Punë krijuese “shenjat e pjesëtueshmërisë”. Filloni në shkencë Cili numër pjesëtohet me 10 dhe 12

CHISTENSKY UVK "SHKOLLA E PËRGJITHSHME E EDUKIMIT

I – III FAZA - GIMNAZI "

MATEMATIKA DREJTIMI

"SHENJAT E PJETUESISE"

Unë e kam bërë punën

Nxënëse e klasës së 7-të

Zhuravlev David

Drejtor shkencor

specialist i kategorisë më të lartë

Fedorenko Irina Vitalievna

Clean, 2013

Tabela e përmbajtjes

Prezantimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Pjesëtueshmëria e numrave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 2, 5, 10, 3 dhe 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 4, me 25 dhe me 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 8 dhe 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Thjeshtimi i testit për pjesëtueshmërinë me 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 6, 12, 15, 18, 45, etj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Shenja e pjesëtueshmërisë me 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Kritere të thjeshta për pjesëtueshmërinë me numrat e thjeshtë. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Shenja e kombinuar e pjesëtueshmërisë me 7, 11 dhe 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. E vjetra dhe e reja rreth pjesëtueshmërisë me 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Zgjerimi i shenjës së pjesëtueshmërisë me 7 në numra të tjerë. . . . . . 12

6. Kriteri i përgjithësuar i pjesëtueshmërisë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Kurioziteti i pjesëtueshmërisë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

konkluzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Letërsia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

PREZANTIMI

Nëse doni të mësoni si të notoni, atëherë me guxim futuni në ujë, dhe nëse doni të mësoni se si t'i zgjidhni problemet, atëherë zgjidhni ato.

D. Poya

Ka shumë degë të matematikës dhe një prej tyre është pjesëtueshmëria e numrave.

Matematikanët e shekujve të kaluar kanë dalë me shumë truke të përshtatshme për të lehtësuar llogaritjet dhe llogaritjet që janë të shumta në zgjidhjen e problemeve matematikore. Një rrugëdalje mjaft e arsyeshme, sepse ata nuk kishin as kalkulator, as kompjuter. Në disa situata, aftësia për të përdorur metoda të përshtatshme të llogaritjes lehtëson shumë zgjidhjen e problemeve dhe zvogëlon ndjeshëm kohën e shpenzuar për to.

Metoda të tilla të dobishme të llogaritjes, natyrisht, përfshijnë shenjat e pjesëtueshmërisë me një numër. Disa prej tyre janë më të lehta - këto shenja të pjesëtueshmërisë së numrave me 2, 3, 5, 9, 10 studiohen si pjesë e kursit shkollor, dhe disa janë mjaft komplekse dhe janë më shumë me interes kërkimor sesa praktik. Sidoqoftë, është gjithmonë interesante të kontrolloni secilën nga shenjat e pjesëtueshmërisë në numra të veçantë.

Qëllimi i punës: zgjerojnë idetë për vetitë e numrave që lidhen me pjesëtueshmërinë;

Detyrat:

Të njihet me shenjat e ndryshme të pjesëtueshmërisë së numrave;

Organizoni ato;

Për të formuar aftësitë e zbatimit të rregullave të paraqitura, algoritme për vendosjen e pjesëtueshmërisë së numrave.

Pjesëtueshmëria e numrave

Kriteri i pjesëtueshmërisë është një rregull me të cilin, pa pjesëtuar, mund të përcaktoni nëse një numër është i pjesëtueshëm me një tjetër.

pjesëtueshmëria e shumës. Nëse çdo term është i pjesëtueshëm me një numër, atëherë shuma është gjithashtu e pjesëtueshme me atë numër.

Shembulli 1.1

32 pjesëtohet me 4, 16 pjesëtohet me 4, kështu që shuma 32 + 16 pjesëtohet me 4.

Pjesëtueshmëria e dallimit. Nëse minuend dhe subtrahend janë të pjesëtueshme me ndonjë numër, atëherë diferenca është gjithashtu e pjesëtueshme me atë numër.

Shembulli 1.2

777 pjesëtohet me 7, 49 pjesëtohet me 7, pra diferenca 777 - 49 pjesëtohet me 7.

Pjesëtueshmëria e një produkti me një numër. Nëse të paktën një nga faktorët në produkt është i pjesëtueshëm me një numër, atëherë prodhimi është gjithashtu i pjesëtueshëm me këtë numër.

Shembulli 1.3

15 pjesëtohet me 3, kështu që prodhimi 15∙17∙23 pjesëtohet me 3.

Pjesëtueshmëria e një numri me një produkt. Nëse një numër pjesëtohet me një produkt, atëherë ai pjesëtohet me secilin prej faktorëve të atij prodhimi.

Shembulli 1.4

90 pjesëtohet me 30, 30 = 2∙3∙5, pra 30 pjesëtohet me 2, 3 dhe 5.

B. Pascal dha një kontribut të madh në studimin e shenjave të pjesëtueshmërisë së numrave.Blaise Pascal (Blaise Pascal) (1623–1662), mendimtar fetar, matematikan dhe fizikan francez, një nga mendjet më të mëdha të shekullit të 17-të.Ai formuloi kriterin e mëposhtëm për pjesëtueshmërinë, që mban emrin e tij:

Numri natyror A pjesëtohet me një numër tjetër natyror b vetëm nëse shuma e prodhimeve të shifrave të numrit A te mbetjet përkatëse të marra duke pjesëtuar njësitë e biteve me numrin b , plotpjesëtohet me këtë numër.

1.1 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 2, 5, 10, 3 dhe 9

Në shkollë, ne studiojmë shenjat e pjesëtueshmërisë me 2, 3, 5, 9, 10.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 10. Të gjithë dhe vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 10, rekordi i të cilit përfundon me numrin 0.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 5. Të gjithë ata dhe vetëm ata numra pjesëtohen me 5, rekordi i të cilit përfundon me numrin 0 ose 5.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 2. Të gjithë ata dhe vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 2, rekordi i të cilit përfundon me një shifër çift: 2,4,6,8 ose 0.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3 dhe 9. Të gjithë ata dhe vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 3 dhe 9, shuma e shifrave të të cilave pjesëtohet me 3 ose 9, përkatësisht.

Duke shkruar një numër (me shifrat e tij të fundit), mund të vendosni edhe pjesëtueshmërinë e numrit me 4, 25, 50, 8 dhe 125.

1.2 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 4, me 25 dhe me 50

Të pjesëtueshëm me 4, 25 ose 50 janë ata dhe vetëm ata numra që përfundojnë me dy zero ose dy shifrat e fundit të të cilëve shprehin një numër që është i pjesëtueshëm me 4, 25 ose 50, përkatësisht.

Shembulli 1.2.1

Numri 97300 përfundon me dy zero, që do të thotë se është i pjesëtueshëm me 4, 25 dhe 50.

Shembulli 1.2.2

Numri 81764 ndahet me 4, pasi numri i formuar nga dy shifrat e fundit të 64 pjesëtohet me 4.

Shembulli 1.2.3

Numri 79450 plotpjesëtohet me 25 dhe me 50, sepse numri i formuar nga dy shifrat e fundit të 50-ës pjesëtohet edhe me 25 edhe me 50.

1.3 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 8 dhe 125

Të pjesëtueshëm me 8 ose 125 janë ata dhe vetëm ata numra që përfundojnë me tre zero ose tre shifrat e fundit të të cilëve shprehin një numër që plotpjesëtohet me 8 ose 125, përkatësisht.

Shembulli 1.3.1

Numri 853,000 përfundon me tre zero, që do të thotë se është i pjesëtueshëm me 8 dhe 125.

Shembulli 1.3.2

Numri 381864 pjesëtohet me 8 sepse numri i formuar nga tre shifrat e fundit të 864 pjesëtohet me 8.

Shembulli 1.3.3

Numri 179250 plotpjesëtohet me 125 sepse numri i formuar nga tre shifrat e fundit të 250 pjesëtohet me 125.

1.4 Thjeshtimi i testit për pjesëtueshmërinë me 8

Çështja e pjesëtueshmërisë së një numri të caktuar reduktohet në çështjen e pjesëtueshmërisë me 8 të një numri të caktuar treshifror, pornë të njëjtën kohë, asgjë nuk thuhet se si, nga ana tjetër, të zbuloni shpejt nëse ky numër treshifror është i pjesëtueshëm me 8. Pjesëtueshmëria e një numri treshifror me 8 gjithashtu nuk është gjithmonë e dukshme menjëherë, në fakt duhet të bëj ndarjen.

Natyrisht, lind pyetja: a është e mundur të thjeshtohet kriteri i pjesëtueshmërisë me 8? Ju mundeni, nëse e plotësoni atë me një shenjë të veçantë të pjesëtueshmërisë së një numri treshifror me 8.

Çdo numër treshifror plotpjesëtohet me 8, në të cilin numri dyshifror i formuar nga shifrat e qindsheve dhe dhjetësheve, i shtuar në gjysmën e numrit të njësive, pjesëtohet me 4.

Shembulli 1.4.1

A pjesëtohet numri 592 me 8?

Zgjidhje.

Ndajmë 592 njësi nga numri dhe i shtojmë gjysmën e numrit të tyre në numrin e dy shifrave të ardhshme (dhjetëshe dhe qindëshe).

Ne marrim: 59 + 1 = 60.

Numri 60 plotpjesëtohet me 4, pra numri 592 pjesëtohet me 8.

Përgjigje: ndani.

1.5 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 6, 12, 15, 18, 45, etj.

Duke përdorur vetinë e pjesëtueshmërisë së një numri me një prodhim, nga shenjat e mësipërme të pjesëtueshmërisë fitojmë shenja pjesëtueshmërie me 6, 12, 15, 18, 24, etj.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 6. Të pjesëtueshëm me 6 janë ata dhe vetëm ata numra që pjesëtohen me 2 dhe 3.

Shembulli 1.5.1

Numri 31242 plotpjesëtohet me 6 sepse plotpjesëtohet edhe me 2 edhe me 3.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 12. Të pjesëtueshëm me 12 janë ata dhe vetëm ata numra që pjesëtohen me 4 dhe 3.

Shembulli 1.5.2

Numri 316224 ndahet me 12 sepse plotpjesëtohet edhe me 4 edhe me 3.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 15. Ata dhe vetëm ata numra që pjesëtohen me 3 dhe 5 janë të pjesëtueshëm me 15.

Shembulli 1.5.3

Numri 812445 ndahet me 15 sepse plotpjesëtohet edhe me 3 edhe me 5.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 18. Të pjesëtueshëm me 18 janë ata dhe vetëm ata numra që pjesëtohen me 2 dhe 9.

Shembulli 1.5.4

Numri 817254 ndahet me 18 sepse plotpjesëtohet edhe me 2 edhe me 9.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 45. 45 plotpjesëtohet me ata dhe vetëm ata numra që plotpjesëtohen me 5 dhe 9.

Shembulli 1.5.5

Numri 231705 ndahet me 45 sepse plotpjesëtohet edhe me 5 edhe me 9.

Ekziston një shenjë tjetër e pjesëtueshmërisë së numrave me 6.

1.6 Test për pjesëtueshmërinë me 6

Për të kontrolluar nëse një numër pjesëtohet me 6:

Shumëzoni numrin e qindrave me 2,

Zbrisni rezultatin nga numri pas qindsheve.

Nëse rezultati pjesëtohet me 6, atëherë numri i plotë pjesëtohet me 6. Shembulli 1.6.1

A ndahet numri 138 me 6?

Zgjidhje.

Numri i qindrave është 1 2=2, 38-2=36, 36:6, pra 138 pjesëtohet me 6.

Kritere të thjeshta për pjesëtueshmërinë me numrat e thjeshtë

Një numër quhet i thjeshtë nëse ka vetëm dy pjesëtues (një dhe vetë numrin).

2.1 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 7

Për të kuptuar nëse një numër pjesëtohet me 7, duhet:

Shumëzoni një numër deri në dhjetëra me dy

Shtoni numrin e mbetur në rezultat.

Kontrolloni nëse rezultati është i pjesëtueshëm me 7 apo jo.

Shembulli 2.1.1

A ndahet numri 4690 me 7?

Zgjidhje.

Numri deri në dhjetësh është 46 2=92, 92+90=182, 182:7=26, pra 4690 pjesëtohet me 7.

