Kreativni rad "znakovi djeljivosti". Počnite u nauci Koji je broj djeljiv sa 10 i 12
ČISTENSKI UVK „OPŠTA OBRAZOVNA ŠKOLA
I – III etape - GIMNAZIJA "
MATEMATIKA SMJERA
"ZNAKOVI DJELJIVOSTI"
Uradio sam posao
Učenik 7. razreda
Zhuravlev David
naučni savetnik
specijalista najviše kategorije
Fedorenko Irina Vitalievna
Čisto, 2013
Sadržaj
Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Deljivost brojeva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Znakovi djeljivosti sa 2, 5, 10, 3 i 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . četiri
1.2 Znakovi djeljivosti sa 4, sa 25 i sa 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . četiri
1.3 Znakovi djeljivosti sa 8 i 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Pojednostavljenje testa za djeljivost sa 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Znakovi djeljivosti sa 6, 12, 15, 18, 45, itd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Znak djeljivosti sa 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Jednostavni kriteriji za djeljivost prostim brojevima. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Znakovi djeljivosti sa 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Znakovi djeljivosti sa 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . osam
2.3 Znakovi djeljivosti sa 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . osam
2.4 Znakovi djeljivosti sa 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Kombinovani znak djeljivosti sa 7, 11 i 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Staro i novo o djeljivosti sa 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deset
5. Proširenje znaka djeljivosti sa 7 na druge brojeve. . . . . . 12
6. Generalizovani kriterijum djeljivosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Zanimljivost djeljivosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . petnaest
Zaključci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Književnost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
UVOD
Ako želiš naučiti plivati, onda hrabro uđi u vodu, a ako želiš naučiti rješavati probleme, onda ih rješavaj.
D. Poya
Postoje mnoge grane matematike, a jedna od njih je deljivost brojeva.
Matematičari prošlih vekova smislili su mnoge zgodne trikove da olakšaju proračune i proračune kojima obiluju rešavanje matematičkih problema. Sasvim razuman izlaz, jer nisu imali ni kalkulatore ni kompjutere. U nekim situacijama, mogućnost korištenja praktičnih metoda proračuna uvelike olakšava rješavanje problema i značajno smanjuje vrijeme utrošeno na njih.
Takve korisne metode izračunavanja, naravno, uključuju znakove djeljivosti brojem. Neki od njih su lakši - ovi znakovi djeljivosti brojeva sa 2, 3, 5, 9, 10 izučavaju se u okviru školskog predmeta, a neki su prilično složeni i više su od istraživačkog nego praktičnog interesa. Međutim, uvijek je zanimljivo provjeriti svaki od znakova djeljivosti na određenim brojevima.
Cilj: proširiti ideje o svojstvima brojeva povezanih s djeljivošću;
Zadaci:
Upoznati različite znakove djeljivosti brojeva;
Organizujte ih;
Formirati vještine primjene uvedenih pravila, algoritama za utvrđivanje djeljivosti brojeva.
Deljivost brojeva
Kriterijum djeljivosti je pravilo po kojem, bez dijeljenja, možete odrediti da li je jedan broj djeljiv drugim.
djeljivost iznosa. Ako je svaki član djeljiv nekim brojem, tada je i zbir djeljiv tim brojem.
Primjer 1.1
32 je deljivo sa 4, 16 je deljivo sa 4, tako da je zbir 32 + 16 deljiv sa 4.
Deljivost razlike. Ako su minus i oduzetak djeljivi nekim brojem, tada je i razlika djeljiva tim brojem.
Primjer 1.2
777 je deljivo sa 7, 49 je deljivo sa 7, tako da je razlika 777 - 49 deljiva sa 7.
Deljivost proizvoda brojem. Ako je barem jedan od faktora u proizvodu djeljiv nekim brojem, tada je i proizvod djeljiv ovim brojem.
Primjer 1.3
15 je djeljivo sa 3, pa je proizvod 15∙17∙23 djeljiv sa 3.
Deljivost broja proizvodom. Ako je broj djeljiv proizvodom, onda je djeljiv sa svakim od faktora tog proizvoda.
Primjer 1.4
90 je deljivo sa 30, 30 = 2∙3∙5, pa je 30 deljivo sa 2, 3 i 5.
B. Pascal je dao veliki doprinos proučavanju znakova djeljivosti brojeva.Blaise Pascal (Blaise Pascal) (1623–1662), francuski religiozni mislilac, matematičar i fizičar, jedan od najvećih umova 17. veka.Formulirao je sljedeći kriterij djeljivosti, koji nosi njegovo ime:
Prirodni broj a je djeljiv sa drugim prirodnim brojem b samo ako je zbir proizvoda cifara broja a na odgovarajuće ostatke dobijene dijeljenjem bitnih jedinica brojem b , je djeljiv ovim brojem.
1.1 Znakovi djeljivosti sa 2, 5, 10, 3 i 9
U školi učimo znakove djeljivosti sa 2, 3, 5, 9, 10.
Znak djeljivosti sa 10. Svi i samo ti brojevi su djeljivi sa 10, čiji se zapis završava brojem 0.
Znak djeljivosti sa 5. Svi ti i samo ti brojevi su djeljivi sa 5, čiji se zapis završava brojem 0 ili 5.
Znak djeljivosti sa 2. Svi ti i samo ti brojevi su djeljivi sa 2, čiji zapis završava parnom cifrom: 2,4,6,8 ili 0.
Znak djeljivosti sa 3 i 9. Svi ti i samo ti brojevi su djeljivi sa 3 i 9, čiji je zbir cifara djeljiv sa 3 odnosno 9.
Pisanjem broja (posljednjim ciframa) možete postaviti i djeljivost broja sa 4, 25, 50, 8 i 125.
1.2 Znakovi djeljivosti sa 4, sa 25 i sa 50
Deljivi sa 4, 25 ili 50 su oni i samo oni brojevi koji završavaju sa dve nule ili čije poslednje dve cifre izražavaju broj koji je deljiv sa 4, 25, odnosno 50.
Primjer 1.2.1
Broj 97300 završava se sa dvije nule, što znači da je djeljiv sa 4, 25 i 50.
Primjer 1.2.2
Broj 81764 je djeljiv sa 4, jer je broj formiran od posljednje dvije cifre od 64 djeljiv sa 4.
Primjer 1.2.3
Broj 79450 je djeljiv sa 25 i 50, jer je broj formiran od posljednje dvije cifre od 50 djeljiv i sa 25 i sa 50.
1.3 Znakovi djeljivosti sa 8 i 125
Deljivi sa 8 ili 125 su oni i samo oni brojevi koji završavaju sa tri nule ili čije poslednje tri cifre izražavaju broj koji je deljiv sa 8 odnosno 125.
Primjer 1.3.1
Broj 853.000 završava se sa tri nule, što znači da je djeljiv sa 8 i 125.
Primjer 1.3.2
Broj 381864 je djeljiv sa 8 jer je broj koji čine posljednje tri znamenke broja 864 djeljiv sa 8.
Primjer 1.3.3
Broj 179250 djeljiv je sa 125 jer je broj koji čine posljednje tri znamenke od 250 djeljiv sa 125.
1.4 Pojednostavljenje testa djeljivosti sa 8
Pitanje djeljivosti određenog broja svodi se na pitanje djeljivosti određenog trocifrenog broja sa 8, aliu isto vrijeme, ništa se ne kaže o tome kako, zauzvrat, brzo saznati da li je ovaj trocifreni broj djeljiv sa 8. Deljivost trocifrenog broja sa 8 također nije uvijek odmah vidljiva, zapravo morate uradi podelu.
Naravno, postavlja se pitanje: da li je moguće pojednostaviti kriterij djeljivosti sa 8? Možete, ako ga dopunite posebnim znakom djeljivosti trocifrenog broja sa 8.
Bilo koji trocifreni broj je djeljiv sa 8, pri čemu je dvocifreni broj formiran ciframa stotine i desetice, dodat polovini broja jedinica, djeljiv sa 4.
Primjer 1.4.1
Da li je broj 592 djeljiv sa 8?
Rješenje.
Od broja odvajamo 592 jedinice i dodajemo polovinu njihovog broja broju naredne dvije znamenke (desetice i stotine).
Dobijamo: 59 + 1 = 60.
Broj 60 je djeljiv sa 4, tako da je broj 592 djeljiv sa 8.
Odgovor: podijeliti.
1.5 Znakovi djeljivosti sa 6, 12, 15, 18, 45, itd.
Koristeći svojstvo djeljivosti broja proizvodom, od navedenih znakova djeljivosti dobijamo znakove djeljivosti sa 6, 12, 15, 18, 24 itd.
Znak djeljivosti sa 6. Sa 6 djeljivi su oni i samo oni brojevi koji su djeljivi sa 2 i 3.
Primjer 1.5.1
Broj 31242 je djeljiv sa 6 jer je djeljiv i sa 2 i sa 3.
Znak djeljivosti sa 12. Sa 12 djeljivi su oni, i to samo oni brojevi koji su djeljivi sa 4 i 3.
Primjer 1.5.2
Broj 316224 je djeljiv sa 12 jer je djeljiv i sa 4 i sa 3.
Znak djeljivosti sa 15. Oni i samo oni brojevi koji su djeljivi sa 3 i 5 su djeljivi sa 15.
Primjer 1.5.3
Broj 812445 je djeljiv sa 15 jer je djeljiv sa 3 i 5.
Znak djeljivosti sa 18. Sa 18 djeljivi su oni i samo oni brojevi koji su djeljivi sa 2 i 9.
Primjer 1.5.4
Broj 817254 je djeljiv sa 18 jer je djeljiv sa 2 i 9.
Znak djeljivosti sa 45. 45 je djeljivo sa onim i samo onim brojevima koji su djeljivi sa 5 i 9.
Primjer 1.5.5
Broj 231705 je djeljiv sa 45 jer je djeljiv i sa 5 i sa 9.
Postoji još jedan znak djeljivosti brojeva sa 6.
1.6 Test djeljivosti sa 6
Da biste provjerili da li je broj djeljiv sa 6:
Pomnožite broj stotina sa 2,
Oduzmite rezultat od broja iza stotina.
Ako je rezultat djeljiv sa 6, tada je cijeli broj djeljiv sa 6. Primjer 1.6.1
Da li je broj 138 djeljiv sa 6?
Rješenje.
Broj stotina je 1 2=2, 38-2=36, 36:6, pa je 138 deljivo sa 6.
Jednostavni kriteriji za djeljivost prostim brojevima
Broj se naziva prostim ako ima samo dva djelitelja (jedan i sam broj).
2.1 Znakovi djeljivosti sa 7
Da biste saznali da li je broj djeljiv sa 7, trebate:
Pomnožite broj do desetice sa dva
Dodajte preostali broj rezultatu.
Provjerite je li rezultat djeljiv sa 7 ili ne.
