العمل الإبداعي "علامات القسمة". ابدأ في العلم ما هو الرقم الذي يقبل القسمة على 10 و 12

CHISTENSKY UVK "مدرسة التعليم العام

أنا – ثالثا المراحل - الجمنازيوم "

رياضيات الاتجاه

"علامات الانقسام"

لقد أنجزت العمل

طالب الصف السابع

Zhuravlev ديفيد

المستشار العلمي

متخصص من أعلى فئة

فيدورينكو إيرينا فيتاليفنا

نظيف ، 2013

جدول المحتويات

مقدمة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. قسمة الأرقام. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 علامات القسمة على 2 و 5 و 10 و 3 و 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . أربعة

1.2 علامات القابلية للقسمة على 4 و 25 و 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . أربعة

1.3 علامات القابلية للقسمة على 8 و 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 تبسيط اختبار القابلية للقسمة على 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 علامات القسمة على 6 ، 12 ، 15 ، 18 ، 45 ، إلخ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. علامة القسمة على 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. معايير بسيطة للقسمة على الأعداد الأولية. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 علامات القسمة على 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 علامات القسمة على 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ثمانية

2.3 علامات القسمة على 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ثمانية

2.4 علامات القابلية للقسمة على 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. الجمع بين علامات القابلية للقسمة على 7 و 11 و 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. القديم والجديد حول القابلية للقسمة على 7.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . عشرة

5. تمديد علامة القابلية للقسمة إلى 7 أرقام أخرى. . . . . . 12

6. المعيار المعمم للقسمة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. فضول القسمة. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . خمسة عشر

الاستنتاجات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

المؤلفات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

المقدمة

إذا كنت تريد أن تتعلم كيفية السباحة ، فادخل الماء بجرأة ، وإذا كنت تريد أن تتعلم كيفية حل المشكلات ، فقم بحلها.

د. بويا

هناك العديد من فروع الرياضيات وأحدها هو قابلية الأرقام للقسمة.

لقد توصل علماء الرياضيات في القرون الماضية إلى العديد من الحيل الملائمة لتسهيل الحسابات والحسابات التي تكثر في حل المشكلات الرياضية. إنها طريقة معقولة للخروج ، لأن ليس لديهم آلات حاسبة ولا أجهزة كمبيوتر. في بعض الحالات ، تسهل القدرة على استخدام طرق الحساب المريحة حل المشكلات بشكل كبير ويقلل بشكل كبير من الوقت الذي يقضيه فيها.

تتضمن طرق الحساب المفيدة هذه ، بالطبع ، علامات القابلية للقسمة على رقم. بعضها أسهل - تتم دراسة علامات تقسيم الأرقام على 2 ، 3 ، 5 ، 9 ، 10 كجزء من الدورة المدرسية ، وبعضها معقد جدًا ويهتم بالبحث أكثر من كونه عمليًا. ومع ذلك ، من المثير للاهتمام دائمًا التحقق من كل علامة من علامات القابلية للقسمة على أرقام محددة.

هدف: توسيع الأفكار حول خصائص الأرقام المرتبطة بالقسمة ؛

مهام:

للتعرف على العلامات المختلفة لقسمة الأرقام ؛

تنظيمهم

لتكوين مهارات تطبيق القواعد المُدخلة ، خوارزميات إثبات قابلية الأرقام للقسمة.

قسمة الأرقام

معيار القابلية للقسمة هو قاعدة يمكنك من خلالها ، بدون القسمة ، تحديد ما إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على رقم آخر.

القسمة على المبلغ. إذا كان كل مصطلح يقبل القسمة على عدد ما ، فإن المجموع قابل للقسمة أيضًا على هذا الرقم.

المثال 1.1

32 يقبل القسمة على 4 ، و 16 يقبل القسمة على 4 ، لذا فإن مجموع 32 + 16 يقبل القسمة على 4.

قسمة الاختلاف. إذا كان المطروح والصغير قابلين للقسمة على عدد ما ، فإن الاختلاف أيضًا قابل للقسمة على هذا الرقم.

مثال 1.2

777 يقبل القسمة على 7 ، و 49 يقبل القسمة على 7 ، لذا فإن الفرق 777 - 49 يقبل القسمة على 7.

قابلية قسمة منتج برقم. إذا كان أحد العوامل على الأقل في المنتج قابلاً للقسمة على رقم معين ، فإن المنتج أيضًا قابل للقسمة على هذا الرقم.

مثال 1.3

15 يقبل القسمة على 3 ، لذا فإن حاصل ضرب 15 ∙ 17 ∙ 23 يقبل القسمة على 3.

قابلية قسمة رقم على منتج. إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على منتج ، فإنه يمكن القسمة على كل عامل من عوامل هذا المنتج.

مثال 1.4

90 يقبل القسمة على 30 ، و 30 = 2 3 ∙ 5 ، لذا فإن 30 يقبل القسمة على 2 و 3 و 5.

قدم ب. باسكال مساهمة كبيرة في دراسة علامات تقسيم الأرقام.بليز باسكال (بليز باسكال) (1623–1662) ، مفكر ديني فرنسي وعالم رياضيات وفيزيائي ، أحد أعظم العقول في القرن السابع عشر.صاغ المعيار التالي للقسمة الذي يحمل اسمه:

عدد طبيعي أ يقبل القسمة على عدد طبيعي آخر ب فقط إذا كان مجموع حاصل ضرب أرقام العدد أ إلى الباقي المقابل الذي تم الحصول عليه بقسمة وحدات البت على الرقم ب ، قابل للقسمة على هذا الرقم.

1.1 علامات القسمة على 2 و 5 و 10 و 3 و 9

في المدرسة ، ندرس علامات القسمة على 2 ، 3 ، 5 ، 9 ، 10.

علامة القسمة على 10. كل هذه الأرقام فقط قابلة للقسمة على 10 ، وينتهي سجلها بالرقم 0.

علامة القسمة على 5. كل هذه الأرقام فقط قابلة للقسمة على 5 ، وينتهي سجلها بالرقم 0 أو 5.

علامة القسمة على 2. كل هذه الأرقام فقط قابلة للقسمة على 2 ، وينتهي سجلها برقم زوجي: 2،4،6،8 أو 0.

علامة القسمة على 3 و 9. كل هذه الأرقام فقط قابلة للقسمة على 3 و 9 ، ومجموع أرقامهما قابل للقسمة على 3 أو 9 ، على التوالي.

من خلال كتابة رقم (بأرقامه الأخيرة) ، يمكنك أيضًا تعيين قابلية قسمة الرقم على 4 و 25 و 50 و 8 و 125.

1.2 علامات القابلية للقسمة على 4 و 25 و 50

قابلة للقسمة على 4 أو 25 أو 50 هي تلك الأرقام التي تنتهي فقط بصفرين أو التي تعبر آخر رقمين فيها عن رقم يقبل القسمة على 4 أو 25 أو 50 على التوالي.

مثال 1.2.1

الرقم 97300 ينتهي بصفرين ، مما يعني أنه يقبل القسمة على 4 و 25 و 50.

مثال 1.2.2

الرقم 81764 قابل للقسمة على 4 ، لأن الرقم المكون من الرقمين الأخيرين 64 قابل للقسمة على 4.

مثال 1.2.3

الرقم 79450 قابل للقسمة على 25 و 50 ، لأن الرقم المكون من الرقمين الأخيرين من 50 قابل للقسمة على كل من 25 و 50.

1.3 علامات القابلية للقسمة على 8 و 125

قابلة للقسمة على 8 أو 125 هي تلك الأرقام التي تنتهي بثلاثة أصفار فقط أو التي تعبر آخر ثلاثة أرقام عن رقم يقبل القسمة على 8 أو 125 ، على التوالي.

مثال 1.3.1

العدد 853000 ينتهي بثلاثة أصفار ، مما يعني أنه يقبل القسمة على كل من 8 و 125.

مثال 1.3.2

الرقم 381864 قابل للقسمة على 8 لأن الرقم المكون من الأرقام الثلاثة الأخيرة من 864 قابل للقسمة على 8.

مثال 1.3.3

الرقم 179250 قابل للقسمة على 125 لأن الرقم المكون من آخر ثلاثة أرقام وهو 250 قابل للقسمة على 125.

1.4 تبسيط اختبار القابلية للقسمة على 8

يتم تقليل مسألة قابلية عدد معين للقسمة إلى مسألة القابلية للقسمة على 8 لعدد معين مكون من ثلاثة أرقام ، ولكنفي الوقت نفسه ، لم يُقال أي شيء عن كيفية اكتشاف هذا الرقم المكون من ثلاثة أرقام بسرعة على 8. قم بالقسمة.

بطبيعة الحال ، السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن تبسيط معيار القابلية للقسمة على 8؟ يمكنك ، إذا قمت بتكميله بعلامة خاصة على قابلية القسمة على رقم مكون من ثلاثة أرقام على 8.

أي رقم مكون من ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 8 ، حيث يكون العدد المكون من رقمين المكون من أرقام المئات والعشرات ، مضافًا إلى نصف عدد الوحدات ، قابلًا للقسمة على 4.

مثال 1.4.1

هل الرقم 592 يقبل القسمة على 8؟

المحلول.

نفصل 592 وحدة عن العدد ونضيف نصف عددها إلى الرقمين التاليين (عشرات ومئات).

نحصل على: 59 + 1 = 60.

الرقم 60 يقبل القسمة على 4 ، لذا فإن الرقم 592 يقبل القسمة على 8.

الجواب: حصة.

1.5 علامات القسمة على 6 ، 12 ، 15 ، 18 ، 45 ، إلخ.

باستخدام خاصية قابلية القسمة على رقم على منتج ، من علامات القسمة المذكورة أعلاه نحصل على علامات القسمة على 6 ، 12 ، 15 ، 18 ، 24 ، إلخ.

علامة القسمة على 6. قابلة للقسمة على 6 هي تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 2 و 3 فقط.

مثال 1.5.1

الرقم 31242 يقبل القسمة على 6 لأنه يقبل القسمة على كل من 2 و 3.

علامة القسمة على 12. قابلة للقسمة على 12 هي تلك الأرقام القابلة للقسمة على 4 و 3 فقط.

مثال 1.5.2

الرقم 316224 يقبل القسمة على 12 لأنه يقبل القسمة على كل من 4 و 3.

علامة القسمة على 15. تلك والأرقام فقط التي تقبل القسمة على 3 و 5 قابلة للقسمة على 15.

مثال 1.5.3

الرقم 812445 يقبل القسمة على 15 لأنه يقبل القسمة على كل من 3 و 5.

علامة القسمة على 18. قابلة للقسمة على 18 هي تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 2 و 9 فقط.

مثال 1.5.4

الرقم 817254 يقبل القسمة على 18 لأنه يقبل القسمة على كل من 2 و 9.

علامة القسمة على 45. 45 يقبل القسمة على هؤلاء وفقط تلك الأرقام التي تقبل القسمة على 5 و 9.

مثال 1.5.5

الرقم 231705 يقبل القسمة على 45 لأنه يقبل القسمة على كل من 5 و 9.

هناك علامة أخرى على قابلية الأرقام للقسمة على 6.

1.6 اختبار القابلية للقسمة على 6

للتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 6:

اضرب عدد المئات في 2 ،

اطرح الناتج من العدد بعد المئات.

إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 6 ، فإن العدد الصحيح يقبل القسمة على 6. مثال 1.6.1

هل الرقم 138 يقبل القسمة على 6؟

المحلول.

عدد المئات هو 1 2 = 2 ، 38-2 = 36 ، 36: 6 ، إذن 138 يقبل القسمة على 6.

معايير بسيطة للقسمة على الأعداد الأولية

يُطلق على الرقم اسم أولي إذا كان يحتوي على مقسومين فقط (أحدهما والرقم نفسه).

2.1 علامات القسمة على 7

لمعرفة ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 7 ، فأنت بحاجة إلى:

اضرب عددًا حتى يصل إلى عشرات في اثنين

أضف العدد المتبقي إلى النتيجة.

تحقق مما إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على 7 أم لا.

مثال 2.1.1

هل الرقم 4690 يقبل القسمة على 7؟

المحلول.

العدد حتى العشرات هو 46 2 = 92 ، 92 + 90 = 182 ، 182: 7 = 26 ، إذن 4690 يقبل القسمة على 7.

2.2 شروط القسمة على 11

الرقم قابل للقسمة على 11 إذا كان الفرق بين مجموع الأرقام في الأماكن الفردية ومجموع الأرقام في الأماكن الزوجية هو مضاعف 11.

يمكن أن يكون الاختلاف رقمًا سالبًا أو صفرًا ، لكن يجب أن يكون من مضاعفات 11.

مثال 2.2.1

هل الرقم 100397 يقبل القسمة على 11؟

المحلول.

مجموع الأرقام في الأماكن الزوجية: 1 + 0 + 9 = 10.

مجموع الأرقام في الأماكن الفردية: 0 + 3 + 7 = 10.

فرق الجمع: 10-10 = 0 ، 0 هو مضاعف 11 ، لذا 100397 يقبل القسمة على 11.

2.3 علامات القسمة على 13

الرقم قابل للقسمة على 13 إذا وفقط إذا كانت نتيجة طرح آخر رقم مضروبًا في 9 من ذلك الرقم بدون الرقم الأخير قابلة للقسمة على 13.

مثال 2.3.1

العدد 858 يقبل القسمة على 13 لأن 85-9 ∙ 8 = 85-72 = 13 يقبل القسمة على 13.