2.2 Kushtet për pjesëtueshmërinë me 11

Një numër pjesëtohet me 11 nëse diferenca midis shumës së shifrave në vendet tek dhe shumës së shifrave në vendet çift është shumëfish i 11-shit.

Dallimi mund të jetë një numër negativ ose zero, por duhet të jetë shumëfish i 11.

Shembulli 2.2.1

A ndahet numri 100397 me 11?

Zgjidhje.

Shuma e numrave në vendet çift: 1+0+9=10.

Shuma e numrave në vendet tek: 0+3+7=10.

Diferenca e shumave: 10 - 10=0, 0 është shumëfish i 11, kështu që 100397 pjesëtohet me 11.

2.3 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 13

Një numër pjesëtohet me 13 nëse dhe vetëm nëse rezultati i zbritjes së shifrës së fundit shumëfish 9 nga ai numër pa shifrën e fundit pjesëtohet me 13.

Shembulli 2.3.1

Numri 858 pjesëtohet me 13 sepse 85 - 9∙8 = 85 - 72 = 13 pjesëtohet me 13.

2.4 Testet për pjesëtueshmërinë me 19

Një numër pjesëtohet me 19 pa mbetje kur numri i dhjetësheve të tij, i shtuar dyfishit të numrit të njësive, pjesëtohet me 19.

Shembulli 2.4.1

Përcaktoni nëse 1026 pjesëtohet me 19.

Zgjidhje.

Në numrin 1026 janë 102 dhjetëshe dhe 6 njëshe. 102 + 2∙6 = 114;

Në mënyrë të ngjashme, 11 + 2∙4 = 19.

Si rezultat i kryerjes së dy hapave të njëpasnjëshëm, morëm numrin 19, i cili pjesëtohet me 19, pra numri 1026 ndahet me 19.

Shenja e kombinuar e pjesëtueshmërisë me 7, 11 dhe 13

Në tabelën e numrave të thjeshtë, numrat 7, 11 dhe 13 janë pranë njëri-tjetrit. Produkti i tyre është: 7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Prandaj, numri 1001 pjesëtohet me 7, 11 dhe 13.

Nëse ndonjë numër treshifror shumëzohet me 1001, atëherë prodhimi do të shkruhet në të njëjtët numra si shumëzuesi, i përsëritur vetëm dy herë:abc- një numër treshifror;abc∙1001 = abcabc.

Prandaj, të gjithë numrat e formës abcabc pjesëtohen me 7, me 11 dhe me 13.

Këto rregullsi na lejojnë të zvogëlojmë zgjidhjen e problemit të pjesëtueshmërisë së një numri shumëshifror me 7 ose me 11, ose me 13 në pjesëtueshmërinë prej tyre të një numri tjetër - jo më shumë se treshifror.

Nëse diferenca ndërmjet shumave të fytyrave të një numri të caktuar, marrë përmes njërës, pjesëtohet me 7 ose me 11 ose me 13, atëherë numri i dhënë pjesëtohet me 7, ose me 11 ose me 13, përkatësisht.

Shembulli 3.1

Përcaktoni nëse numri 42623295 ndahet me 7, 11 dhe 13.

Zgjidhje.

Le ta ndajmë këtë numër nga e djathta në të majtë në fytyra me 3 shifra. Skaji më i majtë mund të ketë ose jo tre shifra. Le të përcaktojmë se cili nga numrat 7, 11 ose 13 ndan ndryshimin e shumave të fytyrave të këtij numri:

623 - (295 + 42) = 286.

Numri 286 pjesëtohet me 11 dhe 13, por nuk pjesëtohet me 7. Prandaj, numri 42,623,295 ndahet me 11 dhe 13, por jo me 7.

E vjetra dhe e reja rreth pjesëtueshmërisë me 7

Për disa arsye, numri 7 ishte shumë i dashur për njerëzit dhe hyri në këngët dhe thëniet e tyre:

Provoni shtatë herë, prisni një herë.

Shtatë telashe, një përgjigje.

Shtatë të premte në javë.

Njëra me bipod dhe shtatë me lugë.

Shumë kuzhinierë e prishin lëngun.

Numri 7 është i pasur jo vetëm me thënie, por edhe me shenja të ndryshme pjesëtueshmërie. Ju tashmë i dini dy shenja të pjesëtueshmërisë me 7 (në kombinim me numra të tjerë). Ekzistojnë gjithashtu disa kritere individuale për pjesëtueshmërinë me 7.

Le të shpjegojmë shenjën e parë të pjesëtueshmërisë me 7 me një shembull.

Le të marrim numrin 5236. Le ta shkruajmë këtë numër si më poshtë:

5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6

dhe kudo ne zëvendësojmë bazën 10 me bazën 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168

Nëse numri që rezulton është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7, atëherë numri i dhënë është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7.

Meqenëse 168 pjesëtohet me 7, edhe 5236 pjesëtohet me 7.

Modifikimi i shenjës së parë të pjesëtueshmërisë me 7. Shumëzoni shifrën e parë në të majtë të numrit të testit me 3 dhe shtoni shifrën tjetër; shumëzojeni rezultatin me 3 dhe shtoni shifrën tjetër, etj. në shifrën e fundit. Për të thjeshtuar, pas çdo veprimi, lejohet të zbritet 7 ose një shumëfish i shtatë nga rezultati. Nëse rezultati përfundimtar është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7, atëherë numri i dhënë është gjithashtu i pjesëtueshëm (i papjesëtueshëm) me 7. Për numrin e zgjedhur më parë 5236:

5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 - 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 6 = 7 pjesëtohet me 7, pra 5236 pjesëtohet me 7.

Avantazhi i këtij rregulli është se është i lehtë për t'u zbatuar mendërisht.

Shenja e dytë e pjesëtueshmërisë me 7. Në këtë shenjë, duhet të veproni saktësisht në të njëjtën mënyrë si në atë të mëparshmen, me ndryshimin e vetëm që shumëzimi duhet të fillojë jo nga shifra më e majtë e numrit të dhënë, por nga e djathta. një dhe shumëzojeni jo me 3, por me 5.

Shembulli 4.1

A pjesëtohet 37184 me 7?

Zgjidhje.

4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6+8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1=1; 1∙5 = 5; shtimi i numrit 7 mund të anashkalohet, pasi numri 7 zbritet nga rezultati; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 pjesëtohet me 7, pra 37184 pjesëtohet me 7.

Testi i tretë për pjesëtueshmërinë me 7. Ky test është më pak i lehtë për t'u bërë mendërisht, por është gjithashtu shumë interesant.

Dyfishoni shifrën e fundit dhe zbritni të dytën nga e djathta, dyfishoni rezultatin dhe shtoni të tretën nga e djathta, dhe kështu me radhë, duke alternuar zbritjen dhe mbledhjen, dhe duke zvogëluar çdo rezultat, kur është e mundur, me 7 ose me një shumëfish të shtatë. Nëse rezultati përfundimtar është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7, atëherë numri i testit është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7.

Shembulli 4.2

A pjesëtohet 889 me 7?

Zgjidhje.

9∙2 = 18; 18 - 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 ose

9∙2 = 18; (18 - 7 = 11) 11 - 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 pjesëtohet me 7, pra 889 pjesëtohet me 7.

Dhe më shumë shenja pjesëtueshmërie me 7. Nëse ndonjë numër dyshifror pjesëtohet me 7, atëherë ai pjesëtohet me 7 dhe numri i përmbysur, rritet me shifrën e dhjetësheve të këtij numri.

Shembulli 4.3

14 pjesëtohet me 7, kështu që 7 pjesëtohet me 41 + 1.

35 pjesëtohet me 7, kështu që 53 + 3 pjesëtohet me 7.

Nëse ndonjë numër treshifror është i pjesëtueshëm me 7, atëherë ai pjesëtohet me 7 dhe numri i përmbysur, i reduktuar me diferencën midis shifrave të njësive dhe qindrave të këtij numri.

Shembulli 4.4

Numri 126 plotpjesëtohet me 7. Prandaj, numri 621 - (6 - 1) ndahet me 7, pra me 616.

Shembulli 4.5

Numri 693 plotpjesëtohet me 7. Prandaj, numri 396 ndahet edhe me 7 - (3 - 6), pra 399.

Zgjerimi i kriterit të pjesëtueshmërisë me 7 në numrat e tjerë

Tre kriteret e mësipërme për pjesëtueshmërinë e numrave me 7 mund të përdoren për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e një numri me 13, 17 dhe 19.

Për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e një numri të caktuar me 13, 17 ose 19, shumëzojeni shifrën më të majtë të numrit të testuar me përkatësisht 3, 7 ose 9 dhe zbritni shifrën tjetër; shumëzojeni përsëri rezultatin, përkatësisht, me 3, 7 ose 9 dhe shtoni shifrën tjetër, etj., duke alternuar zbritjen dhe mbledhjen e shifrave pasuese pas çdo shumëzimi. Pas çdo veprimi, rezultati mund të zvogëlohet ose rritet, përkatësisht, me numrin 13, 17, 19 ose një shumëfish të tij.

Nëse rezultati përfundimtar është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 13, 17 dhe 19, atëherë numri i dhënë është gjithashtu i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm).

Shembulli 5.1

A ndahet numri 2075427 me 19?

Zgjidhje.

2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);

2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 - 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 pjesëtohet me 19, pra 2075427 pjesëtohet me 19.

Testi i pjesëtueshmërisë së përgjithshme

Ideja e ndarjes së një numri në fytyra me shtimin e tyre të mëvonshëm për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e një numri të caktuar doli të ishte shumë frytdhënëse dhe çoi në një kriter uniform për pjesëtueshmërinë e numrave me shumë vlera me një grup mjaft të madh numrash të thjeshtë. . Një nga grupet e pjesëtuesve "të lumtur" janë të gjithë faktorët e plotë p të numrit d = 10n + 1, ku n = 1, 2, 3.4, ... (për vlera të mëdha të n, kuptimi praktik i shenjës është e humbur).

101

101

1001

7, 11, 13

10001

73, 137

2) palosni fytyrat përmes njërës, duke filluar nga e djathta ekstreme;

3) palosni fytyrat e mbetura;

4) Zbrisni sasinë më të vogël nga sasia më e madhe.

Nëse rezultati është i pjesëtueshëm me p, atëherë numri i dhënë është gjithashtu i pjesëtueshëm me p.

Pra, për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e një numri me 11 (p \u003d 11), ne e presim numrin në faqen e një shifre (n \u003d 1). Duke vazhduar më tej siç tregohet, arrijmë në testin e njohur për pjesëtueshmërinë me 11.

Kur përcaktojmë pjesëtueshmërinë e një numri me 7, 11 ose 13 (p = 7, 11, 13), ne presim 3 shifra secila (n = 3). Kur përcaktojmë pjesëtueshmërinë e një numri me 73 dhe 137, ne presim 4 shifra secila (n = 4).

Shembulli 6.1

Gjeni pjesëtueshmërinë e numrit pesëmbëdhjetëshifror 837 362 172 504 831 me 73 dhe me 137 (p = 73, 137, n = 4).

Zgjidhje.

Ne e ndajmë numrin në fytyra: 837 3621 7250 4831.

I shtojmë fytyrat përmes njërës: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.

Zbrisni shumën më të vogël nga shuma më e madhe: 8452-8087 = 365.

365 pjesëtohet me 73, por nuk pjesëtohet me 137; kështu që numri i dhënë pjesëtohet me 73 por jo me 137.

Grupi i dytë i pjesëtuesve "me fat" janë pseudo faktorët e plotë p të numrit d = 10n -1, ku n = 1, 3, 5, 7,…

Numri d = 10n -1 jep pjesëtuesit e mëposhtëm:

n

d

fq

1

9

3

3

999

37

5

99 999

41, 271

Për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e çdo numri me cilindo nga këta numra p, ju duhet:

1) prerë numrin e dhënë nga e djathta në të majtë (nga njësitë) në fytyra me n shifra secila (secila p ka n-në e vet; fytyra më e majtë mund të ketë më pak se n shifra);

2) palosni të gjitha fytyrat.

Nëse rezultati është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me p, atëherë numri i dhënë është gjithashtu i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm).

