Творческая работа "признаки делимости". Старт в науке Какое число делится на 10 и 12
ЧИСТЕНСКИЙ УВК «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
I – III СТУПЕНЕЙ – ГИМНАЗИЯ»
НАПРАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИКА
«ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ»
Работу выполнил
ученик 7а класса
Журавлев Давид
Научный руководитель
специалист высшей категории
Федоренко Ирина Витальевна
Чистенькое, 2013
Оглавление
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Делимость чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Признаки делимости на 8 и на 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Упрощение признака делимости на 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Признак делимости на 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Простые признаки делимости на простые числа. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Признаки делимости на 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Признаки делимости на 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Признаки делимости на 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Признаки делимости на 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Старое и новое о делимости на 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Распространение признака делимости на 7 на другие числа. . . . . . 12
6. Обобщенный признак делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Курьез делимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ВВЕДЕНИЕ
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа
В математике много разделов и один из них – делимость чисел.
Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления, которыми изобилует решение математических задач. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. В некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время.
К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число. Некоторые из них более легкие - эти признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10 изучаются в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический. Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.
Цель работы: расширить представления о свойствах чисел, связанных с делимостью;
Задачи:
Познакомиться с различными признаками делимости чисел;
Систематизировать их;
Сформировать навыки применения вводимых правил, алгоритмов для установления делимости чисел.
Делимость чисел
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.
Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Пример 1.1
32 делится на 4, 16 делится на 4, значит, сумма 32 + 16 делится на 4.
Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность делится на это число.
Пример 1.2
777 делится на 7, 49 делится на 7, значит разность 777 – 49 делится на 7.
Делимость произведения на число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Пример 1.3
15 делится на 3, значит произведение 15∙17∙23 делится на 3.
Делимость числа на произведение. Если число делится на произведение, то оно делится на каждый из множителей этого произведения.
Пример 1.4
90 делится на 30, 30 = 2∙3∙5, значит 30 делится и на 2, и на 3, и на 5.
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Он сформулировал следующий признак делимости, который носит его имя:
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.
1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9
В школе мы изучаем признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Признак делимости на 10. На 10 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0.
Признак делимости на 5. На 5 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или 5.
Признак делимости на 2. На 2 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается четной цифрой: 2,4,6,8 или 0.
Признак делимости на 3 и 9. На 3 и 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится соответственно на 3 или на 9.
По записи числа (по его последним цифрам) можно так же установить делимость числа на 4, 25, 50, 8 и 125.
1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50
На 4, на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4, на 25 или на 50.
Пример 1.2.1
Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится и на 4, и на 25, и на 50.
Пример 1.2.2
Число 81764 делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами 64 делится на 4.
Пример 1.2.3
Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.
1.3 Признаки делимости на 8 и на 125
На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.
Пример 1.3.1
Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8, и на 125.
Пример 1.3.2
Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.
Пример 1.3.3
Число 179 250 делится на 125, так как число, образованное тремя последними цифрами 250 делится на 125.
1.4 Упрощение признака делимости на 8
Вопрос о делимости некоторого числа сводится к вопросу о делимости на 8 некоторого трехзначного числа, но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трехзначное число на 8. Делимость трехзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8? Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трехзначного числа на 8.
На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.
Пример 1.4.1
Делится ли число 592 на 8?
Решение.
Отделяем от числа 592 единицы и половину их числа прибавляем к числу из следующих двух цифр (десятков и сотен).
Получаем: 59 + 1 = 60.
Число 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8.
Ответ: делится.
1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д.
Используя свойство делимости числа на произведение, из вышеперечисленных признаков делимости получаем признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24 и т. д.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 3.
Пример 1.5.1
Число 31 242 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 12. На 12 делятся те, и только те числа, которые делятся на 4 и на 3.
Пример 1.5.2
Число 316 224 делится на 12, так как оно делится и на 4 и на 3.
Признак делимости на 15. На 15 делятся те, и только те числа, которые делятся на 3 и на 5.
Пример 1.5.3
Число 812 445 делится на 15, так как оно делится и на 3 и на 5.
Признак делимости на 18. На 18 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.
Пример 1.5.4
Число 817 254 делится на 18, так как оно делится и на 2 и на 9.
Признак делимости на 45. На 45 делятся те, и только те числа, которые делятся на 5 и на 9.