2.4 اختبارات القابلية للقسمة على 19

الرقم قابل للقسمة على 19 بدون باقي عندما يكون عدد عشرات ، مضافًا إلى ضعف عدد الوحدات ، قابلاً للقسمة على 19.

مثال 2.4.1

حدد ما إذا كان 1026 يقبل القسمة على 19.

المحلول.

يوجد ١٠٢ عشرات و ٦ آحاد في العدد ١٠٢٦. 102 + 2 6 = 114 ؛

وبالمثل ، 11 + 2 4 = 19.

نتيجة لأداء خطوتين متتاليتين ، حصلنا على الرقم 19 الذي يقبل القسمة على 19 ، وبالتالي فإن الرقم 1026 يقبل القسمة على 19.

الجمع بين علامات القابلية للقسمة على 7 و 11 و 13

في جدول الأعداد الأولية ، الأعداد 7 و 11 و 13 متجاورة. حاصل ضربهم هو: 7 11 ∙ 13 = 1001 = 1000 + 1. ومن ثم فإن الرقم 1001 قابل للقسمة على 7 و 11 و 13.

إذا تم ضرب أي رقم مكون من ثلاثة أرقام في 1001 ، فسيتم كتابة حاصل الضرب بنفس الأرقام مثل المضاعف ، ويتكرر مرتين فقط:abc- رقم من ثلاثة أرقام ؛abc∙1001 = abcabc.

لذلك ، فإن جميع أرقام النموذج abcabc قابلة للقسمة على 7 وعلى 11 وعلى 13.

تسمح لنا هذه الانتظام بتقليل حل مشكلة قابلية القسمة على عدد متعدد الأرقام بمقدار 7 أو 11 ، أو بنسبة 13 إلى قابلية القسمة على رقم آخر - ليس أكثر من ثلاثة أرقام.

إذا كان الفرق بين مجموع الوجوه لرقم معين ، المأخوذ من خلال واحد ، قابل للقسمة على 7 أو على 11 ، أو على 13 ، فإن الرقم المعطى قابل للقسمة على 7 أو 11 أو 13 على التوالي.

مثال 3.1

حدد ما إذا كان الرقم 42623295 يقبل القسمة على 7 و 11 و 13.

المحلول.

دعنا نقسم هذا الرقم من اليمين إلى اليسار إلى وجوه مكونة من 3 أرقام. قد تحتوي الحافة اليسرى أو لا تحتوي على ثلاثة أرقام. لنحدد أيًا من الأرقام 7 أو 11 أو 13 يقسم الفرق في مجموع وجوه هذا الرقم:

623 - (295 + 42) = 286.

الرقم 286 قابل للقسمة على 11 و 13 ، لكنه لا يقبل القسمة على 7. لذلك ، العدد 42623295 قابل للقسمة على 11 و 13 ، لكن ليس على 7.

القديم والجديد حول القابلية للقسمة على 7

لسبب ما كان الرقم 7 مغرمًا جدًا بالناس ودخل أغانيهم وأقوالهم:

جرب سبع مرات ، قص مرة واحدة.

سبع مشاكل ، إجابة واحدة.

سبع جمعات في الأسبوع.

واحد مع bipod ، وسبعة بملعقة.

كثرة الطباخين يفسد الطبخة.

الرقم 7 غني ليس فقط بالأقوال ، ولكن أيضًا بعلامات التجزئة المختلفة. أنت تعرف بالفعل علامتي القسمة على 7 (بالاشتراك مع أرقام أخرى). هناك أيضًا العديد من المعايير الفردية للقسمة على 7.

دعونا نشرح أول علامة على قابلية القسمة على 7 بمثال.

لنأخذ الرقم 5236. لنكتب هذا الرقم على النحو التالي:

5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6

وفي كل مكان نستبدل القاعدة 10 بالقاعدة 3: 5 ∙ 3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168

إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة (غير قابل للقسمة) على 7 ، فإن الرقم المعطى قابل للقسمة (غير قابل للقسمة) على 7.

بما أن 168 قابلة للقسمة على 7 ، فإن 5236 قابلة للقسمة أيضًا على 7.

تعديل العلامة الأولى للقسمة على 7. اضرب الرقم الأول على يسار رقم الاختبار في 3 وأضف الرقم التالي ؛ اضرب النتيجة في 3 وأضف الرقم التالي ، إلخ إلى الرقم الأخير. للتبسيط ، بعد كل إجراء ، يُسمح بطرح 7 أو مضاعف سبعة من النتيجة. إذا كانت النتيجة النهائية قابلة للقسمة (غير قابلة للقسمة) على 7 ، فإن الرقم المحدد أيضًا قابل للقسمة (غير قابل للقسمة) على 7. بالنسبة للرقم المحدد مسبقًا 5236:

5 3 = 15 ؛ (15-14 = 1) ؛ 1 + 2 = 3 ؛ 3 3 = 9 ؛ (9-7 = 2) ؛ 2 + 3 = 5 ؛ 5 3 = 15 ؛ (15-14 = 1) ؛ 1 + 6 = 7 يقبل القسمة على 7 ، لذا 5236 يقبل القسمة على 7.

ميزة هذه القاعدة أنه من السهل تطبيقها عقليا.

العلامة الثانية للقسمة على 7. في هذه العلامة ، يجب أن تتصرف بنفس الطريقة تمامًا كما في السابقة ، مع الاختلاف الوحيد هو أن الضرب يجب ألا يبدأ من الرقم الموجود في أقصى اليسار من الرقم المحدد ، ولكن من أقصى اليمين واحد واضرب ليس في 3 بل في 5.

مثال 4.1

هل 37184 يقبل القسمة على 7؟

المحلول.

4 ∙ 5 = 20 ؛ (20-14 = 6) ؛ 6 + 8 = 14 ؛ (14-14 = 0) ؛ 0 ∙ 5 = 0 ؛ 0 + 1 = 1 ؛ 1 ∙ 5 = 5 ؛ يمكن تخطي إضافة الرقم 7 ، حيث يتم طرح الرقم 7 من النتيجة ؛ 5 ∙ 5 = 25 ؛ (25-21 = 4) ؛ 4 + 3 = 7 يقبل القسمة على 7 ، لذا فإن 37184 يقبل القسمة على 7.

الاختبار الثالث للقسمة على 7. هذا الاختبار أقل سهولة من الناحية الذهنية ، ولكنه مثير للاهتمام أيضًا.

ضاعف الرقم الأخير واطرح الثاني من اليمين ، ضاعف النتيجة وأضف الثالث من اليمين ، وهكذا دواليك ، بالتناوب بين الطرح والجمع ، وتقليل كل نتيجة ، حيثما أمكن ، بمقدار 7 أو مضاعف سبعة. إذا كانت النتيجة النهائية قابلة للقسمة (غير قابلة للقسمة) على 7 ، فإن رقم الاختبار قابل للقسمة (غير قابل للقسمة) على 7.

مثال 4.2

هل 889 يقبل القسمة على 7؟

المحلول.

9 ∙ 2 = 18 ؛ 18-8 = 10 ؛ 10 2 = 20 ؛ 20 + 8 = 28 أو

9 ∙ 2 = 18 ؛ (18-7 = 11) 11-8 = 3 ؛ 3 2 = 6 ؛ 6 + 8 = 14 يقبل القسمة على 7 ، لذا فإن 889 يقبل القسمة على 7.

والمزيد من علامات القابلية للقسمة على 7. إذا كان أي رقم مكون من رقمين قابلاً للقسمة على 7 ، فإنه يقبل القسمة على 7 والرقم مقلوب ، ويزداد برقم عشرات من هذا الرقم.

مثال 4.3

14 يقبل القسمة على 7 ، لذا فإن الرقم 7 يقبل القسمة على 41 + 1.

35 يقبل القسمة على 7 ، لذا فإن 53 + 3 يقبل القسمة على 7.

إذا كان أي رقم مكون من ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 7 ، فإنه يقبل القسمة على 7 والرقم مقلوب ، ويختزل بالفرق بين أرقام الوحدات ومئات هذا الرقم.

مثال 4.4

الرقم 126 قابل للقسمة على 7. لذلك ، فإن الرقم 621 - (6-1) قابل للقسمة على 7 ، أي 616.

مثال 4.5

الرقم 693 قابل للقسمة على 7. لذلك ، فإن الرقم 396 قابل للقسمة أيضًا على 7 - (3-6) ، أي 399.

توسيع معيار القابلية للقسمة بمقدار 7 على أرقام أخرى

يمكن استخدام المعايير الثلاثة المذكورة أعلاه لقسمة الأرقام على 7 لتحديد قابلية القسمة على رقم على 13 و 17 و 19.

لتحديد قابلية القسمة على رقم معين على 13 أو 17 أو 19 ، اضرب الرقم الموجود في أقصى اليسار من الرقم قيد الاختبار في 3 أو 7 أو 9 على التوالي ، واطرح الرقم التالي ؛ اضرب النتيجة مرة أخرى ، على التوالي ، في 3 أو 7 أو 9 وأضف الرقم التالي ، وما إلى ذلك ، بالتناوب مع الطرح وإضافة الأرقام اللاحقة بعد كل عملية ضرب. بعد كل إجراء ، يمكن تقليل النتيجة أو زيادتها ، على التوالي ، بالرقم 13 أو 17 أو 19 أو مضاعفاتها.

إذا كانت النتيجة النهائية قابلة للقسمة (غير قابلة للقسمة) على 13 و 17 و 19 ، فإن الرقم المحدد يكون أيضًا قابلاً للقسمة (غير قابل للقسمة).

مثال 5.1

هل الرقم 2075427 يقبل القسمة على 19؟

المحلول.

2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);

2 + 4 = 6 ؛ 6 ∙ 9 = 54 ؛ (54-19 ∙ 2 = 16) ؛ 16-2 = 14 ؛ 14 9 = 126 ؛ (126-19 ∙ 6 = = 12) ؛ 12 + 7 = 19 يقبل القسمة على 19 ، لذا فإن 2075427 يقبل القسمة على 19.

اختبار القسمة المعمم

تبين أن فكرة تشريح رقم إلى الوجوه مع إضافتها اللاحقة لتحديد قابلية القسمة على رقم معين كانت مثمرة للغاية وأدت إلى معيار موحد لقسمة الأرقام متعددة القيم على مجموعة كبيرة إلى حد ما من الأعداد الأولية . إحدى مجموعات قواسم "السعيدة" كلها عوامل عدد صحيح ص من الرقم د = 10 ن + 1 ، حيث ن = 1 ، 2 ، 3.4 ، ... (لقيم ن الكبيرة ، المعنى العملي للعلامة ضائع).

101

101

1001

7, 11, 13

10001

73, 137

2) قم بطي الوجوه بواحد ، بدءًا من أقصى اليمين ؛

3) طي الوجوه المتبقية ؛

4) اطرح المبلغ الأصغر من المبلغ الأكبر.

إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة على p ، فإن الرقم المعطى قابل للقسمة أيضًا على p.

لذلك ، لتحديد قابلية القسمة على رقم 11 (ص \ u003d 11) ، قمنا بقص الرقم على وجه رقم واحد (n \ u003d 1). بالمضي قدمًا كما هو موضح ، وصلنا إلى الاختبار المعروف جيدًا للقسمة على 11.

عند تحديد قابلية القسمة على رقم على 7 أو 11 أو 13 (ع = 7 ، 11 ، 13) ، نقطع 3 أرقام لكل منها (ن = 3). عند تحديد قابلية القسمة على رقم 73 و 137 ، نقطع 4 أرقام لكل منها (ن = 4).

مثال 6.1

اكتشف قابلية القسمة على العدد المكون من خمسة عشر خانة 837362172504831 على 73 وعلى 137 (ص = 73 ، 137 ، ن = 4).

المحلول.

نقسم الرقم إلى وجوه: 837 3621 7250 4831.

نضيف الوجوه من خلال واحد: 4931 + 3621 = 8452 ؛ 7250 + 837 = 8087.

اطرح المقدار الأصغر من المقدار الأكبر: 8452-8087 = 365.

365 يقبل القسمة على 73 ، لكن لا يقبل القسمة على 137 ؛ لذا فإن الرقم المعطى يقبل القسمة على 73 ولكن ليس على 137.

المجموعة الثانية من القواسم "المحظوظة" هي عوامل العدد الصحيح الزائف p للرقم d = 10n -1 ، حيث n = 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، ...

الرقم d = 10n -1 يعطي القواسم التالية:

ن

د

ص

1

9

3

3

999

37

5

99 999

41, 271

لتحديد قابلية أي رقم للقسمة على أي من هذه الأرقام p ، فإنك تحتاج إلى:

1) قم بقص الرقم المعطى من اليمين إلى اليسار (من الوحدات) إلى الوجوه مع عدد n من الأرقام لكل منها (كل p لها n الخاصة بها ؛ يمكن أن يحتوي الوجه الموجود في أقصى اليسار على أقل من n رقم) ؛

2) أضعاف كل الوجوه.

إذا كانت النتيجة قابلة للقسمة (غير قابلة للقسمة) على p ، فإن الرقم المحدد أيضًا قابل للقسمة (غير قابل للقسمة).

لاحظ أن 999 = 9 ∙ 111 ، مما يعني أن 111 قابلة للقسمة على 37 ، ولكن بعد ذلك الأرقام 222 و 333 و 444 و 555 و 666 و 777 و 888 قابلة للقسمة أيضًا على 37.