Vini re se 999 = 9∙111, që do të thotë se 111 pjesëtohet me 37, por atëherë numrat 222, 333, 444, 555, 666, 777 dhe 888 janë gjithashtu të pjesëtueshëm me 37.

Në mënyrë të ngjashme: 11111 pjesëtohet me 41 dhe me 271.

Kurioziteti i pjesëtueshmërisë

Si përfundim, do të doja të paraqes katër numra të mrekullueshëm dhjetëshifror:

2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.

Secila prej tyre ka të gjitha shifrat nga 0 deri në 9, por çdo shifër vetëm një herë dhe secili nga këta numra është i pjesëtueshëm me 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. , 15, 16, 17 dhe 18.

konkluzionet

Si rezultat i kësaj pune jam zgjeruarnjohuri në matematikë. IMësova se përveç shenjave të njohura për mua me 2, 3, 5, 9 dhe 10, ka edhe shenja pjesëtueshmërie me 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25. , 50, 125 dhe numra të tjerë, dhe shenjat e pjesëtueshmërisë me të njëjtin numër mund të jenë të ndryshme, që do të thotë se ka gjithmonë një vend për kreativitet.

Puna është teorike dhepërdorim praktik. Ky studim do të jetë i dobishëm në përgatitjen për olimpiada dhe gara.

Duke u njohur me shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave, besoj se mund të përdor njohuritë e marra në aktivitetet e mia arsimore, të aplikoj në mënyrë të pavarur këtë ose atë shenjë në një detyrë specifike dhe të zbatoj shenjat e mësuara në një situatë reale. Në të ardhmen, kam ndërmend të vazhdoj të punoj për studimin e shenjave të pjesëtueshmërisë së numrave.

Letërsia

1. N. N. Vorobyov "Shenjat e pjesëtueshmërisë" Moskë "Nauka" 1988

2. K. I. Shchevtsov, G. P. Bevz "Manual i matematikës elementare" Kiev "Naukova Dumka" 1965

3. M. Ya. Vygodsky "Doracak i matematikës elementare" Moskë "Nauka" 1986

4. Burimet e internetit

Teksti i veprës vendoset pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë i veprës është i disponueshëm në skedën "Skedarët e punës" në formatin PDF

Prezantimi

Në mësimet e matematikës, gjatë studimit të temës “Shenjat e pjesëtueshmërisë”, ku u njohëm me shenjat e pjesëtueshmërisë me 2; 5; 3; 9; 10, më interesonte nëse ka shenja pjesëtueshmërie me numra të tjerë dhe nëse ekziston një metodë universale e pjesëtueshmërisë me ndonjë numër natyror. Kështu që fillova të bëj kërkime për këtë temë.

Qëllimi i studimit: studimi i shenjave të pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë deri në 100, shtimi i shenjave tashmë të njohura të pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë në tërësi, të studiuara në shkollë.

Për të arritur qëllimin u vendosën detyrat:

Mblidhni, studioni dhe sistematizoni materiale për shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë, duke përdorur burime të ndryshme informacioni.

Gjeni një kriter universal për pjesëtueshmërinë me çdo numër natyror.

Mësoni se si të përdorni testin e pjesëtueshmërisë së Paskalit për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e numrave dhe gjithashtu përpiquni të formuloni shenjat e pjesëtueshmërisë me çdo numër natyror.

Objekti i studimit: pjesëtueshmëria e numrave natyrorë.

Lënda e studimit: shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë.

Metodat e hulumtimit: mbledhjen e informacionit; punë me materiale të shtypura; analiza; sintezë; analogji; anketë; marrja në pyetje; sistemimi dhe përgjithësimi i materialit.

Hipoteza e hulumtimit: Nëse është e mundur të përcaktohet pjesëtueshmëria e numrave natyrorë me 2, 3, 5, 9, 10, atëherë duhet të ketë shenja me të cilat mund të përcaktohet pjesëtueshmëria e numrave natyrorë me numra të tjerë.

Risi Puna kërkimore e kryer është se kjo punë sistemon njohuritë për shenjat e pjesëtueshmërisë dhe metodën universale të pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë.

Rëndësia praktike: materiali i kësaj pune kërkimore mund të përdoret në klasat 6-8 në klasat me dëshirë gjatë studimit të temës “Pjestueshmëria e numrave”.

Kreu I. Përkufizimi dhe vetitë e pjesëtueshmërisë së numrave

1.1 Përkufizimet e koncepteve të pjesëtueshmërisë dhe shenjat e pjesëtueshmërisë, vetitë e pjesëtueshmërisë.

Teoria e numrave është një degë e matematikës që studion vetitë e numrave. Objekti kryesor i teorisë së numrave është numra të plotë. Vetia e tyre kryesore, e cila konsiderohet nga teoria e numrave, është pjesëtueshmëria. Përkufizimi: Një numër i plotë a është i pjesëtueshëm me një numër të plotë b që nuk është i barabartë me zero nëse ekziston një numër i plotë k i tillë që a = bk (për shembull, 56 është i pjesëtueshëm me 8, sepse 56 = 8x7). shenjë e pjesëtueshmërisë- një rregull që ju lejon të përcaktoni nëse një numër natyror i dhënë është i pjesëtueshëm me disa numra të tjerë, d.m.th. pa lënë gjurmë.

Karakteristikat e pjesëtueshmërisë:

Çdo numër jo zero a është i pjesëtueshëm me vetveten.

Zero pjesëtohet me çdo b që nuk është i barabartë me zero.

Nëse a është i pjesëtueshëm me b (b0) dhe b është i pjesëtueshëm me c (c0), atëherë a është i pjesëtueshëm me c.

Nëse a është i pjesëtueshëm me b (b0) dhe b është i pjesëtueshëm me a (a0), atëherë a dhe b janë ose numra të barabartë ose të kundërt.

1.2. Karakteristikat e pjesëtueshmërisë së shumës dhe produktit:

Nëse në shumën e numrave të plotë çdo term është i pjesëtueshëm me një numër, atëherë shuma është e pjesëtueshme me atë numër.

2) Nëse në diferencën e numrave të plotë minuend dhe subtrahend janë të pjesëtueshëm me një numër të caktuar, atëherë diferenca është gjithashtu e pjesëtueshme me një numër të caktuar.

3) Nëse në shumën e numrave të plotë të gjithë termat, përveç njërit, pjesëtohen me ndonjë numër, atëherë shuma nuk pjesëtohet me këtë numër.

4) Nëse në prodhimin e numrave të plotë një nga faktorët është i pjesëtueshëm me një numër, atëherë prodhimi është gjithashtu i pjesëtueshëm me këtë numër.

5) Nëse në prodhimin e numrave të plotë njëri prej faktorëve pjesëtohet me m dhe tjetri me n, atëherë prodhimi pjesëtohet me mn.

Përveç kësaj, duke studiuar shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave, u njoha me konceptin "rrënja dixhitale". Le të marrim një numër natyror. Le të gjejmë shumën e shifrave të saj. Gjejmë gjithashtu shumën e shifrave të rezultatit dhe kështu me radhë derisa të merret një numër njëshifror. Rezultati quhet rrënja dixhitale e numrit. Për shembull, rrënja dixhitale e 654321 është 3: 6+5+4+3+2+1=21.2+1=3. Dhe tani mund të mendoni për pyetjen: "Cilat janë shenjat e pjesëtueshmërisë dhe a ekziston një shenjë universale e pjesëtueshmërisë së një numri me një tjetër?"

Kapitulli II. Shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë.

2.1. Shenjat e pjesëtueshmërisë me 2,3,5,9,10.

Ndër shenjat e pjesëtueshmërisë, më të përshtatshmet dhe më të njohurat nga kursi i matematikës në klasën e 6-të janë:

Pjestueshem me 2. Nëse rekordi i një numri natyror përfundon me një shifër çift ose zero, atëherë numri pjesëtohet me 2. Numri 52738 pjesëtohet me 2, pasi shifra e fundit 8 është çift.

Pjestueshem me 3 . Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë numri pjesëtohet me 3 (numri 567 pjesëtohet me 3, pasi 5+6+7 = 18, dhe 18 pjesëtohet me 3.)

Pjestueshem me 5. Nëse rekordi i një numri natyror përfundon me numrin 5 ose zero, atëherë numri pjesëtohet me 5 (numrat 130 dhe 275 pjesëtohen me 5, sepse shifrat e fundit të numrave janë 0 dhe 5, por numri 302 është nuk plotpjesëtohet me 5, sepse numrat shifrorë të fundit nuk janë 0 dhe 5).

Pjestueshem me 9. Nëse shuma e shifrave pjesëtohet me 9, atëherë numri pjesëtohet me 9 (676332 pjesëtohet me 9 sepse 6+7+6+3+3+2=27, dhe 27 pjesëtohet me 9).

Pjestueshem me 10 . Nëse rekordi i një numri natyror përfundon me numrin 0, atëherë ky numër pjesëtohet me 10 (230 pjesëtohet me 10, pasi shifra e fundit e numrit është 0).

2.2 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 4,6,8,11,12,13 etj.

Pasi punova me burime të ndryshme, mësova shenja të tjera të pjesëtueshmërisë. Unë do të përshkruaj disa prej tyre.

Ndarja me 6 . Duhet të kontrollojmë pjesëtueshmërinë e numrit që na intereson me 2 dhe me 3. Numri pjesëtohet me 6 nëse dhe vetëm nëse është çift, dhe rrënja dixhitale e tij plotpjesëtohet me 3. (Për shembull, 678 pjesëtohet me 6, meqenëse është çift dhe 6 +7+8=21, 2+1=3) Një tjetër shenjë e pjesëtueshmërisë: një numër pjesëtohet me 6 nëse dhe vetëm nëse katërfishohet numri i dhjetësheve që i shtohen numrit të njësheve. me 6. (73.7*4+3=31, 31 nuk pjesëtohet me 6, pra 7 nuk pjesëtohet me 6.)

Pjestimi me 8. Një numër pjesëtohet me 8 nëse dhe vetëm nëse tre shifrat e tij të fundit formojnë një numër të plotpjesëtueshëm me 8. (12224 pjesëtohet me 8 sepse 224:8=28). Një numër treshifror plotpjesëtohet me 8 nëse dhe vetëm nëse numri i njësheve që i shtohet dyfishit të numrit të dhjetësheve dhe katërfishohet numrit të qindrave është i plotpjesëtueshëm me 8. Për shembull, 952 pjesëtohet me 8 sepse 8 plotpjesëtohet me 9* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .

Pjestojeni me 4 dhe me 25. Nëse dy shifrat e fundit janë zero ose shprehin një numër të pjesëtueshëm me 4 ose (dhe) me 25, atëherë numri pjesëtohet me 4 ose (dhe) me 25 (numri 1500 pjesëtohet me 4 dhe 25, sepse përfundon në dy. zero, numri 348 pjesëtohet me 4, sepse 48 pjesëtohet me 4, por ky numër nuk pjesëtohet me 25, sepse 48 nuk pjesëtohet me 25, numri 675 pjesëtohet me 25, sepse 75 pjesëtohet me 25, por i papjesëtueshëm me 4, kështu që 75 nuk pjesëtohet me 4).