Пример 1.5.5
Число 231 705 делится на 45, так как оно делится и на 5 и на 9.
Существует ещё один признак делимости чисел на 6.
1.6 Признак делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
Число сотен умножить на 2,
Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Пример 1.6.1
Делится ли число 138 на 6?
Решение.
Число сотен 1·2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.
Простые признаки делимости на простые числа
Число называется простым, если оно имеет только два делителя (единицу и само число).
2.1 Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
Число, стоящее до десятков умножить на два,
К результату прибавить оставшееся число.
Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет.
Пример 2.1.1
Делится ли число 4 690 на 7?
Решение.
Число, стоящее до десятков 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
2.2 Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Пример 2.2.1
Делится ли число 100397 на 11?
Решение.
Сумма цифр, стоящих на четных местах: 1+0+9=10.
Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 0+3+7=10.
Разность сумм: 10 – 10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
2.3 Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
Пример 2.3.1
Число 858 делится на 13, так как 85 - 9∙8 = 85 – 72 = 13 делится на 13.
2.4 Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Пример 2.4.1
Определить, делится ли на 19 число 1026.
Решение.
В числе 1026 102 десятка и 6 единиц. 102 + 2∙6 = 114;
Аналогично 11 + 2∙4 = 19.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13
В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно:7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Значит, число 1001 делится и на 7, и на 11, и на 13.
Если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза: abc –трехзначное число; abc ∙1001 = abcabc .
Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13.
Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11, или на 13 к делимости на них некоторого другого числа - не более чем трехзначного.
Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.
Пример 3.1
Определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13.
Решение.
Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:
623 - (295 + 42) = 286.
Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.
Старое и новое о делимости на 7
Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его песни и поговорки:
Семь раз примерь, один раз отрежь.
Семь бед, один ответ.
Семь пятниц на неделе.
Один с сошкой, а семеро с ложкой.
У семи нянек дитя без глазу.
Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) вы уже знаете. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.
Первый признак делимости на 7 поясним на примере.
Возьмем число 5236. Запишем это число следующим образом:
5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6
и всюду основание 10 заменим основанием 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168
Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.
Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7.
Видоизменение первого признака делимости на 7. Умножьте первую слева цифру испытуемого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. Для упрощения после каждого действия разрешается из результата вычитать 7 или число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Для выбранного ранее числа 5 236:
5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 – 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 6 = 7 – делится на 7, значит, 5 236 делится на 7.
Преимущество этого правила в том, что оно легко применяется в уме.
Второй признак делимости на 7. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3, а на 5.
Пример 4.1
Делится ли на 7 число 37 184?
Решение.
4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6 + 8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1= 1; 1∙5 = 5; прибавление цифры 7 можно пропустить, так как из полученного результата вычитается цифра 7; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 – делится на 7, значит, число 37 184 делится на 7.
Третий признак делимости на 7. Этот признак менее легок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.
Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.
Пример 4.2
Делится ли на 7 число 889?
Решение.
9∙2 = 18; 18 – 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 или
9∙2 = 18; (18 – 7 = 11) 11 – 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 – делится на 7, значит, число 889 делится на 7.
И ещё признаки делимости на 7. Если какое-либо двузначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, увеличенное на цифру десятков данного числа.
Пример 4.3
14 делится на 7, следовательно, делится на 7 и число 41 + 1.
35 делится на 7, следовательно, на 7 делится число 53 + 3.
Если какое-либо трехзначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа.
Пример 4.4
Число 126 делится на 7. Следовательно, на 7делится число 621 - (6 - 1), то есть 616.
Пример 4.5
Число 693 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и число 396 - (3 - 6), то есть 399.
Распространение признака делимости на 7 на другие числа
Изложенные три признака делимости чисел на 7 можно применять при определении делимости числа на 13, 17 и 19.
Для определения делимости данного числа на 13, 17 или 19 надо умножить крайнюю левую цифру испытуемого числа соответственно на 3, 7 или 9 и вычесть следующую цифру; результат опять умножить соответственно на 3, 7 или 9 и прибавить следующую цифру и т. д., чередуя вычитания и прибавления последующих цифр после каждого умножения. После каждого действия результат можно уменьшить или увеличить соответственно на число 13, 17, 19 или кратное ему.
Если окончательный результат делится (не делится) на 13, 17 и 19, то делится (не делится) и данное число.
Пример 5.1
Делится ли число 2 075 427 на 19?
Решение.
