Caracteristicile sistemului de numere octale. Tutorial ilustrat despre grafica digitală

Introducere

Omul modern V Viata de zi cu zi confruntat permanent cu numere: ne amintim numerele de autobuze si telefoane, din magazin

calculați costul achizițiilor, păstrați-vă bugetul familieiîn ruble și copeici (sutimi de rublă) etc. Cifre, numere. Sunt cu noi peste tot.

Conceptul de număr - concept fundamental atât matematică, cât și informatică. Astăzi, la sfârșitul secolului al XX-lea, omenirea folosește în principal sistemul numeric zecimal pentru a scrie numere. Ce este un sistem numeric?

Sistemul de numere este un mod de a scrie (imagini) numere.

Diferitele sisteme de numere care existau înainte și sunt utilizate în prezent sunt împărțite în două grupe: pozițional și nepozițional. Cele mai perfecte sunt sistemele numerice poziționale, adică. sisteme de scriere a numerelor, în care contribuția fiecărei cifre la valoarea numărului depinde de poziția (poziția) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul. De exemplu, sistemul nostru zecimal obișnuit este pozițional: în numărul 34, numărul 3 indică numărul de zeci și „contribuie” la valoarea numărului 30, iar în numărul 304 același număr 3 indică numărul de sute și „contribuie” la valoarea numărului 300.

Sistemele numerice în care fiecărei cifre îi corespunde o valoare care nu depinde de locul ei în notația numărului sunt numite nepoziționale.

Sistemele numerice poziționale sunt rezultatul unei lungi dezvoltări istorice a sistemelor numerice nepoziționale.

1.Istoria sistemelor numerice

• Sistem de numere de unitate

Necesitatea înregistrării numerelor a apărut în vremuri foarte străvechi, de îndată ce oamenii au început să numere. Numărul de obiecte, precum oile, era reprezentat prin trasarea unor linii sau serifi pe o suprafață solidă: piatră, lut, lemn (înainte de inventarea hârtiei, era încă foarte, foarte departe). Fiecare oaie dintr-o astfel de înregistrare corespundea unui rând. Arheologii au găsit astfel de „înregistrări” în timpul săpăturilor din straturile culturale aparținând perioadei paleolitice (10 - 11 mii de ani î.Hr.).

Oamenii de știință au numit acest mod de scriere a numerelor sistem numeric unitar („stick”). În ea, se folosea un singur tip de semn pentru a scrie numere - „bățul”. Fiecare număr dintr-un astfel de sistem de numere a fost desemnat folosind un șir format din bețe, al cărui număr era egal cu numărul desemnat.

Inconvenientele unui astfel de sistem de scriere a numerelor și limitările aplicării lui sunt evidente: cu cât numărul de scris este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. Da, chiar și la înregistrare. un numar mare este ușor să greșești aplicând un număr suplimentar de bețișoare sau, dimpotrivă, neadăugându-le.

Se poate sugera că, pentru a facilita numărarea, oamenii au început să grupeze obiectele în 3, 5, 10 bucăți. Și la înregistrare, au folosit semne corespunzătoare unui grup de mai multe obiecte. În mod firesc, degetele erau folosite la numărare, astfel că primele semne au apărut pentru a indica un grup de obiecte de 5 și 10 bucăți (unități). Astfel, au apărut sisteme mai convenabile pentru notarea numerelor.

• Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic

În sistemul de numere egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr., numerele speciale au fost folosite pentru a desemna numerele 1, 10, 10. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Numerele din sistemul numeric egiptean au fost scrise ca combinații ale acestor cifre, în care fiecare dintre ele a fost repetată de cel mult nouă ori.

Exemplu. Vechii egipteni au scris numărul 345 astfel:

Figura 1 Scrierea unui număr în sistemul de numere egiptean antic

Desemnarea numerelor în sistemul de numere egiptean antic non-pozițional:

Figura 2 Unitatea

Figura 3 Zeci

Figura 4 Sute

Figura 5 Mii

Figura 6 Zeci de mii

Figura 7 Sute de mii

Atât bățul, cât și sistemul numeric egiptean antic s-au bazat pe principiul simplu al adunării, conform căruiavaloarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor implicate în înregistrarea acestuia. Oamenii de știință atribuie sistemul de numere egiptean antic zecimal non-pozițional.

• Sistem de numere babilonian (hexazecimal).

Numerele din acest sistem numeric erau compuse din semne de două tipuri: o pană dreaptă (Figura 8) a servit pentru a desemna unități, o pană înclinată (Figura 9) pentru a desemna zeci.

Figura 8 Pană dreaptă

Figura 9 Pană înclinată

Astfel, numărul 32 a fost scris astfel:

Figura 10 Înregistrarea numărului 32 în sistemul numeric sexagesimal babilonian

Numărul 60 a fost din nou notat cu același semn (Figura 8) ca 1. Același semn a indicat numerele 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 iar toate celelalte grade sunt 60. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sexagesimal.

Pentru a determina valoarea unui număr, a fost necesar să se împartă imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. Alternarea grupurilor de caractere identice („numerele”) corespundea alternanței cifrelor:

Figura 11 Digitalizarea unui număr

Valoarea numărului a fost determinată de valorile „cifrelor” sale constitutive, dar ținând cont de faptul că „cifrele” din fiecare cifră ulterioară însemnau de 60 de ori mai mult decât aceleași „cifre” din cifra anterioară.

Babilonienii au scris toate numerele de la 1 la 59 într-un sistem zecimal non-pozițional, iar numărul ca întreg - într-un sistem pozițional cu baza 60.

Înregistrarea numărului în rândul babilonienilor era ambiguă, deoarece nu exista un „număr” care să desemneze zero. Introducerea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92 = 60 + 32, ci și 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 etc. Pentru determinarevaloarea absolută a unui numărau fost necesare informații suplimentare. Ulterior, babilonienii au introdus un simbol special (Figura 12) pentru a indica cifra sexagesimală lipsă, care corespunde apariției numărului 0 în intrarea numărului din sistemul zecimal cunoscut nouă. Dar la sfârșitul numărului, acest simbol nu era de obicei pus, adică acest simbol nu era zero în înțelegerea noastră.

Figura 12 Simbol pentru o cifră sexagesimală lipsă

Astfel, numărul 3632 trebuia acum scris astfel:

Figura 13 Scrierea numărului 3632

Babilonienii nu au memorat niciodată tabla înmulțirii, deoarece era aproape imposibil. La calcul, au folosit tabele de înmulțire gata făcute.

Sistemul sixagesimal babilonian este primul sistem numeric cunoscut de noi, bazat pe principiul pozițional. Sistemul babilonian a jucat un rol important în dezvoltarea matematicii și a astronomiei, urme ale cărora au supraviețuit până în zilele noastre. Deci, încă împărțim o oră în 60 de minute și un minut în 60 de secunde. La fel, urmând exemplul babilonienilor, împărțim cercul în 360 de părți (grade).

• Sistemul numeric roman

Un exemplu de sistem numeric non-pozițional care a supraviețuit până în zilele noastre este sistemul numeric folosit în urmă cu mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma antică.

Sistemul numeric roman se bazează pe semnele I (un deget) pentru numărul 1, V (mâna deschisă) pentru numărul 5, X (două mâini încrucișate) pentru 10, precum și semnele speciale pentru numerele 50, 100, 500 și 1000.

Notația pentru ultimele patru numere s-a schimbat semnificativ de-a lungul timpului. Oamenii de știință sugerează că inițial semnul pentru numărul 100 avea forma unui mănunchi de trei liniuțe precum litera rusă Zh, iar pentru numărul 50 forma jumătății superioare a acestei litere, care s-a transformat ulterior în semnul L:

Figura 14 Transformarea numărului 100

Pentru a desemna numerele 100, 500 și 1000, au început să fie folosite primele litere ale cuvintelor latine corespunzătoare (Centum o sută, Demimille jumătate de mie, Mille o mie).

Pentru a scrie un număr, romanii foloseau nu numai adunarea, ci și scăderea numerelor cheie. În acest caz, s-a aplicat următoarea regulă.

Valoarea fiecărui semn mai mic plasat în stânga celui mai mare se scade din valoarea semnului mai mare.