بالمثل: 11111 يقبل القسمة على 41 وعلى 271.

فضول القسمة

في الختام ، أود أن أقدم أربعة أعداد مذهلة من عشرة أرقام:

2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.

يحتوي كل منهم على جميع الأرقام من 0 إلى 9 ، ولكن كل رقم مرة واحدة فقط وكل رقم من هذه الأرقام قابل للقسمة على 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 و 15 و 16 و 17 و 18.

الاستنتاجات

نتيجة لهذا العمل ، توسعتالمعرفة في الرياضيات. أناتعلمت أنه بالإضافة إلى العلامات المعروفة لي في 2 و 3 و 5 و 9 و 10 ، هناك أيضًا علامات على القسمة على 4 و 6 و 7 و 8 و 11 و 12 و 13 و 14 و 15 و 19 و 25 ، 50 ، 125 وأرقام أخرى ، ويمكن أن تختلف علامات القابلية للقسمة على نفس الرقم ، مما يعني أنه يوجد دائمًا مكان للإبداع.

العمل هو النظري والاستخدام العملي. ستكون هذه الدراسة مفيدة في التحضير للأولمبيات والمسابقات.

بعد أن تعرفت على علامات تقسيم الأرقام ، أعتقد أنه يمكنني استخدام المعرفة المكتسبة في أنشطتي التعليمية ، وتطبيق هذه العلامة أو تلك بشكل مستقل على مهمة محددة ، وتطبيق العلامات المكتسبة في موقف حقيقي. في المستقبل ، أنوي مواصلة العمل على دراسة علامات قابلية الأرقام للقسمة.

المؤلفات

1. ن. فوروبيوف "علامات الانقسام" موسكو "ناوكا" 1988

2. K. I. Shchevtsov، G. P. Bevz "Handbook of Primary mathematics" Kyiv "Naukova Dumka" 1965

3. M. Ya. Vygodsky "كتيب الرياضيات الابتدائية" موسكو "Nauka" 1986

4. موارد الإنترنت

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات الوظائف" بتنسيق PDF

مقدمة

في دروس الرياضيات ، عند دراسة موضوع "علامات التجزئة" ، حيث تعرفنا على علامات القسمة على 2 ؛ 5 ؛ 3 ؛ 9 ؛ 10 ، كنت مهتمًا بما إذا كانت هناك علامات على القسمة على أرقام أخرى ، وما إذا كانت هناك طريقة عالمية للقسمة على أي عدد طبيعي. لذلك بدأت في إجراء بحث حول هذا الموضوع.

الغرض من الدراسة:دراسة علامات القسمة على الأعداد الطبيعية حتى 100 ، إضافة العلامات المعروفة بالفعل لقسمة الأعداد الطبيعية ككل ، درس في المدرسة.

لتحقيق الهدف تم تعيينه مهام:

جمع ودراسة وتنظيم المواد المتعلقة بعلامات تقسيم الأعداد الطبيعية باستخدام مصادر المعلومات المختلفة.

ابحث عن معيار عالمي للقسمة على أي عدد طبيعي.

تعرف على كيفية استخدام اختبار باسكال للقسمة لتحديد إمكانية قسمة الأرقام ، وحاول أيضًا صياغة إشارات القسمة على أي عدد طبيعي.

موضوع الدراسة:قسمة الأعداد الطبيعية.

موضوع الدراسة:علامات قسمة الأعداد الطبيعية.

طرق البحث:جمع المعلومات؛ العمل مع المواد المطبوعة ؛ التحليلات؛ تركيب؛ تشبيه. مقابلة؛ استجواب تنظيم المواد وتعميمها.

فرضية البحث:إذا كان من الممكن تحديد قابلية قسمة الأعداد الطبيعية على 2 ، 3 ، 5 ، 9 ، 10 ، فلا بد من وجود إشارات يمكن بواسطتها تحديد قابلية تقسيم الأعداد الطبيعية على أعداد أخرى.

بدعةالعمل البحثي الذي تم إجراؤه هو أن هذا العمل ينظم المعرفة حول علامات القابلية للقسمة والطريقة العالمية لقسمة الأعداد الطبيعية.

أهمية عملية: يمكن استخدام مادة هذا البحث في الصفوف من السادس إلى الثامن في فصول اختيارية عند دراسة موضوع "قسمة الأعداد".

الفصل الأول: تعريف وخصائص قسمة الأعداد

1.1 تعريفات لمفاهيم القسمة وعلاماتها وخصائصها.

نظرية الأعداد هي فرع من فروع الرياضيات يدرس خصائص الأعداد. الهدف الرئيسي لنظرية الأعداد هو أعداد صحيحة. الخاصية الرئيسية ، والتي تعتبر من خلال نظرية الأعداد ، هي القسمة. تعريف:العدد الصحيح أ قابل للقسمة على عدد صحيح ب لا يساوي الصفر إذا كان هناك عدد صحيح ك مثل أن أ = ب ك (على سبيل المثال ، 56 قابل للقسمة على 8 ، لأن 56 = 8 × 7). علامة القسمة- قاعدة تسمح لك بتحديد ما إذا كان رقم طبيعي معين قابل للقسمة على بعض الأرقام الأخرى ، أي دون أن يترك أثرا.

خصائص القسمة:

أي رقم غير صفري يقبل القسمة على نفسه.

الصفر قابل للقسمة على أي ب لا يساوي صفرًا.

إذا كان a يقبل القسمة على b (b0) وكان b يقبل القسمة على c (c0) ، فإن a يقبل القسمة على c.

إذا كانت a قابلة للقسمة على b (b0) وكانت b قابلة للقسمة على a (a0) ، فإن a و b إما رقمان متساويان أو متعاكسان.

1.2 خصائص القسمة للمجموع والمنتج:

إذا كان كل مصطلح في مجموع الأعداد الصحيحة قابلاً للقسمة على عدد ما ، فإن المجموع قابل للقسمة على هذا الرقم.

2) إذا كان الفرق في الأعداد الصحيحة قابلاً للقسمة على رقم معين ، فإن الفرق أيضًا قابل للقسمة على رقم معين.

3) إذا كانت جميع المصطلحات في مجموع الأعداد الصحيحة قابلة للقسمة على عدد ما ، باستثناء واحد ، فإن المجموع لا يقبل القسمة على هذا الرقم.

4) إذا كان أحد العوامل في حاصل ضرب الأعداد الصحيحة قابلاً للقسمة على عدد ما ، فإن المنتج أيضًا قابل للقسمة على هذا الرقم.

5) إذا كان أحد العاملين في حاصل ضرب الأعداد الصحيحة يقبل القسمة على m والآخر على n ، فإن المنتج يقبل القسمة على mn.

بالإضافة إلى ذلك ، أثناء دراسة علامات تقسيم الأرقام ، تعرفت على المفهوم "الجذر الرقمي". لنأخذ عددًا طبيعيًا. لنجد مجموع أرقامه. نجد أيضًا مجموع أرقام النتيجة ، وهكذا حتى نحصل على رقم مكون من رقم واحد. النتيجة تسمى الجذر الرقمي للرقم. على سبيل المثال ، الجذر الرقمي لـ 654321 هو 3: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.2 + 1 = 3. والآن يمكنك التفكير في السؤال: "ما هي علامات القابلية للقسمة وهل هناك علامة عامة على قابلية رقم على آخر؟"

الباب الثاني. علامات قسمة الأعداد الطبيعية.

2.1. علامات القسمة على 2،3،5،9،10.

من بين علامات القابلية للقسمة ، فإن أكثرها ملاءمة وشهرة من دورة الرياضيات لمدرسة الصف السادس هي:

يقبل القسمة على 2. إذا انتهى سجل عدد طبيعي برقم زوجي أو صفر ، فإن الرقم يقبل القسمة على 2. الرقم 52738 يقبل القسمة على 2 ، لأن الرقم الأخير 8 هو زوجي.

يقبل القسمة على 3 . إذا كان مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 3 ، فإن الرقم قابل للقسمة على 3 (الرقم 567 قابل للقسمة على 3 ، نظرًا لأن 5 + 6 + 7 = 18 ، و 18 يقبل القسمة على 3.)

يقبل القسمة على 5. إذا انتهى سجل عدد طبيعي بالرقم 5 أو صفر ، فإن الرقم قابل للقسمة على 5 (الأرقام 130 و 275 قابلة للقسمة على 5 ، لأن آخر رقمين هما 0 و 5 ، لكن الرقم 302 هو غير قابلة للقسمة على 5 ، لأن الأرقام الأخيرة ليست 0 و 5).

يقبل القسمة على 9. إذا كان مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9 ، فإن الرقم قابل للقسمة على 9 (676332 يقبل القسمة على 9 لأن 6 + 7 + 6 + 3 + 3 + 2 = 27 ، و 27 يقبل القسمة على 9).

يقبل القسمة على 10 . إذا انتهى سجل رقم طبيعي بالرقم 0 ، فإن هذا الرقم قابل للقسمة على 10 (230 قابل للقسمة على 10 ، لأن آخر رقم من الرقم هو 0).

2.2. علامات القابلية للقسمة على 4،6،8،11،12،13 ، إلخ.

بعد العمل مع مصادر مختلفة ، تعلمت علامات أخرى على القابلية للقسمة. سوف أصف بعض منهم.

قسمة 6 . نحتاج إلى التحقق من قابلية القسمة على الرقم الذي يهمنا على 2 و 3. الرقم قابل للقسمة على 6 إذا وفقط إذا كان زوجيًا ، وجذره الرقمي قابل للقسمة على 3. (على سبيل المثال ، 678 قابل للقسمة على 6 ، نظرًا لأنه زوجي و 6 + 7 + 8 = 21 ، 2 + 1 = 3) علامة أخرى على القابلية للقسمة: الرقم قابل للقسمة على 6 إذا وفقط إذا كان عدد العشرات المضافة إلى عدد الآحاد يقبل القسمة على أربعة أضعاف على 6. (73.7 * 4 + 3 = 31 ، 31 لا يقبل القسمة على 6 ، لذا فإن 7 لا يقبل القسمة على 6.)

قسمة 8. الرقم قابل للقسمة على 8 إذا وفقط إذا كانت الأرقام الثلاثة الأخيرة منه تشكل رقمًا يقبل القسمة على 8. (12224 يقبل القسمة على 8 لأن 224: 8 = 28). العدد المكون من ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 8 فقط إذا كان عدد الآحاد مضافًا إلى ضعف عدد العشرات وأربعة أضعاف عدد المئات يقبل القسمة على 8. على سبيل المثال ، 952 يقبل القسمة على 8 لأن الرقم 8 يقبل القسمة على 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48.

اقسم على 4 وعلى 25. إذا كان آخر رقمين عبارة عن أصفار أو يعبران عن رقم قابل للقسمة على 4 أو (و) على 25 ، فإن الرقم قابل للقسمة على 4 أو (و) على 25 (الرقم 1500 قابل للقسمة على 4 و 25 ، لأنه ينتهي برقمين الأصفار ، الرقم 348 قابل للقسمة على 4 ، لأن الرقم 48 قابل للقسمة على 4 ، لكن هذا الرقم لا يقبل القسمة على 25 ، لأن 48 لا يقبل القسمة على 25 ، والعدد 675 يقبل القسمة على 25 ، لأن 75 يقبل القسمة على 25 ، ولكن لا يقبل القسمة على 4 ، لذا فإن ك 75 لا يقبل القسمة على 4).

من خلال معرفة العلامات الرئيسية للقسمة على الأعداد الأولية ، يمكننا استنباط علامات القابلية للقسمة بواسطة الأعداد المركبة:

علامة على القسمة11 . إذا كان الفرق بين مجموع الأرقام في الأماكن الزوجية ومجموع الأرقام في الأماكن الفردية قابلاً للقسمة على 11 ، فإن الرقم أيضًا قابل للقسمة على 11 (الرقم 593868 قابل للقسمة على 11 ، لأن 9 + 8 + 8 = 25 و 5 + 3 + 6 = 14 ، الفرق بينهما هو 11 ، و 11 يقبل القسمة على 11).

علامة القسمة على 12:الرقم قابل للقسمة على 12 فقط إذا كان الرقمان الأخيران يقبلان القسمة على 4 وكان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3.

لان 12 = 4 3 ، أي يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 4 و 3.

علامة القسمة على 13:الرقم قابل للقسمة على 13 إذا وفقط إذا كان المجموع البديل للأرقام المكونة من ثلاثة توائم متتالية من الأرقام من الرقم المحدد قابل للقسمة على 13. كيف تعرف ، على سبيل المثال ، أن الرقم 354862625 يقبل القسمة على 13؟ 625-862 + 354 = 117 يقبل القسمة على 13 ، 117: 13 = 9 ، لذا فإن 354862625 يقبل القسمة أيضًا على 13.

علامة القسمة على 14:الرقم قابل للقسمة على 14 إذا وفقط إذا انتهى برقم زوجي وإذا كانت نتيجة طرح ضعف الرقم الأخير من هذا الرقم بدون آخر رقم قابلة للقسمة على 7.

لان 14 = 2 7 ، أي يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 و 7.

علامة القسمة على 15:الرقم قابل للقسمة على 15 إذا وفقط إذا انتهى بالرقم 5 و 0 وكان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 3.

لان 15 = 3 5 ، أي يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 3 و 5.

