Găsiți baza sistemului numeric. Conversia numerelor în sisteme de numere binare, hexazecimale, zecimale, octale
Notaţie este o metodă de scriere a unui număr folosind un set specificat de caractere speciale (numere).
Notaţie:
- oferă o reprezentare a unui set de numere (întregi și/sau reale);
- dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);
- afișează structura algebrică și aritmetică a unui număr.
Scrierea unui număr într-un sistem de numere este numită codul numeric.
Este apelată o singură poziție în afișarea unui număr deversare, deci numărul poziției este număr de rang.
Se numește numărul de cifre dintr-un număr adâncimea de bițiși se potrivește cu lungimea sa.
Sistemele numerice sunt împărțite în poziționalȘi nepozițională. Sistemele numerice poziționale sunt împărțite
pe omogenȘi amestecat.
sistem de numere octale, sistem de numere hexazecimale și alte sisteme de numere.
Traducerea sistemelor numerice. Numerele pot fi convertite dintr-un sistem numeric în altul.
Tabelul de corespondență al numerelor în diverse sisteme de numere.
Atribuirea serviciului. Serviciul este conceput pentru a traduce numerele dintr-un sistem de numere în altul online. Pentru a face acest lucru, selectați baza sistemului din care doriți să traduceți numărul. Puteți introduce atât numere întregi, cât și numere cu virgulă.Puteți introduce fie numere întregi, cum ar fi 34, fie numere fracționale, cum ar fi 637,333. Pentru numerele fracționale, este indicată acuratețea translației după virgulă zecimală.
Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:
Modalități de a reprezenta numere
Binar numere (binare) - fiecare cifră înseamnă valoarea unui bit (0 sau 1), bitul cel mai semnificativ este întotdeauna scris în stânga, litera „b” este plasată după număr. Pentru ușurința percepției, caietele pot fi separate prin spații. De exemplu, 1010 0101b.hexazecimal numere (hexazecimale) - fiecare tetradă este reprezentată de un caracter 0...9, A, B, ..., F. O astfel de reprezentare poate fi notată în diferite moduri, aici doar caracterul „h” este folosit după ultimul cifră hexazecimală. De exemplu, A5h. În textele programelor, același număr poate fi notat atât ca 0xA5, cât și 0A5h, în funcție de sintaxa limbajului de programare. Un zero nesemnificativ (0) este adăugat la stânga celei mai semnificative cifre hexazecimale reprezentate de o literă pentru a face distincția între numere și nume simbolice.
zecimale numere (zecimale) - fiecare octet (cuvânt, cuvânt dublu) este reprezentat de un număr obișnuit, iar semnul reprezentării zecimale (litera „d”) este de obicei omis. Octetul din exemplele anterioare are o valoare zecimală de 165. Spre deosebire de notația binară și hexazecimală, zecimalul este dificil de determinat mental valoarea fiecărui bit, ceea ce uneori trebuie făcut.
Octal numere (octale) - fiecare triplu de biți (separarea începe de la cei mai puțin semnificativi) se scrie ca un număr 0-7, la sfârșit se pune semnul „o”. Același număr ar fi scris ca 245o. Sistemul octal este incomod prin faptul că octetul nu poate fi împărțit în mod egal.
Algoritm pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Conversia numerelor zecimale întregi în orice alt sistem de numere se realizează prin împărțirea numărului la baza noului sistem de numere până când restul lasă un număr mai mic decât baza noului sistem de numere. Noul număr este scris ca restul diviziunii, începând cu ultimul.Conversia fracției zecimale corecte într-un alt PSS se realizează prin înmulțirea numai a părții fracționale a numărului cu baza noului sistem numeric până când toate zerourile rămân în partea fracțională sau până când este atinsă precizia de translație specificată. În urma fiecărei operații de înmulțire, se formează o cifră a noului număr, începând cu cea mai mare.
Translația unei fracții improprie se efectuează conform regulilor 1 și 2. Părțile întregi și fracționale sunt scrise împreună, separate prin virgulă.
Exemplul #1. 