De exemplu, notația IX reprezintă numărul 9, iar notația XI pentru numărul 11. Numărul zecimal 28 este reprezentat după cum urmează:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Numărul zecimal 99 are următoarea reprezentare:

Figura 15 Numărul 99

Faptul că, atunci când se scriu numere noi, numerele cheie nu pot fi doar adăugate, ci și scazute, are un dezavantaj semnificativ.Înregistrarea în cifre romane privează numărul de unicitate a reprezentării. Într-adevăr, în conformitate cu regula de mai sus, numărul 1995 poate fi scris, de exemplu, în următoarele moduri:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) și așa mai departe.

Încă nu există reguli uniforme pentru scrierea numerelor romane, dar există propuneri de adoptare a unui standard internațional pentru acestea.

În zilele noastre, oricare dintre cifrele romane se propune să fie scris într-un număr de cel mult trei ori la rând. Pe baza acestuia, a fost construit un tabel, care este convenabil de utilizat pentru a indica numerele în cifre romane:

Unități	Zeci	sute	mii
	10 X	100C	1000M
2II	20XX	200CC	2000 mm
3III	30XXX	300CC	3000 mm
4IV	40XL	400 CD-uri
	50L	500D
6VI	60LX	600 DC
7 VII	70LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9IX	90XC	900CM

Tabelul 1 Tabelul cifrelor romane

Numerele romane au fost folosite de foarte mult timp. Chiar și acum 200 de ani, în documentele de afaceri, numerele ar fi trebuit să fie indicate cu cifre romane (se credea că cifrele arabe obișnuite sunt ușor de falsificat).

În prezent, sistemul numeric roman nu este utilizat, cu unele excepții:

• Denumirile secolelor (secolul al XV-lea etc.), ani d.Hr e. (MCMLXXVII etc.) și luni când se specifică datele (de exemplu, 1.V.1975).
• Notarea numerelor ordinale.
• Notația pentru derivate de ordine mici, mai mari de trei: yIV, yV etc.
• Desemnarea valenței elementelor chimice.
  • Sistem de numere slav

Această numerotare a fost creată împreună cu sistemul alfabetic slav pentru corespondență. cărți sacre pentru slavi de către călugării greci frații Chiril (Konstantin) și Metodie în secolul al IX-lea. Această formă de scriere a numerelor a fost utilizată pe scară largă datorită faptului că avea o asemănare completă cu notația greacă a numerelor.

Unități		Zeci		sute

Tabelul 2 Sistemul numeric slav

Dacă te uiți cu atenție, vei vedea că după „a” vine litera „c”, și nu „b” așa cum ar trebui să fie conform alfabetului slav, adică doar literele care sunt în alfabet grecesc. Până în secolul al XVII-lea, această formă de scriere a numerelor era oficială pe teritoriu Rusia modernă, Belarus, Ucraina, Bulgaria, Ungaria, Serbia și Croația. Până acum, această numerotare este folosită în cărțile bisericești ortodoxe.

• Sistemul numeric mayaș

Acest sistem a fost folosit pentru calculele calendaristice. În viața de zi cu zi, mayașii au folosit un sistem non-pozițional similar cu cel egiptean antic. Cifrele Maya înseși dau o idee despre acest sistem, care poate fi interpretat ca o înregistrare a primelor 19 numere naturale din sistemul de numere non-poziționale quinary. Un principiu similar al cifrelor compuse este folosit în sistemul numeric sexagesimal babilonian.

Cifrele Maya constau din zero (semnul cochiliei) și 19 cifre compuse. Aceste numere au fost construite din semnul unu (punct) și semnul lui cinci (linie orizontală). De exemplu, cifra pentru numărul 19 a fost scris ca patru puncte într-un rând orizontal deasupra a trei linii orizontale.

Figura 16 Sistemul numeric mayaș

Numerele peste 19 au fost scrise conform principiului pozițional de jos în sus în puteri de 20. De exemplu:

32 a fost scris ca (1)(12) = 1×20 + 12

429 ca (1)(1)(9) = 1x400 + 1x20 + 9

4805 ca (12)(0)(5) = 12x400 + 0x20 + 5

Imaginile zeităților au fost uneori folosite și pentru a scrie numerele de la 1 la 19. Astfel de figuri au fost folosite extrem de rar, păstrate doar pe câteva stele monumentale.

Sistemul de numere poziționale necesită utilizarea zero pentru a indica cifrele goale. Prima întâlnire cu zero care a ajuns până la noi (pe stela 2 din Chiapa de Corso, Chiapas) este datată 36 î.Hr. e. Primul sistem de numere poziționale din Eurasia, creat în Babilonul antic în 2000 î.Hr. e., inițial nu avea zero, iar ulterior semnul zero a fost folosit doar în cifrele intermediare ale numărului, ceea ce a dus la notarea ambiguă a numerelor. Sistemele de numere non-poziționale ale popoarelor antice, de regulă, nu aveau zero.

În „numărătoarea lungă” a calendarului mayaș s-a folosit o variantă a sistemului de numere cu 20 de zecimale, în care a doua cifră putea conține doar numerele de la 0 la 17, după care se adaugă una la a treia cifră. Astfel, unitatea din a treia categorie nu însemna 400, ci 18 × 20 = 360, ceea ce se apropie de numărul de zile dintr-un an solar.

• Istoria numerelor arabe

Aceasta este cea mai comună numerotare astăzi. Numele „Arab” pentru ea nu este pe deplin corect, pentru că, deși au adus-o în Europa din țările arabe, nici ea nu era originară acolo. Adevăratul loc de naștere al acestei numerotări este India.

În diferite părți ale Indiei, existau diverse sisteme de numerotare, dar la un moment dat unul dintre ele s-a remarcat printre ele. În ea, numerele arătau ca literele inițiale ale numerelor corespunzătoare din vechea limbă indiană - sanscrită, folosind alfabetul Devanagari.

Inițial, aceste semne reprezentau numerele 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; cu ajutorul lor s-au notat alte numere. Dar mai târziu a fost introdus un semn special - un punct îndrăzneț, sau un cerc, pentru a indica o descărcare goală; iar numerotarea „Devanagari” a devenit sistemul zecimal local. Cum și când a avut loc această tranziție este încă necunoscut. Până la mijlocul secolului al VIII-lea, sistemul de numerotare pozițională a fost utilizat pe scară largă. În același timp, pătrunde în țările vecine: Indochina, China, Tibet, Asia Centrală.

Un rol decisiv în răspândirea numerotării indiene în țările arabe l-a jucat manualul întocmit la începutul secolului al IX-lea de Muhammad Al Khorezmi. A fost tradus în Europa de Vest pe limba latinăîn secolul al XII-lea. În secolul al XIII-lea, numerotarea indiană preia controlul în Italia. În alte țări, se extinde la secolul al XVI-lea. Europenii, după ce au împrumutat numerotarea de la arabi, au numit-o „arabă”. Acest nume incorect din punct de vedere istoric este păstrat până în prezent.

Din arabic se împrumută și cuvântul „figură” (în arabă „syfr”), adică literalmente „loc gol” (traducere a cuvântului sanscrit „sunya”, care are același sens). Acest cuvânt a fost folosit pentru a denumi semnul unei descărcări goale și a păstrat acest sens până în secolul al XVIII-lea, deși termenul latin „zero” (nullum - nimic) a apărut în secolul al XV-lea.

Forma numerelor indiene a suferit multe modificări. Forma pe care o folosim acum a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

• Istoria lui Zero

Zero este diferit. În primul rând, zero este o cifră care este folosită pentru a indica un bit gol; în al doilea rând, zero este un număr neobișnuit, deoarece este imposibil de împărțit la zero, iar atunci când este înmulțit cu zero, orice număr devine zero; în al treilea rând, este nevoie de zero pentru scădere și adunare, în caz contrar, cât va fi dacă 5 se scade din 5?

Zero a apărut pentru prima dată în vechiul sistem de numere babilonian, a fost folosit pentru a desemna cifrele lipsă în numere, dar numere precum 1 și 60 au fost scrise în același mod, deoarece nu puneau zero la sfârșitul numărului. În sistemul lor, zero a servit ca spațiu în text.

Marele astronom grec Ptolemeu poate fi considerat inventatorul formei zero, deoarece în textele sale semnul spațiului este înlocuit cu litera greacă omicron, care amintește foarte mult de semnul zero modern. Dar Ptolemeu folosește zero în același sens ca și babilonienii.

