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Kreatives Schaffen „Zeichen der Teilbarkeit“. Beginnen Sie mit der Wissenschaft. Welche Zahl ist durch 10 und 12 teilbar?

CHISTENSKY UVK „ALLGEMEINE BILDUNGSSCHULE

ICH – III STUFEN - GYMNASIUM "

RICHTUNG MATHEMATIK

„Zeichen der Teilbarkeit“

Ich habe die Arbeit erledigt

Schüler der 7. Klasse

Zhuravlev David

Wissenschaftlicher Leiter

Spezialist der höchsten Kategorie

Fedorenko Irina Vitalievna

Sauber, 2013

Inhaltsverzeichnis

Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Teilbarkeit von Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 3 und 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Zeichen der Teilbarkeit durch 4, durch 25 und durch 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Zeichen der Teilbarkeit durch 8 und 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Vereinfachung des Tests auf Teilbarkeit durch 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Zeichen der Teilbarkeit durch 6, 12, 15, 18, 45 usw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Einfache Kriterien für die Teilbarkeit durch Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Zeichen der Teilbarkeit durch 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Zeichen der Teilbarkeit durch 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Zeichen der Teilbarkeit durch 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Zeichen der Teilbarkeit durch 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Kombiniertes Vorzeichen der Teilbarkeit durch 7, 11 und 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Altes und Neues zur Teilbarkeit durch 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Erweiterung des Teilbarkeitszeichens durch 7 auf andere Zahlen. . . . . . 12

6. Verallgemeinertes Kriterium der Teilbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Die Neugier der Teilbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Schlussfolgerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

EINFÜHRUNG

Wenn Sie schwimmen lernen wollen, dann gehen Sie mutig ins Wasser, und wenn Sie lernen wollen, wie man Probleme löst, dann lösen Sie sie.

D. Poya

Es gibt viele Zweige der Mathematik und einer davon ist die Teilbarkeit von Zahlen.

Mathematiker vergangener Jahrhunderte haben sich viele praktische Tricks ausgedacht, um die Berechnungen und Berechnungen zu erleichtern, die bei der Lösung mathematischer Probleme im Überfluss vorhanden sind. Ein durchaus vernünftiger Ausweg, denn sie hatten weder Taschenrechner noch Computer. In manchen Situationen erleichtert die Verwendung komfortabler Berechnungsmethoden die Lösung von Problemen erheblich und reduziert den dafür aufgewendeten Zeitaufwand erheblich.

Zu solchen nützlichen Berechnungsmethoden gehören natürlich auch die Vorzeichen der Teilbarkeit durch eine Zahl. Einige davon sind einfacher – diese Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 2, 3, 5, 9, 10 werden im Rahmen des Schulkurses studiert, andere sind recht komplex und eher von Forschungsinteresse als von praktischem Interesse. Es ist jedoch immer interessant, jedes Teilbarkeitszeichen für bestimmte Zahlen zu überprüfen.

Ziel der Arbeit: Ideen über die Eigenschaften von Zahlen erweitern, die mit der Teilbarkeit verbunden sind;

Aufgaben:

Kennenlernen verschiedener Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen;

Organisieren Sie sie;

Um die Fähigkeiten zur Anwendung der eingeführten Regeln zu entwickeln, Algorithmen zur Feststellung der Teilbarkeit von Zahlen.

Teilbarkeit von Zahlen

Das Teilbarkeitskriterium ist eine Regel, mit der man ohne Division feststellen kann, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist.

Teilbarkeit des Betrages. Wenn jeder Term durch eine Zahl teilbar ist, dann ist auch die Summe durch diese Zahl teilbar.

Beispiel 1.1

32 ist durch 4 teilbar, 16 ist durch 4 teilbar, also ist die Summe von 32 + 16 durch 4 teilbar.

Teilbarkeit der Differenz. Wenn Minuend und Subtrahend durch eine Zahl teilbar sind, dann ist auch die Differenz durch diese Zahl teilbar.

Beispiel 1.2

777 ist durch 7 teilbar, 49 ist durch 7 teilbar, also ist die Differenz 777 - 49 durch 7 teilbar.

Teilbarkeit eines Produkts durch eine Zahl. Wenn mindestens einer der Faktoren im Produkt durch eine Zahl teilbar ist, dann ist das Produkt auch durch diese Zahl teilbar.

Beispiel 1.3

15 ist durch 3 teilbar, also ist das Produkt 15∙17∙23 durch 3 teilbar.

Teilbarkeit einer Zahl durch ein Produkt. Wenn eine Zahl durch ein Produkt teilbar ist, dann ist sie auch durch jeden Faktor dieses Produkts teilbar.

Beispiel 1.4

90 ist durch 30 teilbar, 30 = 2∙3∙5, also ist 30 durch 2, 3 und 5 teilbar.

B. Pascal leistete einen großen Beitrag zur Erforschung der Teilbarkeitszeichen von Zahlen.Blaise Pascal (Blaise Pascal) (1623–1662), französischer religiöser Denker, Mathematiker und Physiker, einer der größten Geister des 17. Jahrhunderts.Er formulierte das folgende Kriterium für die Teilbarkeit, das seinen Namen trägt:

Natürliche Zahl A ist durch eine andere natürliche Zahl teilbar B nur wenn die Summe der Produkte der Ziffern der Zahl A zu den entsprechenden Resten, die man durch Division der Biteinheiten durch die Zahl erhält B ist durch diese Zahl teilbar.

1.1 Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 3 und 9

In der Schule lernen wir die Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 9, 10.

Das Zeichen der Teilbarkeit durch 10. Alle und nur die Zahlen sind durch 10 teilbar, deren Aufzeichnung mit der Zahl 0 endet.

Das Zeichen der Teilbarkeit durch 5. Alle diese und nur die Zahlen sind durch 5 teilbar, deren Eintrag mit der Zahl 0 oder 5 endet.

Zeichen der Teilbarkeit durch 2. Alle und nur die Zahlen sind durch 2 teilbar, deren Eintrag mit einer geraden Ziffer endet: 2,4,6,8 oder 0.

Zeichen der Teilbarkeit durch 3 und 9. Alle diese und nur die Zahlen sind durch 3 und 9 teilbar, deren Ziffernsumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.

Durch Schreiben einer Zahl (anhand ihrer letzten Ziffern) können Sie auch die Teilbarkeit der Zahl durch 4, 25, 50, 8 und 125 festlegen.

1.2 Zeichen der Teilbarkeit durch 4, durch 25 und durch 50

Durch 4, 25 oder 50 teilbar sind nur diejenigen Zahlen, die mit zwei Nullen enden oder deren letzte beiden Ziffern eine Zahl darstellen, die durch 4, 25 bzw. 50 teilbar ist.

Beispiel 1.2.1

Die Zahl 97300 endet mit zwei Nullen, was bedeutet, dass sie durch 4, 25 und 50 teilbar ist.

Beispiel 1.2.2

Die Zahl 81764 ist durch 4 teilbar, da die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern von 64 besteht, durch 4 teilbar ist.

Beispiel 1.2.3

Die Zahl 79450 ist durch 25 und 50 teilbar, da die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern von 50 besteht, sowohl durch 25 als auch durch 50 teilbar ist.

1.3 Zeichen der Teilbarkeit durch 8 und 125

Durch 8 bzw. 125 teilbar sind nur diejenigen Zahlen, die mit drei Nullen enden oder deren letzte drei Ziffern eine durch 8 bzw. 125 teilbare Zahl darstellen.

Beispiel 1.3.1

Die Zahl 853.000 endet mit drei Nullen, was bedeutet, dass sie sowohl durch 8 als auch durch 125 teilbar ist.

Beispiel 1.3.2

Die Zahl 381864 ist durch 8 teilbar, da die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern von 864 besteht, durch 8 teilbar ist.

Beispiel 1.3.3

Die Zahl 179250 ist durch 125 teilbar, da die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern von 250 besteht, durch 125 teilbar ist.

1.4 Vereinfachung des Tests auf Teilbarkeit durch 8

Die Frage nach der Teilbarkeit einer bestimmten Zahl reduziert sich auf die Frage nach der Teilbarkeit einer bestimmten dreistelligen Zahl durch 8, aberGleichzeitig wird nichts darüber gesagt, wie man wiederum schnell herausfinden kann, ob diese dreistellige Zahl durch 8 teilbar ist. Die Teilbarkeit einer dreistelligen Zahl durch 8 ist auch nicht immer sofort sichtbar, man muss sie tatsächlich mache die Division.

Es stellt sich natürlich die Frage: Ist es möglich, das Kriterium der Teilbarkeit durch 8 zu vereinfachen? Dies ist möglich, wenn Sie es durch ein spezielles Zeichen für die Teilbarkeit einer dreistelligen Zahl durch 8 ergänzen.

Jede dreistellige Zahl ist durch 8 teilbar, wobei die zweistellige Zahl, die aus den Hunderter- und Zehnerstellen addiert zur halben Einerzahl besteht, durch 4 teilbar ist.

Beispiel 1.4.1

Ist die Zahl 592 durch 8 teilbar?

Lösung.

Wir trennen 592 Einheiten von der Zahl und addieren die Hälfte ihrer Zahl zur Zahl der nächsten beiden Ziffern (Zehner und Hunderter).

Wir erhalten: 59 + 1 = 60.

Die Zahl 60 ist durch 4 teilbar, also ist die Zahl 592 durch 8 teilbar.

Antwort: Teilen.

1.5 Zeichen der Teilbarkeit durch 6, 12, 15, 18, 45 usw.

Unter Verwendung der Eigenschaft der Teilbarkeit einer Zahl durch ein Produkt erhalten wir aus den oben genannten Teilbarkeitszeichen Teilbarkeitszeichen durch 6, 12, 15, 18, 24 usw.

Zeichen der Teilbarkeit durch 6. Durch 6 teilbar sind nur diejenigen Zahlen, die durch 2 und 3 teilbar sind.

Beispiel 1.5.1

Die Zahl 31242 ist durch 6 teilbar, da sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 12. Durch 12 teilbar sind nur diejenigen Zahlen, die durch 4 und 3 teilbar sind.

Beispiel 1.5.2

Die Zahl 316224 ist durch 12 teilbar, da sie sowohl durch 4 als auch durch 3 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 15. Nur diejenigen Zahlen, die durch 3 und 5 teilbar sind, sind durch 15 teilbar.

Beispiel 1.5.3

Die Zahl 812445 ist durch 15 teilbar, da sie sowohl durch 3 als auch durch 5 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 18. Durch 18 teilbar sind nur diejenigen Zahlen, die durch 2 und 9 teilbar sind.

Beispiel 1.5.4

Die Zahl 817254 ist durch 18 teilbar, weil sie sowohl durch 2 als auch durch 9 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 45. 45 ist durch diejenigen und nur durch die Zahlen teilbar, die durch 5 und 9 teilbar sind.

Beispiel 1.5.5

Die Zahl 231705 ist durch 45 teilbar, da sie sowohl durch 5 als auch durch 9 teilbar ist.

Es gibt ein weiteres Zeichen für die Teilbarkeit von Zahlen durch 6.

1.6 Test auf Teilbarkeit durch 6

So überprüfen Sie, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist:

Multiplizieren Sie die Hunderterzahl mit 2,

Subtrahieren Sie das Ergebnis von der Zahl nach den Hundertern.

Wenn das Ergebnis durch 6 teilbar ist, dann ist die ganze Zahl durch 6 teilbar. Beispiel 1.6.1

Ist die Zahl 138 durch 6 teilbar?

Lösung.

Die Hunderterzahl ist 1 2=2, 38-2=36, 36:6, also ist 138 durch 6 teilbar.