2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);
2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 – 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 – делится на 19, значит, 2 075 427 делится на 19.
Обобщенный признак делимости
Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители р числа d = 10n + 1, где n = 1, 2, 3,4, … (при больших значениях n теряется практический смысл признака).
101
101
1001
7, 11, 13
10001
73, 137
2)сложить грани через одну, начиная с крайней правой;
3) сложить остальные грани;
4)из большей суммы вычесть меньшую.
Если результат делится на р, то и данное число делится на р.
Так, для определения делимости числа на 11 (р =11) рассекаем число на грани по одной цифре (п = 1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11.
При определении делимости числа на 7, 11 или 13 (р = 7, 11, 13) отсекаем по 3 цифры (n = 3). При определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (n = 4).
Пример 6.1
Выяснить делимость пятнадцатизначного числа 837 362 172 504 831 на 73 и на 137 (р = 73, 137, n = 4).
Решение.
Разбиваем число на грани: 837 3621 7250 4831.
Складываем грани через одну: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.
Вычитаем из большей суммы меньшую: 8452-8087 = 365.
365 делится на 73, но не делится на 137; значит, данное число делится на 73, но не делится на 137.
Второй группой «счастливых» делителей являются псе целые множители р числа d = 10n -1, где n = 1, 3, 5, 7,…
Число d = 10n -1 дает следующие делители:
n
d
p
1
9
3
3
999
37
5
99 999
41, 271
Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2) все грани сложить.
Если полученный результат делится (не делится) на р, то делится (не делится) и данное число.
Заметим, что 999 = 9∙111, значит, 111 делится на 37, но тогда и числа 222, 333, 444, 555, 666, 777 и 888 делятся на 37.
Аналогично: 11 111 делится на 41 и на 271.
Курьез делимости
В заключение хочется представить четыре изумительных десятизначных числа:
2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.
В каждом из них есть все цифры от 0до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.
Выводы
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25, 50, 125 и другие числа, причем признаки делимости на одно и то же число могут быть различными, а значит всегда есть место творчеству.
Работа имеет теоретический характер и практическое применение . Данное исследование будет полезным при подготовке к олимпиадам и конкурсам.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.
Литература
1. Н. Н. Воробьев «Признаки делимости» Москва «Наука» 1988
2. К. И. Щевцов, Г. П. Бевз «Справочник по элементарной математике» Киев «Наукова думка» 1965
3. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике» Москва «Наука» 1986
4. Интернет ресурсы
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялся исследовательской работой на данную тему.
Цель исследования: изучение признаков делимости натуральных чисел до 100, дополнение уже известных признаков делимости натуральных чисел нацело, изучаемых в школе.
Для достижения цели были поставлены задачи:
Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.
Найти универсальный признак делимости на любое натуральное число.
Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также попытаться сформулировать признаки делимости на любое натуральное число.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.
Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; опрос; анкетирование; систематизация и обобщение материала.
Гипотеза исследования: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел.
Практическая значимость : материал данной исследовательской работы можно использовать в 6 - 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».
Глава I. Определение и свойства делимости чисел
1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.
Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел - натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка.
Свойства делимости:
Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.
Нуль делится на любое b, не равное нулю.
Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.
Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.
1.2. Свойства делимости суммы и произведения:
Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.
2) Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число.
3) Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число.
4) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
5) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.
Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомился с понятием «цифровой кореньчисла» . Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»
Глава II. Признаки делимости натуральных чисел.
2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:
Делимость на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная.
Делимость на 3 . Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)
Делимость на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).
Делимость на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).
Делимость на 10 . Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).
2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.
Поработав с различными источниками, я узнал другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.
Деление на 6 . Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)
Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.
Деление на 4 и на 25. Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4 или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к. оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).
Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:
Признак делимости на 11 . Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11 (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).
Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.
т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.
Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13.
Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.
Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.
т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.
Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.
т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.
Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.
т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.
Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.
Признак делимости на 30 .
Признак делимости на 59 . Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.
Признак делимости на 79 . Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.
Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.
Признак делимости на 100 . На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули.
Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.
Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение 1)
2.3 Признаки делимости на 7.
1) Возьмем для испы-тания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 3 3 *5 + З 2 *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 68:7=24, 5236:7=748.
2) В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)
3) Этот признак ме-нее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый резуль-тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.
4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375.
5) Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить. Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма де-лится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.
6) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.
2.4.Признак Паскаля.