Pe o inscripție de perete din India în secolul al IX-lea d.Hr. prima dată când apare un caracter nul la sfârșitul unui număr. Aceasta este prima notație general acceptată pentru semnul zero modern. Matematicienii indieni au inventat zero în toate cele trei sensuri ale sale. De exemplu, matematicianul indian Brahmagupta din secolul al VII-lea d.Hr. a început în mod activ să folosească numere negative și operații cu zero. Dar el a susținut că un număr împărțit la zero este zero, ceea ce este cu siguranță o greșeală, dar o adevărată îndrăzneală matematică, care a dus la o altă descoperire remarcabilă a matematicienilor indieni. Și în secolul al XII-lea, un alt matematician indian Bhaskara face o altă încercare de a înțelege ce se va întâmpla atunci când este împărțit la zero. El scrie: "O cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero. Această fracție se numește infinit".

Leonardo Fibonacci, în Liber abaci (1202), numește semnul 0 în arabă zephirum. Cuvântul zephirum este cuvântul arab as-sifr, care provine din cuvântul indian sunya, adică gol, care era numele de zero. De la cuvântul zephirum provine cuvântul francez zero (zero) și cuvântul italian zero. Pe de altă parte, cuvântul rusesc digit provine din cuvântul arab as-sifr. Până la mijlocul secolului al XVII-lea, acest cuvânt a fost folosit în mod specific pentru a desemna zero. Cuvântul latin nullus (niciunul) a intrat în uz pentru zero în secolul al XVI-lea.

Zero este semn unic. Zero este un concept pur abstract, una dintre cele mai mari realizări ale omului. Nu există în natura din jurul nostru. Puteți face fără zero în numărătoarea mentală, dar este imposibil să faceți fără pentru înregistrarea precisă a numerelor. În plus, zero este în contrast cu toate celelalte numere și simbolizează o lume fără sfârșit. Și dacă „totul este număr”, atunci nimic este totul!

• Dezavantajele sistemului numeric non-pozițional

Sistemele numerice non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:

1. Există o nevoie constantă de a introduce caractere noi pentru a scrie numere mari.

2. Este imposibil de reprezentat numere fracționare și negative.

3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru implementarea lor. În special, toate popoarele, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare cu abac, ceva asemănător contului nostru.

Dar încă folosim elemente ale unui sistem de numere non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.

2. Sistem de numere binar.

Există doar două cifre în acest sistem - 0 și 1. Numărul 2 și puterile sale joacă un rol special aici: 2, 4, 8 etc. Cifra cea mai din dreapta a numărului arată numărul de unități, următoarea cifră arată numărul de doi, următoarea arată numărul de patru și așa mai departe. Sistemul de numere binare vă permite să codificați orice numar natural- reprezentați-o ca o succesiune de zerouri și unu. În formă binară, puteți reprezenta nu numai numere, ci și orice alte informații: texte, imagini, filme și înregistrări audio. Codarea binară atrage inginerii deoarece este ușor de implementat din punct de vedere tehnic. Cele mai simple din punct de vedere al implementării tehnice sunt elementele cu două poziții, de exemplu, un releu electromagnetic, un comutator cu tranzistor.

• Istoria sistemului de numere binar

Inginerii și matematicienii au pus natura binară on-off a elementelor tehnologiei informatice la baza căutării.

Luați, de exemplu, un dispozitiv electronic cu doi poli - o diodă. Poate fi doar în două stări: fie conduce curentul electric - „deschis”, fie nu îl conduce - „blocat”. Și declanșatorul? Are și două stări stabile. Elementele de memorie funcționează pe același principiu.

Atunci de ce să nu folosiți sistemul de numere binar? La urma urmei, are doar două cifre: 0 și 1. Și acest lucru este convenabil pentru a lucra la o mașină electronică. Și mașinile noi au început să numere folosind 0 și 1.

Să nu credeți că sistemul binar este un contemporan al mașinilor electronice. Nu, e mult mai în vârstă. Oamenii sunt interesați de calculul binar de mult timp. Îl îndrăgeau în mod deosebit de la sfârșitul secolului al XVI-lea până începutul XIX secol.

Leibniz a considerat sistemul binar ca fiind simplu, convenabil și frumos. El a spus că „calculul cu ajutorul doi... este fundamental pentru știință și generează noi descoperiri... Când numerele sunt reduse la cele mai simple principii, care sunt 0 și 1, o ordine minunată apare peste tot”.

La cererea omului de știință în onoarea „sistemului diadic” - așa cum era numit atunci sistemul binar - o medalie a fost eliminată. Înfățișa un tabel cu numere și cele mai simple acțiuni cu acestea. De-a lungul marginii medaliei era o panglică cu inscripția: „Pentru a scoate totul din nesemnificație, este suficient una”.

Formula 1 Cantitatea de informații în biți

• Conversia de la sistemul de numere binar la zecimal

Sarcina de a converti numerele din binar în zecimal apare cel mai adesea atunci când valorile calculate sau procesate de computer sunt convertite înapoi în cifre zecimale care sunt mai ușor de înțeles pentru utilizator. Algoritmul pentru conversia numerelor binare în zecimale este destul de simplu (uneori este numit algoritm de substituție):

Pentru a converti un număr binar în zecimal, este necesar să se reprezinte acest număr ca suma produselor gradelor bazei sistemului numeric binar și cifrele corespunzătoare din cifrele numărului binar.

De exemplu, doriți să convertiți numărul binar 10110110 în zecimal. Acest număr are 8 cifre și 8 cifre (cifrele sunt numărate începând de la zero, care corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula deja cunoscută nouă, o reprezentăm ca o sumă de puteri cu baza 2:

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0 2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

În electronică, se numește un dispozitiv care efectuează o conversie similară decodor (decodor, decodor englezesc).

Decodor acesta este un circuit care convertește codul binar furnizat intrărilor într-un semnal la una dintre ieșiri, adică decodorul decodifică numărul în cod binar, reprezentându-l ca o unitate logică la ieșire, al cărei număr corespunde cu numărul zecimal.

• Conversia din sistem de numere binar în hexazecimal

Fiecare bit al unui număr hexazecimal conține 4 biți de informații.

Astfel, pentru a converti un întreg binar în hexazecimal, acesta trebuie împărțit în grupuri de patru cifre (tetrade), începând din dreapta, iar dacă ultimul grup din stânga conține mai puțin de patru cifre, completați-l cu zerouri în stânga. Pentru a converti un număr binar fracționar (fracție proprie) în hexazecimal, trebuie să-l împărțiți în tetrade de la stânga la dreapta, iar dacă ultimul grup din dreapta conține mai puțin de patru cifre, atunci trebuie să îl completați cu zerouri în dreapta.

Apoi, trebuie să convertiți fiecare grup într-o cifră hexazecimală, folosind un tabel de corespondență compilat anterior de tetrade binare și cifre hexazecimale.

Shestnad- teric număr

Binar tetradă

Tabelul 3 Tabelul cifrelor hexazecimale și al tetradelor binare

• Conversia din sistem de numere binar în octal

Convertirea unui număr binar într-un sistem octal este destul de simplă, pentru aceasta aveți nevoie de:

1. Împărțiți un număr binar în triade (grupuri de 3 cifre binare), începând cu cifrele cele mai puțin semnificative. Dacă există mai puțin de trei cifre în ultima triada (cele mai semnificative cifre), atunci o vom completa la trei cu zerouri în stânga.
   1. Sub fiecare triadă a unui număr binar, notați cifra corespunzătoare a numărului octal din următorul tabel.

Octal număr
triadă binară

Tabelul 4 Tabelul numerelor octale și triadelor binare

3. Sistem de numere octale

Sistemul de numere octale este un sistem de numere pozițional cu baza 8. Pentru a scrie numere în sistemul octal, sunt folosite 8 cifre de la zero la șapte (0,1,2,3,4,5,6,7).

Aplicație: sistemul octal, împreună cu binar și hexazecimal, este folosit în electronica digitală și tehnologia computerelor, dar este rar folosit astăzi (folosit anterior în programarea la nivel scăzut, înlocuit de hexazecimal).