Einfache Kriterien für die Teilbarkeit durch Primzahlen

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur zwei Teiler hat (einen und die Zahl selbst).

2.1 Zeichen der Teilbarkeit durch 7

Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, müssen Sie Folgendes tun:

Multiplizieren Sie eine Zahl bis zur Zehnerstelle mit zwei

Addieren Sie die verbleibende Zahl zum Ergebnis.

Prüfen Sie, ob das Ergebnis durch 7 teilbar ist oder nicht.

Beispiel 2.1.1

Ist die Zahl 4690 durch 7 teilbar?

Lösung.

Die Zahl bis zur Zehnerstelle ist 46 2=92, 92+90=182, 182:7=26, also ist 4690 durch 7 teilbar.

2.2 Bedingungen für die Teilbarkeit durch 11

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen ein Vielfaches von 11 ist.

Die Differenz kann eine negative Zahl oder Null sein, muss jedoch ein Vielfaches von 11 sein.

Beispiel 2.2.1

Ist die Zahl 100397 durch 11 teilbar?

Lösung.

Die Summe der Zahlen an geraden Stellen: 1+0+9=10.

Die Summe der Zahlen an ungeraden Stellen: 0+3+7=10.

Summendifferenz: 10 - 10=0, 0 ist ein Vielfaches von 11, also ist 100397 durch 11 teilbar.

2.3 Zeichen der Teilbarkeit durch 13

Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn das Ergebnis der Subtraktion der letzten Ziffer mal 9 von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer durch 13 teilbar ist.

Beispiel 2.3.1

Die Zahl 858 ist durch 13 teilbar, weil 85 - 9∙8 = 85 - 72 = 13 durch 13 teilbar ist.

2.4 Tests auf Teilbarkeit durch 19

Eine Zahl ist ohne Rest durch 19 teilbar, wenn die Zahl ihrer Zehner, addiert zur doppelten Zahl der Einer, durch 19 teilbar ist.

Beispiel 2.4.1

Bestimmen Sie, ob 1026 durch 19 teilbar ist.

Lösung.

Die Zahl 1026 hat 102 Zehner und 6 Einer. 102 + 2∙6 = 114;

Ebenso ist 11 + 2∙4 = 19.

Als Ergebnis der Durchführung zweier aufeinanderfolgender Schritte haben wir die Zahl 19 erhalten, die durch 19 teilbar ist, daher ist die Zahl 1026 durch 19 teilbar.

Kombiniertes Vorzeichen der Teilbarkeit durch 7, 11 und 13

In der Primzahlentabelle stehen die Zahlen 7, 11 und 13 nebeneinander. Ihr Produkt ist: 7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Daher ist die Zahl 1001 durch 7, 11 und 13 teilbar.

Wenn eine dreistellige Zahl mit 1001 multipliziert wird, wird das Produkt in denselben Zahlen wie der Multiplikand geschrieben, nur zweimal wiederholt:ABC- eine dreistellige Zahl;ABC∙1001 = abcabc.

Daher sind alle Zahlen der Form abcabc durch 7, 11 und 13 teilbar.

Diese Muster ermöglichen es uns, die Lösung des Problems der Teilbarkeit einer mehrstelligen Zahl durch 7 oder durch 11 oder durch 13 auf die Teilbarkeit einer anderen Zahl durch sie zu reduzieren – nicht mehr als dreistellig.

Wenn die Differenz zwischen den Summen der Flächen einer gegebenen Zahl, genommen durch eins, durch 7 oder durch 11 oder durch 13 teilbar ist, dann ist die gegebene Zahl durch 7 oder durch 11 bzw. durch 13 teilbar.

Beispiel 3.1

Bestimmen Sie, ob die Zahl 42623295 durch 7, 11 und 13 teilbar ist.

Lösung.

Teilen wir diese Zahl von rechts nach links in dreistellige Ziffern auf. Der äußerste linke Rand kann drei Ziffern haben oder auch nicht. Bestimmen wir, welche der Zahlen 7, 11 oder 13 die Differenz der Summen der Flächen dieser Zahl teilt:

623 - (295 + 42) = 286.

Die Zahl 286 ist durch 11 und 13 teilbar, aber nicht durch 7. Daher ist die Zahl 42.623.295 durch 11 und 13 teilbar, jedoch nicht durch 7.

Altes und Neues zur Teilbarkeit durch 7

Aus irgendeinem Grund mochte die Nummer 7 die Menschen sehr und trug ihre Lieder und Sprüche ein:

Sieben Mal anprobieren, einmal schneiden.

Sieben Probleme, eine Antwort.

Sieben Freitage in der Woche.

Einer mit Zweibein und sieben mit Löffel.

Zu viele Köche verderben den Brei.

Die Zahl 7 ist nicht nur reich an Sprüchen, sondern auch an verschiedenen Zeichen der Teilbarkeit. Sie kennen bereits zwei Teilbarkeitszeichen durch 7 (in Kombination mit anderen Zahlen). Es gibt auch mehrere individuelle Kriterien für die Teilbarkeit durch 7.

Lassen Sie uns das erste Zeichen der Teilbarkeit durch 7 anhand eines Beispiels erklären.

Nehmen wir die Zahl 5236. Schreiben wir diese Zahl wie folgt:

5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6

und überall ersetzen wir die Basis 10 durch die Basis 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168

Wenn die resultierende Zahl durch 7 teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist die gegebene Zahl durch 7 teilbar (nicht teilbar).

Da 168 durch 7 teilbar ist, ist 5236 auch durch 7 teilbar.

Änderung des ersten Teilbarkeitszeichens durch 7. Multiplizieren Sie die erste Ziffer links von der Testzahl mit 3 und addieren Sie die nächste Ziffer; Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 3 und addieren Sie die nächste Ziffer usw. zur letzten Ziffer. Der Einfachheit halber ist es erlaubt, nach jeder Aktion 7 oder ein Vielfaches von sieben vom Ergebnis abzuziehen. Wenn das Endergebnis durch 7 teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist die angegebene Zahl auch durch 7 teilbar (nicht teilbar). Für die zuvor ausgewählte Zahl 5236:

5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 - 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 6 = 7 ist durch 7 teilbar, also ist 5236 durch 7 teilbar.

Der Vorteil dieser Regel besteht darin, dass sie gedanklich leicht anzuwenden ist.

Das zweite Zeichen der Teilbarkeit durch 7. Bei diesem Zeichen müssen Sie genauso vorgehen wie beim vorherigen, mit dem einzigen Unterschied, dass die Multiplikation nicht bei der Ziffer ganz links, sondern ganz rechts beginnen sollte eins und multipliziere nicht mit 3, sondern mit 5 .

Beispiel 4.1

Ist 37184 durch 7 teilbar?

Lösung.

4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6+8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1=1; 1∙5 = 5; die Addition der Zahl 7 kann übersprungen werden, da die Zahl 7 vom Ergebnis subtrahiert wird; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 ist durch 7 teilbar, also ist 37184 durch 7 teilbar.

Der dritte Test zur Teilbarkeit durch 7. Dieser Test ist mental weniger einfach durchzuführen, aber auch sehr interessant.

Verdoppeln Sie die letzte Ziffer und subtrahieren Sie die zweite von rechts, verdoppeln Sie das Ergebnis und addieren Sie die dritte von rechts usw., wechseln Sie Subtraktion und Addition ab und reduzieren Sie jedes Ergebnis, wenn möglich, um 7 oder ein Vielfaches von sieben. Wenn das Endergebnis durch 7 teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist die Testzahl durch 7 teilbar (nicht teilbar).

Beispiel 4.2

Ist 889 durch 7 teilbar?

Lösung.

9∙2 = 18; 18 - 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 oder

9∙2 = 18; (18 - 7 = 11) 11 - 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 ist durch 7 teilbar, also ist 889 durch 7 teilbar.

Und noch mehr Zeichen der Teilbarkeit durch 7. Wenn eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist, dann ist sie durch 7 teilbar und die Zahl invertiert, erhöht um die Zehnerstelle dieser Zahl.

Beispiel 4.3

14 ist durch 7 teilbar, also ist 7 auch durch 41 + 1 teilbar.

35 ist durch 7 teilbar, also ist 53 + 3 durch 7 teilbar.

Wenn eine dreistellige Zahl durch 7 teilbar ist, dann ist sie durch 7 teilbar und die Zahl ist invertiert, reduziert um die Differenz zwischen den Einer- und Hunderterstellen dieser Zahl.

Beispiel 4.4

Die Zahl 126 ist durch 7 teilbar. Daher ist die Zahl 621 - (6 - 1) durch 7 teilbar, also 616.

Beispiel 4.5

Die Zahl 693 ist durch 7 teilbar. Daher ist die Zahl 396 auch durch 7 teilbar - (3 - 6), also 399.

Erweiterung des Kriteriums der Teilbarkeit durch 7 auf andere Zahlen

Die oben genannten drei Kriterien für die Teilbarkeit von Zahlen durch 7 können verwendet werden, um die Teilbarkeit einer Zahl durch 13, 17 und 19 zu bestimmen.

Um die Teilbarkeit einer bestimmten Zahl durch 13, 17 oder 19 zu bestimmen, multiplizieren Sie die Ziffer ganz links der zu prüfenden Zahl jeweils mit 3, 7 oder 9 und subtrahieren Sie die nächste Ziffer; Multiplizieren Sie das Ergebnis erneut mit 3, 7 oder 9 und addieren Sie die nächste Ziffer usw., wobei Sie nach jeder Multiplikation abwechselnd Subtraktion und Addition nachfolgender Ziffern vornehmen. Nach jeder Aktion kann das Ergebnis um die Zahl 13, 17, 19 oder ein Vielfaches davon verringert bzw. erhöht werden.

Wenn das Endergebnis durch 13, 17 und 19 teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist die angegebene Zahl auch teilbar (nicht teilbar).

Beispiel 5.1

Ist die Zahl 2075427 durch 19 teilbar?

Lösung.

2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);

2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 - 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 ist durch 19 teilbar, also ist 2075427 durch 19 teilbar.

Generalisierter Teilbarkeitstest

Die Idee, eine Zahl in Flächen zu zerlegen und diese anschließend zu addieren, um die Teilbarkeit einer bestimmten Zahl zu bestimmen, erwies sich als sehr fruchtbar und führte zu einem einheitlichen Kriterium für die Teilbarkeit mehrwertiger Zahlen durch eine ziemlich große Gruppe von Primzahlen . Eine der Gruppen „glücklicher“ Teiler sind alle ganzzahligen Faktoren p der Zahl d = 10n + 1, wobei n = 1, 2, 3,4, ... (für große Werte von n die praktische Bedeutung des Attributs). ist verloren).

101

1001

7, 11, 13

10001

73, 137

2) Falten Sie die Gesichter durch eins, beginnend ganz rechts;

3) falten Sie die restlichen Flächen;

4) Subtrahieren Sie den kleineren Betrag vom größeren Betrag.

Wenn das Ergebnis durch p teilbar ist, dann ist die gegebene Zahl auch durch p teilbar.

Um also die Teilbarkeit einer Zahl durch 11 (p = 11) zu bestimmen, schneiden wir die Zahl auf der Fläche einer Ziffer (n = 1) ab. Geht man wie angegeben weiter vor, gelangt man zum bekannten Test auf Teilbarkeit durch 11.

Bei der Bestimmung der Teilbarkeit einer Zahl durch 7, 11 oder 13 (p = 7, 11, 13) schneiden wir jeweils 3 Ziffern ab (n = 3). Bei der Bestimmung der Teilbarkeit einer Zahl durch 73 und 137 schneiden wir jeweils 4 Ziffern ab (n = 4).