Duke ditur shenjat kryesore të pjesëtueshmërisë me numrat e thjeshtë, mund të nxjerrim shenjat e pjesëtueshmërisë me numra të përbërë:

Shenja e pjesëtueshmërisë me11 . Nëse diferenca midis shumës së shifrave në vendet çift dhe shumës së shifrave në vendet tek është e pjesëtueshme me 11, atëherë numri pjesëtohet me 11 (numri 593868 pjesëtohet me 11, sepse 9 + 8 + 8 = 25, dhe 5 + 3 + 6 = 14, ndryshimi i tyre është 11, dhe 11 është i pjesëtueshëm me 11).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 12: Një numër pjesëtohet me 12 nëse dhe vetëm nëse dy shifrat e fundit pjesëtohen me 4 dhe shuma e shifrave plotpjesëtohet me 3.

sepse 12= 4 ∙ 3, d.m.th. Numri duhet të ndahet me 4 dhe 3.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 13: Një numër pjesëtohet me 13 nëse dhe vetëm nëse shuma e alternuar e numrave të formuar nga treshe të njëpasnjëshme të shifrave të numrit të dhënë pjesëtohet me 13. Si e dini, për shembull, se numri 354862625 ndahet me 13? 625-862+354=117 plotpjesëtohet me 13, 117:13=9, pra 354862625 pjesëtohet edhe me 13.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 14: një numër pjesëtohet me 14 nëse dhe vetëm nëse përfundon me një shifër çift dhe nëse rezultati i zbritjes së dyfishit të shifrës së fundit nga ai numër pa shifrën e fundit është i plotpjesëtueshëm me 7.

sepse 14= 2 ∙ 7, d.m.th. Numri duhet të ndahet me 2 dhe 7.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 15: Një numër pjesëtohet me 15 nëse dhe vetëm nëse përfundon me 5 dhe 0 dhe shuma e shifrave pjesëtohet me 3.

sepse 15= 3 ∙ 5, d.m.th. Numri duhet të ndahet me 3 dhe 5.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 18: Një numër pjesëtohet me 18 nëse dhe vetëm nëse përfundon me një shifër çift dhe shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.

sepse k18= 2 ∙ 9, d.m.th. Numri duhet të ndahet me 2 dhe 9.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 20: një numër pjesëtohet me 20 nëse dhe vetëm nëse numri përfundon me 0 dhe shifra e parafundit është çift.

sepse 20 = 10 ∙ 2 d.m.th. Numri duhet të ndahet me 2 dhe 10.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 25: një numër me të paktën tre shifra pjesëtohet me 25 nëse dhe vetëm nëse numri i formuar nga dy shifrat e fundit pjesëtohet me 25.

Shenja e pjesëtueshmërisë me30 .

Shenja e pjesëtueshmërisë me59 . Një numër pjesëtohet me 59 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve që i shtohen numrit të njësheve të shumëzuar me 6 pjesëtohet me 59. Për shembull, 767 pjesëtohet me 59, pasi 76 + 6*7 = 118 dhe 11 + 6* pjesëtohen me 59 8 = 59.

Shenja e pjesëtueshmërisë me79 . Një numër pjesëtohet me 79 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve që i shtohen numrit të njësive të shumëzuar me 8 pjesëtohet me 79. Për shembull, 711 pjesëtohet me 79, pasi 71 + 8*1 = 79 pjesëtohen me 79.

Shenja e pjesëtueshmërisë me99. Një numër pjesëtohet me 99 nëse dhe vetëm nëse shuma e numrave që formojnë grupe me dy shifra (duke filluar me njësi) pjesëtohet me 99. Për shembull, 12573 pjesëtohet me 99, pasi 1 + 25 + 73 = 99 pjesëtohet me 99.

Shenja e pjesëtueshmërisë me100 . Vetëm këta numra pjesëtohen me 100 nëse dy shifrat e fundit janë zero.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 125: një numër me të paktën katër shifra pjesëtohet me 125 nëse dhe vetëm nëse numri i formuar nga tre shifrat e fundit pjesëtohet me 125.

Të gjitha tiparet e mësipërme janë përmbledhur në formën e një tabele. (Shtojca 1)

2.3 Shenjat e pjesëtueshmërisë me 7.

1) Merrni për testim numrin 5236. Le ta shkruajmë këtë numër si më poshtë: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 (“sistematik » formulari i shënimit të numrave), dhe kudo zëvendësojmë bazën 10 me bazën 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Nëse numri që rezulton është i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7, atëherë ky numër pjesëtohet (jo i ndashëm) me 7. Meqenëse 168 pjesëtohet me 7 , atëherë 5236 pjesëtohet me 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) Në këtë shenjë, duhet të veproni saktësisht në të njëjtën mënyrë si në atë të mëparshmen, me ndryshimin e vetëm që shumëzimi duhet të fillojë nga e djathta ekstreme dhe të shumëzohet jo me 3, por me 5. (5236 pjesëtohet me 7. , që nga 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Kjo shenjë është më pak e lehtë për t'u zbatuar në mendje, por edhe shumë interesante. Dyfishoni shifrën e fundit dhe zbrisni të dytën nga e djathta, dyfishoni rezultatin dhe shtoni të tretën nga e djathta, etj., duke alternuar zbritjen dhe mbledhjen, dhe duke zvogëluar çdo rezultat, kur është e mundur, me 7 ose me një shumëfish të shtatës. Nëse rezultati përfundimtar është i pjesëtueshëm (jo pjesëtueshëm) me 7, atëherë numri i testit është gjithashtu i pjesëtueshëm (jo i pjesëtueshëm) me 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) Një numër pjesëtohet me 7 nëse dhe vetëm nëse shuma e alternuar e numrave të formuar nga treshe të njëpasnjëshme të shifrave të numrit të dhënë pjesëtohet me 7. Si e dini, për shembull, se numri 363862625 është i pjesëtueshëm me 7? 625-862+363=126 plotpjesëtohet me 7, 126:7=18, pra 363862625 pjesëtohet edhe me 7, 363862625:7=51980375.

5) Një nga shenjat më të vjetra të pjesëtueshmërisë me 7 është si më poshtë. Shifrat e numrit duhet të merren në rend të kundërt, nga e djathta në të majtë, duke shumëzuar shifrën e parë me 1, të dytën me 3, të tretën me 2, të katërtën me -1, të pestën me -3, të gjashtën me - 2, etj. (nëse numri i karaktereve është më i madh se 6, sekuenca e faktorëve 1, 3, 2, -1, -3, -2 duhet të përsëritet aq herë sa është e nevojshme). Produktet që rezultojnë duhet të shtohen. Numri origjinal plotpjesëtohet me 7 nëse shuma e llogaritur pjesëtohet me 7. Ja, për shembull, çfarë jep kjo veçori për numrin 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, pra edhe numri 5236 plotpjesëtohet me 7.

6) Numri pjesëtohet me 7 nëse dhe vetëm nëse numri i trefishtë i dhjetësheve, i shtuar në numrin e njësheve, pjesëtohet me 7. Për shembull, 154 pjesëtohet me 7, pasi 7 është numri 49, të cilin e marrim kjo bazë: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Shenja e Paskalit.

Një kontribut të madh në studimin e shenjave të pjesëtueshmërisë së numrave dha B. Pascal (1623-1662), një matematikan dhe fizikant francez. Ai gjeti një algoritëm për gjetjen e kritereve për pjesëtueshmërinë e çdo numri të plotë me çdo numër tjetër të plotë, të cilin e botoi në traktatin "Mbi natyrën e pjesëtueshmërisë së numrave". Pothuajse të gjitha shenjat e njohura aktualisht të pjesëtueshmërisë janë një rast i veçantë i shenjës së Paskalit: “Nëse shuma e mbetjeve gjatë pjesëtimit të një numria me shifra për numërV i ndarë ngaV , pastaj numriA i ndarë ngaV ». Njohja e saj është e dobishme edhe sot. Si mund të vërtetojmë kriteret e pjesëtueshmërisë të formuluara më sipër (për shembull, kriteri i pjesëtueshmërisë me 7, i cili është i njohur për ne)? Unë do të përpiqem t'i përgjigjem kësaj pyetjeje. Por së pari, le të biem dakord për një mënyrë për të shkruar numrat. Për të shkruar një numër, shifrat e të cilit tregohen me shkronja, ne pranojmë të vizatojmë një vijë mbi këto shkronja. Kështu, abcdef do të tregojë një numër që ka f njësi, e dhjetëshe, d qindra, etj.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c. 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Tani do të vërtetoj testin për pjesëtueshmërinë me 7 të formuluar më sipër.

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(mbetet pas pjesëtimit me 7).

Si rezultat, marrim rregullin e 5-të të formuluar më lart: për të zbuluar pjesën e mbetur të pjesëtimit të një numri natyror me 7, duhet të nënshkruani koeficientët (mbeturat nga pjesëtimi) nën shifrat e këtij numri nga e djathta në të majtë: atëherë duhet të shumëzoni secilën shifër me koeficientin poshtë tij dhe të shtoni rezultatin. produkte; shuma e gjetur do të ketë të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me 7 si numri i marrë.

Le të marrim numrat 4591 dhe 4907 si shembull dhe, duke vepruar siç tregohet në rregull, gjejmë rezultatin:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (mbetja 6) (nuk ndahet me 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (pjestueshme me 7)

Në këtë mënyrë, ju mund të gjeni një kriter për pjesëtueshmërinë me çdo numër T.Është e nevojshme vetëm të gjesh se cilët koeficientë (mbetje nga pjesëtimi) duhet të nënshkruhen nën shifrat e numrit të marrë A. Për ta bërë këtë, ju duhet të zëvendësoni çdo fuqi prej dhjetë 10, nëse është e mundur, me të njëjtën mbetje kur ndahet me T, si numri 10. Kur T= 3 ose t = 9, këta koeficientë doli të ishin shumë të thjeshtë: të gjithë janë të barabartë me 1. Prandaj, testi për pjesëtueshmërinë me 3 ose 9 doli të ishte shumë i thjeshtë. Në T= 11, koeficientët gjithashtu nuk ishin kompleks: ata janë në mënyrë alternative të barabartë me 1 dhe - 1. Dhe kur t=7 koeficientët doli të ishin më të ndërlikuar; prandaj kriteri i pjesëtueshmërisë me 7 doli të ishte më kompleks. Duke shqyrtuar shenjat e pjesëtimit deri në 100, u binda se koeficientët më kompleksë për numrat natyrorë janë 23 (nga 10 23 koeficientët përsëriten), 43 (nga 10 39 koeficientët përsëriten).

Të gjitha shenjat e listuara të pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë mund të ndahen në 4 grupe:

1 grup- kur pjesëtueshmëria e numrave përcaktohet nga shifra e fundit (mi) - këto janë shenja të pjesëtueshmërisë me 2, me 5, me një njësi bit, me 4, me 8, me 25, me 50.

2 grup- kur pjesëtueshmëria e numrave përcaktohet nga shuma e shifrave të numrit, këto janë shenja pjesëtueshmërie me 3, me 9, me 7, me 37, me 11 (1 shenjë).

3 grup- kur pjesëtueshmëria e numrave përcaktohet pas kryerjes së disa veprimeve në shifrat e numrit, këto janë shenja pjesëtueshmërie me 7, me 11 (1 shenjë), me 13, me 19.

4 grup- kur përdoren shenja të tjera pjesëtueshmërie për të përcaktuar pjesëtueshmërinë e një numri, këto janë shenja pjesëtueshmërie me 6, me 15, me 12, me 14.

pjesë eksperimentale

Anketa

Sondazhi u krye me nxënësit e klasave të 6-ta dhe të 7-ta. Në anketë morën pjesë 58 nxënës të shkollës së mesme MOBU Karaidel Nr. 1 të distriktit MR Karaidel të Republikës së Bjellorusisë. Atyre iu kërkua të përgjigjen në pyetjet e mëposhtme:

A mendoni se ka shenja të tjera pjesëtueshmërie të ndryshme nga ato që u studiuan në mësim?

A ka shenja pjesëtueshmërie për numrat e tjerë natyrorë?

Dëshironi të dini këto shenja të pjesëtueshmërisë?

A dini ndonjë shenjë të pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë?

Rezultatet e sondazhit treguan se 77% e të anketuarve besojnë se ka shenja të tjera të pjesëtueshmërisë përveç atyre që studiohen në shkollë; 9% nuk ​​mendojnë kështu, 13% e të anketuarve e kanë pasur të vështirë të përgjigjen. Në pyetjen e dytë "A dëshironi të dini shenjat e pjesëtueshmërisë për numrat e tjerë natyrorë?" 33% janë përgjigjur pozitivisht, 17% janë përgjigjur “Jo”, dhe 50% e kanë pasur të vështirë të përgjigjen. Në pyetjen e tretë, 100% e të anketuarve janë përgjigjur pozitivisht. Pyetjes së katërt janë përgjigjur pozitivisht nga 89%, janë përgjigjur me "Jo" - 11% e studentëve që kanë marrë pjesë në anketë gjatë punës kërkimore.

konkluzioni

Kështu, gjatë punës, u zgjidhën detyrat e mëposhtme:

studiuar material teorik për këtë çështje;

përveç shenjave që kam njohur me 2, 3, 5, 9 dhe 10, mësova se ka edhe shenja pjesëtueshmërie me 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, etj. .;

3) studioi shenjën e Pascal - një shenjë universale e pjesëtueshmërisë me çdo numër natyror;

Duke punuar me burime të ndryshme, duke analizuar materialin e gjetur për temën në studim, u binda se ka shenja pjesëtueshmërie me numra të tjerë natyrorë. Për shembull, në 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, gjë që konfirmoi korrektësinë e hipotezës sime për ekzistencën e shenjave të tjera të pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë. Zbulova gjithashtu se ekziston një shenjë universale e pjesëtueshmërisë, algoritmi i së cilës u gjet nga matematikani francez Pascal Blaise dhe e botoi atë në traktatin e tij "Mbi natyrën e pjesëtueshmërisë së numrave". Duke përdorur këtë algoritëm, mund të merrni një shenjë pjesëtueshmërie me çdo numër natyror.