Utilizarea pe scară largă a sistemului octal în calculul electronic se explică prin faptul că se caracterizează printr-o conversie ușoară în binar și invers folosind un tabel simplu în care toate cifrele sistemului octal de la 0 la 7 sunt prezentate ca triplete binare (Tabel 4).

• Istoria sistemului de numere octale

Istorie: apariția sistemului octal este asociată cu o astfel de tehnică de numărare pe degete, când nu au fost numărate degetele, ci spațiile dintre ele (sunt doar opt).

În 1716, regele Carol al XII-lea al Suediei l-a invitat pe celebrul filozof suedez Emanuel Swedenborg să dezvolte un sistem numeric bazat pe 64 în loc de 10. Cu toate acestea, Swedenborg credea că pentru oamenii cu mai puțină inteligență decât regele ar fi prea dificil să opereze cu astfel de un sistem de numere și a propus numărul ca bază 8. Sistemul a fost dezvoltat, dar moartea lui Carol al XII-lea în 1718 a împiedicat introducerea lui așa cum este general acceptat, această lucrare a lui Swedenborg nu este publicată.

• Convertiți din sistemul de numere octal în zecimal

Pentru a traduce un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să se reprezinte acest număr ca suma produselor gradelor bazei sistemului de numere octale prin cifrele corespunzătoare din cifrele numărului octal. [ 24]

De exemplu, doriți să convertiți numărul octal 2357 în zecimal. Acest număr are 4 cifre și 4 cifre (cifrele sunt numărate începând de la zero, care corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula deja cunoscută nouă, o reprezentăm ca o sumă de puteri cu baza 8:

23578 = (2 83)+(3 82)+(5 81)+(7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310

• Convertiți din sistemul de numere octal în binar

Pentru a converti de la octal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei triade de cifre binare (Tabelul 4).

• Conversia din sistemul de numere octal în hexazecimal

Pentru a converti de la hexazecimal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei cifre binare într-o tetradă (Tabelul 3).

3. Sistem numeric hexazecimal

Sistem de numere poziționale în baza întregului 16.

De obicei, cifrele zecimale de la 0 la 9 și literele latine de la A la F sunt folosite ca cifre hexazecimale pentru a reprezenta numere de la 1010 la 1510, adică (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Este utilizat pe scară largă în programarea de nivel scăzut și documentarea computerului, deoarece în computerele moderne unitatea minimă de memorie este un octet de 8 biți, valorile cărora sunt scrise convenabil în două cifre hexazecimale.

În standardul Unicode, se obișnuiește să scrieți un număr de caracter în formă hexazecimală folosind cel puțin 4 cifre (dacă este necesar, cu zerouri înainte).

Culoarea hexazecimală scrie cele trei componente de culoare (R, G și B) în formă hexazecimală.

• Istoricul sistemului numeric hexazecimal

Sistemul de numere hexazecimale a fost introdus de corporația americană IBM. Utilizat pe scară largă în programarea pentru calculatoare compatibile cu IBM. Unitatea minimă de informație adresabilă (trimisă între componentele computerului) este un octet, constând de obicei din 8 biți (eng. biți cifră binară cifră binară, cifră binară de sistem) și doi octeți, adică 16 biți, alcătuiesc un cuvânt de mașină (comandă). Astfel, este convenabil să utilizați sistemul de bază 16 pentru scrierea comenzilor.

• Conversia din sistemul de numere hexazecimal în binar

Algoritmul de conversie a numerelor din hexazecimal în binar este extrem de simplu. Este necesar doar să înlocuiți fiecare cifră hexazecimală cu echivalentul său binar (în cazul numerelor pozitive). Menționăm doar că fiecare număr hexazecimal ar trebui înlocuit cu un număr binar, completându-l până la 4 cifre (în direcția cifrelor mai mari).

• Conversia de la sistemul numeric hexazecimal la zecimal

Pentru a converti un număr hexazecimal într-unul zecimal, acest număr trebuie reprezentat ca suma produselor gradelor bazei sistemului numeric hexazecimal și cifrele corespunzătoare din cifrele numărului hexazecimal.

De exemplu, doriți să convertiți numărul hexazecimal F45ED23C în zecimal. Acest număr are 8 cifre și 8 cifre (rețineți că cifrele sunt numărate începând de la zero, ceea ce corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula de mai sus, o reprezentăm ca o sumă de puteri cu baza 16:

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12 16 0 ) = 4099854908 10

• Conversia din sistemul de numere hexazecimal în octal

De obicei, când convertiți numerele din hexazecimal în octal, mai întâi convertiți numărul hexazecimal în binar, apoi împărțiți-l în triade, începând cu bitul cel mai puțin semnificativ, apoi înlocuiți triadele cu echivalentele lor corespunzătoare în sistemul octal (Tabelul 4).

Concluzie

Acum, în majoritatea țărilor lumii, în ciuda faptului că vorbesc limbi diferite, considerați la fel, „în arabă”.

Dar nu a fost întotdeauna așa. Cu vreo cinci sute de ani în urmă, nu exista nimic de acest fel chiar și în Europa iluminată, ca să nu mai vorbim de Africa sau America.

Dar, cu toate acestea, oamenii încă au notat cumva numerele. Fiecare națiune avea propriul sistem de înregistrare a numerelor sau împrumutat de la un vecin. Unii foloseau litere, alții - icoane, alții - squiggles. Unele erau mai confortabile, altele nu atât.

Momentan folosim diferite sisteme numerice popoare diferite, în ciuda faptului că sistemul numeric zecimal are o serie de avantaje față de celelalte.

Sistemul numeric sexagesimal babilonian este încă folosit în astronomie. Amprenta ei a supraviețuit până în zilele noastre. Încă măsuram timpul în șaizeci de secunde, șaizeci de minute în ore și este, de asemenea, folosit în geometrie pentru a măsura unghiurile.

Sistemul numeric nepozițional roman este folosit de noi pentru a desemna paragrafe, secțiuni și, bineînțeles, în chimie.

Tehnologia informatică folosește sistemul binar. Tocmai din cauza utilizării a doar două numere 0 și 1 stă la baza funcționării unui computer, deoarece are două stări stabile: tensiune joasă sau înaltă, curent sau fără curent, magnetizat sau nemagnetizat.Pentru oameni, binarul sistemul de numere nu este convenabil de la - din cauza greutății de scriere a codului, dar conversia numerelor din binar în zecimal și invers nu este atât de convenabilă, așa că au început să folosească sisteme de numere octale și hexazecimale.

Lista de desene

Lista de mese

Formule

Lista de referințe și surse

1. Berman N.G. „Număr și număr”. OGIZ Gostekhizdat Moscova 1947.
2. Brugsch G. Totul despre Egipt M:. Asociația Unității Spirituale „Epoca de Aur”, 2000. 627 p.
3. Vygodsky M. Ya. Aritmetică și algebră în lumea antica M.: Nauka, 1967.
4. Van der Waerden Trezirea științei. Matematica Egiptului antic, Babilonului și Greciei / Per. cu un gol I. N. Veselovsky. M., 1959. 456 p.
5. G. I. Glazer. Istoria matematicii la scoala. Moscova: Iluminismul, 1964, 376 p.
6. Bosova L. L. Informatica: Un manual pentru clasa a VI-a
7. Fomin S.V. Sisteme numerice, M.: Nauka, 2010
8. Toate tipurile de sisteme de numerotare și numere (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
9. Dicţionar enciclopedic matematic. M.: „Bufnițe. enciclopedie”, 1988. P. 847
10. Talakh V.N., Kuprienko S.A. America este originală. Surse despre istoria mayașilor, științei (aztece) și incașilor
11. Talakh V.M. Introducere în hieroglifele Maya
12. A.P. Yushkevich, Istoria matematicii, volumul 1, 1970
13. I. Ya. Depman, Istoria aritmeticii, 1965
14. L.Z. Shautsukova, „Fundamentals of Informatics in Questions and Answers”, Centrul de editură „El-Fa”, Nalchik, 1994
15. A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Triune zero(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
16. 2007-2014 „Istoria computerelor” (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
17. Informatică. Curs de bază. / Ed. S.V.Simonovici. - Sankt Petersburg, 2000
18. Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Informatică: Tutorial pentru 10 11 celule. mediu scoli de invatamant general. K.: Forum, 2001. 496 p.
19. GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
20. Informatică. Tehnologia calculatoarelor. Tehnologii computerizate. / Manual, ed. O.I.Pushkarya. - Centrul de editare „Academia”, Kiev, - 2001
21. Manual „Basele aritmetice ale calculatoarelor și sistemelor”. Partea 1. Sisteme numerice
22. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich Manual „Curs de tehnologie informatică” pentru elevii de liceu
23. Kagan B.M. Calculatoare și sisteme electronice.- M.: Energoatomizdat, 1985
24. Maiorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Introducere în microcalculatoare, L .: Mashinostroenie, 1988.
25. Fomin S.V. Sisteme numerice, M.: Nauka, 1987
26. Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară, M.: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1956.
27. Enciclopedie matematică. M: „Enciclopedia Sovietică” 1985.
28. Shauman A. M. Fundamentele aritmeticii mașinilor. Leningrad, Leningrad University Press. 1979
29. Voroshchuk A. N. Fundamentele calculatoarelor digitale și programării. M: „Știință” 1978
30. Rolich Ch. N. De la 2 la 16 ani, Minsk, Școala Superioară, 1981

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tip de lecție: lecție despre introducerea de material nou în clasa a VIII-a.