Primjer 2.1.1
Da li je broj 4690 djeljiv sa 7?
Rješenje.
Broj do desetica je 46 2=92, 92+90=182, 182:7=26, pa je 4690 deljivo sa 7.
2.2 Uslovi djeljivosti sa 11
Broj je djeljiv sa 11 ako je razlika između zbira cifara na neparnim mjestima i zbira cifara na parnim mjestima višekratnik 11.
Razlika može biti negativan broj ili nula, ali mora biti višekratnik od 11.
Primjer 2.2.1
Da li je broj 100397 djeljiv sa 11?
Rješenje.
Zbir brojeva na parnim mjestima: 1+0+9=10.
Zbir brojeva na neparnim mjestima: 0+3+7=10.
Razlika zbira: 10 - 10=0, 0 je višekratnik od 11, tako da je 100397 deljivo sa 11.
2.3 Znakovi djeljivosti sa 13
Broj je djeljiv sa 13 ako i samo ako je rezultat oduzimanja posljednje cifre puta 9 od tog broja bez posljednje znamenke djeljiv sa 13.
Primjer 2.3.1
Broj 858 je djeljiv sa 13 jer je 85 - 9∙8 = 85 - 72 = 13 djeljiv sa 13.
2.4 Testovi djeljivosti sa 19
Broj je djeljiv sa 19 bez ostatka kada je broj njegovih desetica, dodat dvostrukom broju jedinica, djeljiv sa 19.
Primjer 2.4.1
Odredite da li je 1026 deljivo sa 19.
Rješenje.
U broju 1026 ima 102 desetice i 6 jedinica. 102 + 2∙6 = 114;
Slično, 11 + 2∙4 = 19.
Kao rezultat izvođenja dva uzastopna koraka, dobili smo broj 19, koji je djeljiv sa 19, dakle, broj 1026 je djeljiv sa 19.
Kombinovani znak djeljivosti sa 7, 11 i 13
U tabeli prostih brojeva, brojevi 7, 11 i 13 su jedan do drugog. Njihov proizvod je: 7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Dakle, broj 1001 je djeljiv sa 7, 11 i 13.
Ako se bilo koji trocifreni broj pomnoži sa 1001, tada će proizvod biti napisan istim brojevima kao i množenik, samo dva puta ponovljen:abc- trocifreni broj;abc∙1001 = abcabc.
Stoga su svi brojevi oblika abcabc djeljivi sa 7, sa 11 i sa 13.
Ove pravilnosti nam omogućavaju da smanjimo rješenje problema djeljivosti višecifrenog broja za 7 ili za 11, ili za 13 na djeljivost njima nekog drugog broja - ne više od trocifrenog.
Ako je razlika između zbira lica datog broja, uzeta kroz jedan, djeljiva sa 7 ili sa 11, ili sa 13, tada je dati broj djeljiv sa 7, odnosno sa 11, odnosno sa 13.
Primjer 3.1
Odredi da li je broj 42623295 djeljiv sa 7, 11 i 13.
Rješenje.
Razbijmo ovaj broj s desna na lijevo na lica od 3 cifre. Krajnja lijeva ivica može, ali i ne mora imati tri cifre. Odredimo koji od brojeva 7, 11 ili 13 dijeli razliku zbira lica ovog broja:
623 - (295 + 42) = 286.
Broj 286 je djeljiv sa 11 i 13, ali nije djeljiv sa 7. Dakle, broj 42,623,295 je djeljiv sa 11 i 13, ali ne sa 7.
Staro i novo o djeljivosti sa 7
Iz nekog razloga, broj 7 je jako volio ljude i unosio je njihove pjesme i izreke:
Probajte sedam puta, isecite jednom.
Sedam nevolja, jedan odgovor.
Sedam petka u sedmici.
Jedan sa dvonošcem, a sedam sa kašikom.
Previše kuvara pokvari čorbu.
Broj 7 bogat je ne samo izrekama, već i raznim znakovima djeljivosti. Već znate dva znaka djeljivosti sa 7 (u kombinaciji s drugim brojevima). Postoji i nekoliko pojedinačnih kriterija za djeljivost sa 7.
Objasnimo prvi znak djeljivosti sa 7 na primjeru.
Uzmimo broj 5236. Zapišimo ovaj broj na sljedeći način:
5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6
i svugdje bazu 10 zamjenjujemo bazom 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168
Ako je rezultirajući broj djeljiv (nije djeljiv) sa 7, tada je dati broj djeljiv (nije djeljiv) sa 7.
Pošto je 168 deljivo sa 7, 5236 je takođe deljivo sa 7.
Modifikacija prvog znaka djeljivosti sa 7. Pomnožite prvu cifru lijevo od broja testa sa 3 i dodajte sljedeću cifru; pomnožite rezultat sa 3 i dodajte sljedeću cifru, itd. na posljednju cifru. Radi pojednostavljenja, nakon svake radnje, dozvoljeno je oduzeti 7 ili višekratnik od sedam od rezultata. Ako je konačni rezultat djeljiv (nije djeljiv) sa 7, tada je i dati broj djeljiv (nije djeljiv) sa 7. Za prethodno odabrani broj 5236:
5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 - 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 6 = 7 je deljivo sa 7, pa je 5236 deljivo sa 7.
Prednost ovog pravila je u tome što se lako mentalno primjenjuje.
Drugi znak djeljivosti sa 7. U ovom znaku morate postupiti na potpuno isti način kao u prethodnom, s jedinom razlikom što množenje treba početi ne od krajnje lijeve cifre datog broja, već od krajnje desne jedan i pomnožite ne sa 3, već sa 5.
Primjer 4.1
Je li 37184 djeljivo sa 7?
Rješenje.
4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6+8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1=1; 1∙5 = 5; dodavanje broja 7 se može preskočiti, jer se broj 7 oduzima od rezultata; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 je deljivo sa 7, pa je 37184 deljivo sa 7.
Treći test za djeljivost sa 7. Ovaj test je mentalno teže izvodljiv, ali je i vrlo zanimljiv.
Udvostručite posljednju cifru i oduzmite drugu s desne strane, udvostručite rezultat i dodajte treći s desna, i tako dalje, naizmjenično oduzimajući i sabirajući, i smanjujući svaki rezultat, gdje je moguće, za 7 ili za umnožak od sedam. Ako je konačni rezultat djeljiv (nije djeljiv) sa 7, tada je broj testa djeljiv (nije djeljiv) sa 7.
Primjer 4.2
Da li je 889 deljivo sa 7?
Rješenje.
9∙2 = 18; 18 - 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 ili
9∙2 = 18; (18 - 7 = 11) 11 - 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 je deljivo sa 7, pa je 889 deljivo sa 7.
I još znakova djeljivosti sa 7. Ako je bilo koji dvocifreni broj djeljiv sa 7, onda je djeljiv sa 7 i broj je obrnut, uvećan za cifru desetica ovog broja.
Primjer 4.3
14 je deljivo sa 7, tako da je 7 takođe deljivo sa 41 + 1.
35 je deljivo sa 7, pa je 53 + 3 deljivo sa 7.
Ako je bilo koji trocifreni broj djeljiv sa 7, tada je djeljiv sa 7 i broj je obrnut, umanjen za razliku između cifara jedinica i stotina ovog broja.
Primjer 4.4
Broj 126 je djeljiv sa 7. Dakle, broj 621 - (6 - 1) je djeljiv sa 7, odnosno 616.
Primjer 4.5
Broj 693 je djeljiv sa 7. Dakle, broj 396 je također djeljiv sa 7 - (3 - 6), odnosno 399.
Proširivanje kriterija djeljivosti sa 7 na druge brojeve
Gornja tri kriterija za djeljivost brojeva sa 7 mogu se koristiti za određivanje djeljivosti broja sa 13, 17 i 19.
Da biste odredili djeljivost datog broja sa 13, 17 ili 19, pomnožite krajnju lijevu cifru broja koji se testira sa 3, 7 ili 9, respektivno, i oduzmite sljedeću cifru; ponovo pomnožite rezultat sa 3, 7 ili 9 i dodajte sljedeću cifru, itd., naizmjenično oduzimanje i dodavanje sljedećih cifara nakon svakog množenja. Nakon svake akcije, rezultat se može smanjiti ili povećati za broj 13, 17, 19 ili višestruko.
Ako je konačni rezultat djeljiv (nije djeljiv) sa 13, 17 i 19, tada je i dati broj djeljiv (nije djeljiv).
Primjer 5.1
Da li je broj 2075427 djeljiv sa 19?
Rješenje.
2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);
2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 - 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 je deljivo sa 19, pa je 2075427 deljivo sa 19.
Generalizirani test djeljivosti
Ideja seciranja broja na lica s njihovim naknadnim dodavanjem radi određivanja djeljivosti datog broja pokazala se vrlo plodnom i dovela je do jedinstvenog kriterija za djeljivost viševrijednih brojeva s prilično velikom grupom prostih brojeva . Jedna od grupa "sretnih" djelitelja su svi cjelobrojni faktori p broja d = 10n + 1, gdje je n = 1, 2, 3.4, ... (za velike vrijednosti n, praktično značenje znaka je izgubljen).
101
101
1001
7, 11, 13
10001
73, 137
2) presavijte lica kroz jedno, počevši od krajnje desne strane;
3) preklopite preostala lica;
4) Oduzmite manji iznos od veće količine.
Ako je rezultat djeljiv sa p, tada je i dati broj djeljiv sa p.
Dakle, da bismo odredili djeljivost broja sa 11 (p = 11), izrezali smo broj na licu jedne znamenke (n = 1). Nastavljajući dalje kako je naznačeno, dolazimo do dobro poznatog testa djeljivosti sa 11.
Prilikom određivanja djeljivosti broja sa 7, 11 ili 13 (p = 7, 11, 13), odsiječemo po 3 cifre (n = 3). Prilikom određivanja djeljivosti broja sa 73 i 137, odrežemo po 4 znamenke (n = 4).
Primjer 6.1
Odrediti deljivost petnaestocifrenih brojeva 837 362 172 504 831 sa 73 i sa 137 (p = 73, 137, n = 4).
Rješenje.
Razbijamo broj na lica: 837 3621 7250 4831.
Dodajemo lica kroz jedno: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.
Oduzmite manji iznos od većeg iznosa: 8452-8087 = 365.
365 je deljivo sa 73, ali nije deljivo sa 137; pa je dati broj djeljiv sa 73 ali ne sa 137.
Druga grupa “sretnih” djelitelja su pseudo cjelobrojni faktori p broja d = 10n -1, gdje je n = 1, 3, 5, 7,…
Broj d = 10n -1 daje sljedeće djelitelje:
n
d
str
1
9
3
3
999
37
5
99 999
41, 271
Da biste odredili djeljivost bilo kojeg broja bilo kojim od ovih brojeva p, trebate:
1) iseći dati broj s desna na lijevo (iz jedinica) na lica sa po n cifara (svako p ima svoje n; krajnje lijevo lice može imati manje od n cifara);
2) presavijte sva lica.
