărul 700 numărul 7 înseamnă „șapte sute”, dar același număr din numărul 71 înseamnă „șapte zeci”, iar în numărul 7020 - „șapte mii” .

Fiecare sistem de numere poziționale are propria baza. Un număr natural mai mare sau egal cu doi este ales ca bază. Este egal cu numărul de cifre utilizate într-un anumit sistem numeric.

Binar- sistem de numere poziționale cu baza 2.
Cuaternar- sistem de numere pozițional cu baza 4.
De cinci ori- sistem de numere pozițional cu baza 5.
Octal- sistem de numere pozițional cu baza 8.
hexazecimal- sistem de numere poziționale cu baza 16.

Pentru a rezolva cu succes probleme la tema „Sisteme numerice”, elevul trebuie să cunoască pe de rost corespondența numerelor binare, zecimale, octale și hexazecimale până la 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Este util să știm cum se obțin numerele în aceste sisteme numerice. Puteți ghici că în octal, hexazecimal, ternar și altele sisteme de numere poziționale totul se întâmplă în același mod ca sistemul zecimal cu care suntem obișnuiți:

Se adaugă unul la număr și se obține un nou număr. Dacă locul unităților devine egal cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1 etc.

Această „tranziție a unuia” este ceea ce îi sperie pe majoritatea studenților. De fapt, totul este destul de simplu. Tranziția are loc dacă cifra unităților devine egală cu baza numerelor, creștem numărul zecilor cu 1. Mulți, amintindu-și vechiul sistem zecimal bun, sunt instantaneu confuzi cu privire la cifrele din această tranziție, deoarece zecimile zecimale și, de exemplu, zecile binare sunt lucruri diferite.

Prin urmare, elevii plini de resurse își dezvoltă „propriile metode” (în mod surprinzător... lucrând) atunci când completează, de exemplu, tabele de adevăr, primele coloane (valori variabile) ale cărora sunt, de fapt, umplute cu numere binare în ordine crescătoare.

De exemplu, să ne uităm la introducerea numerelor sistem octal: Adăugăm 1 la primul număr (0), obținem 1. Apoi adăugăm 1 la 1, obținem 2 etc. la 7. Dacă adunăm unu la 7, obținem un număr egal cu baza sistemului numeric, adică. 8. Apoi trebuie să măriți locul zecilor cu unul (obținem zece octal - 10). Urmează, evident, numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Reguli pentru conversia de la un sistem numeric la altul.

1 Conversia numerelor zecimale întregi în orice alt sistem de numere.

Numărul trebuie împărțit la noua bază a sistemului de numere. Primul rest al diviziunii este prima cifră minoră a noului număr. Dacă câtul împărțirii este mai mic sau egal cu noua bază, atunci acesta (coeficientul) trebuie împărțit din nou la noua bază. Împărțirea trebuie continuată până când obținem un coeficient mai mic decât noua bază. Aceasta este cea mai mare cifră a noului număr (trebuie să vă amintiți că, de exemplu, în sistemul hexazecimal, după 9 există litere, adică dacă restul este 11, trebuie să îl scrieți ca B).

Exemplu („împărțire după colț”): Să transformăm numărul 173 10 în sistemul numeric octal.

Astfel, 173 10 =255 8

2 Conversia fracțiilor zecimale regulate în orice alt sistem numeric.

Numărul trebuie înmulțit cu noul sistem de numere de bază. Cifra care a devenit parte întreagă este cea mai mare cifră a părții fracționale a noului număr. pentru a obține următoarea cifră, partea fracțională a produsului rezultat trebuie din nou înmulțită cu o nouă bază a sistemului numeric până când are loc tranziția la întreaga parte. Continuăm înmulțirea până când partea fracțională este egală cu zero sau până când ajungem la precizia specificată în problemă („... calculați cu o precizie de, de exemplu, două zecimale”).

Exemplu: Să transformăm numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.

Sistemul numeric este un concept foarte complex.

Sistemul de numere - acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea numerelor. Sistemul de numere - Acesta este un sistem de semne în care numerele sunt scrise după anumite reguli folosind simboluri ale unui anumit alfabet, numite numere.

Există multe moduri de a reprezenta numere. În orice caz, un număr este reprezentat printr-un simbol sau un grup de simboluri (un cuvânt) dintr-un anumit alfabet. Vom numi astfel de simboluri numere. Folosit pentru a reprezenta numere nepoziționalăȘi pozițional sisteme de numere.

ÎN nepozițională sisteme, fiecare cifră are propria sa greutate și semnificația sa nu depinde de poziția sa în număr - de poziție. Un exemplu este sistemul roman. Să presupunem că numărul 76 din acest sistem arată astfel:

LXXVI, unde L=50, X=10, V=5, I=1.

După cum puteți vedea, numerele de aici sunt caractere latine.

ÎN pozițional sisteme, semnificațiile numerelor depind de poziția (poziția) lor în număr.

De exemplu, o persoană este obișnuită să folosească sistemul pozițional zecimal - numerele sunt scrise folosind 10 cifre. Cifra cea mai din dreapta denotă unități, cea din stânga - zeci, chiar mai la stânga - sute etc.

În orice sistem pozițional, un număr poate fi reprezentat ca un polinom.

Să arătăm cum să reprezentăm un număr zecimal ca polinom.

Sistemul numeric este un concept foarte complex. Include toate legile prin care numerele sunt scrise și citite, precum și cele prin care se efectuează operații asupra lor.

Cel mai important lucru pe care trebuie să-l știți despre sistemul numeric este tipul acestuia: aditiv sau multiplicativ. În primul tip, fiecare cifră are propriul său sens, iar pentru a citi numărul trebuie să însumați toate valorile cifrelor utilizate:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

În al doilea tip, fiecare cifră poate avea semnificații diferite în funcție de locația sa în număr:

(hieroglifele în ordine: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Aici hieroglifa „2” este folosită de două ori și, în fiecare caz, a luat semnificații diferite „2000” și „20”.

2' 1000 + 4' 100+2' 10+5 = 2425

Pentru un sistem multiplicativ, trebuie să cunoașteți imaginea numerelor și semnificația lor, precum și radix.

Baza sistemului Notația este numărul de cifre și simboluri folosite pentru a reprezenta un număr. De exemplu p=10.

Determinarea bazei este foarte ușoară; trebuie doar să recalculați numărul de cifre semnificative din sistem. Pentru a spune simplu, acesta este numărul de la care începe a doua cifră a numărului. De exemplu, folosim numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sunt exact 10, deci baza sistemului nostru de numere este, de asemenea, 10, iar sistemul numeric este numit " zecimal" Exemplul de mai sus folosește numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (auxiliarul 10, 100, 1000, 10000 etc. nu contează). Există, de asemenea, 10 numere principale aici, iar sistemul de numere este zecimal.

Baza sistemului este o succesiune de cifre folosită pentru a scrie un număr. Nu există în niciun sistem un număr egal cu baza sistemului.