Scopul didactic al lecției: familiarizarea elevilor cu sistemul numeric octal, cu transferul numerelor din sistemul numeric octal în cel zecimal și invers, precum și cu translația din sistemul numeric octal în sistemul numeric binar și invers. Exersarea abilităților de traducere de la un sistem numeric la altul.

Scopul de dezvoltare al lecției: dezvoltarea capacităţii de a raţiona, compara, trage concluzii. Dezvoltarea memoriei, a atenției, a interesului cognitiv pentru subiect folosind sarcini adecvate.

Educational: formarea autocontrolului la şcolari.

Pașii lecției:

1. Organizarea începutului lecției - 2 min.
2. Verificarea temelor - 10 min.
3. Pregătirea elevilor pentru a învăța cunoștințe noi - 5 min.
4. Introducerea de material nou - 8 min.
5. Fixarea primară a materialului nou - 5 min.
6. Controlul și autoexaminarea cunoștințelor - 10 min.
7. Informații despre teme - 3 min.
8. Rezumatul lecției - 2 min.

Structura lecției:

• Verificarea temelor.
• Introducere în numerele octale.
• Conversia unui număr întreg din octal în zecimal cu verificare.
• Conversia unui număr din octal în binar și invers.
• Informații despre teme.
• Rezumând lecția.

Mijloace de educatie:

1. Sistemul de operare al aplicației Windows XP-Calculator.
2. Carnetul individual de student.
3. Algoritmul de lucru în aplicația o.s. Calculator Windows XP.
4. Prezentare.
5. O carte cu o sarcină pentru conversia numerelor din sistemul numeric octal în sistemul numeric zecimal.
6. Un card cu sarcini pentru conversia de la un sistem numeric la altul folosind un tabel binar-octal.
7. Card cu o sarcină creativă.

În timpul orelor

Etapa 1. Organizarea începutului lecției.

Scopul etapei: pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă.

Buna baieti!

Astăzi, în lecție, ne vom familiariza cu sistemul de numere octale și vom dezvolta abilitățile de a traduce dintr-un sistem numeric în altul.

Ei primesc carduri individuale pe care le semnează și unde vor introduce răspunsurile la sarcini.

F.I.
№1	№2	№3

Etapa 2. Verificarea temelor.

Scopul etapei: stabilirea corectitudinii și conștientizarea temelor de către toți elevii, identificarea lacunelor și corectarea acestora.

Să verificăm temele folosind aplicația standard Windows XP-Calculator.

Temă: convertiți numerele din binar în zecimal și verificați.

Ei primesc foi cu algoritmul de lucru în aplicația Calculator, își verifică temele pentru un computer.

Vom verifica răspunsurile cu ajutorul prezentării pentru lecție.

1. 10 2 =2 10
2. 11 2 =3 10
3. 100 2 =4 10
4. 101 2 =5 10
5. 110 2 =6 10
6. 111 2 =7 10

Etapa 3. Introducerea de material nou.

Scopul etapei: asigurarea percepției, înțelegerii și memorării primare a cunoștințelor și a metodelor de acțiune, a legăturilor și a relațiilor în obiectul de studiu.

Notează subiectul lecției de astăzi: „Sistemul de numere octal” .

Baza: 8

Numerele din alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Luați în considerare translația unui număr întreg din octal în zecimal și efectuați o verificare.

Algoritm pentru conversia unui număr întreg din octal în zecimal.

Scrieți numărul octal în formă extinsă și calculați valoarea acestuia.

10
21 8 =2*8 1 +1*8 0 =16+1=17 10

Hai să facem o verificare.

Algoritm pentru conversia unui număr întreg din zecimal în octal.

1. Efectuați în mod constant împărțirea numărului zecimal întreg original cu 8 până când rezultatul este strict mai mic decât baza sistemului.
2. Reziduurile rezultate sunt scrise în ordine inversă.

10
71 8 =7*8 1 +1*8 0 =56+1=57 10

Etapa 4. Consolidarea primară a materialului nou.

Scopul etapei: stabilirea corectitudinii și conștientizării asimilării de material educațional nou.

Sarcina nr. 1 pentru consolidarea primară a materialului nou. Anexa 3

Convertiți numărul din octal în zecimal și verificați.

210
114 8 =1*8 2 +1*8 1 +4*8 0 =64+8+4=76 10

Examinare:

Alegeți răspunsul corect sub litera corespunzătoare și scrieți litera pe un card individual.

O) 84 10
U) 76 10
E) 97 10

Etapa 5 Controlul și autoexaminarea cunoștințelor.

Scopul etapei: identificarea calității și a nivelului de stăpânire a cunoștințelor și a metodelor de acțiune.

Am învățat cum să traducem numerele dintr-un sistem în altul, iar acum vom lua în considerare metode de traducere care nu necesită calcule de la noi. Pentru a face acest lucru, desenați un tabel într-un caiet, format din două coloane. Numărul din al 8-lea sistem numeric corespunde celor trei cifre ale sistemului de numere binar. De exemplu, 0 8 \u003d 000 2, 1 8 \u003d 001 2, apoi trecem la temele care sunt verificate la începutul lecției. Tabelul este ușor de completat.

Sistem de numere binar-octal.

8	2
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Când convertiți un număr octal în binar, fiecare cifră octală este înlocuită cu triplul corespunzătoare de cifre din tabel. Pentru operația inversă, adică pentru a converti din binar în octal, numărul binar este împărțit în triplete de cifre, apoi fiecare grup este înlocuit cu o cifră octală.

De exemplu:

714 8 =111 001 100 2
101 110 100 2 =564 8 .

Elevilor li se dau carduri cu sarcini. După rezolvarea acestora, răspunsurile corecte sunt plasate în fișa individuală a elevului.

Sarcini nr. 2, nr. 3 pentru controlul și autoexaminarea cunoștințelor. Anexa 4

Convertiți numere dintr-un sistem numeric în altul (folosind tabelul binar-octal).

2. Convertiți numărul din octal în binar.

c) 11010012; p) 101 011 010 2; c) 1110011002;

3. Convertiți din binar în octal.

a) 77 8; o) 64 8; c) 298;

Predați cărțile și fișele individuale. Să verificăm răspunsurile cu ajutorul diapozitivului nr. 7 al prezentării pentru lecție.

Raspunsuri corecte:

№2 p)101 011 010 2

Cardul individual va arăta astfel:

F.I.
№1	№2	№3
La	R	A

Elevii primesc fișe cu sarcini creative. Coordonatele punctelor sunt date în diferite sisteme numerice. Este necesar să convertiți coordonatele în sistemul numeric zecimal, să marcați și să conectați punctele pe planul de coordonate.

Coordonatele punctelor sunt date:

1 (100 2 ,1 2)
2 (100 2 , 110 2)
3 (100 2 , 1000 2)
4 (10 8 ,10 8)
5 (6 8 ,7 8)
6 (10 8 ,6 8)

Efectuați conversia numerelor în sistemul numeric zecimal și puneți și conectați toate punctele din planul de coordonate.

Răspuns (în notație zecimală):

1	2	3	4	5	6
(4,1)	(4,6)	(4,8)	(8,8)	(6,7)	(8,6)

Poza 1

Etapa 6 Informații despre teme.