Rezultati i punës kërkimore u bë një material i sistemuar në formën e një tabele "Shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave", e cila mund të përdoret në mësimet e matematikës, në aktivitetet jashtëshkollore për të përgatitur studentët për zgjidhjen e problemeve të olimpiadës, në përgatitjen e studentëve për OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit. .

Në të ardhmen, kam ndërmend të vazhdoj të punoj për aplikimin e shenjave të pjesëtueshmërisë së numrave për zgjidhjen e problemeve.

Lista e burimeve të përdorura

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika. Klasa 6: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet / - botimi i 25-të, ster. - M.: Mnemozina, 2009. - 288 f.

Vorobyov V.N. Shenjat e pjesëtueshmërisë.-M.: Nauka, 1988.-96s.

Vygodsky M.Ya. Manual i matematikës fillore. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 f.

Gardner M. Koha e lirë matematikore. / Nën. Ed. Ya.A. Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 f.

Gelfman E.G., Beck E.F. etj. Rasti i pjesëtueshmërisë dhe histori të tjera: Tutorial në matematikë për klasën e 6-të. - Tomsk: Shtëpia Botuese e Tom.un-ta, 1992. - 176f.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë: Ref. materialet: Libër. për studentët. - Botimi 2 - M .: Arsimi, 1990. - 416 f.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Punë jashtëshkollore në matematikë në klasat 6-8. Moskë: Arsimi, 1984. - 289s.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. M.: Iluminizmi, 1989. - 97f.

Kulanin E.D. Matematikë. Drejtoria. -M.: EKSMO-Press, 1999-224f.

Perelman Ya.I. Algjebër argëtuese. M.: Triada-Litera, 1994. -199.

Tarasov B.N. Paskalin. -M.: Mol. Garda, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - enciklopedia e lirë).

http://www.bymath.net (enciklopedi).

Shtojca 1

TABELA E SHENJAVE TË PJETËSUESHMËRISË

	shenjë	Shembull
	Numri përfundon me një numër çift.	………………2(4,6,8,0)
	Shuma e shifrave pjesëtohet me 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Numri i dy shifrave të tij të fundit është zero ose i plotpjesëtueshëm me 4.	………………12
	Numri përfundon me 5 ose 0.	………………0(5)
	Numri përfundon me një shifër çift dhe shuma e shifrave pjesëtohet me 3.	375018: 8-numër çift 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Rezultati i zbritjes së dyfishit të shifrës së fundit nga ky numër pa shifrën e fundit pjesëtohet me 7.	36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Tre shifrat e tij të fundit të numrit janë zero ose formojnë një numër që plotpjesëtohet me 8.	……………..064
	Shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Numri përfundon me zero	………………..0
	Shuma e shifrave të një numri me shifra të alternuara pjesëtohet me 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Dy shifrat e fundit të një numri pjesëtohen me 4 dhe shuma e shifrave plotpjesëtohet me 3.	2+1+6=9, 9:3 dhe 16:4
	Numri i dhjetësheve të një numri të caktuar, i shtuar katërfishit të numrit të njësive, është shumëfish i 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Një numër përfundon me një shifër çift dhe kur rezultati i zbritjes së dyfishit të shifrës së fundit nga ai numër pa shifrën e fundit pjesëtohet me 7.	364: 4 është një numër çift 36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Numri 5 dhe 0 dhe shuma e shifrave plotpjesëtohet me 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Katër shifrat e fundit të numrit janë zero ose formojnë një numër që plotpjesëtohet me 16.	…………..0032
	Numri i dhjetërave të një numri të caktuar, i shtuar në numrin e njësive të rritur me 12 herë, është shumëfish i 17-shit.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Meqenëse 34 pjesëtohet me 17, atëherë edhe 29053 pjesëtohet me 17
	Numri përfundon me një shifër çift dhe shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.	2034: 4 është një numër çift
	Numri i dhjetësheve të një numri të caktuar, i shtuar me dyfishin e numrit të njësive, është shumëfish i 19-ës	64 + (6 × 2) = 76
	Numri përfundon me 0 dhe shifra e parafundit është çift	…………………40
	Një numër i përbërë nga dy shifrat e fundit pjesëtohet me 25	…………….75
	Një numër pjesëtohet me 30 nëse dhe vetëm nëse përfundon me 0 dhe shuma e të gjitha shifrave pjesëtohet me 3.	……………..360
	Një numër pjesëtohet me 59 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve që i shtohen numrit të njësheve të shumëzuar me 6 është i plotpjesëtueshëm me 59.	Për shembull, 767 pjesëtohet me 59, pasi 76 + 6*7 = 118 dhe 11 + 6*8 = 59 pjesëtohen me 59.
	Një numër pjesëtohet me 79 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve që i shtohen numrit të njësheve të shumëzuar me 8 pjesëtohet me 79.	Për shembull, 711 pjesëtohet me 79, sepse 79 pjesëtohet me 71 + 8*1 = 79
	Një numër pjesëtohet me 99 nëse dhe vetëm nëse shuma e numrave që formojnë grupe me dy shifra (duke filluar me njësi) pjesëtohet me 99.	Për shembull, 12573 pjesëtohet me 99, pasi 1 + 25 + 73 = 99 pjesëtohet me 99.
në 125	Një numër i përbërë nga tre shifrat e fundit pjesëtohet me 125	……………375

Një seri artikujsh mbi shenjat e pjesëtueshmërisë vazhdon Shenja e pjesëtueshmërisë me 3. Ky artikull fillimisht jep formulimin e kriterit për pjesëtueshmërinë me 3, dhe jep shembuj të zbatimit të këtij kriteri për të gjetur se cilët nga numrat e plotë të dhënë janë të pjesëtueshëm me 3 dhe cilët jo. Më tej jepet vërtetimi i testit të pjesëtueshmërisë me 3. Janë marrë në konsideratë edhe qasjet për të përcaktuar pjesëtueshmërinë me 3 të numrave të dhënë si vlerë e disa shprehjeve.

Navigimi i faqes.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3, shembuj

Le të fillojmë me formulimet e testit për pjesëtueshmërinë me 3: një numër i plotë pjesëtohet me 3 nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3 , nëse shuma e shifrave të tij nuk pjesëtohet me 3 , atëherë vetë numri nuk pjesëtohet me 3 .

Nga formulimi i mësipërm është e qartë se shenja e pjesëtueshmërisë me 3 nuk mund të përdoret pa aftësinë për të kryer mbledhjen e numrave natyrorë. Gjithashtu, për aplikimin me sukses të shenjës së pjesëtueshmërisë me 3, duhet të dini se nga të gjithë numrat natyrorë njëshifrorë, numrat 3, 6 dhe 9 janë të pjesëtueshëm me 3 dhe numrat 1, 2, 4, 5, 7 dhe 8 nuk pjesëtohen me 3.

Tani mund të konsiderojmë më të thjeshtën shembuj të aplikimit të testit për pjesëtueshmërinë me 3. Le të zbulojmë nëse numri është i pjesëtueshëm me 3? 42. Për ta bërë këtë, llogarisim shumën e shifrave të numrit?42, është e barabartë me 4+2=6. Meqenëse 6 pjesëtohet me 3, atëherë, në bazë të shenjës së pjesëtueshmërisë me 3, mund të argumentohet se numri 42 është gjithashtu i pjesëtueshëm me 3. Por numri i plotë pozitiv 71 nuk pjesëtohet me 3, pasi shuma e shifrave të tij është 7+1=8, dhe 8 nuk pjesëtohet me 3.

A pjesëtohet 0 me 3? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, testi për pjesëtueshmërinë me 3 nuk është i nevojshëm, këtu duhet të kujtojmë vetinë përkatëse të pjesëtueshmërisë, e cila thotë se zeroja është e pjesëtueshme me çdo numër të plotë. Pra, 0 pjesëtohet me 3.

Në disa raste, për të treguar se një numër i caktuar ka ose nuk ka aftësinë të pjesëtohet me 3, testi për pjesëtueshmërinë me 3 duhet të zbatohet disa herë radhazi. Le të marrim një shembull.

Tregoni se numri 907444812 ndahet me 3.

Shuma e shifrave të 907444812 është 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Për të kuptuar nëse 39 pjesëtohet me 3, llogarisim shumën e shifrave: 3+9=12. Dhe për të kuptuar nëse 12 pjesëtohet me 3, gjejmë shumën e shifrave të numrit 12, kemi 1+2=3. Meqenëse kemi marrë numrin 3, i cili pjesëtohet me 3, atëherë, për shkak të shenjës së pjesëtueshmërisë me 3, numri 12 pjesëtohet me 3. Prandaj, 39 pjesëtohet me 3, pasi shuma e shifrave të tij është 12, dhe 12 pjesëtohet me 3. Së fundi, 907333812 pjesëtohet me 3 sepse shuma e shifrave të tij është 39 dhe 39 pjesëtohet me 3.

Për të konsoliduar materialin, do të analizojmë zgjidhjen e një shembulli tjetër.

A është numri i pjesëtueshëm me 3? 543 205?

Le të llogarisim shumën e shifrave të këtij numri: 5+4+3+2+0+5=19 . Nga ana tjetër, shuma e shifrave të numrit 19 është 1+9=10, dhe shuma e shifrave të numrit 10 është 1+0=1. Meqenëse kemi marrë numrin 1, i cili nuk pjesëtohet me 3, nga kriteri i pjesëtueshmërisë me 3 rezulton se 10 nuk pjesëtohet me 3. Prandaj, 19 nuk pjesëtohet me 3, sepse shuma e shifrave të tij është 10, dhe 10 nuk pjesëtohet me 3. Prandaj, numri origjinal?543205 nuk pjesëtohet me 3, pasi shuma e shifrave të tij, e barabartë me 19, nuk pjesëtohet me 3.

Vlen të theksohet se pjesëtimi i drejtpërdrejtë i një numri të dhënë me 3 na lejon gjithashtu të konkludojmë nëse numri i dhënë është i plotpjesëtueshëm me 3 apo jo. Me këtë duam të themi se ndarja nuk duhet neglizhuar në favor të shenjës së pjesëtueshmërisë me 3. Në shembullin e fundit, duke pjesëtuar 543 205 me 3 me një kolonë, do të sigurohemi që 543 205 të mos pjesëtohet me 3, nga ku mund të themi se 543 205 nuk pjesëtohet as me 3.

Vërtetimi i testit për pjesëtueshmërinë me 3

Paraqitja e mëposhtme e numrit a do të na ndihmojë të vërtetojmë shenjën e pjesëtueshmërisë me 3. Ne mund të zbërthejmë çdo numër natyror a në shifra, pas së cilës rregulli i shumëzimit me 10, 100, 1000 e kështu me radhë na lejon të marrim një paraqitje të formës a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , ku a n , a n?1 , …, a 0 janë shifra nga e majta në të djathtë në numrin a . Për qartësi, japim një shembull të një paraqitjeje të tillë: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Tani le të shkruajmë një numër barazish mjaft të dukshme: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 e kështu me radhë.

Zëvendësimi në ekuacionin a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 në vend të 10 , 100 , 1 000 e kështu me radhë shprehjet 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 e kështu me radhë, marrim
.

Vetitë e mbledhjes së numrave natyrorë dhe vetitë e shumëzimit të numrave natyrorë lejojnë që barazia që rezulton të rishkruhet si më poshtë:

Shprehje është shuma e shifrave të a. Le ta përcaktojmë për shkurtësi dhe lehtësi me shkronjën A, domethënë pranojmë. Pastaj marrim një paraqitje të numrit a të formës, të cilën do ta përdorim për të vërtetuar testin për pjesëtueshmërinë me 3.