علامة القسمة على 18:الرقم قابل للقسمة على 18 إذا وفقط إذا انتهى برقم زوجي ومجموع أرقامه قابل للقسمة على 9.

لأن k18 = 2 ∙ 9 ، أي يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 و 9.

علامة القسمة على 20:الرقم قابل للقسمة على 20 إذا وفقط إذا انتهى الرقم بـ 0 وكان الرقم قبل الأخير زوجيًا.

لان 20 = 10 2 أي يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 و 10.

علامة القسمة على 25:الرقم المكون من ثلاثة أرقام على الأقل يقبل القسمة على 25 إذا وفقط إذا كان الرقم المكون من آخر رقمين قابلاً للقسمة على 25.

علامة على القسمة30 .

علامة على القسمة59 . الرقم قابل للقسمة على 59 إذا وفقط إذا كان عدد العشرات المضاف إلى عدد الآحاد مضروبًا في 6 يقبل القسمة على 59. على سبيل المثال ، 767 قابل للقسمة على 59 ، نظرًا لأن 76 + 6 * 7 = 118 و 11 + 6 * قابلة للقسمة على 59 8 = 59.

علامة على القسمة79 . الرقم قابل للقسمة على 79 إذا وفقط إذا كان عدد العشرات المضافة إلى عدد الوحدات مضروبًا في 8 يقبل القسمة على 79. على سبيل المثال ، 711 يقبل القسمة على 79 ، لأن 71 + 8 * 1 = 79 يقبل القسمة على 79.

علامة على القسمة99. الرقم قابل للقسمة على 99 إذا وفقط إذا كان مجموع الأرقام المكونة لمجموعات مكونة من رقمين (بدءًا من الوحدات) قابلاً للقسمة على 99. على سبيل المثال ، 12573 يقبل القسمة على 99 ، لأن 1 + 25 + 73 = 99 يقبل القسمة على 99.

علامة على القسمة100 . فقط هذه الأرقام قابلة للقسمة على 100 إذا كان آخر رقمين هما أصفار.

علامة القسمة على 125:الرقم المكون من أربعة أرقام على الأقل يقبل القسمة على 125 إذا وفقط إذا كان الرقم المكون من آخر ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 125.

يتم تلخيص جميع الميزات المذكورة أعلاه في شكل جدول. (المرفقات 1)

2.3 علامات القسمة على 7.

1) خذ الرقم 5236 للاختبار. لنكتب هذا الرقم على النحو التالي: 5236 = 5 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6 = 10 3 * 5 + 10 2 * 2 + 10 * 3 + 6 ("نظامي »نموذج تدوين الأرقام) ، وفي كل مكان نستبدل الأساس 10 بالقاعدة 3) ؛ 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \ u003d 168. إذا كان الرقم الناتج قابلاً للقسمة (غير قابل للقسمة) على 7 ، فإن هذا الرقم قابل للقسمة (غير قابل للقسمة) على 7. نظرًا لأن 168 قابلة للقسمة على 7 ، إذن 5236 يقبل القسمة على 7. 68: 7 = 24 ، 5236: 7 = 748.

2) في هذه العلامة ، يجب أن تتصرف بنفس الطريقة تمامًا كما في السابقة ، مع الاختلاف الوحيد هو أن الضرب يجب أن يبدأ من أقصى اليمين وأن يضرب ليس في 3 ، ولكن في 5. (5236 مقسومًا على 7 ، منذ 6 * 5 3 + 3 * 5 2 + 2 * 5 + 5 = 840 ، 840: 7 = 120)

3) هذه العلامة أقل سهولة في التنفيذ في العقل ، ولكنها أيضًا مثيرة جدًا للاهتمام. ضاعف الرقم الأخير واطرح الثاني من اليمين ، ضاعف النتيجة وأضف الثالث من اليمين ، إلخ ، بالتناوب بين الطرح والجمع ، وتقليل كل نتيجة ، حيثما أمكن ، بمقدار 7 أو مضاعف سبعة. إذا كانت النتيجة النهائية قابلة للقسمة (غير قابلة للقسمة) على 7 ، فإن رقم الاختبار أيضًا قابل للقسمة (غير قابل للقسمة) على 7. ((6 * 2-3) * 2 + 2) * 2-5 = 35 ، 35: 7 = 5.

4) الرقم قابل للقسمة على 7 إذا وفقط إذا كان المجموع البديل للأرقام المكونة من ثلاثة توائم متتالية من الأرقام من الرقم المحدد يقبل القسمة على 7. كيف تعرف ، على سبيل المثال ، أن الرقم 363862625 يقبل القسمة على 7؟ 625-862 + 363 = 126 قابل للقسمة على 7 ، 126: 7 = 18 ، لذلك 363862625 يقبل القسمة أيضًا على 7 ، 363862625: 7 = 51980375.

5) من أقدم علامات القسمة على 7 ما يلي. يجب أخذ أرقام الرقم بترتيب عكسي ، من اليمين إلى اليسار ، وضرب الرقم الأول في 1 ، والثاني في 3 ، والثالث في 2 ، والرابع في -1 ، والخامس في -3 ، والسادس في - 2 ، إلخ. (إذا كان عدد الأحرف أكبر من 6 ، فيجب تكرار تسلسل العوامل 1 ، 3 ، 2 ، -1 ، -3 ، -2 عدة مرات حسب الضرورة). يجب إضافة المنتجات الناتجة. الرقم الأصلي قابل للقسمة على 7 إذا كان المجموع المحسوب يقبل القسمة على 7. هنا ، على سبيل المثال ، ما تعطيه هذه الميزة للرقم 5236. 1 * 6 + 3 * 3 + 2 * 2 + 5 * (- 1) = 14. 14: 7 = 2 ، لذا فإن الرقم 5236 قابل للقسمة أيضًا على 7.

6) الرقم قابل للقسمة على 7 إذا وفقط إذا كان العدد الثلاثي للعشرات ، مضافًا إلى عدد الآحاد ، قابلًا للقسمة على 7. على سبيل المثال ، 154 قابل للقسمة على 7 ، نظرًا لأن 7 هو الرقم 49 ، والذي نحصل عليه هذا الأساس: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4. علامة باسكال.

قدم عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي ب. باسكال (1623-1662) مساهمة كبيرة في دراسة علامات قابلية تقسيم الأعداد. وجد خوارزمية لإيجاد معايير لقسمة أي عدد صحيح على أي عدد صحيح آخر ، والتي نشرها في أطروحة "حول طبيعة قابلية الأرقام". جميع علامات القسمة المعروفة حاليًا تقريبًا هي حالة خاصة لعلامة باسكال: "إذا كان مجموع الباقي عند قسمة عددأ بالأرقام لكل رقمفي مقسومة علىفي ثم الرقمأ مقسومة علىفي ». مع العلم أنه مفيد حتى اليوم. كيف يمكننا إثبات معايير القسمة التي تمت صياغتها أعلاه (على سبيل المثال ، معيار القسمة على 7 ، وهو مألوف لنا)؟ سأحاول الإجابة على هذا السؤال. لكن أولاً ، لنتفق على طريقة لكتابة الأعداد. لكتابة رقم تتم الإشارة إلى أرقامه بالحروف ، نوافق على رسم خط فوق هذه الأحرف. وبالتالي ، سيشير abcdef إلى عدد به وحدات f ، e عشرات ، d مئات ، إلخ:

abcdef = أ. 10 5 + ب. 10 4 + ج. 10 3 + د. 10 2 + هـ. 10 + ص. الآن سأثبت اختبار القابلية للقسمة بالصيغة 7. لدينا:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(الباقي بعد القسمة على 7).

نتيجة لذلك ، نحصل على القاعدة الخامسة التي تمت صياغتها أعلاه: لمعرفة ما تبقى من قسمة عدد طبيعي على 7 ، تحتاج إلى توقيع المعاملات (الباقي من القسمة) تحت أرقام هذا الرقم من اليمين إلى اليسار: ثم تحتاج إلى ضرب كل رقم بالمعامل الموجود أسفله وإضافة الناتج الناتج منتجات؛ المجموع الذي تم العثور عليه سيكون له نفس الباقي عند قسمة 7 على العدد المأخوذ.

لنأخذ الرقمين 4591 و 4907 كمثال ، وبالعمل كما هو موضح في القاعدة ، نجد النتيجة:

-1 2 3 1

4 + 10 + 27 + 1 = 38-4 = 34: 7 = 4 (الباقي 6) (غير قابل للقسمة على 7)

-1 2 3 1

4 + 18 + 0 + 7 = 25-4 = 21: 7 = 3 (يقبل القسمة على 7)

بهذه الطريقة ، يمكنك العثور على معيار للقسمة على أي رقم ر.من الضروري فقط العثور على المعاملات (الباقي من القسمة) التي يجب توقيعها تحت أرقام الرقم المأخوذ أ. للقيام بذلك ، تحتاج إلى استبدال كل قوة عشرة 10 ، إن أمكن ، بنفس الباقي عند القسمة على ركرقم 10. متى ر= 3 أو ر = 9 ، اتضح أن هذه المعاملات بسيطة للغاية: فجميعها تساوي 1. لذلك ، تبين أن اختبار القابلية للقسمة على 3 أو 9 بسيط للغاية. في ر= 11 ، كانت المعاملات أيضًا غير معقدة: فهي تساوي بالتناوب 1 و - 1. ومتى ر = 7اتضح أن المعاملات أكثر صعوبة ؛ لذلك ، تبين أن معيار القسمة على 7 أكثر تعقيدًا. بعد أن نظرت في علامات القسمة حتى 100 ، كنت مقتنعًا أن أكثر المعاملات تعقيدًا للأعداد الطبيعية هي 23 (من 10 23 المعامِلات متكررة) ، 43 (من 10 39 المعامِلات متكررة).

يمكن تقسيم جميع علامات تقسيم الأعداد الطبيعية المدرجة إلى 4 مجموعات:

مجموعة واحدة- عندما يتم تحديد قابلية الأرقام للقسمة على الرقم الأخير (ميل) - فهذه علامات على قابلية القسمة على 2 ، على 5 ، بوحدة بت ، على 4 ، على 8 ، في 25 ، على 50.

2 مجموعة- عندما يتم تحديد قابلية الأرقام للقسمة بمجموع أرقام العدد ، فهذه علامات على قابلية القسمة على 3 ، على 9 ، على 7 ، على 37 ، على 11 (علامة واحدة).

3 مجموعة- عندما يتم تحديد قابلية قسمة الأرقام بعد تنفيذ بعض الإجراءات على أرقام الرقم ، فهذه علامات على القابلية للقسمة على 7 ، على 11 (علامة واحدة) ، على 13 ، على 19.

4 مجموعة- عند استخدام علامات أخرى للقسمة لتحديد قابلية القسمة على رقم ، فهذه علامات على قابلية القسمة على 6 ، على 15 ، على 12 ، على 14.

جزء تجريبي

مقابلة

تم إجراء الاستطلاع بين طلاب الصفين السادس والسابع. شارك 58 طالبًا من مدرسة MOBU Karaidel الثانوية رقم 1 في منطقة MR Karaidel في جمهورية بيلاروسيا في المسح. طُلب منهم الإجابة على الأسئلة التالية:

هل تعتقد أن هناك علامات أخرى للقسمة تختلف عن تلك التي تمت دراستها في الدرس؟

هل هناك علامات على القسمة على الأعداد الطبيعية الأخرى؟

هل ترغب في معرفة علامات القسمة هذه؟

هل تعرف أي دلائل على قابلية الأعداد الطبيعية للقسمة؟

وأظهرت نتائج الاستطلاع أن 77٪ من المبحوثين يعتقدون أن هناك علامات أخرى على التقسيم غير تلك التي تدرس في المدرسة. 9٪ لا يعتقدون ذلك ، و 13٪ من المجيبين وجدوا صعوبة في الإجابة. إلى السؤال الثاني "هل ترغب في معرفة علامات القسمة على الأعداد الطبيعية الأخرى؟" أجاب 33٪ بالإيجاب ، و 17٪ أجابوا بـ "لا" ، و 50٪ وجدوا صعوبة في الإجابة. على السؤال الثالث أجاب بالإيجاب 100٪. أما السؤال الرابع فكانت الإجابة إيجابية بنسبة 89٪ ، والإجابة بـ "لا" - 11٪ من الطلاب الذين شاركوا في الاستطلاع أثناء العمل البحثي.

استنتاج

وهكذا ، في سياق العمل ، تم حل المهام التالية:

درس مادة نظريةبشأن هذه المسألة؛

بالإضافة إلى العلامات المعروفة لي في 2 و 3 و 5 و 9 و 10 ، علمت أن هناك أيضًا علامات على القسمة على 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 19 ، إلخ. . ؛

3) درس علامة باسكال - علامة عالمية للقسمة على أي عدد طبيعي ؛

من خلال العمل مع مصادر مختلفة ، وتحليل المواد الموجودة في الموضوع قيد الدراسة ، أصبحت مقتنعًا أن هناك علامات على القسمة على الأرقام الطبيعية الأخرى. على سبيل المثال ، في 7 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 19 ، 37 ، والتي أكدت صحة فرضيتي حول وجود علامات أخرى لقسمة الأعداد الطبيعية. اكتشفت أيضًا أن هناك علامة عالمية على القابلية للقسمة ، وجد خوارزمية هذه الخوارزمية من قبل عالم الرياضيات الفرنسي باسكال بليز ونشرها في أطروحته "حول طبيعة قابلية الأرقام للقسمة". باستخدام هذه الخوارزمية ، يمكنك الحصول على علامة القابلية للقسمة على أي رقم طبيعي.