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623-1662), французский математик и физик. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел". Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в , то и число а делится на в ». Знать его полезно даже в наши дни. Как же доказать сформулированные выше признаки делимости (например, знакомый нам признак делимости на 7)? Постараюсь ответить на этот вопрос. Но прежде условимся о способе записи чисел. Чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.:
abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Теперь докажу сформулированный выше признак делимости на 7. Мы имеем:
10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1
1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1
(остатки от деления на 7).
В результате, мы получаем сформулированное выше 5-е правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.
Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:
-1 2 3 1
4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)
-1 2 3 1
4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (делится нацело на 7)
Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа А. Для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны 1 и - 1. А при т =7 коэффициенты получились сложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления до 100, я убедился, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 10 23 коэффициенты повторяются), 43 (с 10 39 коэффициенты повторяются).
Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
1группа - когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.
2 группа - когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).
3 группа - когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.
4 группа - когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.
Экспериментальная часть
Опрос
Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 7-х классов. В опросе приняли участие 58 обучающихся МОБУ Караидельская СОШ № 1 МР Караидельский район РБ. Им было предложено ответить на следующие вопросы:
Как вы думаете, существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?
Есть ли признаки делимости для других натуральных чисел?
Хотели бы вы узнать эти признаки делимости?
Известны ли вам какие-либо признаки делимости натуральных чисел?
Результаты проведенного опроса показали, что 77% опрошенных считают, что существуют и другие признаки делимости кроме тех, которые изучаются в школе; Так не считают - 9%, затруднились ответить - 13% опрашиваемых. На второй вопрос «Хотели бы вы узнать признаки делимости для других натуральных чисел?» утвердительно ответили 33%, дали ответ «Нет» - 17% респондентов и затруднились ответить - 50%. На третий вопрос 100% опрашиваемых ответили утвердительно. На четвертый вопрос положительно ответили 89%, ответили «Нет» - 11% обучающихся, участвовавших в опросе в ходе проведения исследовательской работы.
Заключение
Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи:
изучен теоретический материал по данному вопросу;
кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнал, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.;
3) изучен признак Паскаля - универсальный признак делимости на любое натуральное число;
Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме, я убедился в том, что существуют признаки делимости и на другие натуральные числа. Например, на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, что и подтвердило правильность выдвинутой мной гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Также я выяснил, что существует универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик паскаль Блез и опубликовал его в своем трактате «О характере делимости чисел». С помощью этого алгоритма, можно получить признак делимости на любое натуральное число.
Результатом исследовательской работы стал систематизированный материал в виде таблицы «Признаки делимости чисел», который можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, при подготовке обучающихся к ОГЭ и ЕГЭ.
В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.
Список использованных источников
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.
Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - Элиста.: Джангар, 1995. - 416 с.
Гарднер М. Математические досуги. / Под. Ред. Я.А.Смородинского. - М.: Оникс, 1995. - 496 с.
Гельфман Э.Г., Бек Е.Ф. и др. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6 класса. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. - 176с.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990. — 416 с.
Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение, 1984. - 289с.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.
Куланин Е.Д.Математика. Справочник. -М.: ЭКСМО-Пресс,1999-224с.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.
Тарасов Б.Н. Паскаль. -М.:Мол. Гвардия,1982.-334с.
http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).
http://www.bymath.net (энциклопедия).
Приложение 1
ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ
|
Признак |
Пример |
|
|
Число заканчивается на чётную цифру. |
………………2(4,6,8,0) |
|
|
Сумма цифр делится на 3. |
3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3 |
|
|
Число из двух последних его цифр нули или делится на 4. |
………………12 |
|
|
Число заканчивается на цифру 5 или 0. |
………………0(5) |
|
|
Число заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3. |
375018: 8-четное число 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3 |
|
|
Результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. |
36 — (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
|
Три его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 8. |
……………..064 |
|
|
Сумма его цифр числа делится на 9. |
3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9 |
|
|
Число оканчивается на ноль |
………………..0 |
|
|
Сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11. |
1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 |
|
|
Две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр делится на 3. |
2+1+6=9, 9:3 и 16:4 |
|
|
Число десятков данного числа, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13. |
84 + (4 × 5) = 104, |
|
|
Число заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. |
364: 4 - четное число 36 — (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
|
Число 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3. |
6+3+4+8+0=21, 21:3 |
|
|
Четыре его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 16. |
…………..0032 |
|
|
Число десятков данного числа, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. |
29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17 |
|
|
Число заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9. |
2034: 4 - четное число |
|
|
Число десятков данного числа, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 |
64 + (6 × 2) = 76, |
|
|
Число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная |
…………………40 |
|
|
Число, состоящее из двух последних цифр делится на 25 |
…………….75 |
|
|
Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3. |
……………..360 |
|
|
Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. |
Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59. |
|
|
Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.. |
Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79 |
|
|
Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). |
Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99. |
|
|
на 125 |
Число, состоящее из трех последних цифр делится на 125 |
……………375 |
Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3 . В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3 , и приведены примеры применения этого признака при выяснении, какие из данных целых чисел делятся на 3 , а какие – нет. Дальше дано доказательство признака делимости на 3 . Также рассмотрены подходы к установлению делимости на 3 чисел, заданных как значение некоторого выражения.