Gjithashtu, për të vërtetuar provën për pjesëtueshmërinë me 3, na duhen vetitë e mëposhtme të pjesëtueshmërisë:

• që një numër i plotë a të jetë i pjesëtueshëm me një numër të plotë b, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që moduli i a të jetë i pjesëtueshëm me modulin e b;
• nëse në barazinë a=s+t të gjithë termat, përveç ndonjërit, janë të pjesëtueshëm me ndonjë numër të plotë b, atëherë edhe ky term është i pjesëtueshëm me b.

Tani jemi plotësisht të përgatitur dhe mund ta realizojmë vërtetimi i pjesëtueshmërisë me 3, për lehtësi e formulojmë këtë veçori si kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për pjesëtueshmërinë me 3 .

Që një numër i plotë a të jetë i pjesëtueshëm me 3, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e shifrave të tij të pjesëtohet me 3.

Për a=0 teorema është e qartë.

Nëse a është i ndryshëm nga zero, atëherë moduli i a është një numër natyror, atëherë është i mundur një paraqitje, ku është shuma e shifrave të a.

Meqenëse shuma dhe prodhimi i numrave të plotë është një numër i plotë, atëherë është një numër i plotë, atëherë sipas përkufizimit të pjesëtueshmërisë, prodhimi është i pjesëtueshëm me 3 për çdo a 0, a 1, ..., a n.

Nëse shuma e shifrave të numrit a është e pjesëtueshme me 3, d.m.th., A është i pjesëtueshëm me 3, atëherë, për shkak të vetive të pjesëtueshmërisë të treguar para teoremës, është i pjesëtueshëm me 3, prandaj, a është i pjesëtueshëm me 3. Kjo dëshmon mjaftueshmërinë.

Nëse a është i pjesëtueshëm me 3, atëherë ai është gjithashtu i pjesëtueshëm me 3, atëherë për shkak të së njëjtës veti të pjesëtueshmërisë, numri A është i pjesëtueshëm me 3, domethënë, shuma e shifrave të numrit a është e pjesëtueshme me 3. Kjo dëshmon domosdoshmërinë.

Rastet e tjera të pjesëtueshmërisë me 3

Ndonjëherë numrat e plotë nuk specifikohen në mënyrë eksplicite, por si vlera e disa shprehjeve me një ndryshore për një vlerë të caktuar të ndryshores. Për shembull, vlera e një shprehjeje për disa n natyrore është një numër natyror. Është e qartë se me këtë caktim të numrave, pjesëtimi i drejtpërdrejtë me 3 nuk do të ndihmojë në përcaktimin e pjesëtueshmërisë së tyre me 3, dhe shenja e pjesëtueshmërisë me 3 nuk do të mund të zbatohet gjithmonë. Tani do të shqyrtojmë disa qasje për zgjidhjen e problemeve të tilla.

Thelbi i këtyre qasjeve është të paraqesin shprehjen origjinale si produkt i disa faktorëve, dhe nëse të paktën njëri prej faktorëve është i pjesëtueshëm me 3, atëherë, për shkak të vetive përkatëse të pjesëtueshmërisë, do të jetë e mundur të konkludohet se i gjithë produkti pjesëtohet me 3.

Ndonjëherë kjo qasje mund të zbatohet duke përdorur binomin e Njutonit. Le të shqyrtojmë një shembull zgjidhjeje.

A është vlera e shprehjes e pjesëtueshme me 3 për çdo n natyrore?

Barazia është e qartë. Le të përdorim formulën binomiale të Njutonit:

Në shprehjen e fundit, mund të marrim 3 nga kllapat, dhe marrim. Produkti që rezulton është i pjesëtueshëm me 3, pasi përmban një faktor 3, dhe vlera e shprehjes në kllapa për n natyrore është një numër natyror. Prandaj, është i pjesëtueshëm me 3 për çdo n natyrore.

Në shumë raste, pjesëtueshmëria me 3 mund të vërtetohet me metodën e induksionit matematik. Le të analizojmë zbatimin e tij në zgjidhjen e një shembulli.

Vërtetoni se për çdo n natyrore vlera e shprehjes është e pjesëtueshme me 3 .

Për vërtetim, ne përdorim metodën e induksionit matematik.

Për n=1, vlera e shprehjes është , dhe 6 pjesëtohet me 3.

Supozoni se vlera e shprehjes është e pjesëtueshme me 3 kur n=k , pra e pjesëtueshme me 3 .

Duke marrë parasysh që pjesëtohet me 3, do të tregojmë se vlera e shprehjes për n=k+1 pjesëtohet me 3, pra do të tregojmë se pjesëtohet me 3.

Le të bëjmë disa transformime:

Shprehja ndahet me 3 dhe shprehja plotpjesëtohet me 3, kështu që shuma e tyre pjesëtohet me 3.

Pra, metoda e induksionit matematik vërtetoi pjesëtueshmërinë me 3 për çdo n natyrore.

Le të tregojmë një qasje më shumë për vërtetimin e pjesëtueshmërisë me 3. Nëse tregojmë se për n=3 m , n=3 m+1 dhe n=3 m+2 , ku m është një numër i plotë arbitrar, vlera e disa shprehjeve (me ndryshore n) pjesëtohet me 3, atëherë kjo do të vërtetojë pjesëtueshmëria e shprehjes me 3 për çdo numër të plotë n. Merrni parasysh këtë qasje kur zgjidhni shembullin e mëparshëm.

Tregoni se çfarë pjesëtohet me 3 për çdo n natyrore.

Për n=3 m kemi. Produkti që rezulton është i pjesëtueshëm me 3 sepse përmban një faktor 3 të pjesëtueshëm me 3.

Produkti që rezulton është gjithashtu i pjesëtueshëm me 3.

Dhe ky produkt pjesëtohet me 3.

Prandaj, është i pjesëtueshëm me 3 për çdo n natyrore.

Si përfundim, ne paraqesim zgjidhjen e një shembulli tjetër.

A është vlera e shprehjes e pjesëtueshme me 3 për disa n natyrore.

Për n=1 kemi. Shuma e shifrave të numrit që rezulton është 3, kështu që shenja e pjesëtueshmërisë me 3 na lejon të pohojmë se ky numër është i pjesëtueshëm me 3.

Për n=2 kemi. Shuma e shifrave dhe këtij numri është 3, pra pjesëtohet me 3.

Është e qartë se për çdo n tjetër natyrore do të kemi numra, shuma e shifrave të të cilëve është 3, prandaj këta numra janë të pjesëtueshëm me 3.

Kështu, për çdo n natyrale pjesëtohet me 3.

www.cleverstudents.ru

Matematika, klasa 6, libër shkollor për studentët e organizatave arsimore, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Matematika, klasa 6, libër shkollor për studentët e organizatave arsimore, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Materiali teorik në tekst është paraqitur në atë mënyrë që mësuesi të mund të zbatojë një qasje të bazuar në problem në mësimdhënie. Me ndihmën e sistemit të shënimeve dallohen ushtrimet e katër niveleve të kompleksitetit. Në çdo paragraf formulohen detyrat e kontrollit bazuar në atë që nxënësit duhet të dinë dhe të jenë në gjendje të arrijnë për të arritur nivelin e standardit të arsimit matematikor. Në fund të tekstit jepen detyrat e shtëpisë. letrat e testimit dhe përgjigjet. Ilustrimet me ngjyra (vizatimet dhe diagramet) ofrojnë një nivel të lartë qartësie të materialit edukativ.
Përputhet me kërkesat e GEF LLC.

Detyrat.

4. Vizatoni një trekëndësh ABC dhe shënoni një pikë O jashtë tij (si në figurën 11). Ndërtoni një figurë simetrike me trekëndëshin ABC në lidhje me pikën O.

5. Vizatoni trekëndëshin KMN dhe ndërtoni një figurë simetrike me këtë trekëndësh në lidhje me:
a) kulmet e tij - pikat M;
b) pikat O - mesi i anës MN.

6. Ndërtoni një figurë që është simetrike:
a) rreze OM në lidhje me pikën O; shkruani se cila pikë është simetrike me pikën O;
b) rreze OM në lidhje me një pikë arbitrare A që nuk i përket kësaj rreze;
c) drejtëza AB në lidhje me pikën O, që nuk i përket kësaj drejtëze;
d) drejtëzën AB në lidhje me pikën O që i përket kësaj linje; shkruani se cila pikë është simetrike me pikën O.
Në secilin rast, përshkruani pozicionin relativ të figurave simetrike qendrore.

Tabela e përmbajtjes
Kreu I. Numrat pozitivë dhe negativë. Koordinatat
§ 1. Rrotullimi dhe simetria qendrore
§ 2. Numrat pozitivë dhe negativë. Linja e koordinatave
§ 3. Moduli i numrit. Numra të kundërt
§ 4. Krahasimi i numrave
§ 5. Paralelizmi i drejtëzave
§ 6. Shprehjet numerike që përmbajnë shenjat "+", "-"
§ 7. Shuma algjebrike dhe vetitë e saj
§ 8. Rregulli i njehsimit të vlerës së shumës algjebrike të dy numrave
§ 9. Largësia ndërmjet pikave të vijës koordinative
§ 10. Simetria boshtore
§ 11. Boshllëqet e numrave
§ 12. Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave pozitivë dhe negativë
§ 13. Koordinatat
§ 14. Rrafshi i koordinatave
§ 15. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave të zakonshme
§ 16. Rregulla e shumëzimit për problemat kombinuese
Kapitulli II. Shndërrimi i shprehjeve fjalë për fjalë
§ 17. Zgjerimi i kllapave
§ 18. Thjeshtimi i shprehjeve
§ 19. Zgjidhje ekuacionesh
§ 20. Zgjidhja e problemave për hartimin e ekuacioneve
§ 21. Dy problema kryesore mbi thyesat
§ 22. Rretho. Perimetri
§ 23. Rretho. Zona e një rrethi
§ 24. Ball. Sferë
Kapitulli III. Pjesëtueshmëria e numrave natyrorë
§ 25. Pjesëtuesit dhe shumëfishat
§ 26. Pjesëtueshmëria e një vepre
§ 27. Pjesëtueshmëria e shumës dhe e ndryshimit të numrave
§ 28. Shenjat e pjesëtueshmërisë me 2, 5, 10, 4 dhe 25
§ 29. Shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 dhe 9
§ 30. Numrat e thjeshtë. Zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë
§ 31. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët
§ 32. Numrat e dyfishtë. Një shenjë e pjesëtueshmërisë me një produkt. Shumëfishi më pak i zakonshëm
Kapitulli IV. Matematika rreth nesh
§ 33. Raporti i dy numrave
§ 34. Diagramet
§ 35. Proporcionaliteti i sasive
§ 36. Zgjidhja e problemave duke përdorur përmasat
§ 37. Detyra të ndryshme
§ 38. Njohja e parë me konceptin e "probabilitetit"
§ 39. Njohja e parë me llogaritjen e probabilitetit
Testet në shtëpi
Temat për aktivitetet e projektit
Përgjigjet

Shkarkoni falas e-libër në një format të përshtatshëm dhe lexoni:

Matematika

MATERIALI REFERENT MBI MATEMATIKËN PËR KLASAT 1-6.

Të dashur prindër! Nëse jeni duke kërkuar për një mësues matematike për fëmijën tuaj, atëherë kjo reklamë është për ju. Unë ofroj mësim në Skype: përgatitje për OGE, Provimin e Unifikuar të Shtetit, eliminimin e boshllëqeve në njohuri. Përfitimet tuaja janë të qarta:

1) Fëmija juaj është në shtëpi dhe ju mund të jeni të qetë për të;

2) Klasat mbahen në një kohë të përshtatshme për fëmijën, madje ju mund të ndiqni këto klasa. Unë shpjegoj thjesht dhe qartë në tabelën e zakonshme të shkollës.

3) Ju mund të mendoni vetë për avantazhe të tjera të rëndësishme të klasave të Skype!

Më shkruaj në: ose më shto menjëherë në Skype dhe ne do të biem dakord për gjithçka. Çmimet janë të përballueshme.

P.S. Mësimet ofrohen në grupe prej 2-4 studentësh.