نتيجة العمل البحثيأصبحت مادة منظمة في شكل جدول "علامات قسمة الأرقام" ، والتي يمكن استخدامها في دروس الرياضيات ، في الأنشطة اللامنهجية من أجل إعداد الطلاب لحل مشاكل الأولمبياد ، في إعداد الطلاب لـ OGE وامتحان الدولة الموحدة .

في المستقبل ، أعتزم مواصلة العمل على تطبيق إشارات قابلية القسمة على الأرقام لحل المشكلات.

قائمة المصادر المستخدمة

فيلينكين نيا ، جوخوف ف.إ. ، تشيسنوكوف أ.س. ، شفارتسبورد س. رياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / - 25th ed.، ster. - م: Mnemozina، 2009. - 288 ص.

فوروبيوف ف. علامات القسمة. - م: نوكا ، 1988. - 96 ثانية.

فيجودسكي م. كتيب الرياضيات الابتدائية. - إليستا: جهنجار ، 1995. - 416 ص.

Gardner M. الترفيه الرياضي. / تحت. إد. يا سمورودينسكي. - م: Oniks ، 1995. - 496 ص.

جلفمان إي جي ، بيك إي إف. إلخ. قضية القسمة وقصص أخرى: الدورة التعليميةفي الرياضيات للصف السادس. - تومسك: دار النشر توم أون تا ، 1992. - 176 ص.

Gusev V. A.، Mordkovich A.G. الرياضيات: المرجع. المواد: كتاب. للطلاب. - الطبعة الثانية - م: التعليم ، 1990. - 416 ص.

Gusev V.A. ، Orlov A.I. ، Rozental A.V. العمل اللامنهجي في الرياضيات في الصفوف 6-8. موسكو: التعليم ، 1984 - 289 ثانية.

Depman I.Ya.، Vilenkin N.Ya. خلف صفحات كتاب رياضيات. م: التنوير ، 1989. - 97 ص.

كولانين إي دي الرياضيات. الدليل. -M: EKSMO-Press، 1999-224p.

Perelman Ya.I. مسلية الجبر. م: تريادا-ليرا ، 1994. -199s.

تاراسوف ب. باسكال. -M: مول. حارس ، 1982. -334 ثانية.

http://dic.academic.ru/ (ويكيبيديا - الموسوعة المجانية).

http://www.bymath.net (موسوعة).

المرفقات 1

جدول علامات الانقسام

	إشارة	مثال
	الرقم ينتهي برقم زوجي.	………………2(4,6,8,0)
	مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	عدد آخر رقمين فيهما أصفار أو يقبل القسمة على 4.	………………12
	الرقم ينتهي بـ 5 أو 0.	………………0(5)
	ينتهي الرقم برقم زوجي ويقبل مجموع الأرقام على 3.	375018: رقم 8 زوجي 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	نتيجة طرح ضعف الرقم الأخير من هذا الرقم بدون آخر رقم يقبل القسمة على 7.	36 - (2 × 4) = 28 ، 28: 7
	الأرقام الثلاثة الأخيرة من الرقم هي أصفار أو تشكل رقمًا يقبل القسمة على 8.	……………..064
	مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	الرقم ينتهي بصفر	………………..0
	مجموع أرقام الرقم الذي يحتوي على أرقام بديلة يقبل القسمة على 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	الرقمان الأخيران من رقم يقبلان القسمة على 4 ومجموع الأرقام قابل للقسمة على 3.	2 + 1 + 6 = 9 ، 9: 3 و 16: 4
	عدد عشرات من عدد معين ، مضافًا إلى أربعة أضعاف عدد الوحدات ، هو مضاعف 13.	84 + (4 × 5) = 104 ،
	ينتهي العدد برقم زوجي وعندما تكون نتيجة طرح ضعف الرقم الأخير من هذا الرقم بدون الرقم الأخير قابلة للقسمة على 7.	364: 4 عدد زوجي 36 - (2 × 4) = 28 ، 28: 7
	العدد 5 و 0 ومجموع الأرقام يقبل القسمة على 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	الأرقام الأربعة الأخيرة من الرقم هي أصفار أو تشكل رقمًا يقبل القسمة على 16.	…………..0032
	عدد عشرات من رقم معين ، مضافًا إلى عدد الوحدات التي زادت بمقدار 12 مرة ، هو مضاعف 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306 ← 30 + 72 = 102 ← 10 + 24 = 34. بما أن 34 يقبل القسمة على 17 ، فإن 29053 يقبل القسمة أيضًا على 17
	ينتهي الرقم برقم زوجي ويقبل مجموع أرقامه على 9.	2034: 4 عدد زوجي
	عدد عشرات من عدد معين ، مضافًا إليه ضعف عدد الوحدات ، هو مضاعف 19	64 + (6 × 2) = 76
	الرقم ينتهي بـ 0 والرقم قبل الأخير هو زوجي	…………………40
	العدد الذي يتكون من آخر رقمين يقبل القسمة على 25	…………….75
	الرقم قابل للقسمة على 30 إذا وفقط إذا انتهى بـ 0 وكان مجموع كل الأرقام يقبل القسمة على 3.	……………..360
	الرقم قابل للقسمة على 59 إذا وفقط إذا كان عدد العشرات المضاف إلى عدد الآحاد مضروبًا في 6 يقبل القسمة على 59.	على سبيل المثال ، 767 يقبل القسمة على 59 ، لأن 76 + 6 * 7 = 118 و 11 + 6 * 8 = 59 قابلة للقسمة على 59.
	الرقم قابل للقسمة على 79 إذا وفقط إذا كان عدد العشرات المضاف إلى عدد الآحاد مضروبًا في 8 يقبل القسمة على 79.	على سبيل المثال ، 711 يقبل القسمة على 79 ، لأن 79 يقبل القسمة على 71 + 8 * 1 = 79
	الرقم قابل للقسمة على 99 إذا وفقط إذا كان مجموع الأرقام المكونة لمجموعات مكونة من رقمين (بدءًا من الوحدات) قابلاً للقسمة على 99.	على سبيل المثال ، 12573 يقبل القسمة على 99 ، لأن 1 + 25 + 73 = 99 يقبل القسمة على 99.
في 125	العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 125	……………375

تستمر سلسلة من المقالات حول علامات القسمة علامة القسمة على 3. تقدم هذه المقالة أولاً صياغة معيار القابلية للقسمة على 3 ، وتقدم أمثلة على تطبيق هذا المعيار في معرفة أي من الأعداد الصحيحة المعطاة قابلة للقسمة على 3 وأيها غير قابلة للقسمة. علاوة على ذلك ، يتم تقديم إثبات اختبار القابلية للقسمة بمقدار 3. يتم أيضًا النظر في مناهج إنشاء القابلية للقسمة على 3 من الأرقام المعطاة كقيمة لبعض التعبيرات.

التنقل في الصفحة.

علامة القسمة على 3 أمثلة

دعنا نبدء ب صيغ اختبار القابلية للقسمة على 3: العدد الصحيح يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 ، إذا كان مجموع أرقامه لا يقبل القسمة على 3 ، فإن الرقم نفسه لا يقبل القسمة على 3.

يتضح من الصيغة أعلاه أنه لا يمكن استخدام علامة القسمة على 3 بدون القدرة على إجراء إضافة أعداد طبيعية. أيضًا ، من أجل التطبيق الناجح لعلامة القابلية للقسمة على 3 ، يجب أن تعرف أنه من بين جميع الأعداد الطبيعية المكونة من رقم واحد ، فإن الأرقام 3 و 6 و 9 قابلة للقسمة على 3 والأرقام 1 و 2 و 4 و 5 ، 7 و 8 غير قابلين للقسمة على 3.

الآن يمكننا النظر في الأبسط أمثلة على تطبيق اختبار القابلية للقسمة على 3. لنكتشف ما إذا كان الرقم يقبل القسمة على 3؟ 42. للقيام بذلك ، نحسب مجموع أرقام العدد؟ 42 ، يساوي 4 + 2 = 6. نظرًا لأن الرقم 6 قابل للقسمة على 3 ، فبفضل علامة القابلية للقسمة على 3 ، يمكن القول إن الرقم؟ 42 قابل للقسمة أيضًا على 3. لكن العدد الصحيح الموجب 71 لا يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه هو 7 + 1 = 8 ، و 8 لا يقبل القسمة على 3.

هل 0 يقبل القسمة على 3؟ للإجابة على هذا السؤال ، لا حاجة إلى اختبار القابلية للقسمة على 3 ، وهنا نحتاج إلى تذكر خاصية القسمة المقابلة ، والتي تنص على أن الصفر قابل للقسمة على أي عدد صحيح. إذن ، 0 يقبل القسمة على 3.

في بعض الحالات ، لإظهار أن رقمًا معينًا لديه أو لا يمتلك القدرة على أن يكون قابلاً للقسمة على 3 ، يجب تطبيق اختبار القابلية للقسمة على 3 عدة مرات متتالية. لنأخذ مثالا.

بيّن أن الرقم 907444812 يقبل القسمة على 3.

مجموع أرقام 907444812 هو 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39. لمعرفة ما إذا كان 39 يقبل القسمة على 3 ، نحسب مجموع أرقامه: 3 + 9 = 12. ولمعرفة ما إذا كان 12 يقبل القسمة على 3 ، نجد مجموع أرقام العدد 12 ، لدينا 1 + 2 = 3. نظرًا لأننا حصلنا على الرقم 3 ، الذي يقبل القسمة على 3 ، فبسبب علامة القسمة على 3 ، فإن الرقم 12 قابل للقسمة على 3. إذن ، 39 يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه هو 12 ، و 12 يقبل القسمة على 3. أخيرًا ، 907333812 يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه 39 و 39 يقبل القسمة على 3.

لتوحيد المادة ، سنحلل حل مثال آخر.

هل العدد يقبل القسمة على 3؟ 543 205؟

لنحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19. في المقابل ، مجموع أرقام الرقم 19 هو 1 + 9 = 10 ، ومجموع أرقام الرقم 10 هو 1 + 0 = 1. نظرًا لأننا حصلنا على الرقم 1 ، الذي لا يقبل القسمة على 3 ، فإنه يترتب على معيار القابلية للقسمة على 3 أن الرقم 10 غير قابل للقسمة على 3. لذلك ، 19 لا يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه هو 10 ، و 10 لا يقبل القسمة على 3. لذلك ، فإن الرقم الأصلي 543205 لا يقبل القسمة على 3 ، لأن مجموع أرقامه ، يساوي 19 ، لا يقبل القسمة على 3.

من الجدير بالذكر أن القسمة المباشرة لرقم معين على 3 تسمح لنا أيضًا باستنتاج ما إذا كان الرقم المعطى قابلاً للقسمة على 3 أم لا. بهذا نريد أن نقول إن القسمة لا ينبغي إهمالها لصالح علامة القابلية للقسمة على 3. في المثال الأخير ، بقسمة 543205 على 3 على عمود ، نتأكد من أن 543205 لا يقبل القسمة على 3 ، ومن هنا يمكننا القول أن 543205 لا يقبل القسمة على 3 أيضًا.

إثبات اختبار القابلية للقسمة على 3

سيساعدنا التمثيل التالي للرقم أ في إثبات علامة القابلية للقسمة على 3. يمكننا تحليل أي عدد طبيعي a إلى أرقام ، وبعد ذلك تسمح لنا قاعدة الضرب في 10 و 100 و 1000 وما إلى ذلك بالحصول على تمثيل بالصيغة a = a n 10 n + a n؟ 1 10 n؟ 1 +… + أ 2 10 2 + أ 1 · 10 + أ 0 ، حيث أ ن ، أ ن؟ 1 ، ... ، 0 هي أرقام من اليسار إلى اليمين في الرقم أ. من أجل الوضوح ، نقدم مثالاً على مثل هذا التمثيل: 528 = 500 + 20 + 8 = 5100 + 2 10 + 8.

لنكتب الآن عددًا من المساواة الواضحة إلى حد ما: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1 ، 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1 ، 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 وهكذا.

التعويض في المعادلة a = a n 10 n + a n؟ 1 10 n؟ 1 +… + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 بدلاً من 10، 100، 1000 وهكذا على التعبيرات 3 3 + 1، 33 3 +1 ، 999 + 1 = 333 3 + 1 وهكذا ، نحصل عليها
.

تسمح خصائص إضافة الأعداد الطبيعية وخصائص مضاعفة الأعداد الطبيعية بإعادة كتابة المساواة الناتجة على النحو التالي:

تعبير هو مجموع أرقام أ. دعنا نسميه للإيجاز والراحة بالحرف A ، أي أننا نقبل. ثم نحصل على تمثيل للرقم أ من النموذج ، والذي سنستخدمه في إثبات اختبار القابلية للقسمة على 3.

أيضًا ، لإثبات اختبار القابلية للقسمة على 3 ، نحتاج إلى الخصائص التالية للقسمة:

• لكي يكون العدد الصحيح a يقبل القسمة على عدد صحيح b ، من الضروري والكافي أن يكون معامل a قابلاً للقسمة على معامل b ؛
• إذا كانت جميع المصطلحات في المساواة a = s + t قابلة للقسمة على عدد صحيح b ، فإن هذا المصطلح أيضًا قابل للقسمة على b.