Traducere de la 2 la 8 la 16 sistem numeric.
Aceste sisteme sunt multipli de doi, prin urmare, traducerea se realizează folosind tabelul de corespondență (vezi mai jos).
Pentru a converti un număr dintr-un sistem de numere binar într-un număr octal (hexazecimal), este necesar să împărțiți numărul binar în grupuri de trei (patru pentru hexazecimal) cifre dintr-o virgulă la dreapta și la stânga, completând grupurile extreme cu zerouri daca este necesar. Fiecare grup este înlocuit cu cifra octală sau hexazecimală corespunzătoare.
Exemplul #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
aici 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Când convertiți în hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în părți, câte patru cifre, urmând aceleași reguli.
Exemplul #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
aici 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Conversia numerelor de la 2, 8 și 16 în sistemul zecimal se realizează prin împărțirea numărului în unele separate și înmulțirea acestuia cu baza sistemului (din care este tradus numărul) ridicată la puterea corespunzătoare numărului său ordinal. în numărul tradus. În acest caz, numerele sunt numerotate la stânga virgulei (primul număr are numărul 0) cu creștere, iar în partea dreapta coborând (adică din semn negativ). Rezultatele obţinute se adună.
Exemplul #4.
Exemplu de conversie din sistem de numere binar în zecimal.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Exemplu de conversie din sistem de numere octal în zecimal. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemplu de conversie din sistemul numeric hexazecimal în zecimal. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Încă o dată, repetăm algoritmul de traducere a numerelor dintr-un sistem numeric în altul PSS
- Din sistemul numeric zecimal:
- împărțiți numărul la baza sistemului numeric care este tradus;
- găsiți restul după împărțirea părții întregi a numărului;
- notează toate resturile din împărțire în ordine inversă;
- Din sistemul binar
- Pentru a converti la sistemul numeric zecimal, trebuie să găsiți suma produselor bazei 2 după gradul de descărcare corespunzător;
- Pentru a converti un număr în octal, trebuie să împărțiți numărul în triade.
De exemplu, 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Pentru a converti un număr din binar în hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în grupuri de 4 cifre.
De exemplu, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Tabelul corespondenței sistemelor de numere:
| SS binar | SS hexazecimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabel pentru conversia în sistemul de numere octale
Exemplul #2. Convertiți numărul 100,12 din zecimal în octal și invers. Explicați motivele discrepanțelor.
Soluţie.
Etapa 1. .
Restul diviziunii este scris în ordine inversă. Obținem numărul în al 8-lea sistem numeric: 144
100 = 144 8
Pentru a traduce partea fracțională a unui număr, înmulțim succesiv partea fracțională cu baza 8. Drept urmare, de fiecare dată notăm partea întreagă a produsului.
0,12*8 = 0,96 (întreaga parte 0
)
0,96*8 = 7,68 (întreaga parte 7
)
0,68*8 = 5,44 (întreaga parte 5
)
0,44*8 = 3,52 (întreaga parte 3
)
Primim numărul în al 8-lea sistem numeric: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Etapa 2. Conversia unui număr din zecimal în octal.
Conversie inversă de la octal la zecimal.
Pentru a traduce partea întreagă, este necesar să înmulțiți cifra numărului cu gradul corespunzător al cifrei.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Pentru a traduce partea fracțională, este necesar să împărțiți cifra numărului la gradul corespunzător al cifrei
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Diferența de 0,0001 (100,12 - 100,1199) se datorează unei erori de rotunjire la conversia în octal. Această eroare poate fi redusă dacă luăm un număr mai mare de cifre (de exemplu, nu 4, ci 8).
Înainte de a începe să rezolvăm probleme, trebuie să înțelegem câteva puncte simple.
Luați în considerare numărul zecimal 875. Ultima cifră a numărului (5) este restul împărțirii numărului 875 cu 10. Ultimele două cifre formează numărul 75 - acesta este restul împărțirii numărului 875 cu 100. . Afirmații similare sunt adevărate pentru orice sistem numeric:
Ultima cifră a unui număr este restul împărțirii acelui număr la baza sistemului numeric.