Sinqerisht, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko është autorja e kësaj faqeje.

Të dashur miq!

Kam kënaqësinë t'ju ofroj të shkarkoni materiale referuese të matematikës falas klasa e 5-të. Shkarkoni këtu!

Të dashur miq!

Nuk është sekret që disa fëmijë kanë vështirësi në shumëzimin dhe ndarjen e gjatë. Më shpesh kjo është për shkak të njohurive të pamjaftueshme të tabelës së shumëzimit. Unë propozoj të mësoni tabelën e shumëzimit me ndihmën e lotos. Shih më shumë këtu. Shkarko loto këtu.

Të dashur miq! Së shpejti do të përballeni (ose jeni përballur tashmë) me nevojën për të vendosur detyrat me interes. Probleme të tilla fillojnë të zgjidhen në klasën e 5-të dhe mbarojnë. por nuk mbarojnë zgjidhjen e problemeve për përqindje! Këto detyra gjenden si në kontroll ashtu edhe në provime: të dyja të transferueshme, dhe OGE dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit. Çfarë duhet bërë? Ne duhet të mësojmë se si t'i zgjidhim këto probleme. Libri im Si të zgjidhim probleme me përqindje do t'ju ndihmojë me këtë. Detajet këtu!

Mbledhja e numrave.

• a+b=c, ku a dhe b janë terma, c është shuma.
• Për të gjetur termin e panjohur, zbritni termin e njohur nga shuma.

Zbritja e numrave.

• a-b=c, ku a është minuend, b është subtrahend, c është diferenca.
• Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.
• Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.

Shumëzimi i numrave.

• a b=c, ku a dhe b janë faktorë, c është prodhimi.
• Për të gjetur faktorin e panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.

Ndarja e numrave.

• a:b=c, ku a është dividenti, b është pjesëtuesi, c është herësi.
• Për të gjetur dividendin e panjohur, duhet të shumëzoni pjesëtuesin me herësin.
• Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.

Ligjet e shtimit.

• a+b=b+a(zhvendosja: shuma nuk ndryshon nga rirregullimi i termave).
• (a+b)+c=a+(b+c)(asociative: për të shtuar një numër të tretë në shumën e dy termave, mund të shtoni shumën e të dytit dhe të tretë në numrin e parë).

Tabela shtesë.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Ligjet e shumëzimit.

• a b=b a(zhvendosja: ndërrimi i faktorëve nuk e ndryshon produktin).
• (a b) c=a (b c)(kombinative: për të shumëzuar prodhimin e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni numrin e parë me prodhimin e të dytit dhe të tretë).
• (a+b) c=a c+b c(ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen: për të shumëzuar shumën e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni çdo term me këtë numër dhe të shtoni rezultatet).
• (a-b) c=a c-b c(ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen: për të shumëzuar ndryshimin e dy numrave me një numër të tretë, mund të shumëzoni me këtë numër të reduktuar dhe zbritur veçmas dhe të zbrisni të dytin nga rezultati i parë).

Tabela e shumëzimit.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Pjesëtuesit dhe shumëfishat.

• ndarës numri natyror A emërtoni numrin natyror me të cilin A ndahet pa mbetje. (Numrat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 janë pjesëtues të numrit 24, pasi 24 është i pjesëtueshëm me secilin prej tyre pa mbetje) 1-pjesëtues i çdo numri natyror. Pjesëtuesi më i madh i çdo numri është vetë numri.
• Të shumëfishta numri natyror bështë një numër natyror që pjesëtohet pa mbetje me b. (Numrat 24, 48, 72, ... janë shumëfish të numrit 24, pasi pjesëtohen me 24 pa mbetje). Shumëfishi më i vogël i çdo numri është vetë numri.

Shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë.

• Numrat që përdoren gjatë numërimit të objekteve (1, 2, 3, 4, ...) quhen numra natyrorë. Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me shkronjë N.
• Numrat 0, 2, 4, 6, 8 thirrur madje numrat. Numrat që përfundojnë me shifra çift quhen çift.
• Numrat 1, 3, 5, 7, 9 thirrur i çuditshëm numrat. Numrat që përfundojnë me shifra tek quhen numra tek.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 2. Të gjithë numrat natyrorë që mbarojnë me një shifër çift janë të pjesëtueshëm me 2.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 5. Të gjithë numrat natyrorë që mbarojnë me 0 ose 5 janë të pjesëtueshëm me 5.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 10. Të gjithë numrat natyrorë që mbarojnë me 0 janë të pjesëtueshëm me 10.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 3. Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë vetë numri pjesëtohet me 3.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 9. Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë vetë numri pjesëtohet me 9.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 4. Nëse numri i përbërë nga dy shifrat e fundit të një numri të caktuar pjesëtohet me 4, atëherë vetë numri i dhënë pjesëtohet me 4.
• Shenja e pjesëtueshmërisë me numrin 11. Nëse diferenca midis shumës së shifrave në vendet tek dhe shumës së shifrave në vendet çift është e pjesëtueshme me 11, atëherë vetë numri pjesëtohet me 11.

• Një numër i thjeshtë është një numër që ka vetëm dy pjesëtues: një dhe vetë numrin.
• Një numër i përbërë është një numër që ka më shumë se dy pjesëtues.
• Numri 1 nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë.
• Shkrimi i një numri të përbërë si produkt i vetëm numrave të thjeshtë quhet faktorizimi i një numri të përbërë në faktorë të thjeshtë. Çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i faktorëve kryesorë.

• Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave natyrorë të dhënë është numri natyror më i madh me të cilin secili prej këtyre numrave është i pjesëtueshëm.
• Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave është i barabartë me produktin e faktorëve të thjeshtë të thjeshtë në zgjerimet e këtyre numrave. Shembull. GCD(24, 42)=2 3=6, meqenëse 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, faktorët kryesorë të tyre të përbashkët janë 2 dhe 3.
• Nëse numrat natyrorë kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - një, atëherë këta numra quhen të dyfishtë.

• Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave natyrorë të dhënë është numri natyror më i vogël që është shumëfish i secilit prej numrave të dhënë. Shembull. LCM(24, 42)=168. Ky është numri më i vogël që pjesëtohet me 24 dhe 42.
• Për të gjetur LCM-në e disa numrave natyrorë të dhënë, është e nevojshme: 1) të zbërthehet secili nga numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë; 2) shkruani zgjerimin e numrit më të madh dhe shumëzojeni atë me faktorët që mungojnë nga zgjerimet e numrave të tjerë.
• Shumëfishi më i vogël i dy numrave të përbashkët është i barabartë me prodhimin e këtyre numrave.

b- emëruesi i një thyese, tregon sa pjesë të barabarta ndahen;

a-numëruesi i thyesës, tregon sa pjesë të tilla janë marrë. Shiriti thyesor nënkupton shenjën e ndarjes.

Ndonjëherë, në vend të një vije thyesore horizontale, ata vendosin një prerje, dhe një fraksion i zakonshëm shkruhet kështu: a/b.

• Në thyesa e duhur numëruesi është më i vogël se emëruesi.
• Në thyesë e papërshtatshme numëruesi është më i madh se emëruesi ose i barabartë me emëruesin.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, atëherë do të fitohet një thyesë e barabartë me të.

Pjesëtimi i numëruesit dhe i emëruesit të një thyese me pjesëtuesin e tyre të përbashkët të ndryshëm nga një quhet reduktim i thyesave.

• Një numër i përbërë nga një pjesë e plotë dhe një pjesë thyesore quhet numër i përzier.
• Për të paraqitur një thyesë jo të duhur si një numër të përzier, është e nevojshme të pjesëtohet numëruesi i thyesës me emëruesin, atëherë herësi jo i plotë do të jetë pjesa e plotë e numrit të përzier, pjesa e mbetur do të jetë numëruesi i pjesës thyesore. , dhe emëruesi do të mbetet i njëjtë.
• Për të paraqitur një numër të përzier si një thyesë jo të duhur, duhet të shumëzoni pjesën e plotë të numrit të përzier me emëruesin, të shtoni numëruesin e pjesës thyesore në rezultat dhe ta shkruani atë në numëruesin e thyesës së papërshtatshme dhe të lini emëruesin. e njëjta.

• Ray Oh me origjinë në pikë RRETH, në të cilën prerje e vetme te dhe drejtimin, thirri rreze koordinative.
• Numri që i përgjigjet pikës së rrezes koordinative quhet koordinoj këtë pikë. Për shembull , A(3). Lexoni: pika A me koordinatën 3.

• Emëruesi më i ulët i përbashkët ( NOZ) i këtyre thyesave të pareduktueshme është shumëfishi më i vogël i përbashkët ( NOC) emëruesit e këtyre thyesave.
• Për të sjellë thyesat në emëruesin më të vogël të përbashkët, duhet: 1) të gjesh shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të këtyre thyesave, ai do të jetë emëruesi më i vogël i përbashkët. 2) gjeni një faktor shtesë për secilën nga thyesat, për të cilin emëruesin e ri e ndajmë me emëruesin e secilës thyesë. 3) shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me faktorin e saj shtesë.

• Nga dy thyesa me emërues të njëjtë, ajo me numërues më të madh është më e madhja dhe ajo me numërues më të vogël është më e vogla.
• Nga dy thyesa me numërues të njëjtë, ajo me emërues më të vogël është më e madhja dhe ajo me emërues më të madh është më e vogla.
• Për të krahasuar thyesat me numërues të ndryshëm dhe emërues të ndryshëm, duhet t'i reduktoni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas t'i krahasoni thyesat me emërues të njëjtë.

Veprimet në thyesat e zakonshme.

• Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.
• Nëse duhet të shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, atëherë fillimisht zvogëloni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas shtoni thyesat me emërues të njëjtë.
• Për të zbritur thyesat me emërues të njëjtë, numëruesi i thyesës së dytë zbritet nga numëruesi i thyesës së parë dhe emëruesi lihet i njëjtë.
• Nëse keni nevojë të zbrisni thyesat me emërues të ndryshëm, atëherë ato fillimisht sillen në një emërues të përbashkët, dhe më pas zbriten thyesat me emërues të njëjtë.
• Gjatë kryerjes së veprimeve për mbledhjen ose zbritjen e numrave të përzier, këto veprime kryhen veçmas për pjesët e plota dhe për pjesët thyesore dhe më pas rezultati shkruhet si numër i përzier.

• Prodhimi i dy thyesave të zakonshme është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me prodhimin e numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve të thyesave të dhëna.
• Për të shumëzuar një thyesë të zakonshme me një numër natyror, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës me këtë numër dhe të lini emëruesin të njëjtë.
• Dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me një quhen numra reciprokë.
• Kur shumëzohen numrat e përzier, ata fillimisht shndërrohen në thyesa të pahijshme.
• Për të gjetur një pjesë të një numri, duhet të shumëzoni numrin me atë thyesë.

• Për të pjesëtuar një thyesë të përbashkët me një thyesë të përbashkët, duhet të shumëzoni dividentin me reciprokun e pjesëtuesit.
• Kur pjesëtohen numrat e përzier, ata fillimisht shndërrohen në thyesa të papërshtatshme.
• Për të pjesëtuar një thyesë të zakonshme me një numër natyror, duhet të shumëzoni emëruesin e thyesës me këtë numër natyror dhe ta lini numëruesin të njëjtë. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
• Për të gjetur një numër me thyesën e tij, duhet të pjesëtoni me këtë thyesë numrin që i korrespondon.

• Një dhjetor është një numër i shkruar në sistemi dhjetor dhe ka shifra më pak se një. (3.25; 0.1457 etj.)
• Shifrat dhjetore pas presjes dhjetore quhen dhjetore.
• Thyesa dhjetore nuk do të ndryshojë nëse zero shtohen ose hidhen në fund të thyesës dhjetore.

Për të shtuar thyesa dhjetore, duhet: 1) të barazoni numrin e numrave dhjetorë në këto thyesa; 2) shkruajini ato njëra nën tjetrën në mënyrë që presja të shkruhet nën presje; 3) kryeni mbledhjen, duke injoruar presjen dhe vendosni një presje nën presje në thyesat e përmbledhura në shumë.