Навигация по странице.
Признак делимости на 3, примеры
Начнем с формулировки признака делимости на 3 : целое число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3 , если же сумма цифр данного числа не делится на 3 , то и само число не делится на 3 .
Из приведенной формулировки понятно, что признаком делимости на 3 не удастся воспользоваться без умения выполнять сложение натуральных чисел. Также для успешного применения признака делимости на 3 нужно знать, что из всех однозначных натуральных чисел на 3 делятся числа 3 , 6 и 9 , а числа 1 , 2 , 4 , 5 , 7 и 8 – не делятся на 3 .
Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 3 . Выясним, делится ли на 3 число?42 . Для этого вычисляем сумму цифр числа?42 , она равна 4+2=6 . Так как 6 делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 можно утверждать, что и число?42 делится на 3 . А вот целое положительное число 71 на 3 не делится, так как сумма его цифр равна 7+1=8 , а 8 не делится на 3 .
А делится ли на 3 число 0 ? Чтобы ответить на этот вопрос, признак делимости на 3 не понадобится, здесь нужно вспомнить соответствующее свойство делимости, которое утверждает, что нуль делится на любое целое число. Таким образом, 0 делится на 3 .
В некоторых случаях чтобы показать, что данное число обладает или не обладает способностью делиться на 3 , к признаку делимости на 3 приходится обращаться несколько раз подряд. Приведем пример.
Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .
Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3 , вычислим его сумму цифр: 3+9=12 . А чтобы узнать, делится ли 12 на 3 , находим сумму цифр числа 12 , имеем 1+2=3 . Так как мы получили число 3 , которое делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3 . Следовательно, 39 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 12 , а 12 делится на 3 . Наконец, 907 333 812 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 39 , а 39 делится на 3 .
Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.
Делится ли на 3 число?543 205 ?
Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19 . В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10 , а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1 . Так как мы получили число 1 , которое не делится на 3 , из признака делимости на 3 следует, что 10 не делится на 3 . Поэтому 19 не делится на 3 , так как сумма его цифр равна 10 , а 10 не делится на 3 . Следовательно, исходное число?543 205 не делится на 3 , так как сумма его цифр, равная 19 , не делится на 3 .
Стоит заметить, что непосредственное деление данного числа на 3 также позволяет сделать вывод о том, делится ли данное число на 3 нацело, или нет. Этим мы хотим сказать, что не нужно пренебрегать делением в пользу признака делимости на 3 . В последнем примере, разделив столбиком 543 205 на 3 , мы бы убедились, что 543 205 не делится нацело на 3 , откуда можно было бы сказать, что и?543 205 не делится на 3 .
Доказательство признака делимости на 3
Доказать признак делимости на 3 нам поможет следующее представление числа a . Любое натуральное число a мы можем разложить по разрядам, после чего правило умножения на 10, 100, 1 000 и так далее позволяет получить представление вида a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 , где a n , a n?1 , …, a 0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a . Для наглядности приведем пример такого представления: 528=500+20+8=5·100+2·10+8 .
Теперь запишем ряд достаточно очевидных равенств: 10=9+1=3·3+1 , 100=99+1=33·3+1 , 1 000=999+1=333·3+1 и так далее.
Подставив в равенство a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 вместо 10 , 100 , 1 000 и так далее выражения 3·3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 и так далее, получим
.