Ako je rezultat djeljiv (nije djeljiv) sa p, tada je i dati broj djeljiv (nije djeljiv).
Imajte na umu da je 999 = 9∙111, što znači da je 111 deljivo sa 37, ali tada su brojevi 222, 333, 444, 555, 666, 777 i 888 takođe deljivi sa 37.
Slično: 11111 je deljivo sa 41 i sa 271.
Zanimljivost djeljivosti
U zaključku, želio bih predstaviti četiri nevjerovatna desetocifrena broja:
2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.
Svaki od njih ima sve cifre od 0 do 9, ali svaka cifra samo jednom i svaki od ovih brojeva je djeljiv sa 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 , 15, 16, 17 i 18.
zaključci
Kao rezultat ovog rada, proširio sam seznanja iz matematike. INaučio sam da pored znakova koji su mi poznati sa 2, 3, 5, 9 i 10 postoje i znakovi djeljivosti sa 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25 , 50, 125 i drugi brojevi , a znaci djeljivosti istim brojem mogu biti različiti, što znači da uvijek ima mjesta za kreativnost.
Rad je teorijski ipraktična upotreba. Ova studija će biti korisna u pripremama za olimpijade i takmičenja.
Nakon što sam se upoznao sa znakovima djeljivosti brojeva, vjerujem da mogu koristiti stečeno znanje u svojim obrazovnim aktivnostima, samostalno primijeniti ovaj ili onaj znak na određeni zadatak i primijeniti naučene znakove u realnoj situaciji. U budućnosti namjeravam nastaviti rad na proučavanju znakova djeljivosti brojeva.
Književnost
1. N. N. Vorobyov "Znakovi deljivosti" Moskva "Nauka" 1988.
2. K. I. Shchevtsov, G. P. Bevz "Priručnik za osnovnu matematiku" Kijev "Naukova Dumka" 1965.
3. M. Ya. Vygodsky "Priručnik za osnovnu matematiku" Moskva "Nauka" 1986.
4. Internet resursi
Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je na kartici "Job Files" u PDF formatu
Na časovima matematike, prilikom proučavanja teme „Znaci djeljivosti“, gdje smo se upoznali sa znakovima djeljivosti sa 2; 5; 3; 9; 10, zanimalo me da li postoje znakovi djeljivosti drugim brojevima i postoji li univerzalna metoda djeljivosti bilo kojim prirodnim brojem. Tako sam počeo da istražujem ovu temu.
Svrha studije: proučavanje znakova djeljivosti prirodnih brojeva do 100, sabiranje već poznatih znakova djeljivosti prirodnih brojeva u cjelini, izučavano u školi.
Za postizanje cilja su postavljeni zadaci:
Prikupiti, proučavati i sistematizirati materijal o znacima djeljivosti prirodnih brojeva, koristeći različite izvore informacija.
Pronađite univerzalni kriterij djeljivosti bilo kojim prirodnim brojem.
Naučite kako koristiti Pascalov test djeljivosti za određivanje djeljivosti brojeva, a također pokušajte formulirati znakove djeljivosti bilo kojim prirodnim brojem.
Predmet studija: djeljivost prirodnih brojeva.
Predmet studija: znakove djeljivosti prirodnih brojeva.
Metode istraživanja: prikupljanje informacija; rad sa štampanim materijalima; analiza; sinteza; analogija; intervju; ispitivanje; sistematizacija i generalizacija gradiva.
hipoteza istraživanja: Ako je moguće odrediti djeljivost prirodnih brojeva sa 2, 3, 5, 9, 10, onda moraju postojati znaci pomoću kojih se može odrediti djeljivost prirodnih brojeva drugim brojevima.
Novitet Sprovedeni istraživački rad je da se ovim radom sistematiziraju znanja o znacima djeljivosti i univerzalnoj metodi djeljivosti prirodnih brojeva.
Praktični značaj: materijal ovog istraživačkog rada može se koristiti u 6-8 razredima u fakultativnoj nastavi pri izučavanju teme "Djeljivost brojeva".
Poglavlje I. Definicija i svojstva djeljivosti brojeva
1.1 Definicije pojmova djeljivosti i znakova djeljivosti, svojstva djeljivosti.
Teorija brojeva je grana matematike koja proučava svojstva brojeva. Glavni predmet teorije brojeva je cijeli brojevi. Njihovo glavno svojstvo, koje razmatra teorija brojeva, je djeljivost. definicija: Cijeli broj a je djeljiv cijelim brojem b koji nije jednak nuli ako postoji cijeli broj k takav da je a = bk (na primjer, 56 je djeljivo sa 8, jer je 56 = 8x7). znak djeljivosti- pravilo koje vam omogućava da ustanovite da li je dati prirodni broj djeljiv sa nekim drugim brojevima, tj. bez traga.
Svojstva djeljivosti:
Svaki broj različit od nule a je djeljiv sam sa sobom.
Nula je deljiva sa bilo kojim b koji nije jednak nuli.
Ako je a deljivo sa b (b0), a b deljivo sa c (c0), onda je a deljivo sa c.
Ako je a deljivo sa b (b0), a b deljivo sa a (a0), tada su a i b ili jednaki ili suprotni brojevi.
1.2. Svojstva djeljivosti zbira i proizvoda:
Ako je u zbiru cijelih brojeva svaki pojam djeljiv nekim brojem, onda je zbir djeljiv tim brojem.
2) Ako su u razlici cijelih brojeva minus i oduzetak djeljivi određenim brojem, onda je i razlika djeljiva određenim brojem.
3) Ako su u zbiru cijelih brojeva svi članovi, osim jednog, djeljivi nekim brojem, onda zbir nije djeljiv ovim brojem.
4) Ako je u proizvodu cijelih brojeva jedan od faktora djeljiv nekim brojem, onda je i proizvod djeljiv ovim brojem.
5) Ako je u proizvodu cijelih brojeva jedan faktor djeljiv sa m, a drugi sa n, tada je proizvod djeljiv sa mn.
Osim toga, proučavajući znakove djeljivosti brojeva, upoznao sam se s pojmom "digitalni korijen". Uzmimo prirodan broj. Nađimo zbir njegovih cifara. Pronalazimo i zbir cifara rezultata i tako sve dok se ne dobije jednocifreni broj. Rezultat se naziva digitalni korijen broja. Na primjer, digitalni korijen od 654321 je 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. A sada možete razmisliti o pitanju: "Koji su znaci djeljivosti i postoji li univerzalni znak djeljivosti jednog broja drugim?"
Poglavlje II. Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva.
2.1. Znakovi djeljivosti sa 2,3,5,9,10.
Među znakovima djeljivosti najpogodniji i najpoznatiji iz matematičkog predmeta 6. razreda su:
Deljivo sa 2. Ako se zapis prirodnog broja završava parnom cifrom ili nulom, tada je broj djeljiv sa 2. Broj 52738 je djeljiv sa 2, pošto je zadnja cifra 8 paran.
Deljivo sa 3 . Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je broj djeljiv sa 3 (broj 567 je djeljiv sa 3, jer je 5+6+7 = 18, a 18 je djeljiv sa 3.)
Deljivo sa 5. Ako se zapis prirodnog broja završava brojem 5 ili nulom, tada je broj djeljiv sa 5 (brojevi 130 i 275 su djeljivi sa 5, jer su posljednje cifre brojeva 0 i 5, ali je broj 302 nije djeljiv sa 5, jer posljednji brojevi nisu 0 i 5).
Deljivo sa 9. Ako je zbir cifara djeljiv sa 9, tada je broj djeljiv sa 9 (676332 je djeljiv sa 9 jer je 6+7+6+3+3+2=27, a 27 je djeljiv sa 9).
Deljivo sa 10 . Ako se zapis prirodnog broja završava brojem 0, onda je ovaj broj djeljiv sa 10 (230 je djeljivo sa 10, pošto je zadnja znamenka broja 0).
2.2 Znakovi djeljivosti sa 4,6,8,11,12,13, itd.
Nakon rada sa raznim izvorima, naučio sam i druge znakove djeljivosti. Opisaću neke od njih.
Podjela na 6 . Moramo provjeriti djeljivost broja koji nas zanima sa 2 i sa 3. Broj je djeljiv sa 6 ako i samo ako je paran, a njegov digitalni korijen je djeljiv sa 3. (Na primjer, 678 je djeljiv sa 6, pošto je paran i 6 +7+8=21, 2+1=3) Još jedan znak djeljivosti: broj je djeljiv sa 6 ako i samo ako je djeljiv četiri puta veći broj desetica koje se dodaju broju jedinica sa 6. (73,7*4+3=31, 31 nije deljivo sa 6, tako da 7 nije deljivo sa 6.)
Podjela na 8. Broj je djeljiv sa 8 ako i samo ako njegove posljednje tri cifre čine broj djeljiv sa 8. (12224 je djeljiv sa 8 jer je 224:8=28). Trocifreni broj je djeljiv sa 8 ako i samo ako je broj jedinica dodat dvostrukom broju desetica i četvorostrukom broju stotina djeljiv sa 8. Na primjer, 952 je djeljivo sa 8 jer je 8 djeljivo sa 9* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .
Podijelite sa 4 i sa 25. Ako su zadnje dvije cifre nule ili izražavaju broj djeljiv sa 4 ili (i) sa 25, tada je broj djeljiv sa 4 ili (i) sa 25 (broj 1500 je djeljiv sa 4 i 25, jer se završava na dva nule, broj 348 je djeljiv sa 4, jer je 48 djeljiv sa 4, ali ovaj broj nije djeljiv sa 25, jer 48 nije djeljiv sa 25, broj 675 je djeljiv sa 25, jer je 75 djeljiv sa 25, ali nije deljivo sa 4, tako da .k. 75 nije deljivo sa 4).
Poznavajući glavne znakove djeljivosti prostim brojevima, možemo izvesti znakove djeljivosti kompozitnim brojevima:
Znak djeljivosti po11 . Ako je razlika između zbira cifara na parnim mjestima i zbira cifara na neparnim mjestima djeljiva sa 11, tada je i broj djeljiv sa 11 (broj 593868 je djeljiv sa 11, jer je 9 + 8 + 8 = 25, i 5 + 3 + 6 = 14, njihova razlika je 11, a 11 je deljivo sa 11).
Znak djeljivosti sa 12: Broj je djeljiv sa 12 ako i samo ako su zadnje dvije cifre djeljive sa 4 i zbir cifara je djeljiv sa 3.
jer 12= 4 ∙ 3, tj. Broj mora biti djeljiv sa 4 i 3.