Për të kryer zbritjen e thyesave dhjetore, duhet: 1) të barazoni numrin e numrave dhjetorë në minuend dhe subtrahend; 2) nënshkruani zbritjen nën të reduktuar në mënyrë që presja të jetë nën presje; 3) kryeni zbritjen, duke injoruar presjen, dhe si rezultat, vendosni presjen nën presjet e minuend dhe subtrahend.

• Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me një numër natyror, duhet ta shumëzoni atë me këtë numër, duke injoruar presjen, dhe në prodhimin që rezulton, ndani aq shifra në të djathtë sa kishte pas presjes dhjetore në thyesën e dhënë.
• Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me një tjetër, ju duhet të kryeni shumëzimin, duke injoruar presjet, dhe në rezultatin që rezulton, ndani aq shifra me presje në të djathtë sa kishte pas presjeve në të dy faktorët së bashku.
• Për të shumëzuar një dhjetore me 10, 100, 1000, etj., duhet të zhvendosni pikën dhjetore djathtas me 1, 2, 3, etj.
• Për të shumëzuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001, etj., ju duhet të zhvendosni presjen majtas me 1, 2, 3, etj.

• Për të pjesëtuar një thyesë dhjetore me një numër natyror, duhet të pjesëtosh thyesën me këtë numër, pasi numrat natyrorë ndahen dhe futen në presje private kur të mbarojë pjesëtimi i pjesës së plotë.
• Për të ndarë një dhjetore me 10, 100, 1000, etj., duhet të zhvendosni presjen majtas me 1, 2, 3, etj.

• Për të pjesëtuar një numër me një dhjetor, duhet të zhvendosni presjet në dividend dhe pjesëtues djathtas aq shifra sa janë pas presjes dhjetore në pjesëtues, dhe më pas pjesëtoni me një numër natyror.
• Për të pjesëtuar një dhjetore me 0,1; 0,01; 0,001, etj., ju duhet të zhvendosni presjen në të djathtë me 1, 2, 3, etj. (Pjestimi i një dhjetori me 0,1; 0,01; 0,001, etj. është i njëjtë me shumëzimin e asaj dhjetore me 10, 100, 1000, etj.)

Për të rrumbullakosur një numër në një shifër të caktuar, nënvizojmë shifrën e kësaj shifre dhe më pas të gjitha shifrat pas asaj të nënvizuar i zëvendësojmë me zero dhe nëse janë pas presjes dhjetore, i hedhim poshtë. Nëse shifra e parë e zëvendësuar ose e hedhur me zero është 0, 1, 2, 3 ose 4, atëherë shifra e nënvizuar lihet e pandryshuar. Nëse shifra e parë e zëvendësuar me zero ose e hedhur është 5, 6, 7, 8 ose 9, atëherë shifra e nënvizuar rritet me 1.

Mesatarja aritmetike e disa numrave.

Mesatarja aritmetike e disa numrave është herësi i pjesëtimit të shumës së këtyre numrave me numrin e termave.

Gama e një serie numrash.

Dallimi midis vlerave më të mëdha dhe më të vogla të serisë së të dhënave quhet diapazoni i serisë së numrave.

Moda e serisë së numrave.

Numri që shfaqet me frekuencën më të madhe midis numrave të dhënë të serisë quhet modaliteti i serisë së numrave.

• Një e qindta quhet përqindje. Blini një libër që mëson "Si të zgjidhim problemet e përqindjes".
• Për të shprehur përqindjet si thyesë ose numër natyror, ju duhet ta ndani përqindjen me 100%. (4%=0.04; 32%=0.32).
• Për të shprehur një numër si përqindje, duhet ta shumëzoni atë me 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
• Për të gjetur një përqindje të një numri, duhet të shprehni përqindjen si një thyesë e zakonshme ose dhjetore dhe të shumëzoni thyesën që rezulton me numrin e dhënë.
• Për të gjetur një numër me përqindjen e tij, duhet të shprehni përqindjen si një thyesë e zakonshme ose dhjetore dhe të pjesëtoni numrin e dhënë me këtë thyesë.
• Për të gjetur përqindjen e numrit të parë nga i dyti, duhet të ndani numrin e parë me të dytin dhe të shumëzoni rezultatin me 100%.

• Herësi i dy numrave quhet raporti i këtyre numrave. a:b ose a/bështë raporti i numrave a dhe b, për më tepër, a është termi i mëparshëm, b është termi tjetër.
• Nëse termat e kësaj relacioni riorganizohen, atëherë relacioni që rezulton quhet inversi i kësaj relacioni. Marrëdhëniet b/a dhe a/b janë reciproke të anasjellta.
• Raporti nuk do të ndryshojë nëse të dy termat e raportit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero.

• Barazia e dy raporteve quhet proporcion.
• a:b=c:d. Ky është proporcion. Lexoni: A kështu vlen për b, Si c i referohet d. Numrat a dhe d quhen anëtarët ekstremë të proporcionit, dhe numrat b dhe c janë anëtarët e mesëm të proporcionit.

• Prodhimi i termave ekstremë të një proporcioni është i barabartë me produktin e termave të mesëm të tij. Për proporcion a:b=c:d ose a/b=c/d prona kryesore është shkruar kështu: a d=b c.
• Për të gjetur termin ekstrem të panjohur të proporcionit, duhet të ndani produktin e termave mesatarë të proporcionit me termin ekstrem të njohur.
• Për të gjetur termin e mesëm të panjohur të proporcionit, duhet të ndani produktin e termave ekstremë të proporcionit me termin e mesëm të njohur. Detyrat e proporcionit.

Lëreni vlerën y varet nga madhësia X. Nëse me një rritje X disa herë më e madhe në rritet me të njëjtin faktor, pastaj vlerat e tilla X Dhe në quhen drejtpërpjesëtimore.

Nëse dy sasi janë drejtpërdrejt proporcionale, atëherë raporti i dy vlerave arbitrare të sasisë së parë është i barabartë me raportin e dy vlerave përkatëse të sasisë së dytë.

Raporti i gjatësisë së segmentit në hartë me gjatësinë e distancës përkatëse në tokë quhet shkalla e hartës.

Lëreni vlerën në varet nga madhësia X. Nëse me një rritje X disa herë më e madhe në zvogëlohet me të njëjtin faktor, pastaj vlerat e tilla X Dhe në quhen në përpjesëtim të zhdrejtë.

Nëse dy sasi janë në përpjesëtim të zhdrejtë, atëherë raporti i dy vlerave të marra në mënyrë arbitrare të njërës sasi është i barabartë me raportin e anasjelltë të vlerave përkatëse të sasisë tjetër.

• Një grup është një koleksion i disa objekteve ose numrave të përpiluar sipas disa vetive ose ligjeve të përgjithshme (shumë shkronja në një faqe, shumë thyesa të rregullta me emërues 5, shumë yje në qiell, etj.).
• Grupet përbëhen nga elemente dhe janë ose të fundme ose të pafundme. Një grup që nuk përmban asnjë element quhet bashkësi boshe dhe shënohet Oh
• Një tufë me NË quhet një nëngrup i grupit A nëse të gjithë elementët e grupit NË janë elementë të grupit A.
• Vendos kryqëzimin A Dhe NËështë një bashkësi elementet e të cilit i përkasin grupit A dhe shumë NË.
• Bashkimi i kompleteve A Dhe NËështë një bashkësi elementet e së cilës i përkasin të paktën njërës prej bashkësive të dhëna A Dhe NË.

Komplete numrash.

• N– grup numrash natyrorë: 1, 2, 3, 4,…
• Z– grup i numrave të plotë: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
• Pështë bashkësia e numrave racionalë të përfaqësuar si thyesë m/n, Ku m- e tërë, n- natyrore (-2; 3/5; v9; v25, etj.)

• Një vijë koordinative është një vijë e drejtë në të cilën jepet një drejtim pozitiv, një pikë referimi (pika O) dhe një segment njësi.
• Çdo pikë në vijën koordinative i përgjigjet një numri të caktuar, i cili quhet koordinata e kësaj pike. Për shembull, A(5). Lexoni: pika A me koordinatë pesë. NE 3). Lexoni: pika B me koordinatë minus tre.

• Moduli i numrit a (shkruani |a|) quhet distanca nga origjina në pikën që i përgjigjet numri i dhënë A. Vlera e modulit të çdo numri është jonegative. |3|=3; |-3|=3, sepse distanca nga origjina në numrin -3 dhe me numrin 3 është e barabartë me tre segmente njësi. |0|=0 .
• Sipas përcaktimit të modulit të një numri: |a|=a, Nëse a?0 Dhe |a|=-a, Nëse a b.
• Nëse, kur krahasojmë numrat a dhe b, ndryshimi a-b atëherë është një numër negativ a , atëherë quhen pabarazi strikte.
• Nëse pabarazitë shkruhen në shenja? ose ?, atëherë quhen pabarazi jo strikte.

Vetitë e mosbarazimeve numerike.

G) Një pabarazi e formës x?a. Përgjigje:

Idetë dhe konceptet kryesore të nevojshme për organizimin e aktiviteteve vullnetare (vullnetare). 1. Qasje të përgjithshme për organizimin e aktiviteteve vullnetare (vullnetare). 1.1 Idetë dhe konceptet bazë të nevojshme për organizimin e aktiviteteve vullnetare (vullnetare). 1.2. Korniza legjislative për vullnetarët […]

Ligji i Muna-s Ligjet e Manu - një koleksion i lashtë indian i recetave të detyrës fetare, morale dhe sociale (dharma), i quajtur gjithashtu "ligji i arianëve" ose "kodi i nderit të arianëve". Manavadharmashastra është një nga njëzet dharmashastrat. Këtu janë fragmente të zgjedhura (përkthyer nga Georgy Fedorovich […]

"Menaxhimi dhe optimizimi i një sipërmarrjeje prodhuese" ABSTRAKT Janë dhënë konceptet bazë të etiketës së biznesit. Është treguar se aktualisht, kur ndërmarrjet dhe organizatat vendase po integrohen në jetën ekonomike të rajoneve të ndryshme të planetit, rregullat e komunikimit të biznesit kërkojnë vëmendje të veçantë. Testet janë dhënë […]

Për të thjeshtuar ndarjen e numrave natyrorë, u nxorën rregullat për pjesëtimin me numrat e dhjetës së parë dhe numrat 11, 25, të cilët kombinohen në një seksion. shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë. Më poshtë janë rregullat me të cilat analiza e një numri pa e pjesëtuar me një numër tjetër natyror do t'i përgjigjet pyetjes, a është një numër natyror shumëfish i numrave 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 dhe pak njësi?

Numrat natyrorë që kanë shifra (që mbarojnë me) 2,4,6,8,0 në shifrën e parë quhen çift.

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 2

Të gjithë numrat natyrorë çift pjesëtohen me 2, për shembull: 172, 94,67 838, 1670.

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 3

Të gjithë numrat natyrorë, shuma e shifrave të të cilëve është shumëfish i 3-së, pjesëtohen me 3. Për shembull:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 4

Të gjithë numrat natyrorë janë të pjesëtueshëm me 4, dy shifrat e fundit të të cilëve janë zero ose shumëfish i 4. Për shembull:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 5

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 6

Ata numra natyrorë që pjesëtohen me 2 dhe 3 në të njëjtën kohë, pjesëtohen me 6 (të gjithë numra çift, të cilat pjesëtohen me 3). Për shembull: 126 (b - çift, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 9

Këta numra natyrorë janë të pjesëtueshëm me 9, shuma e shifrave të të cilëve është shumëfish i 9. Për shembull:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 10

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 11

Vetëm ata numra natyrorë janë të pjesëtueshëm me 11, në të cilët shuma e shifrave që zënë vende çift është e barabartë me shumën e shifrave që zënë vendet tek, ose diferencën midis shumës së shifrave të vendeve tek dhe shumës së shifrave të vendeve çift. është shumëfish i 11. Për shembull:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 dhe 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 dhe 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me 25

Këta numra natyrorë janë të pjesëtueshëm me 25, dy shifrat e fundit të të cilëve janë zero ose janë shumëfish të 25. Për shembull:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Shenja e pjesëtueshmërisë së numrave me një njësi bit

Këta numra natyrorë ndahen në një njësi bit, në të cilën numri i zerove është më i madh ose i barabartë me numrin e zerove të njësisë së bitit. Për shembull: 12,000 pjesëtohet me 10, 100 dhe 1000.