Свойства сложения натуральных чисел и свойства умножения натуральных чисел позволяют полученное равенство переписать так:
Выражение 
есть сумма цифр числа a . Обозначим ее для краткости и удобства буквой А, то есть, примем . Тогда получим представление числа a вида, которым и воспользуемся при доказательстве признака делимости на 3 .
Также для доказательства признака делимости на 3 нам потребуются следующие свойства делимости:
- чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
- если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .
Теперь мы полностью подготовлены и можем провести доказательство признака делимости на 3 , для удобства этот признак сформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 3 .
Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 .
Для a=0 теорема очевидна.
Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление, где — сумма цифр числа a .
Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то — целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a 0 , a 1 , …, a n .
Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, А делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.
Если a делится на 3 , то и делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.
Другие случаи делимости на 3
Иногда целые числа задаются не в явном виде, а как значение некоторого выражения с переменной при данном значении переменной. Например, значение выражения при некотором натуральном n является натуральным числом. Понятно, что при таком задании чисел для установления их делимости на 3 не поможет непосредственное деление на 3 , да и признак делимости на 3 удастся применить далеко не всегда. Сейчас мы рассмотрим несколько подходов к решению подобных задач.
Суть этих подходов заключается в представлении исходного выражения в виде произведения нескольких множителей, и если хотя бы один из множителей будет делиться на 3 , то в силу соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости на 3 всего произведения.
Иногда реализовать такой подход позволяет бином Ньютона. Рассмотрим решение примера.
Делится ли значение выражения на 3 при любом натуральном n ?
Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона: 
В последнем выражении мы можем вынести 3 за скобки, при этом получим. Полученное произведение делится на 3 , так как содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n .
Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет метод математической индукции. Разберем его применение при решении примера.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 3 .
Для доказательства применим метод математической индукции.
При n=1 значение выражения равно , а 6 делится на 3 .
Предположим, что значение выражения делится на 3 при n=k , то есть, делится на 3 .
Учитывая, что делится на 3 , покажем, что значение выражения при n=k+1 делится на 3 , то есть, покажем, что 
делится на 3 .
Проведем некоторые преобразования: 
Выражение делится на 3 и выражение 
делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .
Так методом математической индукции доказана делимость на 3 при любом натуральном n .
Покажем еще один подход к доказательству делимости на 3 . Если показать, что при n=3·m , n=3·m+1 и n=3·m+2 , где m – произвольное целое число, значение некоторого выражения (с переменной n) делится на 3 , то это будет доказывать делимость выражения на 3 при любом целом n . Рассмотрим этот подход при решении предыдущего примера.
Покажите, что делится на 3 при любом натуральном n .
При n=3·m имеем. Полученное произведение делится на 3 , так как содержит множитель 3 , делящийся на 3 .
Полученное произведение тоже делится на 3 .
И это произведение делится на 3 .
Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n .
В заключение приведем решение еще одного примера.
Делится ли на 3 значение выражения 
при некотором натуральном n .
При n=1 имеем. Сумма цифр полученного числа равна 3 , поэтому признак делимости на 3 позволяет утверждать, что это число делится на 3 .
При n=2 имеем. Сумма цифр и этого числа равна 3 , поэтому оно делится на 3 .
Понятно, что при любом другом натуральном n мы будем иметь числа, сумма цифр которых равна 3 , следовательно, эти числа делятся на 3 .
Таким образом, при любом натуральном n делится на 3 .
www.cleverstudents.ru
Математика, 6 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014
Математика, 6 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014.
Теоретический материал в учебнике изложен таким образом, чтобы преподаватель смог применять проблемный подход в обучении. С помощью системы обозначений выделяются упражнения четырёх уровней сложности. В каждом параграфе сформулированы контрольные задания исходя из того, что должны знать и уметь учащиеся для достижения ими уровня стандарта математического образования. В конце учебника даны домашние контрольные работы и ответы. Цветные иллюстрации (рисунки и схемы) обеспечивают высокий уровень наглядности учебного материала.
Соответствует требованиям ФГОС ООО.
Задачи.
4. Начертите треугольник ABC и отметьте точку О вне его (как на рисунке 11). Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки О.
5. Начертите треугольник KMN и постройте фигуру, симметричную этому треугольнику относительно:
а) его вершины - точки М;
б) точки О - середины стороны MN.