Scopul etapei: oferirea unei înțelegeri a scopului, conținutului și metodelor de a face temele.

Convertiți numerele din octal în binar, apoi în zecimal.

35 8 →A 2 →A 10

65 8 → A 2 → A 10

215 8 → A 2 → A 10

Etapa 7. Rezumând lecția.

Scopul etapei: analiza și evaluarea succesului atingerii scopului.

Dacă ai primit cuvântul: URA în cardul tău individual, atunci ai primit „5”.

Dacă ați făcut față la 2 sarcini, atunci scorul este „4”.

Dacă ai rezolvat prima sarcină, atunci ai primit „3”.

Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu sistemul numeric octal, considerat căi diferite conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul. Unele dintre metode ne impuneau să rezolvăm probleme prin metode matematice, altele cu implicarea unui calculator, iar altele încă nu ne impuneau să facem niciun calcul.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Luați în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru a converti un număr binar într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 2 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile lui 2

n (grad)

Exemplu.

2. Pentru a traduce un număr octal într-unul zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile lui 8

n (grad)

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric zecimal.

3. Pentru a traduce un număr hexazecimal într-unul zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil de utilizat blitz de puteri de 16:

Tabelul 6. Puterile lui 16

n (grad)

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric zecimal.

4. Pentru a converti un număr zecimal în sistem binar, acesta trebuie împărțit succesiv la 2 până când există un rest mai mic sau egal cu 1. Un număr în sistemul binar este scris ca o succesiune a ultimului rezultat al împărțirii și restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem de numere binar.

5. Pentru a converti un număr zecimal în sistem octal, acesta trebuie împărțit succesiv la 8 până când există un rest mai mic sau egal cu 7. Un număr în sistemul octal este scris ca o succesiune de cifre a ultimului rezultat al împărțirii. iar restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem de numere octale.

6. Pentru a converti un număr zecimal în sistem hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la 16 până când există un rest mai mic sau egal cu 15. Numărul din sistemul hexazecimal se scrie ca o succesiune de cifre a ultimului rezultat al împărțirii iar restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în hexazecimal.

Studiind codificările, mi-am dat seama că nu înțeleg suficient de bine sistemele de numere. Cu toate acestea, a folosit adesea sistemele 2-, 8-, 10-, 16-lea, traduse unul în altul, dar totul a fost făcut pe „automat”. După ce am citit multe publicații, am fost surprins de lipsa unui singur articol, scris într-un limbaj simplu, despre un astfel de material de bază. De aceea m-am hotărât să-l scriu pe al meu, în care am încercat să prezint elementele de bază ale sistemelor de numere într-o manieră accesibilă și ordonată.

Introducere

Notaţie este un mod de a scrie (reprezenta) numere.

Ce se înțelege prin asta? De exemplu, vezi mai mulți copaci în fața ta. Sarcina ta este să le numeri. Pentru a face acest lucru, puteți să vă îndoiți degetele, să faceți crestături pe o piatră (un copac - un deget / crestătură) sau să potriviți 10 copaci cu un obiect, de exemplu, o piatră și o singură copie cu o baghetă și să le așezați pe pământ pe măsură ce numărați. În primul caz, numărul este reprezentat ca o linie de degete îndoite sau crestături, în al doilea - o compoziție de pietre și bastoane, unde pietrele sunt în stânga, iar bastoanele sunt în dreapta.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale, iar poziționale, la rândul lor, în omogene și mixte.

nepozițională- cea mai veche, în ea fiecare cifră a unui număr are o valoare care nu depinde de poziția (cifra) sa. Adică, dacă aveți 5 liniuțe, atunci și numărul este egal cu 5, deoarece fiecare liniuță, indiferent de locul ei în linie, corespunde doar unui singur articol.

Sistem pozițional- valoarea fiecărei cifre depinde de poziția (cifra) acesteia în număr. De exemplu, al 10-lea sistem numeric, care ne este familiar, este pozițional. Luați în considerare numărul 453. Numărul 4 indică numărul de sute și corespunde numărului 400, 5 - numărul zecilor și este similar cu valoarea 50, iar 3 - unități și valoarea 3. După cum puteți vedea, cu cât este mai mare cifra, cu atât valoarea este mai mare. Numărul final poate fi reprezentat ca suma 400+50+3=453.

sistem omogen- pentru toate cifrele (pozițiile) numărului, setul de caractere (cifre) valide este același. Ca exemplu, să luăm al 10-lea sistem menționat mai devreme. Când scrieți un număr într-un al 10-lea sistem omogen, puteți utiliza o singură cifră de la 0 la 9 în fiecare cifră, astfel încât numărul 450 este permis (prima cifră - 0, a 2-a - 5, a 3-a - 4), dar 4F5 nu este, deoarece caracterul F nu face parte din cifrele de la 0 la 9.

sistem mixt- în fiecare cifră (poziție) a numărului, setul de caractere (numere) valide poate diferi de seturile de alte cifre. Un exemplu izbitor este sistemul de măsurare a timpului. În categoria secunde și minute sunt posibile 60 de caractere diferite (de la „00” la „59”), în categoria ore - 24 personaje diferite(de la „00” la „23”), în descărcarea zilei - 365 etc.

Sisteme non-poziționale

De îndată ce oamenii au învățat să numere, a fost nevoie să înregistreze numerele. La început, totul era simplu - o crestătură sau o liniuță pe o suprafață corespundea unui obiect, de exemplu, un fruct. Așa a apărut primul sistem numeric - unitate.

Sistem de numere de unitate

Un număr din acest sistem numeric este un șir de liniuțe (beți), al căror număr este egal cu valoarea numărului dat. Astfel, o recoltă de 100 de curmale va fi egală cu un număr format din 100 de liniuțe.
Dar acest sistem are inconveniente evidente - cu cât numărul este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. În plus, poți face cu ușurință o greșeală când scrii un număr adăugând accidental un stick suplimentar sau, dimpotrivă, neadăugând-o.

Pentru comoditate, oamenii au început să grupeze bețe cu 3, 5, 10 bucăți. În același timp, fiecărui grup îi corespundea un anumit semn sau obiect. Inițial, degetele erau folosite pentru numărare, astfel că primele semne au apărut pentru grupuri de 5 și 10 bucăți (unități). Toate acestea au făcut posibilă crearea unor sisteme mai convenabile pentru înregistrarea numerelor.

sistem zecimal egiptean antic

ÎN Egiptul antic caracterele speciale (numerele) au fost folosite pentru a desemna numerele 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Aici sunt câțiva dintre ei:

De ce se numește zecimală? După cum a fost scris mai sus - oamenii au început să grupeze simboluri. În Egipt, au ales o grupare de 10, lăsând numărul „1” neschimbat. ÎN acest caz, numărul 10 se numește baza sistemului numeric zecimal și fiecare simbol este o reprezentare a numărului 10 într-o oarecare măsură.

Numerele din sistemul de numere egiptean antic au fost scrise ca o combinație a acestora
personaje, fiecare dintre acestea fiind repetat de cel mult nouă ori. Valoarea finală a fost egală cu suma elementelor numărului. Este de remarcat faptul că această metodă de obținere a unei valori este caracteristică fiecărui sistem numeric nepozițional. Un exemplu este numărul 345:

Sistemul sexagesimal babilonian

Spre deosebire de sistemul egiptean, în sistemul babilonian au fost folosite doar 2 simboluri: o pană „dreaptă” pentru unități și una „mincinosă” pentru zeci. Pentru a determina valoarea unui număr, este necesar să împărțiți imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. O nouă descărcare începe cu apariția unei pane drepte după una înclinată. Să luăm ca exemplu numărul 32:

Numărul 60 și toate gradele sale sunt, de asemenea, indicate printr-o pană dreaptă, la fel ca „1”. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sexagesimal.
Toate numerele de la 1 la 59 au fost scrise de babilonieni într-un sistem zecimal non-pozițional și mari valori- în poziție cu baza 60. Numărul 92:

Notarea numărului era ambiguă, deoarece nu exista nicio cifră pentru zero. Reprezentarea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92=60+32, ci și, de exemplu, 3632=3600+32. Pentru a determina valoarea absolută a numărului, a fost introdus un caracter special pentru a indica cifra sexagesimală lipsă, care corespunde apariției cifrei 0 în notația zecimală:

Acum, numărul 3632 ar trebui scris ca:

Sistemul sexagesimal babilonian este primul sistem numeric bazat parțial pe principiul pozițional. Acest sistem de numere este folosit astăzi, de exemplu, la determinarea timpului - o oră este formată din 60 de minute și un minut din 60 de secunde.

sistemul roman

Sistemul roman nu este mult diferit de cel egiptean. Folosește literele latine majuscule I, V, X, L, C, D și, respectiv, M, pentru a desemna numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și, respectiv, 1000. Un număr din sistemul numeric roman este un set de cifre consecutive.