Ultimele două cifre ale unui număr sunt restul împărțirii numărului la baza sistemului numeric la pătrat.
De exemplu, . Împărțim 23 la baza sistemului 3, obținem 7 și 2 în rest (2 este ultima cifră a numărului din sistemul ternar). Împărțim 23 la 9 (baza pătrat), obținem 18 și 5 în rest (5 = ).
Să revenim la sistemul zecimal obișnuit. Număr = 100000. 10 la puterea lui k este unu și k zerouri.
O afirmație similară este adevărată pentru orice sistem numeric:
Baza sistemului numeric la puterea lui k în acest sistem numeric este scrisă ca unitate și k zerouri.
De exemplu, .
1. Căutați baza sistemului numeric
Exemplul 1
Într-un sistem numeric cu o anumită bază, numărul zecimal 27 este scris ca 30. Specificați această bază.
Soluţie:
Notați baza necesară x. Apoi .i.e. x=9.
Exemplul 2
Într-un sistem numeric cu o anumită bază, numărul zecimal 13 este scris ca 111. Specificați această bază.
Soluţie:
Notați baza necesară x. Apoi
Rezolvăm ecuația pătratică, obținem rădăcinile 3 și -4. Deoarece baza sistemului numeric nu poate fi negativă, răspunsul este 3.
Raspuns: 3
Exemplul 3
Indicați, separate prin virgule, în ordine crescătoare, toate bazele sistemelor numerice în care introducerea numărului 29 se termină cu 5.
Soluţie:
Dacă într-un anumit sistem numărul 29 se termină cu 5, atunci numărul redus cu 5 (29-5=24) se termină cu 0. Am spus deja că numărul se termină cu 0 atunci când este divizibil fără rest la baza sistemului. . Acestea. trebuie să găsim toate astfel de numere care sunt divizori ai numărului 24. Aceste numere sunt: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Rețineți că în sistemele numerice cu baza 2, 3, 4 nu există niciun număr. 5 (și în problema formulării, numărul 29 se termină în 5), deci există sisteme cu baze: 6, 8, 12,
Răspuns: 6, 8, 12, 24
Exemplul 4
Indicați, separate prin virgule, în ordine crescătoare, toate bazele sistemelor numerice în care introducerea numărului 71 se termină cu 13.
Soluţie:
Dacă într-un anumit sistem numărul se termină cu 13, atunci baza acestui sistem este cel puțin 4 (altfel nu există un număr 3).
Un număr redus cu 3 (71-3=68) se termină în 10. Adică 68 este complet divizibil cu baza necesară a sistemului, iar câtul acestuia, atunci când este împărțit la baza sistemului, dă un rest de 0.
Să scriem toți divizorii întregi ai numărului 68: 2, 4, 17, 34, 68.
2 nu este potrivit, pentru că baza nu este mai mică de 4. Verificați restul divizorilor:
68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (restul 1) - potrivit
68:17 = 4; 4:17 = 0 (repaus 4) - nu este potrivit
68:34 = 2; 2:17 = 0 (repaus 2) - nu este potrivit
68:68 = 1; 1:68 = 0 (repaus 1) - potrivit
Răspuns: 4, 68
2. Căutați numere după condiții
Exemplul 5
Indicați, separate prin virgulă, în ordine crescătoare, toate numerele zecimale care nu depășesc 25, a căror notare în sistemul numeric de bază patru se termină cu 11?
Soluţie:
Mai întâi, să aflăm cum arată numărul 25 într-un sistem numeric cu baza 4.
Acestea. trebuie să găsim toate numerele, nu mai mari decât , a căror notație se termină cu 11. După regula numărării secvențiale într-un sistem cu baza 4,
obținem numere și . Le transpunem în sistemul numeric zecimal:
Răspuns: 5, 21
3. Rezolvarea ecuațiilor
Exemplul 6
Rezolvați ecuația:
Notați răspunsul în sistem ternar (nu este necesar să scrieți baza sistemului numeric din răspuns).