Znak djeljivosti sa 13: Broj je djeljiv sa 13 ako i samo ako je naizmjenični zbir brojeva formiran od uzastopnih trojki cifara datog broja djeljiv sa 13. Kako znate, na primjer, da je broj 354862625 djeljiv sa 13? 625-862+354=117 je deljivo sa 13, 117:13=9, tako da je 354862625 takođe deljivo sa 13.
Znak djeljivosti sa 14: broj je djeljiv sa 14 ako i samo ako se završava parnom cifrom i ako je rezultat dvostrukog oduzimanja zadnje cifre od tog broja bez zadnje znamenke djeljiv sa 7.
jer 14= 2 ∙ 7, tj. Broj mora biti djeljiv sa 2 i 7.
Znak djeljivosti sa 15: Broj je djeljiv sa 15 ako i samo ako se završava na 5 i 0, a zbir cifara je djeljiv sa 3.
jer 15= 3 ∙ 5, tj. Broj mora biti djeljiv sa 3 i 5.
Znak djeljivosti sa 18: Broj je djeljiv sa 18 ako i samo ako se završava parnom cifrom, a zbir njegovih cifara je djeljiv sa 9.
jer je k18= 2 ∙ 9, tj. Broj mora biti djeljiv sa 2 i 9.
Znak djeljivosti sa 20: broj je djeljiv sa 20 ako i samo ako se broj završava na 0, a pretposljednja cifra je paran.
jer 20 = 10 ∙ 2 tj. Broj mora biti djeljiv sa 2 i 10.
Znak djeljivosti sa 25: broj sa najmanje tri cifre djeljiv je sa 25 ako i samo ako je broj koji čine posljednje dvije cifre djeljiv sa 25.
Znak djeljivosti po30 .
Znak djeljivosti po59 . Broj je djeljiv sa 59 ako i samo ako je broj desetica dodat broju jedinica pomnoženih sa 6 djeljiv sa 59. Na primjer, 767 je djeljivo sa 59, jer je 76 + 6*7 = 118 i 11 + 6* su djeljive sa 59 8 = 59.
Znak djeljivosti po79 . Broj je djeljiv sa 79 ako i samo ako je broj desetica dodat broju jedinica pomnoženih sa 8 djeljiv sa 79. Na primjer, 711 je djeljiv sa 79, jer je 71 + 8*1 = 79 djeljivo sa 79.
Znak djeljivosti po99. Broj je djeljiv sa 99 ako i samo ako je zbir brojeva koji čine grupe od dvije cifre (počevši od jedinica) djeljiv sa 99. Na primjer, 12573 je djeljivo sa 99, jer je 1 + 25 + 73 = 99 djeljivo sa 99.
Znak djeljivosti po100 . Samo ti brojevi su djeljivi sa 100 ako su zadnje dvije cifre nule.
Znak djeljivosti sa 125: broj sa najmanje četiri znamenke djeljiv je sa 125 ako i samo ako je broj koji čine posljednje tri cifre djeljiv sa 125.
Sve gore navedene karakteristike su sažete u obliku tabele. (Prilog 1)
2.3 Znakovi djeljivosti sa 7.
1) Uzmi za testiranje broj 5236. Zapišimo ovaj broj na sljedeći način: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 („sistematski » oblik za označavanje brojeva), a svugdje bazu 10 zamjenjujemo osnovom 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Ako je rezultirajući broj djeljiv (nije djeljiv) sa 7, onda je ovaj broj djeljiv (nije djeljiv) sa 7. Budući da je 168 djeljiv sa 7 , tada je 5236 deljivo sa 7. 68:7=24, 5236:7=748.
2) U ovom znaku morate postupiti na potpuno isti način kao u prethodnom, s jedinom razlikom što množenje treba početi od krajnje desne strane i množiti ne sa 3, već sa 5. (5236 je podijeljeno sa 7 , pošto 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)
3) Ovaj znak je manje lak za implementaciju u umu, ali je i veoma zanimljiv. Udvostručite posljednju cifru i oduzmite drugu s desne strane, udvostručite rezultat i dodajte treći s desna, itd., naizmjenično oduzimajući i sabiranje, i smanjujući svaki rezultat, gdje je to moguće, za 7 ili za umnožak od sedam. Ako je konačni rezultat djeljiv (nije djeljiv) sa 7, tada je i broj testa djeljiv (nije djeljiv) sa 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.
4) Broj je djeljiv sa 7 ako i samo ako je naizmjenični zbir brojeva formiran od uzastopnih trojki cifara datog broja djeljiv sa 7. Kako znate, na primjer, da je broj 363862625 djeljiv sa 7? 625-862+363=126 je deljivo sa 7, 126:7=18, tako da je 363862625 takođe deljivo sa 7, 363862625:7=51980375.
5) Jedan od najstarijih znakova djeljivosti sa 7 je sljedeći. Cifre broja se moraju uzeti obrnutim redoslijedom, s desna na lijevo, množeći prvu cifru sa 1, drugu sa 3, treću sa 2, četvrtu sa -1, petu sa -3, šestu sa - 2 itd. (ako je broj znakova veći od 6, niz faktora 1, 3, 2, -1, -3, -2 treba ponoviti onoliko puta koliko je potrebno). Dobijeni proizvodi se moraju dodati. Originalni broj je djeljiv sa 7 ako je izračunati zbir djeljiv sa 7. Evo, na primjer, šta ova karakteristika daje za broj 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, pa je i broj 5236 djeljiv sa 7.
6) Broj je djeljiv sa 7 ako i samo ako je trostruki broj desetica, dodat broju jedinica, djeljiv sa 7. Na primjer, 154 je djeljiv sa 7, pošto je 7 broj 49, koji dobijamo na ova osnova: 15 * 3 + 4 = 49.
2.4 Znak Pascala.
Veliki doprinos proučavanju znakova djeljivosti brojeva dao je B. Pascal (1623-1662), francuski matematičar i fizičar. Pronašao je algoritam za pronalaženje kriterija za djeljivost bilo kojeg cijelog broja s bilo kojim drugim cijelim brojem, koji je objavio u raspravi "O prirodi djeljivosti brojeva". Gotovo svi trenutno poznati znaci djeljivosti su poseban slučaj Pascalovog znaka: “Ako je zbir ostataka pri dijeljenju brojaa po ciframa po brojuin podijeljenain , zatim broja podijeljenain ». Znati to je korisno i danas. Kako možemo dokazati gore formulisane kriterije djeljivosti (na primjer, nama poznat kriterij djeljivosti sa 7)? Pokušat ću odgovoriti na ovo pitanje. Ali prvo, hajde da se dogovorimo o načinu pisanja brojeva. Da bismo zapisali broj čije su cifre označene slovima, slažemo se da povučemo liniju preko ovih slova. Dakle, abcdef će označavati broj koji ima f jedinica, e desetica, d stotina, itd.:
abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Sada ću dokazati gore formuliran test djeljivosti sa 7. Imamo:
10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1
1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1
(ostaci nakon dijeljenja sa 7).
Kao rezultat, dobijamo 5. pravilo formulisano gore: da biste saznali ostatak dijeljenja prirodnog broja sa 7, trebate potpisati koeficijente (ostatke od dijeljenja) ispod cifara ovog broja s desna na lijevo: zatim trebate svaku znamenku pomnožiti s koeficijentom ispod nje i dodati rezultat proizvodi; pronađeni zbroj će imati isti ostatak kada se podijeli sa 7 kao uzeti broj.
Uzmimo brojeve 4591 i 4907 kao primjer i, postupajući kako je navedeno u pravilu, nalazimo rezultat:
-1 2 3 1
4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (ostatak 6) (nije djeljivo sa 7)
-1 2 3 1
4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (djeljivo sa 7)
Na ovaj način možete pronaći kriterij djeljivosti bilo kojim brojem t. Potrebno je samo pronaći koje koeficijente (ostatke od dijeljenja) treba potpisati pod ciframa preuzetog broja A. Da biste to učinili, potrebno je svaki stepen desetice 10, ako je moguće, zamijeniti istim ostatkom kada se podijeli sa t, kao broj 10. Kada t= 3 ili t = 9, pokazalo se da su ovi koeficijenti vrlo jednostavni: svi su jednaki 1. Stoga se test djeljivosti sa 3 ili 9 pokazao vrlo jednostavnim. At t= 11, koeficijenti takođe nisu bili kompleksni: oni su naizmenično jednaki 1 i - 1. A kada t=7 koeficijenti su se pokazali težim; stoga se pokazalo da je kriterij djeljivosti sa 7 složeniji. Razmatrajući predznake dijeljenja do 100, uvjerio sam se da su najkompleksniji koeficijenti za prirodne brojeve 23 (od 10 23 koeficijenti se ponavljaju), 43 (od 10 39 koeficijenti se ponavljaju).
Svi navedeni znakovi djeljivosti prirodnih brojeva mogu se podijeliti u 4 grupe:
1 grupa- kada je djeljivost brojeva određena posljednjom cifrom (mi) - to su znaci djeljivosti sa 2, sa 5, sa bitnom jedinicom, sa 4, sa 8, sa 25, sa 50.
2 grupa- kada je djeljivost brojeva određena zbirom cifara broja, to su znaci djeljivosti sa 3, sa 9, sa 7, sa 37, sa 11 (1 znak).
3 grupa- kada se djeljivost brojeva utvrdi nakon izvođenja nekih radnji nad ciframa broja, to su znaci djeljivosti sa 7, sa 11 (1 znak), sa 13, sa 19.
4 grupa- kada se za određivanje djeljivosti broja koriste drugi znaci djeljivosti, to su znaci djeljivosti sa 6, sa 15, sa 12, sa 14.
eksperimentalni dio
Intervju
Istraživanje je sprovedeno među učenicima 6. i 7. razreda. U anketi je učestvovalo 58 učenika MOBU Karaidel srednje škole br. 1 MR Karaidel okruga Republike Bjelorusije. Od njih je zatraženo da odgovore na sljedeća pitanja:
Mislite li da postoje drugi znakovi djeljivosti koji se razlikuju od onih koji su proučavani u lekciji?
Postoje li znakovi djeljivosti za druge prirodne brojeve?
Želite li znati ove znakove djeljivosti?
Znate li znakove djeljivosti prirodnih brojeva?
Rezultati ankete su pokazali da 77% ispitanika vjeruje da postoje i drugi znakovi djeljivosti osim onih koji se uče u školi; 9% ne misli tako, 13% ispitanika je teško odgovorilo. Na drugo pitanje "Želite li znati znakove djeljivosti za druge prirodne brojeve?" 33% je odgovorilo potvrdno, 17% je odgovorilo sa „Ne“, a 50% je bilo teško da odgovori. Na treće pitanje, 100% ispitanika je odgovorilo potvrdno. Na četvrto pitanje pozitivno je odgovorilo 89%, odgovorilo je „Ne“ – 11% učenika koji su učestvovali u anketi tokom istraživačkog rada.