Beispiel 6.1

Finden Sie die Teilbarkeit der fünfzehnstelligen Zahl 837 362 172 504 831 durch 73 und durch 137 heraus (p = 73, 137, n = 4).

Lösung.

Wir teilen die Nummer in Gesichter auf: 837 3621 7250 4831.

Wir addieren die Gesichter durch eins: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.

Subtrahieren Sie den kleineren Betrag vom größeren Betrag: 8452-8087 = 365.

365 ist durch 73 teilbar, aber nicht durch 137; Die gegebene Zahl ist also durch 73 teilbar, aber nicht durch 137.

Die zweite Gruppe von „Glücksteilern“ sind die Pseudo-Ganzzahlfaktoren p der Zahl d = 10n -1, wobei n = 1, 3, 5, 7,…

Die Zahl d = 10n -1 ergibt folgende Teiler:

999

99 999

41, 271

Um die Teilbarkeit einer beliebigen Zahl durch eine dieser Zahlen p zu bestimmen, benötigen Sie:

1) Schneiden Sie die gegebene Zahl von rechts nach links (von Einheiten) in Flächen mit jeweils n Ziffern (jedes p hat sein eigenes n; die Fläche ganz links kann weniger als n Ziffern haben);

2) Falten Sie alle Gesichter.

Wenn das Ergebnis durch p teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist die gegebene Zahl auch teilbar (nicht teilbar).

Beachten Sie, dass 999 = 9∙111, was bedeutet, dass 111 durch 37 teilbar ist, aber dann sind auch die Zahlen 222, 333, 444, 555, 666, 777 und 888 durch 37 teilbar.

Ebenso: 11111 ist durch 41 und durch 271 teilbar.

Neugier auf Teilbarkeit

Abschließend möchte ich vier erstaunliche zehnstellige Zahlen vorstellen:

2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.

Jede von ihnen hat alle Ziffern von 0 bis 9, aber jede Ziffer nur einmal und jede dieser Zahlen ist durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 teilbar , 15, 16, 17 und 18.

Schlussfolgerungen

Durch diese Arbeit habe ich mich erweitertKenntnisse in Mathematik. ICHIch habe gelernt, dass es neben den mir bekannten Zeichen 2, 3, 5, 9 und 10 auch Zeichen der Teilbarkeit durch 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25 gibt , 50, 125 und andere Zahlen, und die Vorzeichen der Teilbarkeit durch dieselbe Zahl können unterschiedlich sein, was bedeutet, dass es immer einen Platz für Kreativität gibt.

Die Arbeit ist theoretisch undpraktischer Nutzen. Diese Studie wird bei der Vorbereitung auf Olympiaden und Wettbewerbe nützlich sein.

Nachdem ich mich mit den Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen vertraut gemacht habe, glaube ich, dass ich das in meiner pädagogischen Tätigkeit gewonnene Wissen nutzen, dieses oder jenes Zeichen selbstständig auf eine bestimmte Aufgabe anwenden und die erlernten Zeichen in einer realen Situation anwenden kann. In Zukunft beabsichtige ich, mich weiterhin mit der Erforschung der Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen zu befassen.

Literatur

1. N. N. Vorobyov „Zeichen der Teilbarkeit“ Moskau „Nauka“ 1988

2. K. I. Shchevtsov, G. P. Bevz „Handbuch der Elementarmathematik“, Kiew „Naukova Dumka“, 1965

3. M. Ya. Vygodsky „Handbuch der Elementarmathematik“ Moskau „Nauka“ 1986

4. Internetressourcen

Der Text der Arbeit ist ohne Bilder und Formeln platziert.
Die Vollversion der Arbeit ist im Reiter „Jobdateien“ im PDF-Format verfügbar

Einführung

Im Mathematikunterricht, beim Studium des Themas „Teilbarkeitszeichen“, wo wir die Teilbarkeitszeichen durch 2 kennengelernt haben; 5; 3; 9; 10 interessierte mich, ob es Anzeichen für die Teilbarkeit durch andere Zahlen gibt und ob es eine universelle Methode der Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl gibt. Also begann ich, zu diesem Thema zu recherchieren.

Zweck der Studie: das Studium der Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen bis 100, die Addition der bereits bekannten Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen als Ganzes, in der Schule studiert.

Um das Ziel zu erreichen, wurden gesetzt Aufgaben:

Sammeln, studieren und systematisieren Sie Material zu den Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen unter Verwendung verschiedener Informationsquellen.

Finden Sie ein universelles Kriterium für die Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl.

Erfahren Sie, wie Sie den Teilbarkeitstest von Pascal verwenden, um die Teilbarkeit von Zahlen zu bestimmen, und versuchen Sie außerdem, die Vorzeichen der Teilbarkeit durch eine beliebige natürliche Zahl zu formulieren.

Studienobjekt: Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Gegenstand der Studie: Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Forschungsmethoden: Sammlung von Informationen; mit gedruckten Materialien arbeiten; Analyse; Synthese; Analogie; Umfrage; Befragung; Systematisierung und Verallgemeinerung des Materials.

Forschungshypothese: Wenn es möglich ist, die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 2, 3, 5, 9, 10 zu bestimmen, dann muss es Zeichen geben, anhand derer man die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch andere Zahlen bestimmen kann.

Neuheit Die durchgeführte Forschungsarbeit besteht darin, dass diese Arbeit das Wissen über die Teilbarkeitszeichen und die universelle Methode der Teilbarkeit natürlicher Zahlen systematisiert.

Praktische Bedeutung: Der Stoff dieser Forschungsarbeit kann in den Klassen 6-8 im Wahlunterricht zum Thema „Teilbarkeit von Zahlen“ verwendet werden.

Kapitel I. Definition und Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen

1.1. Definitionen der Teilbarkeitsbegriffe und Teilbarkeitszeichen, Eigenschaften der Teilbarkeit.

Die Zahlentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Eigenschaften von Zahlen untersucht. Das Hauptziel der Zahlentheorie ist ganze Zahlen. Ihre wichtigste Eigenschaft, die in der Zahlentheorie berücksichtigt wird, ist die Teilbarkeit. Definition: Eine ganze Zahl a ist durch eine ganze Zahl b teilbar, die ungleich Null ist, wenn es eine ganze Zahl k gibt, so dass a = bk (zum Beispiel ist 56 durch 8 teilbar, weil 56 = 8x7). Teilbarkeitszeichen- eine Regel, mit der Sie feststellen können, ob eine bestimmte natürliche Zahl durch andere Zahlen teilbar ist, d. h. ohne jede Spur.

Teilbarkeitseigenschaften:

Jede Zahl a ungleich Null ist durch sich selbst teilbar.

Null ist durch jedes b ungleich Null teilbar.

Wenn a durch b (b0) teilbar ist und b durch c (c0) teilbar ist, dann ist a durch c teilbar.

Wenn a durch b (b0) teilbar ist und b durch a (a0) teilbar ist, dann sind a und b entweder gleiche oder entgegengesetzte Zahlen.

1.2. Teilbarkeitseigenschaften von Summe und Produkt:

Wenn in der Summe ganzer Zahlen jeder Term durch eine Zahl teilbar ist, dann ist die Summe durch diese Zahl teilbar.

2) Wenn in der Differenz der ganzen Zahlen der Minuend und der Subtrahend durch eine bestimmte Zahl teilbar sind, dann ist auch die Differenz durch eine bestimmte Zahl teilbar.

3) Wenn in der Summe ganzer Zahlen alle Terme bis auf einen durch eine Zahl teilbar sind, dann ist die Summe nicht durch diese Zahl teilbar.

4) Wenn im Produkt ganzer Zahlen einer der Faktoren durch eine Zahl teilbar ist, dann ist das Produkt auch durch diese Zahl teilbar.

5) Wenn im Produkt ganzer Zahlen einer der Faktoren durch m und der andere durch n teilbar ist, dann ist das Produkt durch mn teilbar.

Während ich die Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen studierte, lernte ich außerdem das Konzept kennen „digitale Wurzel“. Nehmen wir eine natürliche Zahl. Lassen Sie uns die Summe seiner Ziffern ermitteln. Wir ermitteln auch die Summe der Ziffern des Ergebnisses und so weiter, bis eine einstellige Zahl entsteht. Das Ergebnis wird als digitale Wurzel der Zahl bezeichnet. Die digitale Wurzel von 654321 ist beispielsweise 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. Und jetzt können Sie über die Frage nachdenken: „Was sind die Zeichen der Teilbarkeit und gibt es ein universelles Zeichen für die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere?“

Kapitel II. Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

2.1. Zeichen der Teilbarkeit durch 2,3,5,9,10.

Unter den Zeichen der Teilbarkeit sind die bequemsten und bekanntesten Mathematikkurse aus der 6. Klasse:

Teilbar durch 2. Endet der Datensatz einer natürlichen Zahl mit einer geraden Ziffer oder Null, dann ist die Zahl durch 2 teilbar. Die Zahl 52738 ist durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer 8 gerade ist.

Durch 3 teilbar . Wenn die Ziffernsumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 3 teilbar (die Zahl 567 ist durch 3 teilbar, da 5+6+7 = 18 und 18 durch 3 teilbar ist).

Durch 5 teilbar. Wenn der Datensatz einer natürlichen Zahl mit der Zahl 5 oder Null endet, dann ist die Zahl durch 5 teilbar (die Zahlen 130 und 275 sind durch 5 teilbar, weil die letzten Ziffern der Zahlen 0 und 5 sind, die Zahl 302 jedoch schon). nicht durch 5 teilbar, da die letzten Ziffern nicht 0 und 5 sind).

Teilbar durch 9. Wenn die Summe der Ziffern durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 9 teilbar (676332 ist durch 9 teilbar, weil 6+7+6+3+3+2=27 und 27 durch 9 teilbar ist).

Durch 10 teilbar . Endet der Datensatz einer natürlichen Zahl mit der Zahl 0, dann ist diese Zahl durch 10 teilbar (230 ist durch 10 teilbar, da die letzte Ziffer der Zahl 0 ist).

2.2. Zeichen der Teilbarkeit durch 4,6,8,11,12,13 usw.

Nachdem ich mit verschiedenen Quellen gearbeitet hatte, lernte ich andere Zeichen der Teilbarkeit kennen. Ich werde einige davon beschreiben.

Division durch 6 . Wir müssen die Teilbarkeit der Zahl, die uns interessiert, durch 2 und 3 prüfen. Die Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und ihre digitale Wurzel durch 3 teilbar ist. (Beispiel: 678 ist teilbar durch 6, da sie gerade ist und 6 +7+8=21, 2+1=3) Ein weiteres Zeichen der Teilbarkeit: Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn das Vierfache der Zahl der Zehner addiert zur Zahl der Einsen teilbar ist durch 6. (73,7*4+3=31, 31 ist nicht durch 6 teilbar, also ist 7 nicht durch 6 teilbar.)

Division durch 8. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden. (12224 ist durch 8 teilbar, weil 224:8=28). Eine dreistellige Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl der Einsen, addiert zur doppelten Zahl der Zehner und zum Vierfachen der Zahl der Hunderter, durch 8 teilbar ist. Beispielsweise ist 952 durch 8 teilbar, weil 8 durch 9 teilbar ist* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .

Teilen Sie durch 4 und durch 25. Wenn die letzten beiden Ziffern Nullen sind oder eine durch 4 oder (und) durch 25 teilbare Zahl ausdrücken, dann ist die Zahl durch 4 oder (und) durch 25 teilbar (die Zahl 1500 ist durch 4 und 25 teilbar, weil sie mit zwei endet). Nullen, die Zahl 348 ist durch 4 teilbar, weil 48 durch 4 teilbar ist, aber diese Zahl ist nicht durch 25 teilbar, weil 48 nicht durch 25 teilbar ist, die Zahl 675 ist durch 25 teilbar, weil 75 durch 25 teilbar ist, aber nicht durch 4 teilbar, daher ist .k. 75 nicht durch 4 teilbar).