الآن نحن على استعداد تام ويمكننا تنفيذها إثبات القابلية للقسمة على 3للراحة ، نقوم بصياغة هذه الميزة كشرط ضروري وكاف للقسمة على 3.

لكي يكون عدد صحيحًا قابلاً للقسمة على 3 ، من الضروري والكافي أن يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 3.

بالنسبة إلى أ = 0 ، فإن النظرية واضحة.

إذا كان a مختلفًا عن الصفر ، فإن مقياس a هو عدد طبيعي ، ومن ثم يكون التمثيل ممكنًا ، حيث يكون مجموع أرقام a.

بما أن مجموع وحاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح ، إذن هو عدد صحيح ، ثم من خلال تعريف القسمة ، فإن حاصل الضرب قابل للقسمة على 3 لأي 0 ، a 1 ، ... ، a n.

إذا كان مجموع أرقام الرقم a يقبل القسمة على 3 ، أي أن A قابل للقسمة على 3 ، فبسبب خاصية القسمة المشار إليها قبل النظرية ، فإنه يقبل القسمة على 3 ، وبالتالي ، فإن a يقبل القسمة على 3. هذا يثبت الكفاية.

إذا كانت a قابلة للقسمة على 3 ، فهي أيضًا قابلة للقسمة على 3 ، ثم نظرًا لنفس خاصية القسمة ، فإن الرقم A قابل للقسمة على 3 ، أي أن مجموع أرقام الرقم a قابل للقسمة على 3. هذا يثبت الضرورة.

حالات أخرى للقسمة على 3

في بعض الأحيان ، لا يتم تحديد الأعداد الصحيحة بشكل صريح ، ولكن كقيمة لبعض التعبيرات مع متغير لقيمة معينة من المتغير. على سبيل المثال ، قيمة تعبير لبعض n الطبيعي هو رقم طبيعي. من الواضح أنه مع هذا التخصيص للأرقام ، فإن القسمة المباشرة على 3 لن تساعد في إثبات قابليتها للقسمة على 3 ، ولن يمكن دائمًا تطبيق علامة القسمة على 3. الآن سننظر في عدة طرق لحل مثل هذه المشاكل.

يتمثل جوهر هذه الأساليب في تمثيل التعبير الأصلي كمنتج لعدة عوامل ، وإذا كان أحد العوامل على الأقل قابلاً للقسمة على 3 ، فعندئذٍ ، نظرًا لخاصية القسمة المقابلة ، سيكون من الممكن استنتاج أن المنتج قابل للقسمة على 3.

في بعض الأحيان يمكن تنفيذ هذا النهج باستخدام نيوتن ذي الحدين. لنفكر في مثال للحل.

هل قيمة التعبير قابلة للقسمة على 3 لأي قيمة طبيعية n؟

المساواة واضحة. دعنا نستخدم صيغة نيوتن ذات الحدين:

في التعبير الأخير ، يمكننا إخراج 3 من الأقواس ، ونحصل على. المنتج الناتج قابل للقسمة على 3 ، لأنه يحتوي على عامل 3 ، وقيمة التعبير بين قوسين لـ n الطبيعي هي رقم طبيعي. لذلك ، يمكن القسمة على 3 لأي قيمة n طبيعية.

في كثير من الحالات ، يمكن إثبات القابلية للقسمة على 3 بطريقة الاستقراء الرياضي. دعنا نحلل تطبيقه في حل مثال.

إثبات أن قيمة التعبير لأي قيمة n طبيعية قابلة للقسمة على 3.

للإثبات ، نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي.

بالنسبة إلى n = 1 ، تكون قيمة التعبير هي و 6 قابلة للقسمة على 3.

افترض أن قيمة التعبير قابلة للقسمة على 3 عندما تكون n = k ، أي قابلة للقسمة على 3.

مع الأخذ في الاعتبار أنه قابل للقسمة على 3 ، سوف نظهر أن قيمة التعبير عن n = k + 1 قابلة للقسمة على 3 ، أي أننا سوف نوضح ذلك يقبل القسمة على 3.

لنقم ببعض التحولات:

التعبير مقسوم على 3 والتعبير يقبل القسمة على 3 ، لذا فإن مجموعها يقبل القسمة على 3.

لذلك أثبتت طريقة الاستقراء الرياضي قابلية القسمة على 3 لأي ن طبيعي.

دعنا نعرض طريقة أخرى لإثبات القابلية للقسمة على 3. إذا أظهرنا أنه بالنسبة لـ n = 3 m ، n = 3 m + 1 و n = 3 m + 2 ، حيث m عدد صحيح عشوائي ، فإن قيمة بعض التعبيرات (مع المتغير n) قابلة للقسمة على 3 ، فهذا سيثبت قابلية القسمة على التعبير على 3 لأي عدد صحيح ن. ضع في اعتبارك هذا النهج عند حل المثال السابق.

اعرض ما هو قابل للقسمة على 3 لأي قيمة طبيعية n.

ل n = 3 م لدينا. الناتج الناتج يقبل القسمة على 3 لأنه يحتوي على العامل 3 يقبل القسمة على 3.

المنتج الناتج قابل للقسمة أيضًا على 3.

وهذا المنتج قابل للقسمة على 3.

لذلك ، يمكن القسمة على 3 لأي قيمة n طبيعية.

في الختام ، نقدم الحل لمثال آخر.

هي قيمة التعبير قابلة للقسمة على 3 لبعض ن الطبيعية.

بالنسبة إلى n = 1 لدينا. مجموع أرقام الرقم الناتج هو 3 ، لذا فإن علامة القابلية للقسمة على 3 تسمح لنا بتأكيد أن هذا الرقم قابل للقسمة على 3.

بالنسبة إلى n = 2 لدينا. مجموع الأرقام وهذا الرقم هو 3 ، لذا فهو قابل للقسمة على 3.

من الواضح أنه بالنسبة لأي ن طبيعي آخر ، سيكون لدينا أرقام مجموعها 3 ، لذلك ، هذه الأرقام قابلة للقسمة على 3.

في هذا الطريق، لأي n طبيعي يقبل القسمة على 3.

www.cleverstudents.ru

الرياضيات ، الصف السادس ، كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية ، Zubareva I.I. ، Mordkovich A.G. ، 2014

الرياضيات ، الصف السادس ، كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية ، Zubareva I.I. ، Mordkovich AG ، 2014.

يتم تقديم المادة النظرية في الكتاب المدرسي بطريقة تمكن المعلم من تطبيق نهج قائم على حل المشكلات في التدريس. بمساعدة نظام الترميز ، يتم تمييز تمارين من أربعة مستويات من التعقيد. في كل فقرة ، تتم صياغة مهام التحكم بناءً على ما يحتاج الطلاب إلى معرفته والقدرة على تحقيقه من أجل الوصول إلى مستوى مستوى التعليم الرياضي. يتم إعطاء الواجب المنزلي في نهاية الكتاب المدرسي. أوراق الاختباروالأجوبة. توفر الرسوم التوضيحية الملونة (الرسومات والمخططات) درجة عالية من الوضوح للمواد التعليمية.
يتوافق مع متطلبات GEF LLC.

مهام.

4. ارسم مثلث ABC وحدد نقطة O خارجه (كما في الشكل 11). ارسم شكلًا متماثلًا للمثلث ABC بالنسبة للنقطة O.

5. ارسم المثلث KMN وقم بتكوين شكل متماثل لهذا المثلث فيما يتعلق بـ:
أ) رؤوسها - النقاط م ؛
ب) النقاط O - نقاط المنتصف للجانب MN.

6. قم ببناء شكل متماثل:
أ) شعاع OM بالنسبة للنقطة O ؛ اكتب أي نقطة متناظرة للنقطة O ؛
ب) الشعاع OM فيما يتعلق بالنقطة التعسفية A التي لا تنتمي إلى هذا الشعاع ؛
ج) الخط المستقيم AB فيما يتعلق بالنقطة O ، لا ينتمي إلى هذا الخط ؛
د) الخط AB فيما يتعلق بالنقطة O التي تنتمي إلى هذا الخط ؛ اكتب أي نقطة متناظرة للنقطة O.
في كل حالة ، صف الموضع النسبي للأشكال المتماثلة مركزيًا.

جدول المحتويات
الفصل الأول. الأعداد الموجبة والسالبة. إحداثيات
§ 1. التناوب والتناظر المركزي
§ 2. الأعداد الموجبة والسالبة. خط التنسيق
§ 3. معامل العدد. أرقام مقابل
§ 4. مقارنة الأرقام
§ 5. توازي الخطوط
الفقرة 6. التعبيرات الرقمية التي تحتوي على علامات "+" ، "-"
§ 7. المجموع الجبري وخصائصه
§ 8. قاعدة حساب قيمة المجموع الجبري لرقمين
§ 9. المسافة بين نقاط خط الإحداثيات
§ 10. التناظر المحوري
§ 11. عدد الفجوات
§ 12. ضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة
§ 13. الإحداثيات
§ 14. تنسيق الطائرة
§ 15. ضرب وقسمة الكسور العادية
§ 16. قاعدة الضرب للمسائل الاندماجية
الباب الثاني. تحويل التعبيرات الحرفية
§ 17. توسيع القوس
§ 18. تبسيط التعبيرات
§ 19. حل المعادلات
§ 20. حل مسائل لتجميع المعادلات
§ 21. مشكلتين رئيسيتين على الكسور
§ 22. الدائرة. محيط
§ 23. الدائرة. مساحة الدائرة
§ 24. الكرة. جسم كروى
الفصل الثالث. قسمة الأعداد الطبيعية
§ 25. القواسم والمضاعفات
§ 26. تجزئة العمل
§ 27. قابلية القسمة على مجموع وفرق الأرقام
§ 28. علامات القسمة على 2 و 5 و 10 و 4 و 25
§ 29. علامات القابلية للقسمة على 3 و 9
§ 30. الأعداد الأولية. تحليل العدد إلى عوامل أولية
§ 31. القاسم المشترك الأكبر
§ 32. أرقام Coprime. علامة على القسمة على المنتج. أقل مضاعف مشترك
الفصل الرابع. الرياضيات من حولنا
§ 33. نسبة عددين
§ 34. الرسوم البيانية
§ 35. تناسب الكميات
§ 36. حل المشكلات باستخدام النسب
§ 37. مهام متنوعة
المادة 38. الإلمام الأول بمفهوم "الاحتمال"
§ 39. التعارف الأول مع حساب الاحتمال
الاختبارات المنزلية
مواضيع لأنشطة المشروع
الإجابات

تنزيل كتاب إلكتروني مجاني بتنسيق مناسب وقراءة:

رياضيات

مادة مرجعية في الرياضيات للصفوف 1-6.

الآباء الأعزاء!إذا كنت تبحث عن مدرس رياضيات لطفلك ، فهذا الإعلان يناسبك. أقدم دروسًا في سكايب: التحضير لـ OGE ، امتحان الدولة الموحد ، إزالة الثغرات في المعرفة. الفوائد الخاصة بك واضحة:

1) طفلك في المنزل ، ويمكنك أن تكون هادئًا بالنسبة له ؛

2) تعقد الفصول في وقت مناسب للطفل ، ويمكنك حتى حضور هذه الفصول. أشرح ببساطة وبشكل واضح على مجلس المدرسة المعتاد.

3) يمكنك التفكير في المزايا المهمة الأخرى لفصول Skype بنفسك!

اكتب لي على: أو أضفني على الفور على Skype ، وسنتفق على كل شيء. الأسعار معقولة.

ملاحظة. الدروس متوفرة في مجموعات من 2-4 طلاب.

مع خالص التقدير ، تاتيانا ياكوفليفنا أندريوشينكو هي مؤلفة هذا الموقع.

أصدقائي الأعزاء!

يسعدني أن أقدم لكم تنزيل مواد مرجعية للرياضيات مجانًا الصف الخامس. حمل هنا!

أصدقائي الأعزاء!

لا يخفى على أحد أن بعض الأطفال يجدون صعوبة في الضرب والقسمة المطولة. غالبًا ما يكون هذا بسبب عدم معرفة كافية بجدول الضرب. أقترح تعلم جدول الضرب بمساعدة اللوتو. شاهد المزيد هنا. قم بتنزيل لوتو هنا.

أصدقائي الأعزاء!قريباً ستواجه (أو واجهت بالفعل) الحاجة لاتخاذ القرار المهام التي تهمك. تبدأ هذه المشاكل في الحل في الصف الخامس والانتهاء. لكنهم لم ينتهوا من حل المشاكل بالنسبة للنسب المئوية! تم العثور على هذه المهام في كل من الضبط والاختبارات: كلاهما قابل للتحويل ، و OGE وامتحان الدولة الموحد. ماذا أفعل؟ نحن بحاجة لمعرفة كيفية حل هذه المشاكل. كتابي "كيفية حل المشكلات مع النسب المئوية" سيساعدك في ذلك. التفاصيل هنا!

جمع الأعداد.

• أ + ب = ج، حيث a و b حدان ، c هو المجموع.
• للعثور على المصطلح غير المعروف ، اطرح المصطلح المعروف من المجموع.

طرح الأعداد.

• أ ب = ج، حيث أ هو المطروح ، ب هو المطروح ، ج هو الفرق.
• للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
• للعثور على المطروح المجهول ، تحتاج إلى طرح الفرق من المطروح الصغرى.

ضرب الأعداد.

• أ ب = ج، حيث a و b عاملين ، c هو المنتج.
• للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى تقسيم المنتج على العامل المعروف.