Zaključak
Tako su u toku rada riješeni sljedeći zadaci:
studirao teorijski materijal po ovom pitanju;
pored meni poznatih znakova sa 2, 3, 5, 9 i 10, saznao sam da postoje i znaci deljivosti sa 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 itd. .;
3) proučavao Pascalov znak - univerzalni znak djeljivosti bilo kojim prirodnim brojem;
Radeći sa različitim izvorima, analizirajući pronađeni materijal na temu koja se proučava, uvjerio sam se da postoje znakovi djeljivosti drugim prirodnim brojevima. Na primjer, 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, što je potvrdilo tačnost moje hipoteze o postojanju drugih znakova djeljivosti prirodnih brojeva. Također sam saznao da postoji univerzalni znak djeljivosti, čiji je algoritam pronašao francuski matematičar Pascal Blaise i objavio ga u svojoj raspravi "O prirodi djeljivosti brojeva". Koristeći ovaj algoritam, možete dobiti znak djeljivosti bilo kojim prirodnim brojem.
Rezultat istraživačkog rada postao sistematizovani materijal u obliku tabele „Znaci deljivosti brojeva“, koji se može koristiti na časovima matematike, u vannastavnim aktivnostima u cilju pripreme učenika za rešavanje olimpijskih zadataka, u pripremi učenika za OGE i Jedinstveni državni ispit. .
U budućnosti namjeravam nastaviti raditi na primjeni znakova djeljivosti brojeva za rješavanje zadataka.
Spisak korištenih izvora
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / - 25. izd., ster. — M.: Mnemozina, 2009. — 288 str.
Vorobyov V.N. Znakovi djeljivosti.-M.: Nauka, 1988.-96s.
Vygodsky M.Ya. Priručnik iz osnovne matematike. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 str.
Gardner M. Mathematical leisure. / Under. Ed. Ya.A. Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 str.
Gelfman E.G., Beck E.F. itd. Slučaj djeljivosti i druge priče: Tutorial iz matematike za 6. razred. - Tomsk: Izdavačka kuća Tom.un-ta, 1992. - 176 str.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika: Ref. materijali: knj. za studente. - 2. izd. - M.: Obrazovanje, 1990. - 416 str.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Vannastavni rad iz matematike u 6-8 razredima. Moskva.: Prosveta, 1984. - 289s.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. M.: Prosvjeta, 1989. - 97 str.
Kulanin E.D. Matematika. Imenik. -M.: EKSMO-Press, 1999-224 str.
Perelman Ya.I. Zabavna algebra. M.: Trijada-Litera, 1994. -199s.
Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Stražar, 1982.-334s.
http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - besplatna enciklopedija).
http://www.bymath.net (enciklopedija).
Prilog 1
TABELA ZNAKOVA DJELJIVOSTI
|
sign |
Primjer |
|
|
Broj se završava parnim brojem. |
………………2(4,6,8,0) |
|
|
Zbir cifara je djeljiv sa 3. |
3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3 |
|
|
Broj njegove posljednje dvije cifre su nule ili djeljiv sa 4. |
………………12 |
|
|
Broj se završava sa 5 ili 0. |
………………0(5) |
|
|
Broj se završava parnom cifrom, a zbir cifara je djeljiv sa 3. |
375018: 8-parni broj 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3 |
|
|
Rezultat dvostrukog oduzimanja posljednje cifre od ovog broja bez posljednje cifre je djeljiv sa 7. |
36 - (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
|
Njegove posljednje tri cifre broja su nule ili čine broj koji je djeljiv sa 8. |
……………..064 |
|
|
Zbir njegovih cifara je djeljiv sa 9. |
3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9 |
|
|
Broj se završava nulom |
………………..0 |
|
|
Zbir cifara broja sa naizmjeničnim znamenkama djeljiv je sa 11. |
1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 |
|
|
Posljednje dvije cifre broja su djeljive sa 4, a zbir cifara je djeljiv sa 3. |
2+1+6=9, 9:3 i 16:4 |
|
|
Broj desetica datog broja, dodat četverostrukom broju jedinica, je višekratnik broja 13. |
84 + (4 × 5) = 104, |
|
|
Broj se završava parnom cifrom i kada je rezultat dvostrukog oduzimanja zadnje cifre od tog broja bez zadnje cifre djeljiv sa 7. |
364: 4 je paran broj 36 - (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
|
Broj 5 i 0 i zbir cifara je djeljiv sa 3. |
6+3+4+8+0=21, 21:3 |
|
|
Posljednje četiri cifre broja su nule ili čine broj koji je djeljiv sa 16. |
…………..0032 |
|
|
Broj desetica datog broja, dodat broju jedinica povećanom za 12 puta, je višekratnik od 17. |
29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Pošto je 34 deljivo sa 17, onda je 29053 takođe deljivo sa 17 |
|
|
Broj se završava parnom cifrom, a zbir njegovih cifara je djeljiv sa 9. |
2034: 4 je paran broj |
|
|
Broj desetica datog broja, dodat dvostruko većim brojem jedinica, je višekratnik broja 19 |
64 + (6 × 2) = 76 |
|
|
Broj se završava na 0, a pretposljednja cifra je paran |
…………………40 |
|
|
Broj koji se sastoji od posljednje dvije cifre djeljiv je sa 25 |
…………….75 |
|
|
Broj je djeljiv sa 30 ako i samo ako se završava na 0 i zbir svih cifara je djeljiv sa 3. |
……………..360 |
|
|
Broj je djeljiv sa 59 ako i samo ako je broj desetica dodat broju jedinica pomnoženih sa 6 djeljiv sa 59. |
Na primjer, 767 je djeljivo sa 59, jer su 76 + 6*7 = 118 i 11 + 6*8 = 59 djeljive sa 59. |
|
|
Broj je djeljiv sa 79 ako i samo ako je broj desetica dodat broju jedinica pomnoženih sa 8 djeljiv sa 79. |
Na primjer, 711 je deljivo sa 79, jer je 79 deljivo sa 71 + 8*1 = 79 |
|
|
Broj je djeljiv sa 99 ako i samo ako je zbir brojeva koji čine grupe od dvije cifre (počevši od jedinica) djeljiv sa 99. |
Na primjer, 12573 je djeljivo sa 99, jer je 1 + 25 + 73 = 99 djeljivo sa 99. |
|
|
na 125 |
Broj koji se sastoji od posljednje tri cifre djeljiv je sa 125 |
……………375 |
Serija članaka o znakovima djeljivosti se nastavlja znak djeljivosti sa 3. Ovaj članak prvo daje formulaciju kriterija djeljivosti sa 3 i daje primjere primjene ovog kriterija u pronalaženju koji su od datih cijelih brojeva djeljivi sa 3, a koji nisu. Dalje, dat je dokaz testa djeljivosti sa 3. Razmatraju se i pristupi utvrđivanju djeljivosti sa 3 brojeva datih kao vrijednost nekog izraza.
Navigacija po stranici.
Znak djeljivosti sa 3, primjeri
Počnimo sa formulacije testa djeljivosti sa 3: cijeli broj je djeljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3, ako zbir njegovih cifara nije djeljiv sa 3, tada sam broj nije djeljiv sa 3.
Iz gornje formulacije jasno je da se znak djeljivosti sa 3 ne može koristiti bez mogućnosti sabiranja prirodnih brojeva. Također, za uspješnu primjenu znaka djeljivosti sa 3, potrebno je znati da su od svih jednocifrenih prirodnih brojeva brojevi 3, 6 i 9 djeljivi sa 3, a brojevi 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nisu djeljivi sa 3.
Sada možemo razmotriti najjednostavnije primjeri primjene testa djeljivosti sa 3. Hajde da saznamo da li je broj djeljiv sa 3? 42. Da bismo to učinili, izračunavamo zbir cifara broja 42, jednako je 4+2=6. Pošto je 6 deljivo sa 3, onda, na osnovu znaka deljivosti sa 3, može se tvrditi da je broj 42 takođe deljiv sa 3. Ali pozitivni cijeli broj 71 nije djeljiv sa 3, jer je zbir njegovih znamenki 7+1=8, a 8 nije djeljiv sa 3.
Da li je 0 deljivo sa 3? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, test djeljivosti sa 3 nije potreban, ovdje se moramo prisjetiti odgovarajućeg svojstva djeljivosti, koje kaže da je nula djeljiva sa bilo kojim cijelim brojem. Dakle, 0 je deljivo sa 3.
U nekim slučajevima, da bi se pokazalo da dati broj ima ili nema sposobnost da bude djeljiv sa 3, test djeljivosti sa 3 mora se primijeniti nekoliko puta zaredom. Uzmimo primjer.
Pokažite da je broj 907444812 djeljiv sa 3.
Zbir cifara 907444812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Da bismo saznali da li je 39 deljivo sa 3, izračunavamo njegov zbir cifara: 3+9=12. A da bismo saznali da li je 12 deljivo sa 3, nalazimo zbir cifara broja 12, imamo 1+2=3. Pošto smo dobili broj 3 koji je djeljiv sa 3, onda je, zbog predznaka djeljivosti sa 3, broj 12 djeljiv sa 3. Dakle, 39 je deljivo sa 3, jer je zbir njegovih cifara 12, a 12 je deljivo sa 3. Konačno, 907333812 je djeljivo sa 3 jer je zbir njegovih znamenki 39, a 39 je djeljiv sa 3.
Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje drugog primjera.
Da li je broj djeljiv sa 3?543 205?
Izračunajmo zbir cifara ovog broja: 5+4+3+2+0+5=19. Zauzvrat, zbir cifara broja 19 je 1+9=10, a zbir cifara broja 10 je 1+0=1. Pošto smo dobili broj 1 koji nije djeljiv sa 3, iz kriterija djeljivosti sa 3 proizlazi da 10 nije djeljivo sa 3. Dakle, 19 nije deljivo sa 3, jer je zbir njegovih cifara 10, a 10 nije deljivo sa 3. Dakle, originalni broj?543205 nije djeljiv sa 3, jer zbir njegovih cifara, jednak 19, nije djeljiv sa 3.
Vrijedi napomenuti da nam direktno dijeljenje datog broja sa 3 također omogućava da zaključimo da li je dati broj djeljiv sa 3 ili ne. Ovim želimo reći da dijeljenje ne treba zanemariti u korist znaka djeljivosti sa 3. U posljednjem primjeru, dijeljenjem 543 205 sa 3 kolonom, osigurali bismo da 543 205 nije deljivo sa 3, iz čega bismo mogli reći da 543 205 nije deljivo ni sa 3.
Dokaz testa djeljivosti sa 3
Sljedeći prikaz broja a pomoći će nam da dokažemo znak djeljivosti sa 3. Možemo razložiti bilo koji prirodni broj a na cifre, nakon čega nam pravilo množenja sa 10, 100, 1000 i tako dalje omogućava da dobijemo reprezentaciju oblika a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , gdje su a n , a n?1 , …, a 0 cifre s lijeva na desno u broju a . Radi jasnoće, dajemo primjer takvog prikaza: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Zapišimo sada nekoliko prilično očiglednih jednakosti: 10=9+1=3 3+1, 100=99+1=33 3+1, 1 000=999+1=333 3+1 i tako dalje.