Wenn wir die Hauptzeichen der Teilbarkeit durch Primzahlen kennen, können wir Zeichen der Teilbarkeit durch zusammengesetzte Zahlen ableiten:

Zeichen der Teilbarkeit durch11 . Wenn die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an geraden Stellen und der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 11 teilbar (die Zahl 593868 ist durch 11 teilbar, denn 9 + 8 + 8 = 25 und 5 + 3 + 6 = 14, ihre Differenz beträgt 11, und 11 ist durch 11 teilbar).

Vorzeichen der Teilbarkeit durch 12: Eine Zahl ist genau dann durch 12 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind und die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist.

Weil 12= 4 ∙ 3, d.h. Die Zahl muss durch 4 und 3 teilbar sein.

Vorzeichen der Teilbarkeit durch 13: Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn die alternierende Summe von Zahlen, die aus aufeinanderfolgenden Zifferntripeln der gegebenen Zahl besteht, durch 13 teilbar ist. Woher wissen Sie beispielsweise, dass die Zahl 354862625 durch 13 teilbar ist? 625-862+354=117 ist durch 13 teilbar, 117:13=9, also ist 354862625 auch durch 13 teilbar.

Vorzeichen der Teilbarkeit durch 14: Eine Zahl ist genau dann durch 14 teilbar, wenn sie mit einer geraden Ziffer endet und das Ergebnis der Subtraktion der doppelten letzten Ziffer von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer durch 7 teilbar ist.

Weil 14= 2 ∙ 7, d.h. Die Zahl muss durch 2 und 7 teilbar sein.

Vorzeichen der Teilbarkeit durch 15: Eine Zahl ist genau dann durch 15 teilbar, wenn sie auf 5 und 0 endet und die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist.

Weil 15= 3 ∙ 5, d.h. Die Zahl muss durch 3 und 5 teilbar sein.

Zeichen der Teilbarkeit durch 18: Eine Zahl ist genau dann durch 18 teilbar, wenn sie mit einer geraden Ziffer endet und die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

weil k18= 2 ∙ 9, d.h. Die Zahl muss durch 2 und 9 teilbar sein.

Vorzeichen der Teilbarkeit durch 20: Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn die Zahl mit 0 endet und die vorletzte Ziffer gerade ist.

Weil 20 = 10 ∙ 2 d.h. Die Zahl muss durch 2 und 10 teilbar sein.

Vorzeichen der Teilbarkeit durch 25: Eine Zahl mit mindestens drei Ziffern ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 25 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch30 .

Zeichen der Teilbarkeit durch59 . Eine Zahl ist genau dann durch 59 teilbar, wenn die Zahl der Zehner addiert zur Zahl der Einsen multipliziert mit 6 durch 59 teilbar ist. Beispielsweise ist 767 durch 59 teilbar, da 76 + 6*7 = 118 und 11 + 6* sind durch 59 8 = 59 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch79 . Eine Zahl ist genau dann durch 79 teilbar, wenn die Zahl der Zehner addiert zur Zahl der Einer multipliziert mit 8 durch 79 teilbar ist. Beispielsweise ist 711 durch 79 teilbar, da 71 + 8*1 = 79 durch 79 teilbar sind.

Zeichen der Teilbarkeit durch99. Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn die Summe der Zahlen, die Gruppen aus zwei Ziffern bilden (beginnend mit Einsen), durch 99 teilbar ist. Beispielsweise ist 12573 durch 99 teilbar, da 1 + 25 + 73 = 99 durch 99 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch100 . Nur solche Zahlen sind durch 100 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern Nullen sind.

Zeichen der Teilbarkeit durch 125: Eine Zahl mit mindestens vier Ziffern ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 125 teilbar ist.

Alle oben genannten Merkmale sind in einer Tabelle zusammengefasst. (Anhang 1)

2.3 Zeichen der Teilbarkeit durch 7.

1) Nehmen Sie zum Testen die Zahl 5236. Schreiben wir diese Zahl wie folgt: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 („systematisch“. » Zahlenschreibweise), und überall ersetzen wir die Basis 10 durch die Basis 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 = 168. Wenn die resultierende Zahl durch 7 teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist diese Zahl durch 7 teilbar (nicht teilbar). Da 168 durch 7 teilbar ist , dann ist 5236 durch 7 teilbar. 68:7=24, 5236:7=748.

2) Bei diesem Zeichen müssen Sie genauso vorgehen wie beim vorherigen, mit dem einzigen Unterschied, dass die Multiplikation ganz rechts beginnen und nicht mit 3, sondern mit 5 multipliziert werden sollte. (5236 wird durch 7 geteilt , da 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Dieses Zeichen ist weniger einfach im Kopf umzusetzen, aber auch sehr interessant. Verdoppeln Sie die letzte Ziffer und subtrahieren Sie die zweite von rechts, verdoppeln Sie das Ergebnis und addieren Sie die dritte von rechts usw., wechseln Sie Subtraktion und Addition ab und reduzieren Sie jedes Ergebnis, wenn möglich, um 7 oder ein Vielfaches von sieben. Wenn das Endergebnis durch 7 teilbar (nicht teilbar) ist, dann ist die Testzahl auch durch 7 teilbar (nicht teilbar). ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die alternierende Summe von Zahlen, die aus aufeinanderfolgenden Zifferntripeln der gegebenen Zahl besteht, durch 7 teilbar ist. Woher wissen Sie beispielsweise, dass die Zahl 363862625 durch 7 teilbar ist? 625-862+363=126 ist durch 7 teilbar, 126:7=18, also ist 363862625 auch durch 7 teilbar, 363862625:7=51980375.

5) Eines der ältesten Zeichen der Teilbarkeit durch 7 ist wie folgt. Die Ziffern der Zahl müssen in umgekehrter Reihenfolge von rechts nach links genommen werden, wobei die erste Ziffer mit 1, die zweite mit 3, die dritte mit 2, die vierte mit -1, die fünfte mit -3 und die sechste mit - multipliziert werden. 2 usw. (Wenn die Anzahl der Zeichen größer als 6 ist, sollte die Folge der Faktoren 1, 3, 2, -1, -3, -2 so oft wie nötig wiederholt werden.) Die resultierenden Produkte müssen hinzugefügt werden. Die ursprüngliche Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die berechnete Summe durch 7 teilbar ist. Hier ist beispielsweise, was diese Funktion für die Zahl 5236 ergibt. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, also ist die Zahl 5236 auch durch 7 teilbar.

6) Die Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die dreifache Zahl der Zehner, addiert zur Zahl der Einsen, durch 7 teilbar ist. Beispielsweise ist 154 durch 7 teilbar, da 7 die Zahl 49 ist, auf die wir kommen diese Basis: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4. Zeichen von Pascal.

Einen großen Beitrag zur Erforschung der Teilbarkeitszeichen von Zahlen leistete B. Pascal (1623-1662), ein französischer Mathematiker und Physiker. Er fand einen Algorithmus zum Finden von Kriterien für die Teilbarkeit einer beliebigen ganzen Zahl durch eine andere ganze Zahl, den er in der Abhandlung „Über die Natur der Teilbarkeit von Zahlen“ veröffentlichte. Fast alle derzeit bekannten Teilbarkeitszeichen sind ein Sonderfall des Pascal-Zeichens: „Wenn die Summe der Reste beim Teilen einer ZahlA nach Ziffern pro ZahlV geteilt durchV , dann die ZahlA geteilt durchV ». Es zu wissen ist auch heute noch nützlich. Wie können wir die oben formulierten Teilbarkeitskriterien (z. B. das uns bekannte Kriterium der Teilbarkeit durch 7) beweisen? Ich werde versuchen, diese Frage zu beantworten. Aber zunächst sollten wir uns darauf einigen, wie man Zahlen schreibt. Um eine Zahl aufzuschreiben, deren Ziffern durch Buchstaben gekennzeichnet sind, vereinbaren wir, einen Strich über diese Buchstaben zu ziehen. Somit bezeichnet abcdef eine Zahl mit f Einheiten, e Zehnern, d Hundertern usw.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Jetzt werde ich den oben formulierten Test auf Teilbarkeit durch 7 beweisen. Wir haben:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(Reste nach Division durch 7).

Als Ergebnis erhalten wir die oben formulierte 5. Regel: Um den Rest der Division einer natürlichen Zahl durch 7 herauszufinden, müssen Sie Koeffizienten (Reste der Division) unter den Ziffern dieser Zahl von rechts nach links vorzeichen: Dann müssen Sie jede Ziffer mit dem Koeffizienten darunter multiplizieren und das Ergebnis addieren Produkte; Die gefundene Summe hat bei Division durch 7 den gleichen Rest wie die ermittelte Zahl.

Nehmen wir als Beispiel die Zahlen 4591 und 4907 und finden, wie in der Regel angegeben, das Ergebnis:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (Rest 6) (nicht durch 7 teilbar)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (teilbar durch 7)

Auf diese Weise können Sie ein Kriterium für die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl finden T. Es muss lediglich herausgefunden werden, welche Koeffizienten (Divisionsreste) unter den Ziffern der genommenen Zahl A vorzeichenbar sind. Dazu müssen Sie bei der Division durch jede Zehnerpotenz 10 möglichst durch den gleichen Rest ersetzen T, als Zahl 10. Wann T= 3 oder t = 9 erwiesen sich diese Koeffizienten als sehr einfach: Sie sind alle gleich 1. Daher erwies sich der Test auf Teilbarkeit durch 3 oder 9 als sehr einfach. Bei T= 11, die Koeffizienten waren auch nicht komplex: Sie sind abwechselnd gleich 1 und - 1. Und wann t=7 die Koeffizienten erwiesen sich als schwieriger; daher erwies sich das Kriterium der Teilbarkeit durch 7 als komplexer. Nachdem ich die Teilungszeichen bis 100 betrachtet hatte, war ich überzeugt, dass die komplexesten Koeffizienten für natürliche Zahlen 23 (ab 10 23 wiederholen sich die Koeffizienten) und 43 (ab 10 39 wiederholen sich die Koeffizienten) sind.

Alle aufgeführten Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen lassen sich in 4 Gruppen einteilen:

1 Gruppe- Wenn die Teilbarkeit von Zahlen durch die letzte Ziffer (mi) bestimmt wird, sind dies Zeichen der Teilbarkeit durch 2, durch 5, durch eine Biteinheit, durch 4, durch 8, durch 25, durch 50.

2 Gruppe- Wenn die Teilbarkeit von Zahlen durch die Summe der Ziffern der Zahl bestimmt wird, sind dies Zeichen der Teilbarkeit durch 3, durch 9, durch 7, durch 37, durch 11 (1 Vorzeichen).

3 Gruppe- Wenn die Teilbarkeit von Zahlen bestimmt wird, nachdem einige Aktionen an den Ziffern der Zahl durchgeführt wurden, sind dies Zeichen der Teilbarkeit durch 7, durch 11 (1 Vorzeichen), durch 13, durch 19.

4 Gruppe- Wenn andere Teilbarkeitszeichen verwendet werden, um die Teilbarkeit einer Zahl zu bestimmen, sind dies die Teilbarkeitszeichen durch 6, durch 15, durch 12, durch 14.

experimenteller Teil

Umfrage

Die Befragung wurde unter Schülern der 6. und 7. Klasse durchgeführt. An der Umfrage nahmen 58 Schüler der MOBU Karaidel-Sekundarschule Nr. 1 im Bezirk MR Karaidel der Republik Belarus teil. Sie wurden gebeten, die folgenden Fragen zu beantworten:

Glauben Sie, dass es andere Zeichen der Teilbarkeit gibt, die sich von denen unterscheiden, die in der Lektion untersucht wurden?