Metode de determinare a valorii unui număr:

1. Valoarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor sale. De exemplu, numărul 32 în sistemul numeric roman este XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Dacă există un număr mai mic în stânga cifrei mai mari, atunci valoarea este egală cu diferența dintre cifrele mai mari și cele mai mici. În același timp, cifra din stânga poate fi mai mică decât cea din dreapta cu maximum o ordin: de exemplu, înainte de L (50) și C (100) ale celor „mai tinere”, doar X (10) poate sta în picioare, înainte de D (500) și M (1000) - numai C(100), înainte de V(5) - doar I(1); numărul 444 din sistemul numeric considerat se va scrie CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Valoarea este egală cu suma valorilor grupurilor și numerelor care nu se încadrează sub 1 și 2 puncte.

Pe lângă digitale, există și sisteme de numere alfabetice (alfabetice), iată câteva dintre ele:
1) Slavă
2) greacă (ionică)

Sisteme numerice poziționale

După cum am menționat mai sus, primele condiții prealabile pentru apariția unui sistem pozițional au apărut în Babilonul antic. În India, sistemul a luat forma unei numerotări zecimale poziționale folosind zero, iar de la hinduși acest sistem de numere a fost împrumutat de arabi, de la care a fost adoptat de europeni. Din anumite motive, în Europa, numele „Arab” a fost atribuit acestui sistem.

Sistem de numere zecimale

Acesta este unul dintre cele mai comune sisteme numerice. Acesta este ceea ce folosim atunci când numim prețul mărfurilor și pronunțăm numărul autobuzului. În fiecare cifră (poziție) poate fi utilizată o singură cifră din intervalul de la 0 la 9. Baza sistemului este numărul 10.

De exemplu, să luăm numărul 503. Dacă acest număr ar fi scris într-un sistem nepozițional, atunci valoarea lui ar fi 5 + 0 + 3 = 8. Dar avem un sistem pozițional, ceea ce înseamnă că fiecare cifră a numărului trebuie să fie înmulțit cu baza sistemului, în acest caz numărul „10”, ridicat la puterea egală cu numărul cifrei. Se pare că valoarea este 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Pentru a evita confuzia atunci când lucrați cu mai multe sisteme numerice în același timp, baza este indicată ca indicele. Astfel, 503 = 503 10 .

Pe lângă sistemul zecimal, sistemele 2-, 8-, 16-lea merită o atenție specială.

Sistem de numere binar

Acest sistem este utilizat în principal în calcul. De ce nu au început să folosească al 10-lea cu care suntem obișnuiți? Primul computer a fost creat de Blaise Pascal, care a folosit sistemul zecimal în el, ceea ce s-a dovedit a fi incomod în mașinile electronice moderne, deoarece necesita producția de dispozitive capabile să funcționeze în 10 state, ceea ce le-a crescut prețul și dimensiunea finală. a mașinii. Aceste deficiențe sunt lipsite de elementele care funcționează în cel de-al doilea sistem. Cu toate acestea, sistemul luat în considerare a fost creat cu mult înainte de inventarea computerelor și merge înapoi la civilizația incasă, unde a fost folosit quipu - plexuri și noduri complexe de frânghie.

Sistemul de numere binare poziționale are o bază de 2 și folosește 2 caractere (cifre) pentru a scrie un număr: 0 și 1. Este permisă doar o cifră în fiecare bit - fie 0, fie 1.

Un exemplu este numărul 101. Este similar cu numărul 5 din sistemul numeric zecimal. Pentru a converti de la a 2-a la a 10-a, este necesar să înmulțiți fiecare cifră a numărului binar cu baza „2”, ridicată la o putere egală cu cifra. Astfel, numărul 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .

Ei bine, pentru mașini, al 2-lea sistem de numere este mai convenabil, dar vedem adesea că folosim numere în al 10-lea sistem pe un computer. Cum determină mașina ce număr introduce utilizatorul? Cum traduce un număr dintr-un sistem în altul, deoarece are doar 2 caractere la dispoziție - 0 și 1?

Pentru ca un computer să funcționeze cu numere binare (coduri), acestea trebuie să fie stocate undeva. Pentru a stoca fiecare cifră individuală, se folosește un declanșator, care este un circuit electronic. Poate fi în 2 stări, dintre care una corespunde cu zero, cealaltă cu una. Pentru a stoca un singur număr, se folosește un registru - un grup de declanșatoare, al căror număr corespunde numărului de cifre dintr-un număr binar. Iar totalitatea registrelor este RAM. Numărul conținut în registru este un cuvânt de mașină. Operațiile aritmetice și logice cu cuvinte sunt efectuate de o unitate logică aritmetică (ALU). Pentru a simplifica accesul la registre, acestea sunt numerotate. Numărul se numește adresa de înregistrare. De exemplu, dacă trebuie să adăugați 2 numere, este suficient să indicați numărul de celule (registre) în care sunt situate, și nu numerele în sine. Adresele sunt scrise în sisteme 8 și hexazecimale (vor fi discutate mai jos), deoarece trecerea de la ele la sistemul binar și invers este destul de simplă. Pentru a transfera de la al 2-lea la al 8-lea număr, este necesar să-l împărțiți în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și să mergeți la a 16-a - 4 cifre fiecare. Dacă nu există suficiente cifre în grupul de cifre din stânga, apoi sunt umplute de la stânga cu zerouri, care se numesc conducător. Să luăm ca exemplu numărul 101100 2. În octal este 101 100 = 54 8 iar în hexazecimal este 0010 1100 = 2C 16 . Grozav, dar de ce vedem numere și litere zecimale pe ecran? Atunci când o tastă este apăsată, o anumită secvență de impulsuri electrice este transmisă computerului, iar fiecare caracter are propria sa secvență de impulsuri electrice (zero și unu). Programul driver pentru tastatură și ecran accesează tabelul de coduri de caractere (de exemplu, Unicode, care vă permite să codificați 65536 de caractere), determină cărui caracter îi corespunde codul primit și îl afișează pe ecran. Astfel, textele și numerele sunt stocate în memoria computerului în cod binar, și sunt convertite programatic în imagini pe ecran.

Sistem de numere octale

Al 8-lea sistem numeric, ca și cel binar, este adesea folosit în tehnologia digitală. Are baza 8 și folosește cifrele de la 0 la 7 pentru a reprezenta numărul.

Un exemplu de număr octal: 254. Pentru a converti în al 10-lea sistem, fiecare cifră a numărului inițial trebuie înmulțită cu 8 n, unde n este numărul cifrei. Rezultă că 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .

Sistemul numeric hexazecimal

Sistemul hexazecimal este utilizat pe scară largă în computerele moderne, de exemplu, este folosit pentru a indica culoarea: #FFFFFF - culoare albă. Sistemul luat în considerare are baza 16 și folosește pentru a scrie numărul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, unde literele sunt 10, 11, 12, 13, 14, respectiv 15.

Să luăm ca exemplu numărul 4F5 16. Pentru a converti în sistemul octal, mai întâi convertim numărul hexazecimal în binar, apoi, împărțindu-l în grupuri de 3 cifre, în octal. Pentru a converti un număr în 2, fiecare cifră trebuie reprezentată ca un număr binar de 4 biți. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Dar în grupurile 1 și 3 nu există suficientă cifră, așa că să umplem fiecare cu zerouri de început: 0100 1111 0101. Acum trebuie să împărțim numărul rezultat în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 011 101. Să traducem fiecare grup binar în sistemul octal, înmulțind fiecare cifră cu 2n, unde n este numărul cifrei: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Pe lângă sistemele de numere poziționale considerate, există și altele, de exemplu:
1) Ternar
2) Cuaternar
3) Duozecimal

Sistemele poziționale sunt împărțite în omogene și mixte.