Zamjena u jednačinu a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 umjesto 10 , 100 , 1 000 i tako dalje izraza 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 i tako dalje, dobijamo
.
Svojstva sabiranja prirodnih brojeva i svojstva množenja prirodnih brojeva omogućavaju da se rezultirajuća jednakost prepiše na sljedeći način:
Izraz 
je zbir cifara a. Označimo ga zbog kratkoće i praktičnosti slovom A, odnosno prihvatamo . Tada ćemo dobiti prikaz broja a oblika, koji ćemo koristiti u dokazivanju testa djeljivosti sa 3.
Također, da bismo dokazali test djeljivosti sa 3, potrebna su nam sljedeća svojstva djeljivosti:
- da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da je modul a djeljiv sa modulom od b;
- ako su u jednakosti a=s+t svi članovi, osim nekog, djeljivi sa nekim cijelim brojem b, onda je i ovaj član djeljiv sa b.
Sada smo u potpunosti spremni i možemo da izvedemo dokaz djeljivosti sa 3, radi pogodnosti, ovu osobinu formuliramo kao neophodan i dovoljan uslov za djeljivost sa 3.
Da bi cijeli broj a bio djeljiv sa 3, potrebno je i dovoljno da zbir njegovih cifara bude djeljiv sa 3.
Za a=0 teorema je očigledna.
Ako je a različit od nule, tada je modul a prirodan broj, tada je moguć prikaz, gdje je zbir cifara a.
Pošto je zbir i proizvod cijelih brojeva cijeli broj, onda je cijeli broj, onda je prema definiciji djeljivosti proizvod djeljiv sa 3 za bilo koje a 0 , a 1 , ..., a n .
Ako je zbir cifara broja a djeljiv sa 3, odnosno A je djeljiv sa 3, tada je, zbog svojstva djeljivosti naznačenog prije teoreme, djeljiv sa 3, dakle, a je djeljiv sa 3. Ovo dokazuje dovoljnost.
Ako je a djeljiv sa 3, tada je i djeljiv sa 3, tada je zbog istog svojstva djeljivosti broj A djeljiv sa 3, odnosno zbir cifara broja a djeljiv je sa 3. Ovo dokazuje neophodnost.
Ostali slučajevi djeljivosti sa 3
Ponekad se cijeli brojevi ne specificiraju eksplicitno, već kao vrijednost nekog izraza sa varijablom za datu vrijednost varijable. Na primjer, vrijednost izraza za neko prirodno n je prirodan broj. Jasno je da ovakvim dodjeljivanjem brojeva direktno dijeljenje sa 3 neće pomoći da se utvrdi njihova djeljivost sa 3, a znak djeljivosti sa 3 neće moći uvijek biti primijenjen. Sada ćemo razmotriti nekoliko pristupa rješavanju takvih problema.
Suština ovih pristupa je da se originalni izraz predstavi kao proizvod više faktora, a ako je barem jedan od faktora djeljiv sa 3, tada će se, zbog odgovarajuće osobine djeljivosti, moći zaključiti da je cijeli proizvod je djeljiv sa 3.
Ponekad se ovaj pristup može implementirati koristeći Newtonov binom. Razmotrimo primjer rješenja.
Da li je vrijednost izraza djeljiva sa 3 za bilo koje prirodno n?
Jednakost je očigledna. Koristimo Newtonovu binomnu formulu: 
U posljednjem izrazu, možemo uzeti 3 iz zagrada, i dobijemo. Dobiveni proizvod je djeljiv sa 3, jer sadrži faktor 3, a vrijednost izraza u zagradama za prirodno n je prirodan broj. Dakle, djeljiv je sa 3 za bilo koje prirodno n.
U mnogim slučajevima, djeljivost sa 3 može se dokazati metodom matematičke indukcije. Analizirajmo njegovu primjenu u rješavanju primjera.
Dokažite da je za bilo koje prirodno n vrijednost izraza djeljiva sa 3.
Za dokaz koristimo metodu matematičke indukcije.
Za n=1, vrijednost izraza je , a 6 je djeljivo sa 3 .
Pretpostavimo da je vrijednost izraza deljiva sa 3 kada je n=k, odnosno deljiva sa 3.
Uzimajući u obzir da je deljiv sa 3, pokazaćemo da je vrednost izraza za n=k+1 deljiva sa 3, odnosno pokazaćemo da 
je djeljiv sa 3.
Hajde da napravimo neke transformacije: 
Izraz je podijeljen sa 3 i izrazom 
je djeljiv sa 3, pa je njihov zbir djeljiv sa 3.
Tako je metoda matematičke indukcije dokazala djeljivost sa 3 za bilo koje prirodno n.
Pokažimo još jedan pristup dokazu djeljivosti sa 3. Ako pokažemo da je za n=3 m , n=3 m+1 i n=3 m+2 , gdje je m proizvoljan cijeli broj, vrijednost nekog izraza (sa varijablom n) djeljiva sa 3, to će dokazati djeljivost izraza sa 3 za bilo koji cijeli broj n . Razmotrite ovaj pristup prilikom rješavanja prethodnog primjera.
Pokažite koliko je deljivo sa 3 za bilo koje prirodno n .
Za n=3 m imamo. Dobiveni proizvod je djeljiv sa 3 jer sadrži faktor 3 djeljiv sa 3.
Dobiveni proizvod je također djeljiv sa 3.
A ovaj proizvod je djeljiv sa 3.
Dakle, djeljiv je sa 3 za bilo koje prirodno n.
U zaključku donosimo rješenje još jednog primjera.
Da li je vrijednost izraza djeljiva sa 3 
za neki prirodni n .
Za n=1 imamo. Zbir cifara rezultirajućeg broja je 3, pa nam znak djeljivosti sa 3 omogućava da tvrdimo da je ovaj broj djeljiv sa 3.
Za n=2 imamo. Zbir cifara i ovog broja je 3, pa je djeljiv sa 3.
Jasno je da ćemo za bilo koje drugo prirodno n imati brojeve čiji je zbir cifara 3, pa su ovi brojevi djeljivi sa 3.
Na ovaj način, jer je bilo koje prirodno n djeljivo sa 3.
www.cleverstudents.ru
Matematika, 6. razred, udžbenik za učenike obrazovnih organizacija, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Matematika, 6. razred, udžbenik za učenike obrazovnih organizacija, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Teorijski materijal u udžbeniku predstavljen je na način da nastavnik može primijeniti problemski pristup u nastavi. Uz pomoć notnog sistema razlikuju se vježbe četiri nivoa složenosti. U svakom pasusu formulisani su kontrolni zadaci na osnovu onoga što učenici treba da znaju i umeju da postignu da bi dostigli nivo standarda matematičkog obrazovanja. Domaći zadatak se daje na kraju udžbenika. test papiri i odgovore. Ilustracije u boji (crteži i dijagrami) pružaju visok nivo jasnoće obrazovnog materijala.
U skladu sa zahtjevima GEF doo.
Zadaci.
4. Nacrtajte trougao ABC i označite tačku O izvan njega (kao na slici 11). Konstruirajte figuru simetričnu trokutu ABC u odnosu na tačku O.
5. Nacrtajte trokut KMN i konstruirajte figuru simetričnu ovom trokutu u odnosu na:
a) njeni vrhovi - tačke M;
b) tačke O - sredine stranice MN.
6. Napravite figuru koja je simetrična:
a) zraka OM u odnosu na tačku O; napiši koja je tačka simetrična tački O;
b) zraka OM u odnosu na proizvoljnu tačku A koja ne pripada ovom zraku;
c) prava AB u odnosu na tačku O, koja ne pripada ovoj pravoj;
d) prava AB u odnosu na tačku O koja pripada ovoj pravoj; napiši koja je tačka simetrična tački O.
U svakom slučaju, opišite relativni položaj centralno simetričnih figura.
Sadržaj
Poglavlje I. Pozitivni i negativni brojevi. Koordinate
§ 1. Rotacija i centralna simetrija
§ 2. Pozitivni i negativni brojevi. Koordinatna linija
§ 3. Modul broja. Suprotni brojevi
§ 4. Poređenje brojeva
§ 5. Paralelnost pravih
§ 6. Numerički izrazi koji sadrže znakove "+", "-"
§ 7. Algebarski zbir i njegova svojstva
§ 8. Pravilo za izračunavanje vrednosti algebarskog zbira dva broja
§ 9. Udaljenost između tačaka koordinatne prave
§ 10. Aksijalna simetrija
§ 11. Brojne praznine
§ 12. Množenje i dijeljenje pozitivnih i negativnih brojeva
§ 13. Koordinate
§ 14. Koordinatna ravan
§ 15. Množenje i dijeljenje običnih razlomaka
§ 16. Pravilo množenja za kombinatorne probleme
Poglavlje II. Pretvaranje doslovnih izraza
§ 17. Proširenje zagrada
§ 18. Pojednostavljenje izraza
§ 19. Rješenje jednačina
§ 20. Rješavanje zadataka za sastavljanje jednačina
§ 21. Dva glavna problema o razlomcima
§ 22. Krug. Obim
§ 23. Krug. Područje kruga
§ 24. Lopta. Sfera
Poglavlje III. Deljivost prirodnih brojeva
§ 25. Delitelji i višekratnici
§ 26. Deljivost dela
§ 27. Deljivost zbira i razlika brojeva
§ 28. Znaci djeljivosti sa 2, 5, 10, 4 i 25
§ 29. Znaci djeljivosti sa 3 i 9
§ 30. Prosti brojevi. Dekomponovanje broja na proste faktore
§ 31. Najveći zajednički djelitelj
§ 32. Koprosti brojevi. Znak djeljivosti po proizvodu. Najmanji zajednički višekratnik
Poglavlje IV. Matematika oko nas
§ 33. Odnos dva broja
§ 34. Dijagrami
§ 35. Proporcionalnost količina
§ 36. Rešavanje zadataka pomoću proporcija
§ 37. Razni poslovi
§ 38. Prvo upoznavanje sa pojmom "vjerovatnosti"
§ 39. Prvo upoznavanje sa proračunom vjerovatnoće
Kućni testovi
Teme za projektne aktivnosti
Odgovori
Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu i pročitajte:
Matematika
REFERENTNI MATERIJAL ZA 1.-6. RAZRED.
Dragi roditelji! Ako tražite nastavnika matematike za svoje dijete, onda je ovaj oglas za vas. Nudim Skype tutorstvo: priprema za OGE, Jedinstveni državni ispit, otklanjanje praznina u znanju. Vaše prednosti su jasne:
1) Vaše dijete je kod kuće i možete biti mirni za njega;
2) Nastava se održava u vrijeme koje je pogodno za dijete, a možete čak i pohađati ove časove. Objašnjavam jednostavno i jasno na uobičajenoj školskoj tabli.