6. Постройте фигуру, симметричную:
а) лучу ОМ относительно точки О; запишите, какая точка симметрична точке О;
б) лучу ОМ относительно произвольной точки А, не принадлежащей этому лучу;
в) прямой АВ относительно точки О, не принадлежащей этой прямой;
г) прямой АВ относительно точки О, принадлежащей этой прямой; запишите, какая точка симметрична точке О.
В каждом случае охарактеризуйте взаимное расположение центрально-симметричных фигур.
Оглавление
Глава I. Положительные и отрицательные числа. Координаты
§ 1. Поворот и центральная симметрия
§ 2. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая
§ 3. Модуль числа. Противоположные числа
§ 4. Сравнение чисел
§ 5. Параллельность прямых
§ 6. Числовые выражения, содержащие знаки « + », «-»
§ 7. Алгебраическая сумма и её свойства
§ 8. Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел
§ 9. Расстояние между точками координатной прямой
§ 10. Осевая симметрия
§ 11. Числовые промежутки
§ 12. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
§ 13. Координаты
§ 14. Координатная плоскость
§ 15. Умножение и деление обыкновенных дробей
§ 16. Правило умножения для комбинаторных задач
Глава II. Преобразование буквенных выражений
§ 17. Раскрытие скобок
§ 18. Упрощение выражений
§ 19. Решение уравнений
§ 20. Решение задач на составление уравнений
§ 21. Две основные задачи на дроби
§ 22. Окружность. Длина окружности
§ 23. Круг. Площадь круга
§ 24. Шар. Сфера
Глава III. Делимость натуральных чисел
§ 25. Делители и кратные
§ 26. Делимость произведения
§ 27. Делимость суммы и разности чисел
§ 28. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4 и 25
§ 29. Признаки делимости на 3 и 9
§ 30. Простые числа. Разложение числа на простые множители
§ 31. Наибольший общий делитель
§ 32. Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратное
Глава IV. Математика вокруг нас
§ 33. Отношение двух чисел
§ 34. Диаграммы
§ 35. Пропорциональность величин
§ 36. Решение задач с помощью пропорций
§ 37. Разные задачи
§ 38. Первое знакомство с понятием «вероятность»
§ 39. Первое знакомство с подсчётом вероятности
Домашние контрольные работы
Темы для проектной деятельности
Ответы
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате и читать:
Математика
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 1-6 КЛАССОВ.
Уважаемые родители!
Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:
1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;
2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.
3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!
Напишите мне по адресу: или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся. Цены доступные.
P.S. Возможны занятия в группах по 2-4 учащихся.
С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко - автор этого сайта.
Дорогие друзья!
Я рада предложить вам скачать бесплатно справочные материалы по математике для 5 класса. Скачать здесь!
Дорогие друзья!
Не секрет, что некоторые дети испытывают трудности при умножении и делении в столбик. Чаще всего это связано с недостаточным знанием таблицы умножения. Предлагаю подучить таблицу умножения с помощью лото. Подробнее смотрите здесь. Скачать лото здесь.
Дорогие друзья! Скоро вы столкнетесь (или уже столкнулись) с необходимостью решать задачи на проценты . Такие задачи начинают решать в 5 классе и заканчивают. а вот и не заканчивают решать задачи на проценты! Эти задачи встречаются и на контрольных, и на экзаменах: как переводных, так и ОГЭ и ЕГЭ. Что же делать? Нужно учиться решать такие задачи. В этом вам поможет моя книга «Как решать задачи на проценты». Подробности здесь!
Сложение чисел.
- a+b=c , где a и b–слагаемые, c–сумма.
- Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Вычитание чисел.
- a-b=c , где a–уменьшаемое, b–вычитаемое, c-разность.
- Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
- Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Умножение чисел.
- a·b=c , где a и b-сомножители, c-произведение.
- Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Деление чисел.
- a:b=c , где a-делимое, b-делитель, c-частное.
- Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.
- Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Законы сложения.
- a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
- (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
Таблица сложения.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Законы умножения.
- a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
- (a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
- (a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
- (а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
Таблица умножения .
2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.
2·2=4; 3·2=6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.
2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.
2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.
2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.
2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.
2·7=14; 3·7=21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7·7=49; 8·7=56; 9·7=63.
2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.
2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.
2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.
Делители и кратные.
- Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-делители числа 24, т. к. 24 делится на каждое из них без остатка) 1-делитель любого натурального числа. Наибольший делитель любого числа – само это число.
- Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b . (Числа 24, 48, 72,…-кратны числу 24, так как делятся на 24 без остатка). Наименьшее кратное любого числа - само это число.