تقسيم الأعداد.

• أ: ب = ج، حيث أ هو المقسوم ، ب هو القاسم ، ج هو حاصل القسمة.
• لإيجاد المقسوم المجهول ، تحتاج إلى ضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة.
• للعثور على قاسم غير معروف ، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.

قوانين الجمع.

• أ + ب = ب + أ(الإزاحة: المجموع لا يتغير من إعادة ترتيب الشروط).
• (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)(الترابطية: لإضافة رقم ثالث إلى مجموع حدين ، يمكنك إضافة مجموع الثاني والثالث إلى الرقم الأول).

جدول الجمع.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

قوانين الضرب.

• أ ب = ب أ(الإزاحة: تبديل العوامل لا يغير المنتج).
• (أ ب) ج = أ (ب ج)(تجميعي: لضرب حاصل ضرب عددين في رقم ثالث ، يمكنك ضرب الرقم الأول في حاصل ضرب العددين الثاني والثالث).
• (أ + ب) ج = أ ج + ب ج(قانون التوزيع الخاص بالضرب فيما يتعلق بالإضافة: من أجل ضرب مجموع عددين في رقم ثالث ، يمكنك ضرب كل حد في هذا الرقم وإضافة النتائج).
• (أ-ب) ج = أ ج-ب ج(قانون توزيع الضرب فيما يتعلق بالطرح: من أجل ضرب الفرق بين عددين في رقم ثالث ، يمكنك الضرب في هذا العدد المختزل والطرح بشكل منفصل وطرح الثاني من النتيجة الأولى).

جدول الضرب.

2 1 = 2 ؛ 3 1 = 3 ؛ 4 1 = 4 ؛ 5 1 = 5 ؛ 6 1 = 6 ؛ 7 1 = 7 ؛ 8 1 = 8 ؛ 9 1 = 9.

2 2 = 4 ؛ 3 2 = 6 ؛ 4 2 = 8 ؛ 5 2 = 10 ؛ 6 2 = 12 ؛ 7 2 = 14 ؛ 8 2 = 16 ؛ 9 2 = 18.

2 3 = 6 ؛ 3 3 = 9 ؛ 4 3 = 12 ؛ 5 3 = 15 ؛ 6 3 = 18 ؛ 7 3 = 21 ؛ 8 3 = 24 ؛ 9 3 = 27.

4 2 = 8 ؛ 3 4 = 12 ؛ 4 4 = 16 ؛ 5 4 = 20 ؛ 6 4 = 24 ؛ 7 4 = 28 ؛ 8 4 = 32 ؛ 9 4 = 36.

5 2 = 10 ؛ 3 5 = 15 ؛ 4 5 = 20 ؛ 5 5 = 25 ؛ 6 5 = 30 ؛ 7 5 = 35 ؛ 8 5 = 40 ؛ 9 5 = 45.

6 2 = 12 ؛ 3 6 = 18 ؛ 4 6 = 24 ؛ 5 6 = 30 ؛ 6 6 = 36 ؛ 7 6 = 42 ؛ 8 6 = 48 ؛ 9 6 = 54.

2 7 = 14 ؛ 3 7 = 21 ؛ 4 7 = 28 ؛ 5 7 = 35 ؛ 6 7 = 42 ؛ 7 7 = 49 ؛ 8 7 = 56 ؛ 9 7 = 63.

8 2 = 16 ؛ 3 8 = 24 ؛ 4 8 = 32 ؛ 5 8 = 40 ؛ 6 8 = 48 ؛ 7 8 = 56 ؛ 8 8 = 64 ؛ 9 8 = 72.

9 2 = 18 ؛ 3 9 = 27 ؛ 4 9 = 36 ؛ 5 9 = 45 ؛ 6 9 = 54 ؛ 7 9 = 63 ؛ 8 9 = 72 ؛ 9 9 = 81.

2 10 = 20 ؛ 3 10 = 30 ؛ 4 10 = 40 ؛ 5 10 = 50 ؛ 6 10 = 60 ؛ 7 10 = 70 ؛ 8 10 = 80 ؛ 9 10 = 90.

القواسم والمضاعفات.

• مقسمعدد طبيعي أاسم الرقم الطبيعي الذي بواسطته أيقسم بدون باقي. (الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 هي قواسم على الرقم 24 ، لأن 24 يقبل القسمة على كل منهم دون الباقي) 1 - القاسم من أي عدد طبيعي. القاسم الأكبر لأي رقم هو الرقم نفسه.
• مضاعفعدد طبيعي بهو رقم طبيعي قابل للقسمة بدون الباقي ب. (الأرقام 24 ، 48 ، 72 ، ... هي مضاعفات العدد 24 ، لأنها قابلة للقسمة على 24 بدون الباقي). أصغر مضاعف لأي رقم هو الرقم نفسه.

علامات قسمة الأعداد الطبيعية.

• الأرقام المستخدمة عند عد الأشياء (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...) تسمى الأعداد الطبيعية. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف ن.
• أعداد 0, 2, 4, 6, 8 اتصل حتىأعداد. تسمى الأعداد التي تنتهي بأرقام زوجية أعدادًا زوجية.
• أعداد 1, 3, 5, 7, 9 اتصل الفرديةأعداد. تسمى الأعداد التي تنتهي بأرقام فردية بالأرقام الفردية.
• علامة القسمة على الرقم 2. كل الأعداد الطبيعية التي تنتهي برقم زوجي قابلة للقسمة على 2.
• علامة القسمة على الرقم 5. كل الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 0 أو 5 قابلة للقسمة على 5.
• علامة القسمة على الرقم 10. كل الأعداد الطبيعية التي تنتهي بالرقم 0 تقبل القسمة على 10.
• علامة القسمة على الرقم 3. إذا كان مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 3 ، فإن الرقم نفسه قابل للقسمة على 3.
• علامة القسمة على الرقم 9. إذا كان مجموع أرقام الرقم قابلاً للقسمة على 9 ، فإن الرقم نفسه قابل للقسمة على 9.
• علامة القسمة على الرقم 4. إذا كان الرقم المكون من آخر رقمين من رقم معين قابل للقسمة على 4 ، فإن الرقم المعطى نفسه قابل للقسمة على 4.
• علامة القسمة على الرقم 11.إذا كان الفرق بين مجموع الأرقام في الأماكن الفردية ومجموع الأرقام في الأماكن الزوجية قابلًا للقسمة على 11 ، فإن الرقم نفسه يقبل القسمة على 11.

• الرقم الأولي هو رقم يحتوي على قسمين فقط: واحد والرقم نفسه.
• الرقم المركب هو الرقم الذي يحتوي على أكثر من اثنين من المقسومات.
• الرقم 1 ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا.
• إن كتابة رقم مركب كمنتج للأعداد الأولية فقط يسمى تحليل رقم مركب إلى عوامل أولية. يمكن تمثيل أي رقم مركب بشكل فريد كمنتج للعوامل الأولية.

• القاسم المشترك الأكبر لأعداد طبيعية معينة هو أكبر عدد طبيعي يمكن بواسطته القسمة على كل من هذه الأرقام.
• القاسم المشترك الأكبر لهذه الأعداد يساوي حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة في توسعات هذه الأعداد. مثال. GCD (24، 42) = 2 3 = 6 بما أن 24 = 2 2 2 3، 42 = 2 3 7، عواملهم الأولية المشتركة هي 2 و 3.
• إذا كانت الأعداد الطبيعية تحتوي على قاسم مشترك واحد فقط - واحد ، فإن هذه الأرقام تسمى الجريمة الجماعية.

• المضاعف المشترك الأصغر لأرقام طبيعية معينة هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل رقم من الأرقام المعطاة. مثال. المضاعف المشترك الأصغر (24 ، 42) = 168. هذا هو أصغر عدد يقبل القسمة على كل من 24 و 42.
• لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعديد من الأعداد الطبيعية ، من الضروري: 1) تحليل كل من الأرقام المعطاة إلى عوامل أولية ؛ 2) اكتب مفكوك أكبر الأعداد واضربه في العوامل الناقصة من توسعات الأعداد الأخرى.
• أصغر مضاعف لعددين من جرائم حقوق الملكية يساوي حاصل ضرب هذين الرقمين.

ب- مقام الكسر ، يوضح عدد الأجزاء المتساوية المقسمة ؛

أ- يوضح بسط الكسر عدد الأجزاء التي تم أخذها. الشريط الكسري يعني علامة القسمة.

في بعض الأحيان ، بدلاً من خط كسري أفقي ، يضعون شرطة مائلة ، ويتم كتابة الكسر العادي على النحو التالي: أ / ب.

• في جزء الصحيحالبسط أصغر من المقام.
• في جزء غير لائقالبسط أكبر من المقام أو يساوي المقام.

إذا تم ضرب أو قسمة بسط الكسر في نفس العدد الطبيعي ، فسيتم الحصول على كسر يساوي ذلك.

يسمى قسمة كل من البسط والمقام في الكسر على القاسم المشترك بينهما بخلاف واحد باختزال الكسر.

• يسمى الرقم الذي يتكون من جزء صحيح وجزء كسري عددًا مختلطًا.
• من أجل تمثيل كسر غير لائق كرقم كسري ، من الضروري قسمة بسط الكسر على المقام ، ثم سيكون حاصل القسمة غير المكتمل هو الجزء الصحيح من الرقم المختلط ، والباقي سيكون بسط الجزء الكسري ، وسيظل المقام كما هو.
• لتمثيل رقم كسري ككسر غير فعلي ، تحتاج إلى ضرب الجزء الصحيح من العدد الكسري في المقام ، وإضافة بسط الجزء الكسري إلى النتيجة وكتابته في بسط الكسر غير الفعلي ، وترك المقام نفس الشيء.

• شعاع أوهمع الأصل عند النقطة ا، التي قطع واحدإلى و اتجاه، اتصل تنسيق شعاع.
• يتم استدعاء الرقم المقابل لنقطة شعاع الإحداثيات تنسيقهذه النقطة. فمثلا ، أ (3). قراءة: النقطة أ بالتنسيق 3.

• القاسم المشترك الأصغر ( NOZ) من هذه الكسور غير القابلة للاختزال هو المضاعف المشترك الأصغر ( شهادة عدم ممانعة) قواسم هذه الكسور.
• لإحضار الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ، يجب: 1) إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور ، فسيكون أقل مقام مشترك. 2) أوجد عاملًا إضافيًا لكل كسر من الكسور ، حيث نقسم المقام الجديد على مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في عامله الإضافي.

• من بين كسرين لهما نفس المقام ، يكون البسط الأكبر هو الأكبر ، والآخر ذو البسط الأصغر هو الأصغر.
• من بين كسرين لهما نفس البسط ، يكون الكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر ، والجزء الذي يحتوي على المقام الأكبر هو الأصغر.
• لمقارنة الكسور ببسط مختلف وقواسم مختلفة ، تحتاج إلى تقليل الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر ، ثم مقارنة الكسور ذات المقامات نفسها.

العمليات على الكسور العادية.

• لإضافة كسور لها نفس المقامات ، عليك أن تجمع البسط وتترك المقام كما هو.
• إذا كنت بحاجة إلى إضافة كسور ذات مقامات مختلفة ، فعليك أولاً تقليل الكسور إلى أصغر مقام مشترك ، ثم جمع الكسور ذات المقامات نفسها.
• لطرح كسور لها نفس المقام ، يُطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول ، ويبقى المقام كما هو.
• إذا احتجت إلى طرح كسور ذات مقامات مختلفة ، فسيتم إحضارها أولاً إلى مقام مشترك ، ثم يتم طرح الكسور التي لها نفس القواسم.
• عند إجراء عمليات جمع أو طرح أرقام مختلطة ، يتم إجراء هذه العمليات بشكل منفصل للأجزاء الصحيحة والأجزاء الكسرية ، ثم يتم كتابة النتيجة كرقم مختلط.

• حاصل ضرب كسرين عاديين يساوي كسر بسطه يساوي حاصل ضرب البسطين ، والمقام هو حاصل ضرب مقامي الكسور المعطاة.
• لضرب كسر عادي في عدد طبيعي ، عليك أن تضرب بسط الكسر في هذا الرقم ، وتترك المقام كما هو.
• يطلق على رقمين يكون منتجهما يساوي واحدًا أرقامًا متبادلة.
• عند ضرب الأعداد الكسرية ، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير فعلية.
• لإيجاد كسر من رقم ، عليك ضرب الرقم في هذا الكسر.

• لقسمة كسر مشترك على كسر مشترك ، تحتاج إلى ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.
• عند قسمة الأعداد الكسرية ، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير فعلية.
• لقسمة كسر عادي على عدد طبيعي ، عليك ضرب مقام الكسر في هذا العدد الطبيعي ، وترك البسط كما هو. ((2/7): 5 = 2 / (7 5) = 2/35).
• لإيجاد رقم على كسره ، عليك أن تقسم على هذا الكسر الرقم المقابل له.

• الكسر العشري هو رقم مكتوب به النظام العشريولها أرقام أقل من واحد. (3.25 ؛ 0.1457 إلخ.)
• تسمى الأماكن العشرية التي تلي العلامة العشرية بالمنازل العشرية.
• لن يتغير الكسر العشري إذا تمت إضافة الأصفار أو تجاهلها في نهاية الكسر العشري.