Gibt es Anzeichen für Teilbarkeit für andere natürliche Zahlen?

Möchten Sie diese Zeichen der Teilbarkeit kennen?

Kennen Sie Anzeichen für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen?

Die Ergebnisse der Umfrage zeigten, dass 77 % der Befragten glauben, dass es neben den in der Schule untersuchten Zeichen der Teilbarkeit noch andere Zeichen gibt; 9 % denken nicht, 13 % der Befragten fällt die Antwort schwer. Zur zweiten Frage „Möchten Sie die Teilbarkeitszeichen für andere natürliche Zahlen wissen?“ 33 % antworteten mit „Ja“, 17 % antworteten mit „Nein“ und 50 % fanden die Antwort schwierig. Auf die dritte Frage antworteten 100 % der Befragten mit „Ja“. Die vierte Frage wurde von 89 % mit „Nein“ beantwortet – 11 % der Studierenden, die im Rahmen der Forschungsarbeit an der Umfrage teilgenommen haben.

Abschluss

So wurden im Zuge der Arbeiten folgende Aufgaben gelöst:

studiert theoretisches Material zu diesem Thema;

Zusätzlich zu den mir bekannten Zeichen 2, 3, 5, 9 und 10 habe ich erfahren, dass es auch Zeichen der Teilbarkeit durch 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 usw. gibt .;

3) studierte das Pascal-Zeichen – ein universelles Zeichen der Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl;

Bei der Arbeit mit verschiedenen Quellen und der Analyse des gefundenen Materials zu dem untersuchten Thema kam ich zu der Überzeugung, dass es Anzeichen für eine Teilbarkeit durch andere natürliche Zahlen gibt. Zum Beispiel am 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, was die Richtigkeit meiner Hypothese über die Existenz anderer Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen bestätigte. Ich habe auch herausgefunden, dass es ein universelles Zeichen der Teilbarkeit gibt, dessen Algorithmus vom französischen Mathematiker Pascal Blaise gefunden und in seiner Abhandlung „Über die Natur der Teilbarkeit von Zahlen“ veröffentlicht wurde. Mit diesem Algorithmus können Sie ein Vorzeichen für die Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl erhalten.

Das Ergebnis der Forschungsarbeit wurde zu einem systematisierten Material in Form einer Tabelle „Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen“, das im Mathematikunterricht, in außerschulischen Aktivitäten zur Vorbereitung der Schüler auf die Lösung von Olympiaproblemen, zur Vorbereitung der Schüler auf die OGE und das Einheitliche Staatsexamen verwendet werden kann .

In Zukunft beabsichtige ich, weiter an der Anwendung von Teilbarkeitszeichen von Zahlen zur Lösung von Problemen zu arbeiten.

Liste der verwendeten Quellen

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Vorobyov V.N. Zeichen der Teilbarkeit.-M.: Nauka, 1988.-96er Jahre.

Vygodsky M.Ya. Handbuch der Elementarmathematik. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 S.

Gardner M. Mathematische Freizeit. / Unter. Ed. Ya.A. Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 S.

Gelfman E.G., Beck E.F. usw. Der Fall der Teilbarkeit und andere Geschichten: Lernprogramm in Mathematik für die 6. Klasse. - Tomsk: Verlag Tom.un-ta, 1992. - 176 S.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik: Ref. Materialien: Buch. für Studierende. - 2. Aufl. - M.: Bildung, 1990. - 416 S.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Außerschulische Arbeit in Mathematik in den Klassen 6-8. Moskau.: Bildung, 1984. - 289s.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. M.: Aufklärung, 1989. - 97p.

Kulanin E.D. Mathematik. Verzeichnis. -M.: EKSMO-Press, 1999-224p.

Perelman Ya.I. Unterhaltsame Algebra. M.: Triada-Litera, 1994. -199er.

Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Wache, 1982.-334er.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia – die freie Enzyklopädie).

http://www.bymath.net (Enzyklopädie).

Anhang 1

TABELLE DER TEILBARKEITSZEICHEN

	Zeichen	Beispiel
	Die Zahl endet mit einer geraden Zahl.	………………2(4,6,8,0)
	Die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Die letzten beiden Ziffern sind Nullen oder durch 4 teilbar.	………………12
	Die Zahl endet mit 5 oder 0.	………………0(5)
	Die Zahl endet mit einer geraden Ziffer und die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar.	375018: 8-gerade Zahl 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Das Ergebnis der Subtraktion der doppelten letzten Ziffer von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer ist durch 7 teilbar.	36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Die letzten drei Ziffern der Zahl sind Nullen oder bilden eine durch 8 teilbare Zahl.	……………..064
	Die Summe ihrer Ziffern ist durch 9 teilbar.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Zahl endet mit Null	………………..0
	Die Ziffernsumme einer Zahl mit wechselnden Ziffern ist durch 11 teilbar.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Die letzten beiden Ziffern einer Zahl sind durch 4 teilbar und die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar.	2+1+6=9, 9:3 und 16:4
	Die Anzahl der Zehner einer gegebenen Zahl, addiert zum Vierfachen der Anzahl der Einer, ist ein Vielfaches von 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Eine Zahl endet mit einer geraden Ziffer und wenn das Ergebnis der zweifachen Subtraktion der letzten Ziffer von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer durch 7 teilbar ist.	364: 4 ist eine gerade Zahl 36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Die Zahl 5 und 0 und die Summe der Ziffern ist durch 3 teilbar.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Die letzten vier Ziffern der Zahl sind Nullen oder bilden eine Zahl, die durch 16 teilbar ist.	…………..0032
	Die Anzahl der Zehner einer gegebenen Zahl, addiert zur Anzahl der Einer, erhöht um das Zwölffache, ist ein Vielfaches von 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Da 34 durch 17 teilbar ist, ist 29053 auch durch 17 teilbar
	Die Zahl endet mit einer geraden Ziffer und die Summe ihrer Ziffern ist durch 9 teilbar.	2034: 4 ist eine gerade Zahl
	Die Anzahl der Zehner einer bestimmten Zahl, addiert mit der doppelten Anzahl an Einheiten, ist ein Vielfaches von 19	64 + (6 × 2) = 76
	Die Zahl endet mit 0 und die vorletzte Ziffer ist gerade	…………………40
	Eine Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern besteht, ist durch 25 teilbar	…………….75
	Eine Zahl ist genau dann durch 30 teilbar, wenn sie mit 0 endet und die Summe aller Ziffern durch 3 teilbar ist.	……………..360
	Eine Zahl ist genau dann durch 59 teilbar, wenn die Zahl der Zehner addiert zur Zahl der Einsen multipliziert mit 6 durch 59 teilbar ist.	Beispielsweise ist 767 durch 59 teilbar, da 76 + 67 = 118 und 11 + 68 = 59 durch 59 teilbar sind.
	Eine Zahl ist genau dann durch 79 teilbar, wenn die Zahl der Zehner addiert zur Zahl der Einsen multipliziert mit 8 durch 79 teilbar ist.	Beispielsweise ist 711 durch 79 teilbar, weil 79 durch 71 + 8*1 = 79 teilbar ist
	Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn die Summe der Zahlen, die Gruppen aus zwei Ziffern bilden (beginnend mit Einsen), durch 99 teilbar ist.	Beispielsweise ist 12573 durch 99 teilbar, da 1 + 25 + 73 = 99 durch 99 teilbar ist.
bei 125	Eine Zahl, die aus den letzten drei Ziffern besteht, ist durch 125 teilbar	……………375

Eine Reihe von Artikeln über die Zeichen der Teilbarkeit wird fortgesetzt Zeichen der Teilbarkeit durch 3. In diesem Artikel wird zunächst das Kriterium für die Teilbarkeit durch 3 formuliert und Beispiele für die Anwendung dieses Kriteriums gegeben, um herauszufinden, welche der gegebenen ganzen Zahlen durch 3 teilbar sind und welche nicht. Außerdem wird der Beweis des Teilbarkeitstests durch 3 gegeben. Es werden auch Ansätze zur Feststellung der Teilbarkeit von Zahlen, die als Wert eines Ausdrucks angegeben werden, durch 3 berücksichtigt.

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Zeichen der Teilbarkeit durch 3, Beispiele

Lass uns beginnen mit Formulierungen des Tests auf Teilbarkeit durch 3: Eine ganze Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. Wenn die Summe ihrer Ziffern nicht durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst nicht durch 3 teilbar.

Aus der obigen Formulierung geht hervor, dass das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3 nicht ohne die Fähigkeit zur Addition natürlicher Zahlen verwendet werden kann. Für die erfolgreiche Anwendung des Vorzeichens der Teilbarkeit durch 3 müssen Sie außerdem wissen, dass von allen einstelligen natürlichen Zahlen die Zahlen 3, 6 und 9 durch 3 teilbar sind und die Zahlen 1, 2, 4, 5, 7 und 8 sind nicht durch 3 teilbar.

Jetzt können wir das einfachste betrachten Beispiele für die Anwendung des Tests auf Teilbarkeit durch 3. Lassen Sie uns herausfinden, ob die Zahl durch 3? 42 teilbar ist. Dazu berechnen wir die Ziffernsumme der Zahl ?42, sie ist gleich 4+2=6. Da 6 durch 3 teilbar ist, kann aufgrund des Vorzeichens der Teilbarkeit durch 3 argumentiert werden, dass die Zahl 42 auch durch 3 teilbar ist. Aber die positive ganze Zahl 71 ist nicht durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 7+1=8 ist und 8 nicht durch 3 teilbar ist.

Ist 0 durch 3 teilbar? Um diese Frage zu beantworten, ist der Test auf Teilbarkeit durch 3 nicht erforderlich. Hier müssen wir uns an die entsprechende Teilbarkeitseigenschaft erinnern, die besagt, dass Null durch jede ganze Zahl teilbar ist. Also ist 0 durch 3 teilbar.

Um zu zeigen, ob eine bestimmte Zahl durch 3 teilbar ist oder nicht, muss in manchen Fällen der Test auf Teilbarkeit durch 3 mehrmals hintereinander durchgeführt werden. Nehmen wir ein Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Zahl 907444812 durch 3 teilbar ist.

Die Ziffernsumme von 907444812 ist 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Um herauszufinden, ob 39 durch 3 teilbar ist, berechnen wir die Ziffernsumme: 3+9=12 . Und um herauszufinden, ob 12 durch 3 teilbar ist, ermitteln wir die Summe der Ziffern der Zahl 12, es gilt 1+2=3. Da wir die Zahl 3 erhalten haben, die durch 3 teilbar ist, ist die Zahl 12 aufgrund des Vorzeichens der Teilbarkeit durch 3 durch 3 teilbar. Daher ist 39 durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 12 beträgt und 12 durch 3 teilbar ist. Schließlich ist 907333812 durch 3 teilbar, da die Summe seiner Ziffern 39 beträgt und 39 durch 3 teilbar ist.

Um das Material zu festigen, analysieren wir die Lösung eines anderen Beispiels.

Ist die Zahl durch 3 teilbar? 543 205?

Berechnen wir die Summe der Ziffern dieser Zahl: 5+4+3+2+0+5=19 . Die Ziffernsumme der Zahl 19 ist wiederum 1+9=10 und die Ziffernsumme der Zahl 10 ist 1+0=1. Da wir die Zahl 1 erhalten haben, die nicht durch 3 teilbar ist, folgt aus dem Kriterium der Teilbarkeit durch 3, dass 10 nicht durch 3 teilbar ist. Daher ist 19 nicht durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern 10 ist und 10 nicht durch 3 teilbar ist. Daher ist die ursprüngliche Zahl?543205 nicht durch 3 teilbar, da die Summe ihrer Ziffern, gleich 19, nicht durch 3 teilbar ist.