3) Možete se i sami sjetiti drugih važnih prednosti Skype časova!
Pišite mi na: ili me odmah dodajte na Skype i dogovorićemo se o svemu. Cijene su pristupačne.
P.S. Nastava je dostupna u grupama od 2-4 učenika.
S poštovanjem, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko je autor ove stranice.
Dragi prijatelji!
Drago mi je što vam mogu ponuditi da preuzmete besplatne referentne materijale za matematiku 5. razred. Preuzmite ovdje!
Dragi prijatelji!
Nije tajna da neka djeca imaju poteškoća s množenjem i dugim dijeljenjem. Najčešće je to zbog nedovoljnog poznavanja tablice množenja. Predlažem da naučite tablicu množenja uz pomoć lota. Više pogledajte ovdje. Preuzmite loto ovdje.
Dragi prijatelji! Uskoro ćete se suočiti (ili ste se već suočili) sa potrebom da odlučite interesnih zadataka. Takvi problemi počinju da se rešavaju u 5. razredu i završavaju. ali ne završavaju rješavanje problema za postotke! Ovi zadaci se nalaze i na kontrolnim i na ispitima: i prenosivi, i OGE i Jedinstveni državni ispit. sta da radim? Moramo naučiti kako riješiti ove probleme. U tome će vam pomoći moja knjiga Kako riješiti probleme s procentima. Detalji ovdje!
Sabiranje brojeva.
- a+b=c, gdje su a i b članovi, c je zbir.
- Da biste pronašli nepoznati pojam, oduzmite poznati pojam od zbira.
Oduzimanje brojeva.
- a-b=c, gdje je a minus, b je oduzetak, c je razlika.
- Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.
- Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.
Množenje brojeva.
- a b=c, gdje su a i b faktori, c je proizvod.
- Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom.
Podjela brojeva.
- a:b=c, gdje je a dividenda, b je djelitelj, c je količnik.
- Da biste pronašli nepoznatu dividendu, trebate pomnožiti djelitelj s količnikom.
- Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.
Zakoni sabiranja.
- a+b=b+a(pomeranje: zbir se ne menja preuređivanjem termina).
- (a+b)+c=a+(b+c)(asocijativno: da biste zbiru dva člana dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg).
Tablica sabiranja.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Zakoni množenja.
- a b=b a(pomak: permutacija faktora ne mijenja proizvod).
- (a b) c=a (b c)(kombinativno: da pomnožite proizvod dva broja trećim brojem, možete pomnožiti prvi broj sa umnoškom drugog i trećeg).
- (a+b) c=a c+b c(distributivni zakon množenja u odnosu na sabiranje: da biste pomnožili zbir dva broja sa trećim brojem, možete svaki član pomnožiti ovim brojem i sabrati rezultate).
- (a-b) c=a c-b c(distributivni zakon množenja s obzirom na oduzimanje: da biste razliku dva broja pomnožili trećim brojem, možete pomnožiti ovaj broj smanjen i odvojeno oduzet i od prvog rezultata oduzeti drugi).
Tablica množenja.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Delitelji i višekratnici.
- razdjelnik prirodni broj a imenovati prirodni broj kojim a podijeljeno bez ostatka. (Brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 su djelitelji broja 24, jer je 24 djeljivo sa svakim od njih bez ostatka) 1-djelitelj bilo kojeg prirodnog broja. Najveći djelitelj bilo kojeg broja je sam broj.
- Višestruko prirodni broj b je prirodan broj koji je djeljiv bez ostatka sa b. (Brojevi 24, 48, 72, ... su višekratnici broja 24, jer su bez ostatka djeljivi sa 24). Najmanji višekratnik bilo kojeg broja je sam broj.
Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva.
- Brojevi koji se koriste prilikom brojanja objekata (1, 2, 3, 4, ...) nazivaju se prirodni brojevi. Skup prirodnih brojeva označava se slovom N.
- Brojevi 0, 2, 4, 6, 8 pozvao čak brojevi. Brojevi koji završavaju parnim ciframa nazivaju se parni brojevi.
- Brojevi 1, 3, 5, 7, 9 pozvao odd brojevi. Brojevi koji završavaju neparnim ciframa nazivaju se neparni brojevi.
- Znak djeljivosti brojem 2. Svi prirodni brojevi koji završavaju parnom cifrom djeljivi su sa 2.
- Znak djeljivosti brojem 5. Svi prirodni brojevi koji završavaju na 0 ili 5 djeljivi su sa 5.
- Znak djeljivosti brojem 10. Svi prirodni brojevi koji završavaju na 0 djeljivi su sa 10.
- Znak djeljivosti brojem 3. Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je i sam broj djeljiv sa 3.
- Znak djeljivosti brojem 9. Ako je zbir cifara broja djeljiv sa 9, tada je i sam broj djeljiv sa 9.
- Znak djeljivosti brojem 4. Ako je broj sastavljen od posljednje dvije cifre datog broja djeljiv sa 4, tada je i sam dati broj djeljiv sa 4.
- Znak djeljivosti brojem 11. Ako je razlika između zbira cifara na neparnim mjestima i zbira cifara na parnim mjestima djeljiva sa 11, tada je i sam broj djeljiv sa 11.
- Prosti broj je broj koji ima samo dva djelitelja: jedan i sam broj.
- Složeni broj je broj koji ima više od dva djelitelja.
- Broj 1 nije ni prost ni kompozitni broj.
- Pisanje složenog broja kao proizvoda samo prostih brojeva naziva se razlaganje složenog broja u proste faktore. Bilo koji složeni broj može se jedinstveno predstaviti kao proizvod prostih faktora.
- Najveći zajednički djelitelj datih prirodnih brojeva je najveći prirodni broj kojim je svaki od ovih brojeva djeljiv.
- Najveći zajednički djelitelj ovih brojeva jednak je proizvodu zajedničkih prostih faktora u proširenjima ovih brojeva. Primjer. GCD(24, 42)=2 3=6, pošto je 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, njihovi zajednički prosti faktori su 2 i 3.
- Ako prirodni brojevi imaju samo jedan zajednički djelitelj - jedan, onda se ovi brojevi nazivaju međusobno prosti.
- Najmanji zajednički višekratnik datih prirodnih brojeva je najmanji prirodni broj koji je višekratnik svakog od datih brojeva. Primjer. LCM(24, 42)=168. Ovo je najmanji broj koji je djeljiv sa 24 i 42.
- Za pronalaženje LCM nekoliko zadatih prirodnih brojeva potrebno je: 1) svaki od datih brojeva rastaviti na proste faktore; 2) napišite proširenje najvećeg broja i pomnožite ga faktorima koji nedostaju iz proširenja drugih brojeva.
- Najmanji višekratnik od dva koprosta broja jednak je proizvodu ovih brojeva.
b- imenilac razlomka, pokazuje koliko je jednakih dijelova podijeljeno;
a-brojilac razlomka, pokazuje koliko je takvih dijelova uzeto. Razlomka znači znak dijeljenja.
Ponekad umjesto vodoravne razlomke stavljaju kosu crtu, a običan razlomak se piše ovako: a/b.
- At pravilan razlomak brojilac je manji od nazivnika.
- At nepravilan razlomak brojilac je veći od nazivnika ili jednak nazivniku.
Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak njemu.
Dijeljenje i brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim djeliteljem koji nije jedan naziva se smanjenjem razlomka.
- Broj koji se sastoji od cijelog i razlomka naziva se mješoviti broj.
- Da bi se nepravilan razlomak predstavio kao mješoviti broj, potrebno je brojilac razlomka podijeliti sa nazivnikom, tada će nepotpuni količnik biti cijeli dio mješovitog broja, ostatak će biti brojnik razlomka , a imenilac će ostati isti.
- Da biste mješoviti broj predstavili kao nepravilan razlomak, trebate cijeli broj mješovitog broja pomnožiti sa nazivnikom, rezultatu dodati brojilac razlomka i upisati ga u brojnik nepravilnog razlomka i ostaviti nazivnik isto.
- zraka Oh sa poreklom u tački O, na kojoj single cut do i smjer, zvao koordinatni snop.
- Poziva se broj koji odgovara tački koordinatnog zraka koordinata ovu tačku. Na primjer , A(3). Čitaj: tačka A sa koordinatom 3.
- Najmanji zajednički imenilac ( NOZ) ovih nesvodljivih razlomaka je najmanji zajednički višekratnik ( NOC) imenioci ovih razlomaka.
- Da biste razlomke doveli do najmanjeg zajedničkog nazivnika, morate: 1) pronaći najmanji zajednički umnožak imenilaca ovih razlomaka, to će biti najmanji zajednički imenilac. 2) pronaći dodatni faktor za svaki od razlomaka, za koji dijelimo novi imenilac sa imeniocem svakog razlomka. 3) pomnožimo brojilac i imenilac svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.
- Od dva razlomka sa istim nazivnikom, veći je onaj sa većim brojiocem, a manjim onaj sa manjim brojnikom.
- Od dva razlomka sa istim brojiocem, onaj sa manjim nazivnikom je veći, a onaj sa većim imeniocem manji.
- Da biste uporedili razlomke s različitim brojiocima i različitim nazivnicima, trebate svesti razlomke na najmanji zajednički nazivnik, a zatim uporediti razlomke s istim nazivnicima.
Operacije nad običnim razlomcima.
- Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti isti.
- Ako trebate sabrati razlomke s različitim nazivnicima, onda prvo smanjite razlomke na najmanji zajednički nazivnik, a zatim dodajte razlomke s istim nazivnicima.
- Da bi se oduzeli razlomci sa istim nazivnicima, brojilac drugog razlomka se oduzima od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaje isti.
- Ako trebate oduzeti razlomke s različitim nazivnicima, onda se oni prvo dovode do zajedničkog nazivnika, a zatim se oduzimaju razlomci s istim nazivnicima.
- Prilikom izvođenja operacija sabiranja ili oduzimanja mješovitih brojeva, ove operacije se izvode odvojeno za cijele dijelove i za razlomke, a zatim se rezultat zapisuje kao mješoviti broj.
- Umnožak dva obična razlomka jednak je razlomku čiji je brojilac jednak umnošku brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika datih razlomaka.
- Da biste običan razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik ostaviti isti.
- Dva broja čiji je proizvod jednak jedan nazivaju se međusobno recipročni brojevi.
- Kada se množe mješoviti brojevi, oni se prvo pretvaraju u nepravilne razlomke.
- Da biste pronašli razlomak broja, morate taj broj pomnožiti s tim razlomkom.
- Da biste običan razlomak podijelili običnim razlomkom, trebate pomnožiti dividendu sa recipročnom vrijednosti djelitelja.
- Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, oni se prvo pretvaraju u nepravilne razlomke.
- Da biste običan razlomak podijelili prirodnim brojem, potrebno je pomnožiti nazivnik razlomka sa ovim prirodnim brojem, a brojilac ostaviti isti. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- Da biste pronašli broj po njegovom razlomku, trebate podijeliti s tim razlomkom broj koji mu odgovara.
- Decimala je broj upisan decimalni sistem i imaju cifre manje od jedne. (3,25; 0,1457 itd.)
- Decimala iza decimalnog zareza nazivaju se decimalna mjesta.
- Decimalni razlomak se neće promijeniti ako se nule dodaju ili odbace na kraju decimalnog razlomka.
Za dodavanje decimalnih razlomaka potrebno je: 1) izjednačiti broj decimalnih mjesta u tim razlomcima; 2) zapisati jednu ispod druge tako da se zarez piše ispod zareza; 3) izvrši sabiranje, zanemarujući zarez, i stavi zarez ispod zareza u zbrojenim razlomcima u zbiru.
Da biste izvršili oduzimanje decimalnih razlomaka, potrebno je: 1) izjednačiti broj decimalnih mjesta u minus i oduzeti; 2) potpiše oduzeto ispod smanjenog tako da zarez bude ispod zareza; 3) izvršite oduzimanje, zanemarujući zarez, i kao rezultat stavite zarez ispod zareza minusa i oduzetog.
- Da biste decimalni razlomak pomnožili prirodnim brojem, trebate ga pomnožiti s ovim brojem, zanemarujući zarez, i u rezultirajućem umnošku odvojiti onoliko znamenki s desne strane koliko je bilo nakon decimalne točke u datom razlomku.
- Da pomnožite jedan decimalni razlomak drugim, morate izvršiti množenje, zanemarujući zareze, i u rezultatu, odvojiti onoliko znamenki zarezom na desnoj strani koliko je bilo iza zareza u oba faktora zajedno.
- Da biste decimalu pomnožili sa 10, 100, 1000, itd., trebate pomaknuti decimalni zarez udesno za 1, 2, 3, itd. znamenke.
- Pomnožiti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001, itd., trebate pomjeriti zarez ulijevo za 1, 2, 3, itd. znamenke.
- Da biste podijelili decimalni razlomak prirodnim brojem, trebate podijeliti razlomak ovim brojem, jer se prirodni brojevi dijele i stavljaju u privatni zarez kada se podjela cijelog dijela završi.
- Da biste decimalu podijelili sa 10, 100, 1000 itd., trebate pomaknuti zarez ulijevo za 1, 2, 3, itd. znamenke.
- Da biste broj podijelili decimalom, trebate pomaknuti zareze u djelitelju i djelitelju onoliko cifara udesno koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijeliti prirodnim brojem.
- Podijeliti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001, itd., trebate pomjeriti zarez udesno za 1, 2, 3, itd. znamenke. (Dijeljenje decimale sa 0,1; 0,01; 0,001, itd. je isto kao i množenje te decimale sa 10, 100, 1000, itd.)
Da bismo zaokružili broj na određenu cifru, podvlačimo cifru ove cifre, a zatim sve cifre iza podvučene zamenjujemo nulama, a ako su iza decimalnog zareza, odbacujemo. Ako je prva nula zamijenjena ili odbačena cifra 0, 1, 2, 3 ili 4, tada podvučena znamenka ostaje nepromijenjena. Ako je prva znamenka zamijenjena nulom ili odbačena 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se podvučena znamenka povećava za 1.
Aritmetička sredina više brojeva.
Aritmetička sredina nekoliko brojeva je količnik dijeljenja zbira ovih brojeva brojem članova.
Raspon niza brojeva.
Razlika između najveće i najmanje vrijednosti serije podataka naziva se raspon serije brojeva.
Moda serije brojeva.
Broj koji se javlja s najvećom frekvencijom među datim brojevima serije naziva se način niza brojeva.
- Stoti dio se zove postotak. Kupite knjigu koja podučava "Kako riješiti probleme s procentima."
- Da biste procente izrazili kao razlomak ili prirodan broj, trebate podijeliti postotak sa 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- Da biste izrazili broj kao procenat, morate ga pomnožiti sa 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
- Da biste pronašli postotak broja, trebate ga izraziti kao običan ili decimalni razlomak i pomnožiti rezultirajući razlomak datim brojem.
- Da biste pronašli broj prema njegovom procentu, trebate ga izraziti kao običan ili decimalni razlomak i dati broj podijeliti ovim razlomkom.
- Da biste pronašli procenat prvog broja od drugog, morate prvi broj podijeliti drugim i rezultat pomnožiti sa 100%.
- Količnik dva broja naziva se omjer ovih brojeva. a:b ili a/b je omjer brojeva a i b, štaviše, a je prethodni član, b je sljedeći član.
- Ako se uslovi ove relacije preurede, onda se rezultirajuća relacija naziva inverznom od ove relacije. Relacije b/a i a/b su međusobno inverzne.
- Omjer se neće promijeniti ako se oba člana omjera pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula.
- Jednakost dva omjera naziva se proporcija.
- a:b=c:d. Ovo je proporcija. Pročitajte: a tako se odnosi na b, kako c odnosi se na d. Brojevi a i d nazivaju se krajnji članovi proporcije, a brojevi b i c su srednji članovi proporcije.
- Proizvod ekstremnih članova proporcije jednak je proizvodu njegovih srednjih članova. Za proporciju a:b=c:d ili a/b=c/d glavno svojstvo je napisano ovako: a d=b c.
- Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, trebate podijeliti proizvod prosječnih članova proporcije sa poznatim ekstremnim članom.
- Da biste pronašli nepoznati srednji član proporcije, trebate podijeliti proizvod ekstremnih članova proporcije sa poznatim srednjim članom. Proporcionalni zadaci.
Neka vrijednost y zavisi od veličine X. Ako sa povećanjem X nekoliko puta veći at raste za isti faktor, onda takve vrijednosti X i at nazivaju se direktno proporcionalnim.
Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.
Omjer dužine segmenta na karti i dužine odgovarajuće udaljenosti na tlu naziva se skala karte.
Neka vrijednost at zavisi od veličine X. Ako sa povećanjem X nekoliko puta veći at smanjuje se za isti faktor, onda takve vrijednosti X i at nazivaju se obrnuto proporcionalnim.
Ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada je omjer dvije proizvoljno uzete vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.
- Skup je kolekcija nekih objekata ili brojeva sastavljenih prema nekim općim svojstvima ili zakonima (mnogo slova na stranici, puno pravilnih razlomaka sa nazivnikom 5, puno zvijezda na nebu, itd.).
- Skupovi se sastoje od elemenata i konačni su ili beskonačni. Skup koji ne sadrži nijedan element naziva se prazan skup i označava se Oh
- Mnogo AT naziva se podskup skupa ALI ako su svi elementi skupa AT su elementi skupa ALI.
- Postavite raskrsnicu ALI i AT je skup čiji elementi pripadaju skupu ALI i mnogi AT.
- Unija skupova ALI i AT je skup čiji elementi pripadaju barem jednom od datih skupova ALI i AT.
Skupovi brojeva.
- N– skup prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4,…
- Z– skup cijelih brojeva: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q je skup racionalnih brojeva koji se mogu predstaviti kao razlomak m/n, gdje m- cijeli, n– prirodno (-2; 3/5; v9; v25, itd.)
- Koordinatna linija je prava linija na kojoj su dati pozitivan smjer, referentna točka (tačka O) i jedinični segment.
- Svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara određenom broju, koji se naziva koordinata ove tačke. Na primjer, A(5). Čitaj: tačka A sa koordinatom pet. U 3). Čitaj: tačka B sa koordinatom minus tri.
- Modul broja a (zapišite |a|) naziva se udaljenost od početka do tačke kojoj odgovara dati broj a. Vrijednost modula bilo kojeg broja nije negativna. |3|=3; |-3|=3, jer udaljenost od početka do broja -3 i do broja 3 jednaka je trima jediničnim segmentima. |0|=0 .
- Po definiciji modula broja: |a|=a, ako a?0 i |a|=-a, ako a b.
- Ako, kada se porede brojevi a i b, razlika a-b je onda negativan broj a , tada se nazivaju stroge nejednakosti.
- Ako su nejednakosti napisane u znakovima? ili ?, tada se nazivaju nestroge nejednakosti.
Osobine numeričkih nejednačina.
G) 
Nejednakost oblika x?a. odgovor:
Radi pojednostavljenja dijeljenja prirodnih brojeva izvedena su pravila za dijeljenje brojevima prve desetice i brojevima 11, 25, koji su spojeni u odjeljak znakove djeljivosti prirodnih brojeva. Ispod su pravila po kojima će analiza broja bez dijeljenja s drugim prirodnim brojem odgovoriti na pitanje, da li je prirodni broj višekratnik brojeva 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 i bit unit?
Prirodni brojevi koji imaju cifre (završavaju na) 2,4,6,8,0 u prvoj cifri nazivaju se parni.
Znak djeljivosti brojeva sa 2
Svi parni prirodni brojevi su djeljivi sa 2, na primjer: 172, 94,67 838, 1670.
Znak djeljivosti brojeva sa 3
Svi prirodni brojevi čiji je zbir cifara višestruki od 3 djeljivi su sa 3. Na primjer:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Znak djeljivosti brojeva sa 4
Svi prirodni brojevi su djeljivi sa 4, od kojih su zadnje dvije cifre nule ili višekratnik od 4. Na primjer:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Znak djeljivosti brojeva sa 5
Znak djeljivosti brojeva sa 6
Oni prirodni brojevi koji su djeljivi sa 2 i 3 u isto vrijeme djeljivi su sa 6 (svi parni brojevi, koji su djeljivi sa 3). Na primjer: 126 (b - parno, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Znak djeljivosti brojeva sa 9
Ti prirodni brojevi su djeljivi sa 9, čiji je zbir cifara višekratnik 9. Na primjer:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Znak djeljivosti brojeva sa 10
Znak djeljivosti brojeva sa 11
Samo oni prirodni brojevi su djeljivi sa 11, u kojima je zbir cifara koje zauzimaju parna mjesta jednak zbiru cifara koje zauzimaju neparna mjesta, ili razlici između zbira cifara neparnih mjesta i zbira cifara parnih mjesta je višekratnik od 11. Na primjer:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 i 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 i 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Znak djeljivosti brojeva sa 25
Ti prirodni brojevi su djeljivi sa 25, od kojih su zadnje dvije cifre nule ili su višekratnik od 25. Na primjer:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Znak djeljivosti brojeva bitnom jedinicom
Ti prirodni brojevi se dijele na bitnu jedinicu, u kojoj je broj nula veći ili jednak broju nula bitne jedinice. Na primjer: 12.000 je djeljivo sa 10, 100 i 1000.