لإضافة الكسور العشرية ، تحتاج إلى: 1) معادلة عدد المنازل العشرية في هذه الكسور ؛ 2) اكتبها واحدة تحت الأخرى بحيث تكون الفاصلة مكتوبة تحت الفاصلة ؛ 3) إجراء عملية الجمع ، وتجاهل الفاصلة ، ووضع فاصلة تحت الفواصل في الكسور المجمعة في المجموع.

لإجراء طرح الكسور العشرية ، تحتاج إلى: 1) معادلة عدد المنازل العشرية في المطروح والصغير. 2) وقّع على المطروح أسفل الفاصلة بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة ؛ 3) نفذ عملية الطرح ، متجاهلاً الفاصلة ، وفي النتيجة ، ضع الفاصلة تحت فاصلات المصطلح الصغير والمطروح.

• لضرب كسر عشري في رقم طبيعي ، تحتاج إلى ضربه في هذا الرقم ، مع تجاهل الفاصلة ، وفي الناتج الناتج ، افصل أكبر عدد من الأرقام الموجودة على اليمين بعد الفاصلة العشرية في الكسر المحدد.
• لضرب كسر عشري في آخر ، تحتاج إلى إجراء عملية الضرب ، وتجاهل الفواصل ، وفي النتيجة الناتجة ، افصل أكبر عدد من الأرقام بفاصلة على اليمين كما كان بعد الفواصل في كلا العاملين معًا.
• لمضاعفة رقم عشري في 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ ، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.
• لضرب الرقم العشري في 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ، وما إلى ذلك ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.

• لقسمة كسر عشري على رقم طبيعي ، تحتاج إلى قسمة الكسر على هذا الرقم ، حيث يتم تقسيم الأرقام الطبيعية ووضعها في فاصلة خاصة عند انتهاء قسمة الجزء بالكامل.
• لتقسيم رقم عشري على 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.

• لقسمة رقم على رقم عشري ، تحتاج إلى تحريك الفواصل في المقسوم والمقسوم على عدد من الأرقام إلى اليمين كما هو بعد الفاصلة العشرية في المقسوم عليه ، ثم القسمة على رقم طبيعي.
• لقسمة عدد عشري على 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ، وما إلى ذلك ، تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليمين بمقدار 1 ، 2 ، 3 ، إلخ. (قسمة رقم عشري على 0.1 ؛ 0.01 ؛ 0.001 ، إلخ. هو نفس ضرب هذا الرقم العشري في 10 ، 100 ، 1000 ، إلخ.)

لتقريب رقم إلى رقم معين ، نضع خطًا تحت رقم هذا الرقم ، ثم نستبدل جميع الأرقام الموجودة خلف الرقم الذي تحته خط بأصفار ، وإذا كانت بعد العلامة العشرية ، فإننا نتجاهلها. إذا كان الرقم الأول الذي تم استبداله بصفر أو المهمل هو 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ، فسيتم ترك الرقم الذي تحته خط دون تغيير. إذا كان الرقم الأول الذي تم استبداله بصفر أو تم إهماله هو 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9 ، فسيتم زيادة الرقم الذي تحته خط بمقدار 1.

متوسط ​​حسابي لعدة أرقام.

المتوسط ​​الحسابي للعديد من الأرقام هو حاصل قسمة مجموع هذه الأرقام على عدد الحدود.

نطاق سلسلة من الأرقام.

يُطلق على الفرق بين أكبر وأصغر قيم لسلسلة البيانات نطاق سلسلة الأرقام.

عدد سلسلة الموضة.

يسمى الرقم الذي يحدث بأكبر تردد بين الأرقام المعطاة من السلسلة نمط سلسلة الأرقام.

• مائة يسمى نسبة مئوية. اشترِ كتابًا يعلمك "كيفية حل مشكلات النسبة المئوية".
• للتعبير عن النسب المئوية في صورة كسر أو عدد طبيعي ، تحتاج إلى قسمة النسبة المئوية على 100٪. (4٪ = 0.04 ، 32٪ = 0.32).
• للتعبير عن رقم كنسبة مئوية ، تحتاج إلى ضربه بنسبة 100٪. (0.65 = 0.65 100٪ = 65٪ ؛ 1.5 = 1.5 100٪ = 150٪).
• للعثور على نسبة مئوية من رقم ، تحتاج إلى التعبير عن النسبة المئوية ككسر عادي أو عشري وضرب الكسر الناتج في الرقم المحدد.
• للعثور على رقم بنسبته المئوية ، تحتاج إلى التعبير عن النسبة المئوية ككسر عادي أو عشري وتقسيم الرقم المعطى على هذا الكسر.
• لإيجاد النسبة المئوية للرقم الأول من الثاني ، عليك قسمة الرقم الأول على الثاني وضرب الناتج في 100٪.

• حاصل قسمة رقمين يسمى نسبة هذه الأرقام. أ: بأو أ / بهي نسبة العددين أ و ب ، علاوة على ذلك ، أ هو الحد السابق ، ب هو الحد التالي.
• إذا تم إعادة ترتيب شروط هذه العلاقة ، فإن العلاقة الناتجة تسمى عكس هذه العلاقة. العلاقات ب / أ و أ / ب معكوسة بشكل متبادل.
• لن تتغير النسبة إذا تم ضرب حدي النسبة أو قسمة نفس الرقم غير الصفري.

• المساواة بين نسبتين تسمى نسبة.
• أ: ب = ج: د. هذه نسبة. اقرأ: ألذلك ينطبق على ب، كيف جيعود الى د. يُطلق على الرقمين a و d الأعضاء المتطرفين من النسبة ، والأرقام b و c هما العضوان الأوسطان في النسبة.

• حاصل ضرب الحدود القصوى لنسبة ما يساوي حاصل ضرب حدودها الوسطى. للتناسب أ: ب = ج: دأو أ / ب = ج / دالخاصية الرئيسية مكتوبة على النحو التالي: أ د = ب ج.
• للعثور على الحد الأقصى المجهول للنسبة ، تحتاج إلى قسمة حاصل ضرب متوسط ​​شروط النسبة على المصطلح المتطرف المعروف.
• للعثور على الحد الأوسط المجهول للنسبة ، تحتاج إلى قسمة حاصل ضرب الحدود القصوى للنسبة على المدى المتوسط ​​المعروف. مهام النسب.

دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فييزيد بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى نسبيًا مباشرًا.

إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة القيمتين التعسفيتين للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.

تسمى نسبة طول المقطع على الخريطة إلى طول المسافة المقابلة على الأرض مقياس الخريطة.

دع القيمة فييعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فيينخفض ​​بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى متناسبة عكسيا.

إذا كانت كميتان متناسبتان عكسيًا ، فإن نسبة قيمتين تم أخذهما بشكل تعسفي لكمية واحدة تساوي النسبة العكسية للقيم المقابلة للكمية الأخرى.

• المجموعة عبارة عن مجموعة من بعض العناصر أو الأرقام التي تم تجميعها وفقًا لبعض الخصائص أو القوانين العامة (الكثير من الأحرف على الصفحة ، والكثير من الكسور المنتظمة ذات المقام 5 ، والكثير من النجوم في السماء ، وما إلى ذلك).
• تتكون المجموعات من عناصر وهي إما محدودة أو غير محدودة. المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر تسمى المجموعة الفارغة ويتم الإشارة إليها أوه
• الكثير من فيتسمى مجموعة فرعية من المجموعة لكنإذا كانت جميع عناصر المجموعة فيهي عناصر من المجموعة لكن.
• تعيين التقاطع لكنو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى المجموعة لكنوالكثير في.
• اتحاد المجموعات لكنو فيهي مجموعة تنتمي عناصرها إلى مجموعة واحدة على الأقل من المجموعات المحددة لكنو في.

مجموعات من الأرقام.

• ن- مجموعة الأعداد الطبيعية: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...
• ض- مجموعة الأعداد الصحيحة: ... ، -4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...
• سهي مجموعة الأرقام المنطقية التي يمكن تمثيلها على شكل كسر م / ن، أين م- كامل، ن- طبيعي (-2 ؛ 3/5 ؛ v9 ؛ v25 ، إلخ.)

• خط الإحداثيات هو خط مستقيم يتم فيه إعطاء اتجاه إيجابي ونقطة مرجعية (النقطة O) وقطاع وحدة.
• تتوافق كل نقطة على خط الإحداثيات مع رقم معين يسمى إحداثيات هذه النقطة. فمثلا، أ (5). قراءة: النقطة أ بالتنسيق خمسة. على الساعة 3). قراءة: النقطة ب مع إحداثيات ناقص ثلاثة.

• مقياس العدد أ (اكتب | أ |) تسمى المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة المقابلة لها رقم معين أ. قيمة المعامل لأي رقم غير سالبة. | 3 | = 3 ؛ | -3 | = 3 بسبب المسافة من الأصل إلى الرقم -3 وإلى الرقم 3 تساوي ثلاثة أجزاء من الوحدات. |0|=0 .
• حسب تعريف معامل الرقم: | أ | = أ، إذا أ؟ 0و | أ | = -أ، إذا أ ب.
• إذا ، عند مقارنة الأرقام أ وب ، فإن الفرق أ-بهو رقم سالب ، إذن أ ، ثم يطلق عليهم عدم المساواة الصارمة.
• إذا تم كتابة عدم المساواة في العلامات؟ أو؟ ، ثم يطلق عليهم عدم المساواة غير الصارمة.

خصائص عدم المساواة العددية.

ز) متباينة بالصيغة x؟ a. إجابه:

الأفكار والمفاهيم الأساسية اللازمة لتنظيم الأنشطة التطوعية (التطوعية). 1. مناهج عامة لتنظيم الأنشطة التطوعية. 1.1 الأفكار والمفاهيم الأساسية اللازمة لتنظيم الأنشطة التطوعية. 1.2 الإطار التشريعي للمتطوعين [...]

قانون منى قوانين مانو - مجموعة هندية قديمة من الوصفات الدينية والأخلاقية والاجتماعية (دارما) ، وتسمى أيضًا "قانون الآريين" أو "قانون شرف الآريين". Manavadharmashastra هو واحد من عشرين دارماشاسترا. هنا أجزاء مختارة (ترجمها جورجي فيدوروفيتش [...]

"إدارة وتحسين مؤسسة التصنيع" الملخص يتم تقديم المفاهيم الأساسية لآداب العمل. يتضح أنه في الوقت الحالي ، عندما يتم دمج المؤسسات والمنظمات المحلية في الحياة الاقتصادية لمناطق مختلفة من الكوكب ، تتطلب قواعد الاتصالات التجارية اهتمامًا خاصًا. يتم إعطاء الاختبارات [...]

لتبسيط قسمة الأعداد الطبيعية ، تم اشتقاق قواعد القسمة على أرقام العشرة الأولى والأرقام 11 ، 25 ، والتي يتم دمجها في قسم علامات قسمة الأعداد الطبيعية. فيما يلي القواعد التي من خلالها سيجيب تحليل رقم دون تقسيمه على رقم طبيعي آخر على السؤال ، وهو رقم طبيعي مضاعف للأرقام 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و 9 و 10 و 11 و 25 و وحدة بت؟

الأعداد الطبيعية التي تحتوي على أرقام (تنتهي بـ) 2،4،6،8،0 في الخانة الأولى تسمى زوجي.

علامة قسمة الأعداد على 2

جميع الأعداد الطبيعية الزوجية قابلة للقسمة على 2 ، على سبيل المثال: 172 ، 94.67 838 ، 1670.

علامة قسمة الأعداد على 3

جميع الأعداد الطبيعية التي يكون مجموع أرقامها من مضاعفات 3 قابلة للقسمة على 3. على سبيل المثال:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

علامة قسمة الأعداد على 4

جميع الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 4 ، وآخر رقمين منهما عبارة عن أصفار أو مضاعفات الرقم 4. على سبيل المثال:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

علامة قسمة الأعداد على 5

علامة قسمة الأعداد على 6

تلك الأعداد الطبيعية التي تقبل القسمة على 2 و 3 في نفس الوقت قابلة للقسمة على 6 (الكل حتى أرقامالتي تقبل القسمة على 3). على سبيل المثال: 126 (ب - زوجي ، 1 + 2 + 6 = 9 ، 9: 3 = 3).

علامة قسمة الأعداد على 9

هذه الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 9 ، ومجموع أرقامها هو مضاعف 9. على سبيل المثال:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

علامة قسمة الأعداد على 10

علامة قسمة الأعداد على 11

فقط تلك الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 11 ، حيث يكون مجموع الأرقام التي تشغل أماكن زوجية مساويًا لمجموع الأرقام التي تشغل أماكن فردية ، أو الفرق بين مجموع أرقام الأماكن الفردية ومجموع أرقام الأماكن الزوجية هو من مضاعفات العدد 11. على سبيل المثال:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 و 0 + 7 + 7 = 14) ؛
9163.627 (9 + 6 + ب + 7 = 28 و 1 + 3 + 2 = 6) ؛
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

علامة قسمة الأعداد على 25

هذه الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة على 25 ، وآخر رقمين منها عبارة عن أصفار أو مضاعفات العدد 25. على سبيل المثال:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

علامة على قسمة الأرقام على وحدة بت

يتم تقسيم هذه الأرقام الطبيعية إلى وحدة بت ، حيث يكون عدد الأصفار أكبر من أو يساوي عدد أصفار وحدة البت. على سبيل المثال: 12000 قابلة للقسمة على 10 و 100 و 1000.