Es ist erwähnenswert, dass die direkte Division einer gegebenen Zahl durch 3 uns auch Rückschlüsse darauf zulässt, ob die gegebene Zahl durch 3 teilbar ist oder nicht. Damit wollen wir sagen, dass die Division nicht zugunsten des Vorzeichens der Teilbarkeit durch 3 vernachlässigt werden sollte. Im letzten Beispiel, bei dem wir 543.205 durch 3 durch eine Spalte dividieren, würden wir sicherstellen, dass 543.205 nicht durch 3 teilbar ist, woraus wir schließen könnten: 543.205 ist auch nicht durch 3 teilbar.

Beweis des Tests auf Teilbarkeit durch 3

Die folgende Darstellung der Zahl a hilft uns, das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3 zu beweisen. Wir können jede natürliche Zahl a in Ziffern zerlegen, woraufhin uns die Regel der Multiplikation mit 10, 100, 1000 usw. ermöglicht, eine Darstellung der Form a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ zu erhalten a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , wobei a n , a n?1 , …, a 0 Ziffern von links nach rechts in der Zahl a sind. Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel für eine solche Darstellung: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Schreiben wir nun eine Reihe ziemlich offensichtlicher Gleichheiten auf: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 und so weiter.

Ersetzen Sie in die Gleichung a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 anstelle von 10 , 100 , 1 000 usw. die Ausdrücke 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 und so weiter, wir erhalten
.

Die Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen und die Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen ermöglichen es, die resultierende Gleichheit wie folgt umzuschreiben:

Ausdruck ist die Summe der Ziffern von a. Bezeichnen wir es der Kürze und Bequemlichkeit halber mit dem Buchstaben A, das heißt, wir akzeptieren . Dann erhalten wir eine Darstellung der Zahl a der Form, die wir zum Beweis des Tests auf Teilbarkeit durch 3 verwenden werden.

Um den Test auf Teilbarkeit durch 3 zu beweisen, benötigen wir außerdem die folgenden Teilbarkeitseigenschaften:

Damit eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl b teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Modul von a durch den Modul von b teilbar ist.
Wenn in der Gleichung a=s+t alle Terme bis auf einen durch eine ganze Zahl b teilbar sind, dann ist dieser eine Term auch durch b teilbar.

Jetzt sind wir bestens vorbereitet und können durchführen Beweis der Teilbarkeit durch 3 Der Einfachheit halber formulieren wir dieses Merkmal als notwendige und ausreichende Bedingung für die Teilbarkeit durch 3 .

Damit eine ganze Zahl a durch 3 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Für a=0 ist der Satz offensichtlich.

Wenn a von Null verschieden ist, dann ist der Modul von a eine natürliche Zahl, dann ist eine Darstellung möglich, bei der es sich um die Summe der Ziffern von a handelt.

Da die Summe und das Produkt ganzer Zahlen eine ganze Zahl ist, ist sie eine ganze Zahl. Gemäß der Definition der Teilbarkeit ist das Produkt für jedes a 0 , a 1 , …, a n durch 3 teilbar.

Wenn die Ziffernsumme der Zahl a durch 3 teilbar ist, also A durch 3 teilbar ist, dann ist sie aufgrund der vor dem Satz angegebenen Teilbarkeitseigenschaft durch 3 teilbar, also ist a durch 3 teilbar. Dies beweist die Genügsamkeit.

Wenn a durch 3 teilbar ist, dann ist es auch durch 3 teilbar, dann ist die Zahl A aufgrund derselben Teilbarkeitseigenschaft durch 3 teilbar, d. h. die Summe der Ziffern der Zahl a ist durch 3 teilbar. Dies beweist die Notwendigkeit.

Andere Fälle der Teilbarkeit durch 3

Manchmal werden ganze Zahlen nicht explizit angegeben, sondern als Wert eines Ausdrucks mit einer Variablen für einen bestimmten Wert der Variablen. Beispielsweise ist der Wert eines Ausdrucks für ein natürliches n eine natürliche Zahl. Es ist klar, dass bei dieser Zuordnung von Zahlen eine direkte Division durch 3 nicht zur Feststellung ihrer Teilbarkeit durch 3 beiträgt und das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3 nicht immer angewendet werden kann. Nun werden wir verschiedene Ansätze zur Lösung solcher Probleme betrachten.

Der Kern dieser Ansätze besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck als Produkt mehrerer Faktoren darzustellen, und wenn mindestens einer der Faktoren durch 3 teilbar ist, kann aufgrund der entsprechenden Teilbarkeitseigenschaft auf das Ganze geschlossen werden Das Produkt ist durch 3 teilbar.

Manchmal kann dieser Ansatz mithilfe des Newtonschen Binomials implementiert werden. Betrachten wir eine Beispiellösung.

Ist der Wert des Ausdrucks für jedes natürliche n durch 3 teilbar?

Die Gleichheit ist offensichtlich. Verwenden wir Newtons Binomialformel:

Im letzten Ausdruck können wir 3 aus der Klammer nehmen und erhalten. Das resultierende Produkt ist durch 3 teilbar, da es einen Faktor 3 enthält und der Wert des Ausdrucks in Klammern für natürliches n eine natürliche Zahl ist. Daher ist für jedes natürliche n durch 3 teilbar.

In vielen Fällen lässt sich die Teilbarkeit durch 3 mit der Methode der mathematischen Induktion beweisen. Lassen Sie uns seine Anwendung bei der Lösung eines Beispiels analysieren.

Beweisen Sie, dass für jedes natürliche n der Wert des Ausdrucks durch 3 teilbar ist.

Für den Beweis nutzen wir die Methode der mathematischen Induktion.

Für n=1 ist der Wert des Ausdrucks und 6 ist durch 3 teilbar.

Angenommen, der Wert des Ausdrucks ist durch 3 teilbar, wenn n=k, also durch 3 teilbar.

Unter Berücksichtigung der Teilbarkeit durch 3 werden wir zeigen, dass der Wert des Ausdrucks für n=k+1 durch 3 teilbar ist, das heißt, wir werden das zeigen ist durch 3 teilbar.

Nehmen wir einige Transformationen vor:

Der Ausdruck wird durch 3 geteilt und der Ausdruck ist durch 3 teilbar, daher ist ihre Summe durch 3 teilbar.

Die Methode der mathematischen Induktion bewies also die Teilbarkeit durch 3 für jedes natürliche n.

Lassen Sie uns einen weiteren Ansatz zum Beweis der Teilbarkeit durch 3 zeigen. Wenn wir zeigen, dass für n=3 m , n=3 m+1 und n=3 m+2 , wobei m eine beliebige ganze Zahl ist, der Wert eines Ausdrucks (mit Variable n) durch 3 teilbar ist, dann wird dies bewiesen Teilbarkeit des Ausdrucks durch 3 für jede ganze Zahl n . Berücksichtigen Sie diesen Ansatz bei der Lösung des vorherigen Beispiels.

Zeigen Sie, was für jedes natürliche n durch 3 teilbar ist.

Für n=3 m gilt. Das resultierende Produkt ist durch 3 teilbar, da es einen durch 3 teilbaren Faktor 3 enthält.

Das resultierende Produkt ist ebenfalls durch 3 teilbar.

Und dieses Produkt ist durch 3 teilbar.

Daher ist für jedes natürliche n durch 3 teilbar.

Abschließend präsentieren wir die Lösung eines weiteren Beispiels.

Ist der Wert des Ausdrucks durch 3 teilbar? für einige natürliche n .

Für n=1 gilt. Die Ziffernsumme der resultierenden Zahl ist 3, daher erlaubt uns das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 3 die Behauptung, dass diese Zahl durch 3 teilbar ist.

Für n=2 gilt. Die Summe der Ziffern und dieser Zahl beträgt 3, sie ist also durch 3 teilbar.

Es ist klar, dass wir für jedes andere natürliche n Zahlen haben werden, deren Ziffernsumme 3 ist, daher sind diese Zahlen durch 3 teilbar.

Auf diese Weise, denn jedes natürliche n ist durch 3 teilbar.

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Mathematik, Klasse 6, Lehrbuch für Studierende von Bildungsorganisationen, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Mathematik, Klasse 6, Lehrbuch für Studierende von Bildungsorganisationen, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Der theoretische Stoff im Lehrbuch wird so aufbereitet, dass der Lehrer einen problemorientierten Unterrichtsansatz anwenden kann. Mit Hilfe des Notationssystems werden Übungen in vier Schwierigkeitsgraden unterschieden. In jedem Absatz werden Kontrollaufgaben formuliert, die darauf basieren, was die Studierenden wissen und leisten können müssen, um das Niveau des Standards der Mathematikausbildung zu erreichen. Am Ende des Lehrbuchs werden Hausaufgaben gegeben. Testpapiere und Antworten. Farbabbildungen (Zeichnungen und Diagramme) sorgen für ein hohes Maß an Klarheit des Lehrmaterials.
Entspricht den Anforderungen von GEF LLC.

Aufgaben.

4. Zeichnen Sie ein Dreieck ABC und markieren Sie einen Punkt O außerhalb davon (wie in Abbildung 11). Konstruieren Sie eine Figur, die bezüglich des Punktes O symmetrisch zum Dreieck ABC ist.

5. Zeichnen Sie das Dreieck KMN und konstruieren Sie eine zu diesem Dreieck symmetrische Figur in Bezug auf:
a) seine Eckpunkte - Punkte M;
b) Punkte O – die Mittelpunkte der Seite MN.

6. Bauen Sie eine symmetrische Figur:
a) Strahl OM relativ zum Punkt O; Schreiben Sie auf, welcher Punkt symmetrisch zum Punkt O ist.
b) der Strahl OM bezüglich eines beliebigen Punktes A, der nicht zu diesem Strahl gehört;
c) Gerade AB bezüglich Punkt O, die nicht zu dieser Geraden gehört;
d) Linie AB in Bezug auf den zu dieser Linie gehörenden Punkt O; Schreiben Sie auf, welcher Punkt symmetrisch zum Punkt O ist.
Beschreiben Sie jeweils die relative Lage der zentralsymmetrischen Figuren.

Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Positive und negative Zahlen. Koordinaten
§ 1. Rotation und Zentralsymmetrie
§ 2. Positive und negative Zahlen. Koordinatenlinie
§ 3. Zahlenmodul. Gegensätzliche Zahlen
§ 4. Zahlenvergleich
§ 5. Parallelität von Linien
§ 6. Numerische Ausdrücke mit den Zeichen „+“, „-“
§ 7. Algebraische Summe und ihre Eigenschaften
§ 8. Die Regel zur Berechnung des Wertes der algebraischen Summe zweier Zahlen
§ 9. Abstand zwischen Punkten der Koordinatenlinie
§ 10. Axiale Symmetrie
§ 11. Zahlenlücken
§ 12. Multiplikation und Division positiver und negativer Zahlen
§ 13. Koordinaten
§ 14. Koordinatenebene
§ 15. Multiplikation und Division gewöhnlicher Brüche
§ 16. Multiplikationsregel für kombinatorische Probleme
Kapitel II. Konvertieren von Literalausdrücken
§ 17. Halterungserweiterung
§ 18. Vereinfachung von Ausdrücken
§ 19. Lösung von Gleichungen
§ 20. Lösen von Problemen zum Zusammenstellen von Gleichungen
§ 21. Zwei Hauptprobleme bei Brüchen
§ 22. Kreis. Umfang
§ 23. Kreis. Fläche eines Kreises
§ 24. Ball. Kugel
Kapitel III. Teilbarkeit natürlicher Zahlen
§ 25. Teiler und Vielfache
§ 26. Teilbarkeit eines Werkes
§ 27. Teilbarkeit der Summe und Differenz von Zahlen
§ 28. Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 5, 10, 4 und 25
§ 29. Zeichen der Teilbarkeit durch 3 und 9
§ 30. Primzahlen. Eine Zahl in Primfaktoren zerlegen
§ 31. Größter gemeinsamer Teiler
§ 32. Koprimzahlen. Ein Zeichen der Teilbarkeit durch ein Produkt. Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Kapitel IV. Mathematik um uns herum
§ 33. Das Verhältnis zweier Zahlen
§ 34. Diagramme
§ 35. Verhältnismäßigkeit der Mengen
§ 36. Probleme mit Proportionen lösen
§ 37. Verschiedene Aufgaben
§ 38. Erste Bekanntschaft mit dem Begriff „Wahrscheinlichkeit“
§ 39. Erste Bekanntschaft mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Heimtests
Themen für Projektaktivitäten
Antworten

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Mathematik

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Addition von Zahlen.

a+b=c, wobei a und b Terme sind, c ist die Summe.
Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Subtraktion von Zahlen.

a-b=c, wobei a der Minuend, b der Subtrahend und c die Differenz ist.
Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.
Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Multiplikation von Zahlen.

a b=c, wobei a und b Faktoren sind, c das Produkt.
Um den unbekannten Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch den bekannten Faktor dividieren.

Division von Zahlen.

a:b=c, wobei a der Dividend, b der Divisor und c der Quotient ist.
Um den unbekannten Dividenden zu ermitteln, müssen Sie den Divisor mit dem Quotienten multiplizieren.
Um einen unbekannten Teiler zu finden, müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren.

Die Additionsgesetze.

a+b=b+a(Verschiebung: Die Summe ändert sich durch die Neuordnung der Terme nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

Additionstabelle.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Gesetze der Multiplikation.

a b=b a(Verschiebung: Das Produkt ändert sich nicht durch eine Permutation von Faktoren).
(a b) c=a (b c)(kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.)
(a+b) c=a c+b c(Verteilungsgesetz der Multiplikation gegenüber der Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren).
(a-b) c=a c-b c(Verteilungsgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man mit dieser reduzierten und getrennten Zahl multiplizieren und diese Zahl separat subtrahieren und die zweite Zahl vom ersten Ergebnis subtrahieren).

Multiplikationstabelle.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Teiler und Vielfache.

Teiler natürliche Zahl A Nennen Sie die natürliche Zahl, mit der A ohne Rest geteilt. (Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sind Teiler der Zahl 24, weil 24 durch jede von ihnen ohne Rest teilbar ist) 1-Teiler einer beliebigen natürlichen Zahl. Der größte Teiler einer Zahl ist die Zahl selbst.
Mehrere natürliche Zahl B ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest teilbar ist B. (Die Zahlen 24, 48, 72, ... sind Vielfache der Zahl 24, da sie ohne Rest durch 24 teilbar sind.) Das kleinste Vielfache einer Zahl ist die Zahl selbst.

Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Die beim Zählen von Objekten verwendeten Zahlen (1, 2, 3, 4, ...) werden natürliche Zahlen genannt. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Buchstaben bezeichnet N.
Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 angerufen sogar Zahlen. Zahlen, die mit geraden Ziffern enden, werden gerade Zahlen genannt.
Zahlen 1, 3, 5, 7, 9 angerufen seltsam Zahlen. Zahlen, die mit ungeraden Ziffern enden, werden ungerade Zahlen genannt.
Zeichen der Teilbarkeit durch Zahl 2. Alle natürlichen Zahlen, die mit einer geraden Ziffer enden, sind durch 2 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 5. Alle natürlichen Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, sind durch 5 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 10. Alle natürlichen Zahlen, die auf 0 enden, sind durch 10 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch Zahl 3. Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 9. Wenn die Ziffernsumme einer Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 9 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch Zahl 4. Wenn die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern einer bestimmten Zahl besteht, durch 4 teilbar ist, dann ist die gegebene Zahl selbst durch 4 teilbar.
Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 11. Wenn die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 11 teilbar.

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur zwei Teiler hat: einen und die Zahl selbst.
Eine zusammengesetzte Zahl ist eine Zahl, die mehr als zwei Teiler hat.
Die Zahl 1 ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl.
Das Schreiben einer zusammengesetzten Zahl als Produkt nur aus Primzahlen wird als Zerlegen einer zusammengesetzten Zahl in Primfaktoren bezeichnet. Jede zusammengesetzte Zahl kann eindeutig als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden.

Der größte gemeinsame Teiler gegebener natürlicher Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die jede dieser Zahlen teilbar ist.
Der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen ist gleich dem Produkt gemeinsamer Primfaktoren in den Entwicklungen dieser Zahlen. Beispiel. GCD(24, 42)=2 3=6, da 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, sind ihre gemeinsamen Primfaktoren 2 und 3.
Wenn natürliche Zahlen nur einen gemeinsamen Teiler haben – einen, dann werden diese Zahlen Koprime genannt.

Das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener natürlicher Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches jeder gegebenen Zahl ist. Beispiel. LCM(24, 42)=168. Dies ist die kleinste Zahl, die sowohl durch 24 als auch durch 42 teilbar ist.
Um das LCM mehrerer gegebener natürlicher Zahlen zu finden, ist es notwendig: 1) jede der gegebenen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen; 2) Schreiben Sie die Entwicklung der größten Zahl auf und multiplizieren Sie sie mit den fehlenden Faktoren aus den Entwicklungen anderer Zahlen.
Das kleinste Vielfache zweier teilerfremder Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen.

B- Nenner eines Bruchs, zeigt an, wie viele gleiche Teile geteilt werden;

A-Der Zähler des Bruchs zeigt an, wie viele solcher Teile genommen wurden. Der Bruchstrich bedeutet das Divisionszeichen.

Manchmal wird anstelle einer horizontalen Bruchlinie ein Schrägstrich eingefügt, und ein gewöhnlicher Bruch wird so geschrieben: a/b.

Bei richtiger Bruch der Zähler ist kleiner als der Nenner.
Bei unechter Bruch Der Zähler ist größer als der Nenner oder gleich dem Nenner.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen dieser Zahl entsprechenden Bruch.

Die Division von Zähler und Nenner eines Bruchs durch ihren gemeinsamen Teiler, der nicht eins ist, nennt man Bruchreduktion.

Eine Zahl, die aus einem ganzzahligen Teil und einem gebrochenen Teil besteht, wird als gemischte Zahl bezeichnet.
Um einen unechten Bruch als gemischte Zahl darzustellen, ist es notwendig, den Zähler des Bruchs durch den Nenner zu dividieren, dann ist der unvollständige Quotient der ganzzahlige Teil der gemischten Zahl, der Rest ist der Zähler des Bruchteils , und der Nenner bleibt derselbe.
Um eine gemischte Zahl als unechten Bruch darzustellen, müssen Sie den ganzzahligen Teil der gemischten Zahl mit dem Nenner multiplizieren, den Zähler des Bruchteils zum Ergebnis addieren und ihn in den Zähler des unechten Bruchs schreiben und den Nenner belassen das gleiche.

Strahl Oh mit Ursprung im Punkt UM, auf welche Einzelschnitt zu und Richtung, angerufen Koordinatenstrahl.
Die Zahl, die dem Punkt des Koordinatenstrahls entspricht, wird aufgerufen Koordinate dieser Punkt. Zum Beispiel , A(3). Gelesen: Punkt A mit Koordinate 3.

Der kleinste gemeinsame Nenner ( NOZ) dieser irreduziblen Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache ( NOC) Nenner dieser Brüche.
Um Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen, müssen Sie: 1) das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche finden, es wird der kleinste gemeinsame Nenner sein. 2) Finden Sie für jeden der Brüche einen zusätzlichen Faktor, für den wir den neuen Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividieren. 3) Multiplizieren Sie den Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.

Von zwei Brüchen mit demselben Nenner ist der mit dem größeren Zähler der größere und der mit dem kleineren Zähler der kleinere.
Von zwei Brüchen mit demselben Zähler ist der mit dem kleineren Nenner der größere und der mit dem größeren Nenner der kleinere.
Um Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern zu vergleichen, müssen Sie die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren und dann die Brüche mit denselben Nennern vergleichen.

Operationen mit gewöhnlichen Brüchen.

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.
Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren müssen, reduzieren Sie zunächst die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner und addieren Sie dann die Brüche mit denselben Nennern.
Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, wird der Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert und der Nenner bleibt gleich.
Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren müssen, werden diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann werden Brüche mit demselben Nenner subtrahiert.
Bei der Durchführung von Operationen zum Addieren oder Subtrahieren gemischter Zahlen werden diese Operationen getrennt für ganzzahlige Teile und für gebrochene Teile ausgeführt und das Ergebnis wird dann als gemischte Zahl geschrieben.

Das Produkt zweier gewöhnlicher Brüche ist gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem Produkt der Zähler ist und dessen Nenner das Produkt der Nenner der gegebenen Brüche ist.
Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.
Zwei Zahlen, deren Produkt gleich eins ist, heißen reziproke Zahlen.
Bei der Multiplikation gemischter Zahlen werden diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt.
Um den Bruch einer Zahl zu ermitteln, müssen Sie die Zahl mit diesem Bruch multiplizieren.

Um einen gemeinsamen Bruch durch einen gemeinsamen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.
Bei der Division gemischter Zahlen werden diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt.
Um einen gewöhnlichen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs mit dieser natürlichen Zahl multiplizieren und den Zähler gleich lassen. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
Um eine Zahl anhand ihres Bruchs zu finden, müssen Sie die entsprechende Zahl durch diesen Bruch dividieren.

Eine Dezimalzahl ist eine eingeschriebene Zahl Dezimalsystem und mit Ziffern kleiner als eins. (3,25; 0,1457 usw.)
Die Nachkommastellen werden als Dezimalstellen bezeichnet.
Der Dezimalbruch ändert sich nicht, wenn am Ende des Dezimalbruchs Nullen hinzugefügt oder weggelassen werden.

Um Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie: 1) die Anzahl der Dezimalstellen in diesen Brüchen ausgleichen; 2) Schreiben Sie sie untereinander auf, sodass das Komma unter dem Komma steht; 3) Führen Sie die Addition durch, ignorieren Sie das Komma und setzen Sie ein Komma unter die Kommas in den summierten Brüchen in der Summe.

Um die Subtraktion von Dezimalbrüchen durchzuführen, müssen Sie: 1) die Anzahl der Dezimalstellen im Minuend und Subtrahend ausgleichen; 2) Unterschreiben Sie das Subtrahierte unter dem Reduzierten, sodass das Komma unter dem Komma steht; 3) Führen Sie die Subtraktion durch, ignorieren Sie das Komma und setzen Sie im Ergebnis das Komma unter die Kommas des Minuenden und des Subtrahends.

Um einen Dezimalbruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie ihn mit dieser Zahl multiplizieren, das Komma ignorieren und im resultierenden Produkt so viele Ziffern auf der rechten Seite trennen, wie nach dem Dezimalpunkt im angegebenen Bruch vorhanden waren.
Um einen Dezimalbruch mit einem anderen zu multiplizieren, müssen Sie die Multiplikation durchführen, die Kommas ignorieren und im resultierenden Ergebnis so viele Ziffern mit einem Komma auf der rechten Seite trennen, wie hinter den Kommas in beiden Faktoren zusammen waren.
Um eine Dezimalzahl mit 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt um 1, 2, 3 usw. Stellen nach rechts verschieben.
Eine Dezimalzahl mit 0,1 multiplizieren; 0,01; B. 0,001 usw., müssen Sie das Komma um 1, 2, 3 usw. Stellen nach links verschieben.