Soluţie:
Să convertim toate numerele în sistemul numeric zecimal:
Ecuația pătratică are rădăcinile -8 și 6. (deoarece baza sistemului nu poate fi negativă). .
Raspuns: 20
4. Numărarea numărului de unu (zero) în notația binară a valorii expresiei
Pentru a rezolva acest tip de problemă, trebuie să ne amintim cum funcționează adunarea și scăderea „într-o coloană”:
La adunare are loc însumarea pe biți a cifrelor scrise una sub alta, pornind de la cifrele cele mai puțin semnificative. Dacă suma rezultată a două cifre este mai mare sau egală cu baza sistemului numeric, restul împărțirii acestei sume la baza sistemului este scris sub cifrele însumate, iar partea întreagă a împărțirii acestei sume la baza al sistemului se adaugă la suma următoarelor cifre.
La scăderea are loc o scădere bit cu bit a cifrelor scrise una sub alta, pornind de la cifrele cele mai puțin semnificative. Dacă prima cifră este mai mică decât a doua, „împrumutăm” una din cifra adiacentă (mai mare). Unitatea ocupată în cifra curentă este egală cu baza sistemului numeric. În zecimal este 10, în binar este 2, în ternar este 3 și așa mai departe.
Exemplul 7
Câte unități sunt conținute în notația binară a valorii expresiei: ?
Soluţie:
Să reprezentăm toate numerele expresiei ca puteri a doi:
În notație binară, doi la puterea lui n arată ca 1 urmat de n zerouri. Apoi însumând și , obținem un număr care conține 2 unități:
Acum scădem din numărul rezultat 10000. Conform regulilor de scădere, împrumutăm din următoarea cifră.
Acum adăugați 1 la numărul rezultat:
Vedem că rezultatul are 2013+1+1=2015 unități.
Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 de litere latine, până la urmă). Numerele nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți intrarea”.
numărul original înregistrate în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -al-lea sistem de numere.
Vreau să obțin o înregistrare a unui număr în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.
Obțineți o intrare
Traduceri finalizate: 3722471
De asemenea, poate fi de interes:
- Calculator tabel de adevăr. SDNF. SKNF. polinomul Zhegalkin
Sisteme numerice
Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalȘi nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional și există și cel roman - pur și simplu nu este pozițional. ÎN sisteme poziționale Poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles privind exemplul unui număr.
Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:
Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.
Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. O numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:
Numărul 1234.567 se poate scrie astfel: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -1 + 6 +7 10 -3 .
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Cel mai într-un mod simplu transferul unui număr dintr-un sistem numeric în altul este traducerea numărului mai întâi în sistemul numeric zecimal și apoi, rezultatul obținut în sistemul numeric necesar.
Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistem numeric zecimal
Pentru a converti un număr din orice sistem de numere în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând de la zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:
1.
Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric
Pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie traduse separat.
Conversia părții întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric
Partea întreagă este translată din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric prin împărțirea succesivă a părții întregi a numărului la baza sistemului numeric până când se obține un rest întreg, mai mic decât baza sistemului numeric. Rezultatul transferului va fi o înregistrare din rămășițe, începând cu ultimul.
3.
Convertiți numărul 273 10 în sistem de numere octale.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1, 34 / 8 = 4 și restul 2, 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din rămășițe va arăta astfel: 421
Examinare: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultatul este același. Deci traducerea este corecta.
Răspuns: 273 10 = 421 8
Să luăm în considerare translația fracțiilor zecimale corecte în diferite sisteme numerice.
Conversia părții fracționale a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric
Amintiți-vă că o fracție zecimală adecvată este număr real cu parte întreagă zero. Pentru a traduce un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți în mod constant numărul cu N până când partea fracțională este adusă la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă în timpul înmulțirii se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.
4.
Convertiți numărul 0,125 10 în sistem de numere binar.
Soluţie: 0,125 2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va fi prima cifră a rezultatului), 0,25 2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5 2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului , iar din moment ce partea fracțională este zero, translația este completă).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2