Признаки делимости натуральных чисел.
- Числа, употребляемые при счете предметов (1, 2, 3, 4,…) называют натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначают буквой N .
- Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными цифрами. Числа, запись которых оканчивается четными цифрами, называют четными числами.
- Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечетными цифрами. Числа, запись которых оканчивается нечетными цифрами, называются нечетными числами.
- Признак делимости на число 2 . Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.
- Признак делимости на число 5 . Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.
- Признак делимости на число 10 . Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.
- Признак делимости на число 3 . Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
- Признак делимости на число 9 . Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
- Признак делимости на число 4 . Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.
- Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.
- Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
- Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
- Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
- Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
- Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
- Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
- Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.
- Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
- Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
- Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.
b -знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;
a -числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.
Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b .
- У правильной дроби числитель меньше знаменателя.
- У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
- Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
- Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.
- Луч Ох с началом отсчета в точке О , на котором указаны единичный отрезо к и направление , называют координатным лучом .
- Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3) . Читают: точка А с координатой 3.
- Наименьшим общим знаменателем (НОЗ ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК ) знаменателей этих дробей.
- Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
- Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Действия над обыкновенными дробями.
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
- Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
- Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
- Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
- При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.
- Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей данных дробей.
- Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.
- Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.
- При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
- Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
- Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
- При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
- Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
- Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.
- Десятичной дробью называют число, записанное в десятичной системе и имеющее разряды меньше единицы. (3,25; 0,1457 и т. д.)
- Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками.
- Десятичная дробь не изменится, если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нули.
Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество десятичных знаков; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых дробях.
Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей, нужно: 1) уравнять количество десятичных знаков в уменьшаемом и вычитаемом; 2) подписать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, и в полученном результате поставить запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.
- Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в данной дроби.
- Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.
- Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
- Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
- Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число, как делят натуральные числа и поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.
- Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.
- Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
- Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)
Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.
Среднее арифметическое нескольких чисел.
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Размах ряда чисел.
Разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных называется размахом ряда чисел.
Мода ряда чисел .
Число, встречающееся с наибольшей частотой среди данных чисел ряда, называется модой ряда чисел.
- Процентом называется одна сотая часть. Приобрести книгу, которая учит, «Как решать задачи на проценты».
- Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
- Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
- Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
- Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.
- Частное двух чисел называют отношением этих чисел. a:b или a/b – отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член.
- Если члены данного отношения переставить местами, то получившееся отношение называют обратным для данного отношения. Отношения b/a и a/b – взаимно обратные.
- Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
- Равенство двух отношений называют пропорцией.
- a:b=c:d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
- Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c.
- Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
- Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член. Задачи на пропорцию.
Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.
Пусть величина у зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у уменьшается во столько же раз, то такие величины х и у называются обратно пропорциональными.
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
- Множество представляет собой совокупность некоторых предметов или чисел, составленных по каким-либо общим свойствам или законам (множество букв на странице, множество правильных дробей со знаменателем 5, множество звезд на небе и т.д.).
- Множества состоят из элементов и бывают конечными или бесконечными. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают O.
- Множество В называют подмножеством множества А , если все элементы множества В являются элементами множества А.
- Пересечением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В .
- Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств А и В .
Множества чисел.
- N – множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4,…
- Z – множество целых чисел: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q – множество рациональных чисел, представимых в виде дроби m/n , где m – целое, n – натуральное (-2; 3/5; v9; v25 и т.д.)
- Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.
- Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5 ). Читают: точка А с координатой пять. В(-3) . Читают: точка В с координатой минус три.
- Модулем числа а (записывают |a| ) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а . Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3 и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. |0|=0 .
- По определению модуля числа: |a|=a , если a?0 и |a|=-a , если а b .
- Если при сравнении чисел a и b разность a-b – отрицательное число, то a , то их называют строгими неравенствами.
- Если неравенства записывают знаками? или?, то их называют нестрогими неравенствами.
Свойства числовых неравенств.
г) 
Неравенство вида x?a. Ответ:
Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?
Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.
Признак делимости чисел на 2
На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.
Признак делимости чисел на 3
На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Признак делимости чисел на 4
На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Признак делимости чисел на 5
Признак делимости чисел на 6
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Признак делимости чисел на 9
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Признак делимости чисел на 10
Признак делимости чисел на 11
На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Признак делимости чисел на 25
На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Признак делимости чисел на разрядную единицу
На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.