Um einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, müssen Sie den Bruch durch diese Zahl dividieren, da natürliche Zahlen geteilt und durch ein privates Komma gesetzt werden, wenn die Division des ganzzahligen Teils abgeschlossen ist.
Um eine Dezimalzahl durch 10, 100, 1000 usw. zu dividieren, müssen Sie das Komma um 1, 2, 3 usw. Stellen nach links verschieben.

Um eine Zahl durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie die Kommas im Dividenden und Divisor um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie sie hinter dem Dezimalpunkt im Divisor stehen, und dann durch eine natürliche Zahl dividieren.
Eine Dezimalzahl durch 0,1 dividieren; 0,01; B. 0,001 usw., müssen Sie das Komma um 1, 2, 3 usw. Stellen nach rechts verschieben. (Das Teilen einer Dezimalzahl durch 0,1; 0,01; 0,001 usw. ist dasselbe wie das Multiplizieren dieser Dezimalzahl mit 10, 100, 1000 usw.)

Um eine Zahl auf eine bestimmte Ziffer zu runden, unterstreichen wir die Ziffer dieser Ziffer und ersetzen dann alle Ziffern hinter der unterstrichenen Eins durch Nullen. Wenn sie nach dem Dezimalpunkt stehen, verwerfen wir sie. Wenn die erste durch eine Null ersetzte oder verworfene Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist, bleibt die unterstrichene Ziffer unverändert. Wenn die erste durch Null ersetzte oder verworfene Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9 ist, wird die unterstrichene Ziffer um 1 erhöht.

Arithmetisches Mittel mehrerer Zahlen.

Das arithmetische Mittel mehrerer Zahlen ist der Quotient aus der Division der Summe dieser Zahlen durch die Anzahl der Terme.

Der Bereich einer Zahlenreihe.

Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der Datenreihe wird als Bereich der Zahlenreihe bezeichnet.

Zahlenreihenmode.

Die Zahl, die unter den gegebenen Zahlen der Reihe am häufigsten vorkommt, wird Modus der Zahlenreihe genannt.

Ein Hundertstel wird als Prozentsatz bezeichnet. Kaufen Sie ein Buch, in dem Sie lernen, wie man Prozentprobleme löst.
Um Prozentsätze als Bruch oder natürliche Zahl auszudrücken, müssen Sie den Prozentsatz durch 100 % dividieren. (4 %=0,04; 32 %=0,32).
Um eine Zahl als Prozentsatz auszudrücken, müssen Sie sie mit 100 % multiplizieren. (0,65=0,65 100 %=65 %; 1,5=1,5 100 %=150 %).
Um den Prozentsatz einer Zahl zu ermitteln, müssen Sie den Prozentsatz als gewöhnlichen oder dezimalen Bruch ausdrücken und den resultierenden Bruch mit der angegebenen Zahl multiplizieren.
Um eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes zu ermitteln, müssen Sie den Prozentsatz als gewöhnlichen oder dezimalen Bruch ausdrücken und die gegebene Zahl durch diesen Bruch dividieren.
Um den Prozentsatz der ersten Zahl von der zweiten zu ermitteln, müssen Sie die erste Zahl durch die zweite dividieren und das Ergebnis mit 100 % multiplizieren.

Den Quotienten zweier Zahlen nennt man das Verhältnis dieser Zahlen. a:b oder a/b ist das Verhältnis der Zahlen a und b, außerdem ist a der vorherige Term, b der nächste Term.
Wenn die Terme dieser Beziehung neu angeordnet werden, wird die resultierende Beziehung als Umkehrung dieser Beziehung bezeichnet. Die Beziehungen b/a und a/b sind zueinander invers.
Das Verhältnis ändert sich nicht, wenn beide Terme des Verhältnisses mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden.

Die Gleichheit zweier Verhältnisse nennt man Proportion.
a:b=c:d. Das ist Proportion. Lesen: A gilt also für B, Wie C Es bezieht sich auf D. Die Zahlen a und d werden als Extremelemente der Proportion bezeichnet, und die Zahlen b und c sind die Mittelelemente der Proportion.

Das Produkt der extremen Terme einer Proportion ist gleich dem Produkt seiner mittleren Terme. Für Proportionen a:b=c:d oder a/b=c/d Die Haupteigenschaft wird wie folgt geschrieben: a d=b c.
Um den unbekannten Extremwert des Anteils zu ermitteln, müssen Sie das Produkt der Durchschnittswerte des Anteils durch den bekannten Extremwert dividieren.
Um den unbekannten Mittelwert des Anteils zu ermitteln, müssen Sie das Produkt der Extremwerte des Anteils durch den bekannten Mittelwert dividieren. Proportionsaufgaben.

Lassen Sie den Wert j kommt auf die Größe an X. Wenn mit einer Erhöhung X mehrfach so groß bei um den gleichen Faktor erhöht, dann solche Werte X Und bei heißen direkt proportional.

Wenn zwei Größen direkt proportional sind, ist das Verhältnis zweier beliebiger Werte der ersten Größe gleich dem Verhältnis der beiden entsprechenden Werte der zweiten Größe.

Das Verhältnis der Länge des Segments auf der Karte zur Länge der entsprechenden Entfernung am Boden wird als Maßstab der Karte bezeichnet.

Lassen Sie den Wert bei kommt auf die Größe an X. Wenn mit einer Erhöhung X mehrfach so groß bei um den gleichen Faktor abnimmt, dann solche Werte X Und bei heißen umgekehrt proportional.

Sind zwei Größen umgekehrt proportional, dann ist das Verhältnis zweier willkürlich genommener Werte einer Größe gleich dem umgekehrten Verhältnis der entsprechenden Werte der anderen Größe.

Eine Menge ist eine Sammlung einiger Objekte oder Zahlen, die nach allgemeinen Eigenschaften oder Gesetzen zusammengestellt wurden (viele Buchstaben auf einer Seite, viele regelmäßige Brüche mit dem Nenner 5, viele Sterne am Himmel usw.).
Mengen bestehen aus Elementen und sind entweder endlich oder unendlich. Eine Menge, die kein Element enthält, wird leere Menge genannt und mit bezeichnet Oh
Ein Haufen IN heißt eine Teilmenge der Menge A wenn alle Elemente der Menge IN sind Elemente der Menge A.
Kreuzung festlegen A Und IN ist eine Menge, deren Elemente zur Menge gehören A und viele IN.
Vereinigung von Mengen A Und IN ist eine Menge, deren Elemente zu mindestens einer der gegebenen Mengen gehören A Und IN.

Zahlenmengen.

N– Menge natürlicher Zahlen: 1, 2, 3, 4,…
Z– Satz von ganzen Zahlen: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Q ist die Menge der rationalen Zahlen, die als Bruch dargestellt werden können m/n, Wo M- ganz, N– natürlich (-2; 3/5; v9; v25 usw.)

Eine Koordinatenlinie ist eine Gerade, auf der eine positive Richtung, ein Bezugspunkt (Punkt O) und ein Einheitssegment angegeben sind.
Jeder Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht einer bestimmten Zahl, die als Koordinate dieses Punktes bezeichnet wird. Zum Beispiel, A(5). Lesen Sie: Punkt A mit Koordinate fünf. UM 3). Lesen Sie: Punkt B mit der Koordinate minus drei.

Der Modul der Zahl a (aufschreiben |a|) wird als Abstand vom Ursprung zum entsprechenden Punkt bezeichnet angegebene Nummer A. Der Modulwert einer beliebigen Zahl ist nicht negativ. |3|=3; |-3|=3, weil Der Abstand vom Ursprung zur Zahl -3 und zur Zahl 3 beträgt drei Einheitssegmente. |0|=0 .
Per Definition des Moduls einer Zahl: |a|=a, Wenn a?0 Und |a|=-a, Wenn ein b.
Wenn beim Vergleich der Zahlen a und b der Unterschied a-b ist also eine negative Zahl a , dann heißen sie strenge Ungleichungen.
Werden Ungleichungen in Zeichen geschrieben? oder ?, dann heißen sie nichtstrikte Ungleichungen.

Eigenschaften numerischer Ungleichungen.

G) Eine Ungleichung der Form x?a. Antwort:

Die wichtigsten Ideen und Konzepte, die für die Organisation ehrenamtlicher (freiwilliger) Aktivitäten erforderlich sind. 1. Allgemeine Ansätze zur Organisation ehrenamtlicher (Freiwilligen-)Aktivitäten. 1.1. Grundlegende Ideen und Konzepte, die für die Organisation ehrenamtlicher (ehrenamtlicher) Aktivitäten erforderlich sind. 1.2. Gesetzlicher Rahmen für ehrenamtliche […]

Munas Gesetz Manu-Gesetze – eine alte indische Sammlung von Vorschriften über religiöse, moralische und soziale Pflichten (Dharma), auch „Gesetz der Arier“ oder „Ehrenkodex der Arier“ genannt. Manavadharmashastra ist einer der zwanzig Dharmashastras. Hier sind ausgewählte Fragmente (übersetzt von Georgy Fedorovich […]

„Management und Optimierung eines produzierenden Unternehmens“ ZUSAMMENFASSUNG Die Grundkonzepte der Geschäftsetikette werden vermittelt. Es zeigt sich, dass derzeit bei der Integration inländischer Unternehmen und Organisationen in das Wirtschaftsleben verschiedener Regionen der Erde den Regeln der Geschäftskommunikation besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden muss. Tests werden durchgeführt […]

Um die Division natürlicher Zahlen zu vereinfachen, wurden die Regeln für die Division durch die Zahlen der ersten Zehn und die Zahlen 11, 25 abgeleitet, die in einem Abschnitt zusammengefasst werden Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen. Nachfolgend finden Sie die Regeln, nach denen die Analyse einer Zahl ohne Division durch eine andere natürliche Zahl die Frage beantwortet: Ist eine natürliche Zahl ein Vielfaches der Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 und? eine kleine Einheit?

Natürliche Zahlen, deren erste Ziffer die Ziffern (Endung) 2,4,6,8,0 hat, werden gerade genannt.

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 2

Alle geraden natürlichen Zahlen sind durch 2 teilbar, zum Beispiel: 172, 94,67 838, 1670.

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 3

Alle natürlichen Zahlen sind durch 3 teilbar, deren Ziffernsumme ein Vielfaches von 3 ist. Beispiel:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 4

Alle natürlichen Zahlen sind durch 4 teilbar, deren letzte beiden Ziffern Nullen oder ein Vielfaches von 4 sind. Beispiel:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 5

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 6

Diejenigen natürlichen Zahlen, die gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar sind, sind durch 6 teilbar (alle gerade Zahlen, die durch 3 teilbar sind). Zum Beispiel: 126 (b – gerade, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 9

Diese natürlichen Zahlen sind durch 9 teilbar, deren Ziffernsumme ein Vielfaches von 9 ist. Beispiel:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 10

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 11

Nur solche natürlichen Zahlen sind durch 11 teilbar, bei denen die Summe der Ziffern an geraden Stellen gleich der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen oder der Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen ist ist ein Vielfaches von 11. Zum Beispiel:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 und 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 und 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch 25

Diese natürlichen Zahlen sind durch 25 teilbar, deren letzte beiden Ziffern Nullen oder ein Vielfaches von 25 sind. Beispiel:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen durch eine Biteinheit

Diese natürlichen Zahlen werden in eine Biteinheit unterteilt, bei der die Anzahl der Nullen größer oder gleich der Anzahl der Nullen der Biteinheit ist. Beispiel: 12.000 ist durch 10, 100 und 1000 teilbar.

08.10.2021

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