Sisteme de numere poziționale omogene

Definiția dată la începutul articolului descrie sisteme omogene destul de complet, deci nu este necesară o clarificare.

Sisteme de numere mixte

La definiția deja dată, putem adăuga teorema: „dacă P=Q n (P, Q, n sunt numere întregi pozitive, în timp ce P și Q sunt baze), atunci notația oricărui număr din (P-Q)-lea mixt. sistemul de numere coincide în mod identic cu scrierea aceluiași număr într-un sistem numeric cu baza Q.”

Pe baza teoremei, putem formula regulile de transfer de la Pth la Sistemul Q si invers:

1. Pentru a transfera de la Qth la Pth, este necesar să împărțiți numărul din sistemul Qth în grupuri de n cifre, începând cu cifra din dreapta și înlocuiți fiecare grup cu o cifră în P-th sistem.
2. Pentru a transfera de la P-th la Q-th, este necesar să traduceți fiecare cifră a numărului din sistemul P-th în Q-th și să completați cifrele lipsă cu zerouri de început, cu excepția celei din stânga, astfel încât fiecare număr din sistemul de bază Q este format din n cifre.

Un exemplu izbitor este traducerea din binar în octal. Să luăm un număr binar 10011110 2, pentru a-l converti în octal, îl vom împărți de la dreapta la stânga în grupuri de 3 cifre: 010 011 110, acum înmulțim fiecare cifră cu 2 n, unde n este numărul cifrei, 010 011 110 \u003d (0 * 2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) ) = 236 8 . Rezultă că 10011110 2 = 236 8 . Pentru unicitatea imaginii unui număr binar-octal, acesta este împărțit în triplete: 236 8 \u003d (10 011 110) 2-8.

Sistemele de numere mixte sunt, de asemenea, de exemplu:
1) Factorial
2) Fibonacci

Traducerea de la un sistem numeric la altul

Uneori trebuie să convertiți un număr dintr-un sistem numeric în altul, așa că haideți să vedem cum să traduceți între diferite sisteme.

Conversie zecimală

Există un număr a 1 a 2 a 3 în sistemul numeric cu baza b. Pentru a converti în al 10-lea sistem, fiecare cifră a numărului trebuie înmulțită cu b n, unde n este numărul cifrei. Deci (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .

Exemplu: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Conversia de la sistemul de numere zecimal la altele

Toata parte:

1. Împărțim succesiv partea întreagă a numărului zecimal la baza sistemului în care transferăm, până când numărul zecimal devine zero.
2. Resturile obtinute prin impartire sunt cifrele numarului dorit. Numărul din noul sistem este scris începând de la ultimul rest.

Fracțiune:

1. Înmulțim partea fracționară a numărului zecimal cu baza sistemului în care doriți să traduceți. Separăm toată partea. Continuăm să înmulțim partea fracțională cu baza noului sistem până când devine 0.
2. Numărul din noul sistem este părțile întregi ale rezultatelor înmulțirii în ordinea corespunzătoare primirii acestora.

Exemplu: convertiți 15 10 în octal:
15\8 = 1, restul 7
1\8 = 0, restul 1

După ce am scris toate resturile de jos în sus, obținem numărul final 17. Prin urmare, 15 10 \u003d 17 8.

Conversie binar în octal și hexazecimal

Pentru a converti în octal, împărțim numărul binar în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și completăm cifrele extreme lipsă cu zerouri de început. În continuare, transformăm fiecare grup înmulțind succesiv cifrele cu 2 n , unde n este numărul cifrei.

Să luăm ca exemplu numărul 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Pentru a converti în hexazecimal - împărțim numărul binar în grupuri de 4 cifre de la dreapta la stânga, apoi - similar conversiei de la a 2-a la a 8-a.

Conversia din sisteme octale și hexazecimale în binar

Convertirea de la octal la binar - convertim fiecare cifră a unui număr octal într-un număr binar de 3 cifre prin împărțirea la 2 (pentru mai multe informații despre divizare, consultați paragraful „Conversia de la zecimal la altul” de mai sus), cifrele extreme lipsă vor fi completat cu zerouri inițiale.

De exemplu, luați în considerare numărul 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Traducere de la 16 la 2 - convertim fiecare cifră a numărului hexazecimal într-un număr binar de 4 cifre prin împărțirea la 2, completând cifrele extreme lipsă cu zerouri de început.

Conversia părții fracționale a oricărui sistem numeric în zecimală

Conversia se efectuează în același mod ca și pentru părțile întregi, cu excepția faptului că cifrele numărului sunt înmulțite cu baza la puterea „-n”, unde n începe de la 1.

Exemplu: 101,011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10

Conversia părții fracționale a sistemului binar în a 8-a și a 16-a

Translația părții fracționale se efectuează în același mod ca și pentru părțile întregi ale numărului, cu singura excepție că împărțirea în grupuri de 3 și 4 cifre se duce la dreapta punctului zecimal, cifrele lipsă sunt completate. cu zerouri la dreapta.

Exemplu: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1) *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Conversia părții fracționale a sistemului zecimal în oricare alta

Pentru a traduce partea fracționară a unui număr în alte sisteme numerice, trebuie să transformați partea întreagă la zero și să începeți să înmulțiți numărul rezultat cu baza sistemului în care doriți să îl traduceți. Dacă, ca urmare a înmulțirii, apar din nou părți întregi, acestea trebuie să fie transformate din nou la zero, după reținerea (notarea) a valorii părții întregi rezultate. Operația se termină când partea fracțională dispare complet.

De exemplu, să traducem 10,625 10 în sistemul binar:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Notând toate resturile de sus în jos, obținem 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Cu ajutorul acestuia calculator online Puteți converti numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Se oferă o soluție detaliată cu explicații. Pentru a traduce, introduceți numărul inițial, setați baza sistemului numeric al numărului original, setați baza sistemului numeric la care doriți să convertiți numărul și faceți clic pe butonul „Traduceți”. Vezi mai jos partea teoretică și exemple numerice.

Rezultatul a fost deja primit!

Traducerea numerelor întregi și fracționale dintr-un sistem de numere în oricare altul - teorie, exemple și soluții

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe pe care îl folosim în viața de zi cu zi este pozițional, în timp ce cel roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Luați în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

Numărul 10 definește sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. O numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice.Un număr în sistemul numeric zecimal este format dintr-un set de cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din un set de cifre (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul binar - din setul de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - din setul de cifre (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12, 13, 14, 15. În tabelul 1 numerele sunt reprezentate în diferite sisteme numerice.

tabelul 1
Notaţie
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a traduce numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi, din sistemul numeric zecimal, să îl traduceți în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistem numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din hexazecimal în zecimal SS. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- la 15.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să traduceți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a numărului este translată din SS zecimal într-un alt sistem de numere - prin împărțirea succesivă a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - cu 2, pentru SS cu 8 cifre - cu 8, pentru 16 cifre - cu 16 etc.) pentru a obține un rest întreg, mai mic decât baza SS.

Exemplu 4 . Să traducem numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159, când este împărțit la 2, dă câtul 79, iar restul este 1. În plus, numărul 79, când este împărțit la 2, dă câtul 39 și restul este 1 și așa mai departe. Ca rezultat, construind un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare, putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Când convertiți un număr din SS zecimal în SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din restul diviziunii (de la dreapta la stânga) obțineți un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare, putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să traducem numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, am obținut resturile 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 - D. Prin urmare, numărul nostru hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti zecimale corecte (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s, aveți nevoie număr datînmulțim succesiv cu s până când partea fracțională este un zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă diferită de zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să traducem numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

După cum se poate vedea din Fig.4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă, atunci când este înmulțit, se obține un număr cu o parte întreagă zero, atunci zero este scris în stânga acestuia. Procesul de înmulțire continuă până când se obține un zero pur în partea fracțională sau se obține numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos, obținem numărul necesar în sistemul binar: 0. 0011011 .

Prin urmare, putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să traducem numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă s-a obținut 0. Prin urmare, s-a obținut următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să traducem numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele C și B corespund numerelor 12 și 11. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să traducem numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

A primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să traducem numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să traducem numărul 19673.214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem.