Ustvarjalno delo "znaki deljivosti". Začnite z naravoslovjem Katero število je deljivo z 10 in 12
CHISTENSKY UVK "SPLOŠNA IZOBRAŽEVALNA ŠOLA
jaz – III ODRI - GIMNAZIJA "
SMER MATEMATIKA
"ZNAKI DELLJIVOSTI"
Delo sem opravil
Učenka 7. razreda
Žuravlev David
znanstveni svetnik
specialist najvišje kategorije
Fedorenko Irina Vitalievna
Čisto, 2013
Kazalo
Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Deljivost števil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Znaki deljivosti z 2, 5, 10, 3 in 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . štiri
1.2 Znaki deljivosti s 4, s 25 in s 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . štiri
1.3 Znaki deljivosti z 8 in 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Poenostavitev preizkusa deljivosti z 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Znaki deljivosti s 6, 12, 15, 18, 45 itd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Znak deljivosti s 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Enostavni kriteriji deljivosti s praštevili. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Znaki deljivosti s 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Znaki deljivosti z 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . osem
2.3 Znaki deljivosti s 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . osem
2.4 Znaki deljivosti z 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Kombinirani znak deljivosti s 7, 11 in 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Staro in novo o deljivosti s 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . deset
5. Razširitev znaka deljivosti s 7 na druga števila. . . . . . 12
6. Posplošen kriterij deljivosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Zanimivost deljivosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . petnajst
Sklepi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
UVOD
Če se želite naučiti plavati, potem pogumno stopite v vodo, in če se želite naučiti reševati probleme, jih rešite.
D. Poya
Obstaja veliko vej matematike in ena izmed njih je deljivost števil.
Matematiki preteklih stoletij so se domislili številnih priročnih trikov za olajšanje izračunov in izračunov, ki jih je veliko pri reševanju matematičnih problemov. Precej razumen izhod, saj niso imeli ne kalkulatorjev ne računalnikov. V nekaterih situacijah možnost uporabe priročnih metod izračuna močno olajša reševanje težav in znatno skrajša čas, porabljen zanje.
Med takšne uporabne metode računanja seveda sodijo znaki deljivosti s številom. Nekateri so lažji - ti znaki deljivosti števil z 2, 3, 5, 9, 10 se preučujejo v okviru šolskega tečaja, nekateri pa so precej zapleteni in so bolj raziskovalnega kot praktičnega pomena. Vedno pa je zanimivo preveriti vsako od znamenj deljivosti na določenih številkah.
Cilj: razširiti predstave o lastnostih števil, povezanih z deljivostjo;
Naloge:
Seznaniti se z različnimi znaki deljivosti števil;
Organizirajte jih;
Oblikovati veščine uporabe uvedenih pravil, algoritmov za ugotavljanje deljivosti števil.
Deljivost števil
Kriterij deljivosti je pravilo, s katerim lahko brez deljenja ugotovite, ali je eno število deljivo z drugim.
deljivost zneska. Če je vsak člen deljiv z nekim številom, potem je tudi vsota deljiva s tem številom.
Primer 1.1
32 je deljivo s 4, 16 je deljivo s 4, torej je vsota 32 + 16 deljiva s 4.
Deljivost razlike. Če sta manjšec in odštevanec deljiva z nekim številom, potem je tudi razlika deljiva s tem številom.
Primer 1.2
777 je deljivo s 7, 49 je deljivo s 7, torej je razlika 777 - 49 deljiva s 7.
Deljivost produkta s številom. Če je vsaj eden od faktorjev v zmnožku deljiv z nekim številom, potem je s tem številom deljiv tudi zmnožek.
Primer 1.3
15 je deljivo s 3, torej je produkt 15∙17∙23 deljiv s 3.
Deljivost števila s produktom. Če je število deljivo z zmnožkom, potem je deljivo z vsakim od faktorjev tega zmnožka.
Primer 1.4
90 je deljivo s 30, 30 = 2∙3∙5, torej je 30 deljivo z 2, 3 in 5.
B. Pascal je veliko prispeval k preučevanju znakov deljivosti števil.Blaise Pascal (Blaise Pascal) (1623–1662), francoski verski mislec, matematik in fizik, eden največjih umov 17. stoletja.Oblikoval je naslednje merilo deljivosti, ki nosi njegovo ime:
Naravno število a je deljivo z drugim naravnim številom b le če je vsota zmnožkov števk števila a na ustrezne ostanke, dobljene z deljenjem bitnih enot s številom b , je deljivo s tem številom.
1.1 Znaki deljivosti z 2, 5, 10, 3 in 9
V šoli preučujemo znake deljivosti z 2, 3, 5, 9, 10.
Znak deljivosti z 10. Z 10 so deljiva vsa in samo tista števila, katerih zapis se konča s številko 0.
Znak deljivosti s 5. S 5 so deljiva vsa tista in samo tista števila, katerih zapis se konča s številko 0 ali 5.
Znak deljivosti z 2. Z 2 so deljiva vsa tista in samo tista števila, katerih zapis se konča s sodo števko: 2,4,6,8 ali 0.
Znak deljivosti s 3 in 9. S 3 in 9 so deljiva vsa tista in samo tista števila, katerih vsota števk je deljiva s 3 oziroma 9.
Z zapisom števila (po njegovih zadnjih cifrah) lahko določimo tudi deljivost števila na 4, 25, 50, 8 in 125.
1.2 Znaki deljivosti s 4, s 25 in s 50
S 4, 25 ali 50 so deljiva tista in samo tista števila, ki se končajo z dvema ničlama ali katerih zadnji dve števki izražata število, ki je deljivo s 4, 25 oziroma 50.
Primer 1.2.1
Število 97300 se konča z dvema ničlama, kar pomeni, da je deljivo s 4, 25 in 50.
Primer 1.2.2
Število 81764 je deljivo s 4, saj je število, ki ga tvorita zadnji dve števki 64, deljivo s 4.
Primer 1.2.3
Število 79450 je deljivo s 25 in 50, ker je število, ki ga tvorita zadnji dve števki 50, deljivo s 25 in 50.
1.3 Znaki deljivosti z 8 in 125
Z 8 ali 125 so deljiva tista in samo tista števila, ki se končajo s tremi ničlami ali katerih zadnje tri števke izražajo število, ki je deljivo z 8 oziroma 125.
Primer 1.3.1
Število 853.000 se konča s tremi ničlami, kar pomeni, da je deljivo z 8 in 125.
Primer 1.3.2
Število 381864 je deljivo z 8, ker je število, ki ga tvorijo zadnje tri števke 864, deljivo z 8.
Primer 1.3.3
Število 179250 je deljivo s 125, ker je število, ki ga tvorijo zadnje tri števke 250, deljivo s 125.
1.4 Poenostavitev preizkusa deljivosti z 8
Vprašanje deljivosti nekega števila se zreducira na vprašanje deljivosti nekega trimestnega števila z 8, vendarhkrati pa nič ne pove o tem, kako po drugi strani hitro ugotoviti, ali je to trimestno število deljivo z 8. Tudi deljivost trimestnega števila z 8 ni vedno takoj vidna, pravzaprav morate naredi delitev.
Seveda se postavlja vprašanje: ali je mogoče poenostaviti kriterij deljivosti z 8? Lahko, če ga dopolnite s posebnim znakom deljivosti trimestnega števila z 8.
Vsako trimestno število je deljivo z 8, pri čemer je dvomestno število, ki ga tvorijo števke stotin in desetic, dodane polovici števila enot, deljivo s 4.
Primer 1.4.1
Ali je število 592 deljivo z 8?
rešitev.
Iz števila ločimo 592 enot in številu naslednjih dveh števk (desetice in stotice) prištejemo polovico njihovega števila.
Dobimo: 59 + 1 = 60.
Število 60 je deljivo s 4, torej je število 592 deljivo z 8.
Odgovor: deliti.
1.5 Znaki deljivosti s 6, 12, 15, 18, 45 itd.
Z uporabo lastnosti deljivosti števila z zmnožkom iz zgornjih znakov deljivosti dobimo znake deljivosti s 6, 12, 15, 18, 24 itd.
Znak deljivosti s 6. S 6 so deljiva tista in samo tista števila, ki so deljiva z 2 in 3.
Primer 1.5.1
Število 31242 je deljivo s 6, ker je deljivo z 2 in 3.
Znak deljivosti z 12. Z 12 so deljiva tista in samo tista števila, ki so deljiva s 4 in 3.
Primer 1.5.2
Število 316224 je deljivo z 12, ker je deljivo s 4 in 3.
Znak deljivosti s 15. Tista in samo tista števila, ki so deljiva s 3 in 5, so deljiva s 15.
Primer 1.5.3
Število 812445 je deljivo s 15, ker je deljivo s 3 in 5.
Znak deljivosti z 18. Z 18 so deljiva tista in samo tista števila, ki so deljiva z 2 in 9.
Primer 1.5.4
Število 817254 je deljivo z 18, ker je deljivo tako z 2 kot z 9.
Znak deljivosti s 45. 45 je deljivo s tistimi in samo tistimi števili, ki so deljiva s 5 in 9.
Primer 1.5.5
Število 231705 je deljivo s 45, ker je deljivo s 5 in 9.
Obstaja še en znak deljivosti števil s 6.
1.6 Preizkus deljivosti s 6
Če želite preveriti, ali je število deljivo s 6:
Pomnožite število stotin z 2,
Rezultat odštejte od števila za stoticami.
Če je rezultat deljiv s 6, potem je celo število deljivo s 6. Primer 1.6.1
Ali je število 138 deljivo s 6?
rešitev.
Število stotic je 1 2=2, 38-2=36, 36:6, torej je 138 deljivo s 6.
Preprosta merila za deljivost s praštevili
Število imenujemo praštevilo, če ima samo dva delitelja (ena in samo število).
2.1 Znaki deljivosti s 7
Če želite izvedeti, ali je število deljivo s 7, morate:
Število do desetice pomnožite z dva
Rezultatu dodajte preostalo število.
Preverite, ali je rezultat deljiv s 7 ali ne.
Primer 2.1.1
Ali je število 4690 deljivo s 7?
rešitev.
Število do desetic je 46 2=92, 92+90=182, 182:7=26, torej je 4690 deljivo s 7.
2.2 Pogoji za deljivost z 11
Število je deljivo z 11, če je razlika med vsoto števk na lihih mestih in vsoto števk na sodih mestih večkratnik 11.
Razlika je lahko negativno število ali nič, mora pa biti večkratnik 11.
Primer 2.2.1
Ali je število 100397 deljivo z 11?
rešitev.
Vsota števil na sodih mestih: 1+0+9=10.
Vsota števil na lihih mestih: 0+3+7=10.
Razlika vsot: 10 - 10=0, 0 je večkratnik 11, torej je 100397 deljivo z 11.
2.3 Znaki deljivosti s 13
Število je deljivo s 13, če in samo če je rezultat odštevanja zadnje števke, pomnožene z 9, od tega števila brez zadnje števke deljiv s 13.
Primer 2.3.1
Število 858 je deljivo s 13, ker je 85 - 9∙8 = 85 - 72 = 13 deljivo s 13.
2.4 Preizkusi deljivosti z 19
Število je brez ostanka deljivo z 19, če je število njegovih desetic, dodano dvakratnemu številu enot, deljivo z 19.
Primer 2.4.1
Ugotovite, ali je 1026 deljivo z 19.
rešitev.
V številu 1026 sta 102 desetice in 6 enic. 102 + 2∙6 = 114;
Podobno je 11 + 2∙4 = 19.
Kot rezultat dveh zaporednih korakov smo dobili število 19, ki je deljivo z 19, torej je število 1026 deljivo z 19.
Kombinirani znak deljivosti s 7, 11 in 13
V tabeli praštevil so števila 7, 11 in 13 eno poleg drugega. Njun produkt je: 7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Torej je število 1001 deljivo s 7, 11 in 13.
Če katero koli trimestno število pomnožimo s 1001, bo zmnožek zapisan z enakimi številkami kot množitelj, le dvakrat ponovljen:abc- trimestno število;abc∙1001 = abcabc.
Zato so vsa števila oblike abcabc deljiva s 7, z 11 in s 13.
Te pravilnosti nam omogočajo, da rešitev problema deljivosti večmestnega števila s 7 ali z 11 ali s 13 zmanjšamo na deljivost z njimi nekega drugega števila - ne več kot trimestnega.
Če je razlika med vsotami ploskev danega števila, vzeta skozi ena, deljiva s 7 ali z 11 ali s 13, potem je dano število deljivo s 7 ali z 11 ali s 13.
Primer 3.1
Ugotovite, ali je število 42623295 deljivo s 7, 11 in 13.
rešitev.
Razčlenimo to številko od desne proti levi na 3-mestne strani. Skrajni levi rob ima lahko tri števke ali pa tudi ne. Ugotovimo, katero od števil 7, 11 ali 13 deli razliko vsot ploskev tega števila:
623 - (295 + 42) = 286.
Število 286 je deljivo z 11 in 13, ni pa deljivo s 7. Zato je število 42.623.295 deljivo z 11 in 13, ne pa tudi s 7.
Staro in novo o deljivosti s 7
Iz nekega razloga je bila številka 7 zelo všeč ljudem in je vstopila v njihove pesmi in izreke:
Sedemkrat poskusi, enkrat odreži.
Sedem težav, en odgovor.
Sedem petkov v tednu.
Eden z bipodom in sedem z žlico.
Preveč kuharjev pokvari juho.
Število 7 ni bogato samo z izreki, ampak tudi z različnimi znaki deljivosti. Dva znaka deljivosti s 7 (v kombinaciji z drugimi števili) že poznate. Obstaja tudi več posameznih meril za deljivost s 7.
Razložimo prvi znak deljivosti s 7 na primeru.
Vzemimo številko 5236. Zapišimo to številko na naslednji način:
5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6
in povsod zamenjamo osnovo 10 z osnovo 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168
Če je dobljeno število deljivo (ne deljivo) s 7, potem je dano število deljivo (ne deljivo) s 7.
Ker je 168 deljivo s 7, je tudi 5236 deljivo s 7.
Sprememba prvega znaka deljivosti s 7. Prvo števko na levi strani preskusne številke pomnožimo s 3 in dodamo naslednjo števko; rezultat pomnožite s 3 in zadnji števki dodajte naslednjo števko itd. Če poenostavimo, je po vsakem dejanju dovoljeno od rezultata odšteti 7 ali večkratnik števila sedem. Če je končni rezultat deljiv (nedeljiv) s 7, potem je tudi dano število deljivo (nedeljivo) s 7. Za predhodno izbrano število 5236:
5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 - 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 6 = 7 je deljivo s 7, torej je 5236 deljivo s 7.
Prednost tega pravila je, da ga je enostavno mentalno uporabiti.
Drugi znak deljivosti s 7. V tem znaku morate ravnati popolnoma enako kot v prejšnjem, z edino razliko, da se množenje ne sme začeti od skrajne leve številke danega števila, ampak od skrajne desne. ena in ne pomnožite s 3, ampak s 5 .
Primer 4.1
Ali je 37184 deljivo s 7?
rešitev.
4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6+8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1=1; 1∙5 = 5; seštevanje števila 7 lahko preskočimo, saj se število 7 odšteje od rezultata; 5∙5 = 25; (25 - 21 = 4); 4 + 3 = 7 je deljivo s 7, torej je 37184 deljivo s 7.
Tretji preizkus deljivosti s 7. Ta test je miselno manj enostaven, a je tudi zelo zanimiv.
Podvojite zadnjo števko in odštejte drugo z desne, podvojite rezultat in dodajte tretjo z desne in tako naprej, izmenično odštevanje in seštevanje ter vsak rezultat, kjer je mogoče, zmanjšajte za 7 ali za večkratnik števila sedem. Če je končni rezultat deljiv (ni deljiv) s 7, potem je testno število deljivo (ne deljivo) s 7.
Primer 4.2
Ali je 889 deljivo s 7?
rešitev.
9∙2 = 18; 18 - 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 oz
9∙2 = 18; (18 - 7 = 11) 11 - 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 je deljivo s 7, torej je 889 deljivo s 7.
In več znakov deljivosti s 7. Če je katero koli dvomestno število deljivo s 7, potem je deljivo s 7 in število obrnjeno, povečano za desetice tega števila.
Primer 4.3
14 je deljivo s 7, torej je tudi 7 deljivo s 41 + 1.
35 je deljivo s 7, torej je 53 + 3 deljivo s 7.
Če je katero koli trimestno število deljivo s 7, potem je deljivo s 7 in število obrnjeno, zmanjšano za razliko med števkami enot in stotin tega števila.
Primer 4.4
Število 126 je deljivo s 7. Zato je število 621 - (6 - 1) deljivo s 7, torej 616.
Primer 4.5
Število 693 je deljivo s 7. Zato je tudi število 396 deljivo s 7 - (3 - 6), torej 399.
Razširitev kriterija deljivosti s 7 na druga števila
Z zgornjimi tremi kriteriji za deljivost števil s 7 lahko ugotovimo deljivost števila s 13, 17 in 19.
Če želite določiti deljivost danega števila s 13, 17 ali 19, pomnožite skrajno levo števko testiranega števila s 3, 7 ali 9 in odštejte naslednjo števko; rezultat ponovno pomnožite s 3, 7 ali 9 in dodajte naslednjo števko itd., pri čemer po vsakem množenju izmenično odštevate in seštevate naslednje števke. Po vsakem dejanju se lahko rezultat zmanjša ali poveča za število 13, 17, 19 ali večkratnik tega števila.
Če je končni rezultat deljiv (ni deljiv) s 13, 17 in 19, potem je dano število tudi deljivo (ne deljivo).
Primer 5.1
Ali je število 2075427 deljivo z 19?
rešitev.
2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);
2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 - 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 je deljivo z 19, torej je 2075427 deljivo z 19.
Splošni preizkus deljivosti
Zamisel o razdelitvi števila na obraze z njihovim naknadnim seštevanjem za določitev deljivosti danega števila se je izkazala za zelo plodno in je privedla do enotnega kriterija za deljivost večvrednih števil z dokaj veliko skupino praštevil. . Ena od skupin "srečnih" deliteljev so vsi celi faktorji p števila d = 10n + 1, kjer je n = 1, 2, 3,4, ... (pri velikih vrednostih n je praktični pomen znaka je izgubljen).
101
101
1001
7, 11, 13
10001
73, 137
2) zložite obraze skozi enega, začenši skrajno desno;
3) zložite preostale obraze;
4) Odštejte manjšo količino od večje količine.
Če je rezultat deljiv s p, je tudi dano število deljivo s p.
Torej, da bi določili deljivost števila z 11 (p \u003d 11), izrežemo številko na strani ene števke (n \u003d 1). Če nadaljujemo, kot je navedeno, pridemo do dobro znanega testa za deljivost z 11.
Pri ugotavljanju deljivosti števila s 7, 11 ali 13 (p = 7, 11, 13) izrežemo po 3 števke (n = 3). Pri ugotavljanju deljivosti števila s 73 in 137 izrežemo po 4 števke (n = 4).
Primer 6.1
Ugotovi, koliko je petnajstmestno število 837 362 172 504 831 deljivo s 73 in s 137 (p = 73, 137, n = 4).
rešitev.
Številko razdelimo na obraze: 837 3621 7250 4831.
Dodamo obraze skozi eno: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.
Odštejte manjši znesek od večjega: 8452-8087 = 365.
365 je deljivo s 73, ni pa deljivo s 137; torej je dano število deljivo s 73, ne pa s 137.
Druga skupina »srečnih« deliteljev so psevdoceli faktorji p števila d = 10n -1, kjer je n = 1, 3, 5, 7,…
Število d = 10n -1 daje naslednje delitelje:
n
d
str
1
9
3
3
999
37
5
99 999
41, 271
Če želite določiti deljivost katerega koli števila s katerim koli od teh števil p, potrebujete:
1) dano število od desne proti levi (iz enot) razreži na ploskve s po n ciframi (vsak p ima svoj n; skrajna leva ploskev ima lahko manj kot n števk);
2) zložite vse obraze.
Če je rezultat deljiv (ni deljiv) s p, potem je tudi dano število deljivo (ne deljivo).
Upoštevajte, da je 999 = 9∙111, kar pomeni, da je 111 deljivo s 37, potem pa so s 37 deljiva tudi števila 222, 333, 444, 555, 666, 777 in 888.
Podobno: 11111 je deljivo z 41 in z 271.
Zanimivost deljivosti
Na koncu bi rad predstavil štiri neverjetne desetmestne številke:
2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.
Vsaka od njih ima vse števke od 0 do 9, vendar vsaka števka le enkrat in vsako od teh števil je deljivo z 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 , 15, 16, 17 in 18.
zaključki
Zaradi tega dela sem se razširilznanja iz matematike. jazIzvedel sem, da poleg znamenj, ki jih poznam z 2, 3, 5, 9 in 10, obstajajo še znaki deljivosti s 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25. , 50, 125 in druge številke, znaki deljivosti z istim številom pa so lahko različni, kar pomeni, da je vedno prostor za ustvarjalnost.
Delo je teoretično inpraktično uporabo. Ta študija bo koristna pri pripravi na olimpijade in tekmovanja.
Ko sem se seznanil z znaki deljivosti števil, verjamem, da lahko uporabim znanje, pridobljeno pri izobraževalnih dejavnostih, samostojno uporabim ta ali oni znak pri določeni nalogi in naučene znake uporabim v resnični situaciji. V prihodnosti se nameravam še naprej ukvarjati s študijem znakov deljivosti števil.
Literatura
1. N. N. Vorobyov "Znaki deljivosti" Moskva "Nauka" 1988
2. K. I. Ščevcov, G. P. Bevz "Priročnik za osnovno matematiko" Kijev "Naukova Dumka" 1965
3. M. Ya. Vygodsky "Priročnik za osnovno matematiko" Moskva "Nauka" 1986
4. Internetni viri
Besedilo dela je postavljeno brez slik in formul.
Celotna različica dela je na voljo v zavihku "Job Files" v formatu PDF
Pri pouku matematike smo pri preučevanju teme »Znaki deljivosti«, kjer smo se seznanili z znaki deljivosti z 2; 5; 3; 9; 10 me je zanimalo, ali obstajajo znaki deljivosti z drugimi števili in ali obstaja univerzalna metoda deljivosti s poljubnim naravnim številom. Tako sem začel raziskovati to temo.
Namen študije:študij znakov deljivosti naravnih števil do 100, seštevanje že znanih znakov deljivosti naravnih števil v celoto, ki se učijo v šoli.
Za dosego cilja so bili postavljeni naloge:
Zberite, preučite in sistematizirajte gradivo o znakih deljivosti naravnih števil z uporabo različnih virov informacij.
Poiščite univerzalni kriterij deljivosti s poljubnim naravnim številom.
Naučite se uporabljati Pascalov test deljivosti za ugotavljanje deljivosti števil in poskusite tudi oblikovati znake deljivosti s poljubnim naravnim številom.
Predmet študija: deljivost naravnih števil.
Predmet študija: znaki deljivosti naravnih števil.
Raziskovalne metode: zbiranje informacij; delo s tiskovinami; analiza; sinteza; analogija; intervju; spraševanje; sistematizacija in posploševanje gradiva.
Raziskovalna hipoteza:Če je mogoče določiti deljivost naravnih števil z 2, 3, 5, 9, 10, potem morajo obstajati znaki, s katerimi lahko določimo deljivost naravnih števil z drugimi števili.
Novost Opravljeno raziskovalno delo je, da to delo sistematizira znanje o znakih deljivosti in univerzalni metodi deljivosti naravnih števil.
Praktični pomen: gradivo tega raziskovalnega dela se lahko uporablja v razredih 6-8 pri izbirnem pouku pri preučevanju teme "Deljivost števil".
Poglavje I. Definicija in lastnosti deljivosti števil
1.1 Opredelitve pojmov deljivosti in znaki deljivosti, lastnosti deljivosti.
Teorija števil je veja matematike, ki proučuje lastnosti števil. Glavni predmet teorije števil je cela števila. Njihova glavna lastnost, ki jo obravnava teorija števil, je deljivost. definicija: Celo število a je deljivo s celim številom b, ki ni enako nič, če obstaja celo število k, tako da je a = bk (npr. 56 je deljivo z 8, ker je 56 = 8x7). znak deljivosti- pravilo, ki vam omogoča, da ugotovite, ali je dano naravno število deljivo z nekaterimi drugimi števili, tj. brez sledu.
Lastnosti deljivosti:
Vsako število a, ki ni nič, je deljivo samo s seboj.
Nič je deljiva s katerim koli b, ki ni enak nič.
Če je a deljiv z b (b0) in je b deljiv s c (c0), potem je a deljiv s c.
Če je a deljiv z b (b0) in je b deljiv z a (a0), potem sta a in b enaki ali nasprotni števili.
1.2. Lastnosti deljivosti vsote in produkta:
Če je v vsoti celih števil vsak člen deljiv z nekim številom, potem je vsota deljiva s tem številom.
2) Če sta v razliki celih števil manjšec in odštevanec deljiva z določenim številom, potem je tudi razlika deljiva z določenim številom.
3) Če so v vsoti celih števil vsi členi, razen enega, deljivi z nekim številom, potem vsota ni deljiva s tem številom.
4) Če je v zmnožku celih števil eden od faktorjev deljiv z nekim številom, potem je tudi produkt deljiv s tem številom.
5) Če je v zmnožku celih števil eden od faktorjev deljiv z m, drugi pa z n, potem je zmnožek deljiv z mn.
Poleg tega sem se ob preučevanju znakov deljivosti števil seznanil s pojmom "digitalni koren". Vzemimo naravno število. Poiščimo vsoto njegovih števk. Poiščemo tudi vsoto števk rezultata in tako naprej, dokler ne dobimo enomestnega števila. Rezultat se imenuje digitalni koren števila. Na primer, digitalni koren 654321 je 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. In zdaj lahko razmislite o vprašanju: "Kakšni so znaki deljivosti in ali obstaja univerzalni znak deljivosti enega števila z drugim?"
Poglavje II. Znaki deljivosti naravnih števil.
2.1. Znaki deljivosti z 2,3,5,9,10.
Med znaki deljivosti so najbolj priročni in znani iz šolskega tečaja matematike v 6. razredu:
Deljivo z 2. Če se zapis naravnega števila konča s sodo števko ali ničlo, potem je število deljivo z 2. Število 52738 je deljivo z 2, saj je zadnja cifra 8 soda.
Deljivo s 3 . Če je vsota števk števila deljiva s 3, potem je število deljivo s 3 (število 567 je deljivo s 3, saj je 5+6+7 = 18, 18 pa je deljivo s 3.)
Deljivo s 5. Če se zapis naravnega števila konča s številko 5 ali nič, potem je število deljivo s 5 (števili 130 in 275 sta deljivi s 5, ker sta zadnji števki števil 0 in 5, število 302 pa je deljivo s 5). ni deljivo s 5, ker zadnje števke niso 0 in 5).
Deljivo z 9. Če je vsota števk deljiva z 9, potem je število deljivo z 9 (676332 je deljivo z 9, ker je 6+7+6+3+3+2=27, 27 pa je deljivo z 9).
Deljivo z 10 . Če se zapis naravnega števila konča s številko 0, potem je to število deljivo z 10 (230 je deljivo z 10, saj je zadnja številka števila 0).
2.2 Znaki deljivosti s 4,6,8,11,12,13 itd.
Po delu z različnimi viri sem spoznal še druge znake deljivosti. Nekaj jih bom opisal.
Deljenje s 6 . Preveriti moramo deljivost števila, ki nas zanima, z 2 in s 3. Število je deljivo s 6, če in samo če je sodo, njegov digitalni koren pa je deljiv s 3. (Npr. 678 je deljivo z 6, ker je sodo in 6 +7+8=21, 2+1=3) Še en znak deljivosti: število je deljivo s 6, če in samo če je deljivo štirikratno število desetic, prištetih številu enic. s 6. (73,7*4+3=31, 31 ni deljivo s 6, torej 7 ni deljivo s 6.)
Deljenje z 8. Število je deljivo z 8, če in samo če njegove zadnje tri števke tvorijo število, deljivo z 8. (12224 je deljivo z 8, ker je 224:8=28). Trimestno število je deljivo z 8, če in samo če je število enic, prištetih dvakratnemu številu desetic in štirikratniku stotic, deljivo z 8. Na primer, 952 je deljivo z 8, ker je 8 deljivo z 9* 4 + 5 * 2 + 2 = 48 .
Deli s 4 in s 25. Če sta zadnji dve števki ničli ali izražata število, deljivo s 4 ali (in) z 25, potem je število deljivo s 4 ali (in) s 25 (število 1500 je deljivo s 4 in 25, ker se konča na dva ničle, je število 348 deljivo s 4, ker je 48 deljivo s 4, vendar to število ni deljivo s 25, ker 48 ni deljivo s 25, število 675 je deljivo s 25, ker je 75 deljivo s 25, ampak ni deljivo s 4, torej .k. 75 ni deljivo s 4).
Če poznamo glavne znake deljivosti s praštevili, lahko izpeljemo znake deljivosti s sestavljenimi števili:
Znak deljivosti z11 . Če je razlika med vsoto števk na sodih mestih in vsoto števk na lihih mestih deljiva z 11, potem je tudi število deljivo z 11 (število 593868 je deljivo z 11, ker je 9 + 8 + 8 = 25 in 5 + 3 + 6 = 14, njuna razlika je 11, 11 pa je deljivo z 11).
Znak deljivosti z 12:Število je deljivo z 12, če in samo če sta zadnji dve števki deljivi s 4 in je vsota števk deljiva s 3.
Ker 12= 4 ∙ 3, tj. Število mora biti deljivo s 4 in 3.
Znak deljivosti s 13:Število je deljivo s 13, če in samo če je izmenična vsota števil, ki jo tvorijo zaporedne trojke števk danega števila, deljiva s 13. Kako veš na primer, da je število 354862625 deljivo s 13? 625-862+354=117 je deljivo s 13, 117:13=9, torej je tudi 354862625 deljivo s 13.
Znak deljivosti s 14:število je deljivo s 14, če in samo če se konča s sodo števko in če je rezultat dvakratnega odštevanja zadnje števke od tega števila brez zadnje števke deljiv s 7.
Ker 14= 2 ∙ 7, tj. Število mora biti deljivo z 2 in 7.
Znak deljivosti s 15:Število je deljivo s 15, če in samo če se konča s 5 in 0 in je vsota števk deljiva s 3.
Ker 15= 3 ∙ 5, tj. Število mora biti deljivo s 3 in 5.
Znak deljivosti z 18:Število je deljivo z 18, če in samo če se konča s sodo števko in je vsota njegovih števk deljiva z 9.
ker je k18= 2 ∙ 9, tj. Število mora biti deljivo z 2 in 9.
Znak deljivosti z 20:število je deljivo z 20, če in samo če se število konča z 0 in je predzadnja števka soda.
Ker 20 = 10 ∙ 2 tj. Število mora biti deljivo z 2 in 10.
Znak deljivosti s 25: najmanj trimestno število je deljivo s 25, če in samo če je število, ki ga tvorita zadnji dve števki, deljivo s 25.
Znak deljivosti z30 .
Znak deljivosti z59 . Število je deljivo s 59, če in samo če je število desetic, dodanih številu enic, pomnoženih s 6, deljivo s 59. Na primer, 767 je deljivo s 59, ker je 76 + 6*7 = 118 in 11 + 6* so deljive s 59 8 = 59.
Znak deljivosti z79 . Število je deljivo z 79, če in samo če je število desetic, dodano številu enot, pomnoženih z 8, deljivo z 79. Na primer, 711 je deljivo s 79, ker je 71 + 8*1 = 79 deljivo s 79.
Znak deljivosti z99. Število je deljivo z 99, če in samo če je vsota števil, ki sestavljajo skupine dveh števk (začenši z enotami), deljiva z 99. Na primer, 12573 je deljivo z 99, ker je 1 + 25 + 73 = 99 deljivo z 99.
Znak deljivosti z100 . Samo tista števila so deljiva s 100, če sta zadnji dve števki ničli.
Znak deljivosti s 125: vsaj štirimestno število je deljivo s 125, če in samo če je število, ki ga tvorijo zadnje tri števke, deljivo s 125.
Vse zgoraj navedene značilnosti so povzete v obliki tabele. (Priloga 1)
2.3 Znaki deljivosti s 7.
1) Za testiranje vzemite številko 5236. To številko zapišimo takole: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 (“sistematsko » oblika zapisa števila), povsod pa osnovo 10 zamenjamo z osnovo 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Če je dobljeno število deljivo (ni deljivo) s 7, potem je to število deljivo (ni deljivo) s 7. Ker je 168 deljivo s 7 , potem je 5236 deljivo s 7. 68:7=24, 5236:7=748.
2) V tem znaku morate ravnati na popolnoma enak način kot v prejšnjem, z edino razliko, da se mora množenje začeti skrajno desno in ne pomnožiti s 3, ampak s 5. (5236 je deljeno s 7 , saj je 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)
3) Ta znak je manj enostaven za implementacijo v mislih, vendar je tudi zelo zanimiv. Podvojite zadnjo števko in odštejte drugo z desne, podvojite rezultat in dodajte tretjo z desne itd., pri čemer izmenično odštevajte in seštevajte ter zmanjšajte vsak rezultat, kjer je to mogoče, za 7 ali za večkratnik števila sedem. Če je končni rezultat deljiv (ni deljiv) s 7, potem je testno število prav tako deljivo (ne deljivo) s 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.
4) Število je deljivo s 7, če in samo če je izmenična vsota števil, ki jo sestavljajo zaporedne trojčke števk danega števila, deljiva s 7. Kako veš na primer, da je število 363862625 deljivo s 7? 625-862+363=126 je deljivo s 7, 126:7=18, torej je tudi 363862625 deljivo s 7, 363862625:7=51980375.
5) Eden najstarejših znakov deljivosti s 7 je naslednji. Številke številke je treba vzeti v obratnem vrstnem redu, od desne proti levi, tako da prvo številko pomnožimo z 1, drugo s 3, tretjo z 2, četrto z -1, peto z -3, šesto z - 2 itd. (če je število znakov večje od 6, je treba zaporedje faktorjev 1, 3, 2, -1, -3, -2 ponoviti tolikokrat, kot je potrebno). Nastale izdelke je treba dodati. Prvotno število je deljivo s 7, če je izračunana vsota deljiva s 7. Tukaj je na primer, kaj ta funkcija daje za število 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, torej je tudi število 5236 deljivo s 7.
6) Število je deljivo s 7, če in samo če je trojno število desetic, dodano številu enic, deljivo s 7. Na primer, 154 je deljivo s 7, saj je 7 število 49, ki ga dobimo na ta osnova: 15 * 3 + 4 = 49.
2.4 Znak Pascal.
Velik prispevek k preučevanju znakov deljivosti števil je dal B. Pascal (1623-1662), francoski matematik in fizik. Našel je algoritem za iskanje kriterijev za deljivost katerega koli celega števila s katerim koli drugim celim številom, ki ga je objavil v razpravi "O naravi deljivosti števil". Skoraj vsi trenutno znani znaki deljivosti so posebni primeri Pascalovega znaka: »Če vsota ostankov pri deljenju številaa po cifrah na številkov deljeno sv , nato številkoa deljeno sv ». Poznavanje je koristno tudi danes. Kako lahko dokažemo zgoraj oblikovane kriterije deljivosti (na primer nam poznani kriterij deljivosti s 7)? Poskušal bom odgovoriti na to vprašanje. Toda najprej se dogovorimo o načinu zapisovanja številk. Če želite zapisati številko, katere števke so označene s črkami, se strinjamo, da čez te črke narišemo črto. Tako bo abcdef označeval število, ki ima f enot, e desetic, d stotic itd.:
abcdef = a. 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Zdaj bom dokazal zgoraj formuliran preizkus deljivosti s 7. Imamo:
10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1
1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1
(ostanki po deljenju s 7).
Kot rezultat dobimo 5. pravilo, formulirano zgoraj: če želite izvedeti ostanek deljenja naravnega števila s 7, morate pod števke tega števila od desne proti levi podpisati koeficiente (ostanke deljenja): nato morate vsako števko pomnožiti s koeficientom pod njim in dodati nastalo izdelki; najdena vsota bo imela pri deljenju s 7 enak ostanek kot vzeto število.
Vzemimo za primer številki 4591 in 4907 in, kot je navedeno v pravilu, najdemo rezultat:
-1 2 3 1
4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (ostanek 6) (ni deljivo s 7)
-1 2 3 1
4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (deljivo s 7)
Na ta način lahko najdete merilo za deljivost s poljubnim številom t. Ugotoviti je treba le, katere koeficiente (ostanke od deljenja) je treba podpisati pod števke vzetega števila A. Če želite to narediti, morate vsako potenco desetice 10 zamenjati, če je mogoče, z enakim ostankom pri deljenju z t, kot število 10. Ko t= 3 oz t = 9 so se ti koeficienti izkazali za zelo preproste: vsi so enaki 1. Zato se je izkazalo, da je preizkus deljivosti s 3 ali 9 zelo preprost. pri t= 11, tudi koeficienti niso bili kompleksni: izmenično so enaki 1 in - 1. In ko t=7 koeficienti so se izkazali za bolj zapletene; zato se je izkazalo, da je kriterij deljivosti s 7 bolj zapleten. Ob upoštevanju znakov deljenja do 100 sem bil prepričan, da so najbolj zapleteni koeficienti za naravna števila 23 (od 10 23 se koeficienti ponavljajo), 43 (od 10 39 se koeficienti ponavljajo).
Vse naštete znake deljivosti naravnih števil lahko razdelimo v 4 skupine:
1 skupina- kadar je deljivost števil določena z zadnjo števko (mi) - so to znaki deljivosti z 2, s 5, z bitno enoto, s 4, z 8, z 25, s 50.
2 skupina- kadar je deljivost števil določena z vsoto števk števila, so to znaki deljivosti s 3, z 9, s 7, s 37, z 11 (1 znak).
3 skupina- ko je deljivost števil določena po izvedbi nekaterih dejanj na cifrah števila, so to znaki deljivosti s 7, z 11 (1 znak), s 13, z 19.
4 skupina- kadar se za določanje deljivosti števila uporabljajo drugi znaki deljivosti, so to znaki deljivosti s 6, s 15, z 12, s 14.
eksperimentalni del
Intervju
Anketa je bila izvedena med učenci 6. in 7. razreda. V anketi je sodelovalo 58 dijakov MOBU Karaidel srednje šole št. 1 MR Karaidel okrožja Republike Belorusije. Prosili so jih, naj odgovorijo na naslednja vprašanja:
Ali menite, da obstajajo drugi znaki deljivosti, ki se razlikujejo od tistih, ki smo jih preučevali v lekciji?
Ali obstajajo znaki deljivosti za druga naravna števila?
Bi radi izvedeli te znake deljivosti?
Ali poznate znake deljivosti naravnih števil?
Rezultati ankete so pokazali, da 77 % anketirancev meni, da obstajajo tudi drugi znaki deljivosti, razen tistih, ki jih preučujejo v šoli; Ne meni 9 %, 13 % vprašanih je težko odgovorilo. Na drugo vprašanje "Ali želite izvedeti znake deljivosti drugih naravnih števil?" 33 % jih je odgovorilo pritrdilno, 17 % z »Ne«, 50 % pa jih je bilo težko odgovoriti. Na tretje vprašanje je 100 % anketiranih odgovorilo pritrdilno. Na četrto vprašanje je pozitivno odgovorilo 89 %, z »Ne« je odgovorilo 11 % dijakov, ki so med raziskovalnim delom sodelovali v anketi.
Zaključek
Tako so bile med delom rešene naslednje naloge:
študiral teoretično gradivo o tem vprašanju;
poleg znamenj, ki jih poznam z 2, 3, 5, 9 in 10, sem izvedel, da obstajajo tudi znaki deljivosti s 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 itd. .;
3) študiral je Pascalov znak - univerzalni znak deljivosti s poljubnim naravnim številom;
Z delom z različnimi viri, analizo gradiva, najdenega na obravnavano temo, sem se prepričal, da obstajajo znaki deljivosti z drugimi naravnimi številkami. Na primer na 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, kar je potrdilo pravilnost moje hipoteze o obstoju drugih znakov deljivosti naravnih števil. Ugotovil sem tudi, da obstaja univerzalni znak deljivosti, katerega algoritem je našel francoski matematik Pascal Blaise in ga objavil v svoji razpravi »O naravi deljivosti števil«. S tem algoritmom lahko dobimo znak deljivosti s poljubnim naravnim številom.
Rezultat raziskovalnega dela postalo sistematizirano gradivo v obliki tabele »Znaki deljivosti števil«, ki se lahko uporablja pri pouku matematike, v obšolskih dejavnostih, da se učenci pripravijo na reševanje olimpijadnih problemov, pri pripravi študentov na OGE in enotni državni izpit. .
V prihodnosti se nameravam še naprej ukvarjati z uporabo znakov deljivosti števil pri reševanju problemov.
Seznam uporabljenih virov
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. matematika. 6. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove / - 25. izd., ster. — M.: Mnemozina, 2009. — 288 str.
Vorobjov V.N. Znaki deljivosti.-M .: Nauka, 1988.-96s.
Vygodsky M.Ya. Priročnik za osnovno matematiko. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 str.
Gardner M. Matematični prosti čas. / Spodaj. Ed. Ya.A.Smorodinski. - M.: Oniks, 1995. - 496 str.
Gelfman E.G., Beck E.F. itd. Primer deljivosti in druge zgodbe: Vadnica pri matematiki za 6. razred. - Tomsk: Založba Tom.un-ta, 1992. - 176p.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika: Ref. materiali: Knj. za študente. - 2. izd. - M .: Izobraževanje, 1990. - 416 str.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Obšolsko delo pri matematiki v 6.-8. Moskva.: Izobraževanje, 1984. - 289s.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stranmi učbenika matematike. M.: Razsvetljenje, 1989. - 97 str.
Kulanin E.D. Matematika. Imenik. -M .: EKSMO-Press, 1999-224 str.
Perelman Ya.I. Zabavna algebra. M.: Triada-Litera, 1994. -199s.
Tarasov B.N. Pascal. -M .: Mol. Stražar, 1982.-334s.
http://dic.academic.ru/ (Wikipedia – prosta enciklopedija).
http://www.bymath.net (enciklopedija).
Priloga 1
TABELA ZNAKOV DELLJIVOSTI
|
znak |
Primer |
|
|
Število se konča s sodim številom. |
………………2(4,6,8,0) |
|
|
Vsota števk je deljiva s 3. |
3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3 |
|
|
Število njegovih zadnjih dveh števk je ničlo ali deljivo s 4. |
………………12 |
|
|
Število se konča s 5 ali 0. |
………………0(5) |
|
|
Število se konča s sodo števko in vsota števk je deljiva s 3. |
375018: 8-sodo število 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3 |
|
|
Rezultat dvakratnega odštevanja zadnje števke od tega števila brez zadnje števke je deljiv s 7. |
36 - (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
|
Njegove zadnje tri števke števila so ničle ali tvorijo število, ki je deljivo z 8. |
……………..064 |
|
|
Vsota njegovih števk je deljiva z 9. |
3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9 |
|
|
Število se konča z ničlo |
………………..0 |
|
|
Vsota števk števila z izmenjujočimi se števkami je deljiva z 11. |
1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 |
|
|
Zadnji dve števki števila sta deljivi s 4, vsota števk pa je deljiva s 3. |
2+1+6=9, 9:3 in 16:4 |
|
|
Število desetic danega števila, prišteto štirikratnemu številu enot, je večkratnik 13. |
84 + (4 × 5) = 104, |
|
|
Število se konča s sodo števko in ko je rezultat dvakratnega odštevanja zadnje števke od tega števila brez zadnje števke deljiv s 7. |
364: 4 je sodo število 36 - (2 × 4) = 28, 28:7 |
|
|
Število 5 in 0 ter vsota števk je deljivo s 3. |
6+3+4+8+0=21, 21:3 |
|
|
Zadnje štiri števke števila so ničle ali tvorijo število, ki je deljivo s 16. |
…………..0032 |
|
|
Število desetic danega števila, dodano številu enot, povečanih za 12-krat, je večkratnik 17. |
29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Ker je 34 deljivo s 17, je tudi 29053 deljivo s 17 |
|
|
Število se konča s sodo števko in vsota njegovih števk je deljiva z 9. |
2034: 4 je sodo število |
|
|
Število desetic danega števila, dodano dvakratnemu številu enot, je večkratnik 19 |
64 + (6 × 2) = 76 |
|
|
Število se konča z 0 in predzadnja številka je soda |
…………………40 |
|
|
Število, sestavljeno iz zadnjih dveh števk, je deljivo s 25 |
…………….75 |
|
|
Število je deljivo s 30, če in samo če se konča z 0 in je vsota vseh števk deljiva s 3. |
……………..360 |
|
|
Število je deljivo z 59, če in samo če je število desetic, prišteto številu enic, pomnoženih s 6, deljivo s 59. |
Na primer, 767 je deljivo z 59, ker sta 76 + 6*7 = 118 in 11 + 6*8 = 59 deljiva z 59. |
|
|
Število je deljivo z 79, če in samo če je število desetic, prišteto številu enic, pomnoženih z 8, deljivo s 79. |
Na primer, 711 je deljivo s 79, ker je 79 deljivo z 71 + 8*1 = 79 |
|
|
Število je deljivo z 99, če in samo če je vsota števil, ki sestavljajo skupine dveh števk (začenši z enotami), deljiva z 99. |
Na primer, 12573 je deljivo z 99, ker je 1 + 25 + 73 = 99 deljivo z 99. |
|
|
pri 125 |
Število, sestavljeno iz zadnjih treh števk, je deljivo s 125 |
……………375 |
Serija člankov o znakih deljivosti se nadaljuje znak deljivosti s 3. V članku je najprej podana formulacija kriterija deljivosti s 3 in podani primeri uporabe tega kriterija pri ugotavljanju, katera od danih celih števil so deljiva s 3 in katera ne. Nadalje je podan dokaz testa deljivosti s 3. Upoštevani so tudi pristopi k ugotavljanju deljivosti s 3 števil, podanih kot vrednost nekega izraza.
Navigacija po straneh.
Znak deljivosti s 3, primeri
Začnimo z formulacije testa za deljivost s 3: celo število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3, če vsota njegovih števk ni deljiva s 3, potem samo število ni deljivo s 3.
Iz zgornje formulacije je jasno, da znaka deljivosti s 3 ni mogoče uporabiti brez možnosti seštevanja naravnih števil. Prav tako morate za uspešno uporabo znaka deljivosti s 3 vedeti, da so od vseh enomestnih naravnih števil števila 3, 6 in 9 deljiva s 3, števila 1, 2, 4, 5, 7 in 8 nista deljiva s 3.
Zdaj lahko razmislimo o najpreprostejšem primeri uporabe testa deljivosti s 3. Ugotovimo, ali je število deljivo s 3? 42. Da bi to naredili, izračunamo vsoto števk števila ?42, je enako 4+2=6. Ker je 6 deljivo s 3, lahko na podlagi znaka deljivosti s 3 trdimo, da je tudi število 42 deljivo s 3. Toda pozitivno celo število 71 ni deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 7+1=8, 8 pa ni deljivo s 3.
Ali je 0 deljivo s 3? Za odgovor na to vprašanje test deljivosti s 3 ni potreben, tukaj se moramo spomniti ustrezne lastnosti deljivosti, ki pravi, da je nič deljiva s poljubnim celim številom. Torej je 0 deljivo s 3.
V nekaterih primerih je treba preizkus deljivosti s 3 uporabiti večkrat zaporedoma, da bi dokazali, ali je dano število deljivo s 3 ali ne. Vzemimo primer.
Dokaži, da je število 907444812 deljivo s 3.
Vsota števk števila 907444812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Da ugotovimo, ali je 39 deljivo s 3, izračunamo njegovo vsoto števk: 3+9=12. In da ugotovimo, ali je 12 deljivo s 3, poiščemo vsoto števk števila 12, imamo 1+2=3. Ker smo dobili število 3, ki je deljivo s 3, potem je zaradi znaka deljivosti s 3 število 12 deljivo s 3. Zato je 39 deljivo s 3, saj je vsota njegovih števk 12, 12 pa je deljivo s 3. Končno je 907333812 deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 39, 39 pa je deljivo s 3.
Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev drugega primera.
Ali je število deljivo s 3? 543 205?
Izračunajmo vsoto števk tega števila: 5+4+3+2+0+5=19 . Po drugi strani je vsota števk števila 19 1+9=10 , vsota števk števila 10 pa 1+0=1 . Ker smo dobili število 1, ki ni deljivo s 3, iz kriterija deljivosti s 3 sledi, da 10 ni deljivo s 3. Zato 19 ni deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 10, 10 pa ni deljivo s 3. Zato prvotno število?543205 ni deljivo s 3, saj vsota njegovih števk, enaka 19, ni deljiva s 3.
Omeniti velja, da nam tudi neposredna delitev danega števila s 3 omogoča sklepanje, ali je dano število deljivo s 3 ali ne. S tem želimo povedati, da ne smemo zanemariti deljenja v korist znaka deljivosti s 3. V zadnjem primeru bi se z deljenjem 543 205 s 3 s stolpcem prepričali, da 543 205 ni deljivo s 3, iz česar bi lahko rekli, da tudi 543 205 ni deljivo s 3.
Dokaz o testu deljivosti s 3
Naslednji prikaz števila a nam bo pomagal dokazati znak deljivosti s 3. Vsako naravno število a lahko razčlenimo na števke, nato pa pravilo množenja z 10, 100, 1000 in tako naprej omogoča, da dobimo predstavitev oblike a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , kjer so a n , a n?1 , …, a 0 števke od leve proti desni v številu a . Zaradi jasnosti podajamo primer takšne predstavitve: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Zdaj pa zapišimo številne dokaj očitne enakosti: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 in tako naprej.
Zamenjava v enačbo a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 namesto 10 , 100 , 1 000 in tako naprej izrazov 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 in tako naprej, dobimo
.
Lastnosti seštevanja naravnih števil in lastnosti množenja naravnih števil omogočajo, da dobljeno enakost prepišemo takole:
Izraz 
je vsota števk a. Označimo ga zaradi jedrnatosti in priročnosti s črko A, to pomeni, sprejemamo. Nato dobimo predstavitev števila a oblike, ki jo bomo uporabili pri dokazovanju testa deljivosti s 3.
Tudi za dokazovanje testa deljivosti s 3 potrebujemo naslednje lastnosti deljivosti:
- da je celo število a deljivo s celim številom b, je potrebno in zadostuje, da je modul a deljiv z modulom b;
- če so v enačbi a=s+t vsi členi, razen enega, deljivi z nekim celim številom b, potem je tudi ta en člen deljiv z b.
Zdaj smo popolnoma pripravljeni in lahko izpeljemo dokaz deljivosti s 3, zaradi priročnosti to lastnost formuliramo kot nujen in zadosten pogoj za deljivost s 3 .
Da je celo število a deljivo s 3, je nujno in zadostno, da je vsota njegovih števk deljiva s 3.
Za a=0 je izrek očiten.
Če je a drugačen od nič, potem je modul a naravno število, potem je mogoča predstavitev, kjer je vsota števk a.
Ker sta vsota in zmnožek celih števil celo število, potem je celo število, potem je po definiciji deljivosti zmnožek deljiv s 3 za kateri koli a 0 , a 1 , …, a n .
Če je vsota števk števila a deljiva s 3, torej je A deljivo s 3, potem je zaradi lastnosti deljivosti, navedene pred izrekom, deljivo s 3, torej je a deljivo s 3. To dokazuje zadostnost.
Če je a deljivo s 3, potem je deljivo tudi s 3, potem je zaradi enake lastnosti deljivosti število A deljivo s 3, torej je vsota števk števila a deljiva s 3. To dokazuje nujnost.
Drugi primeri deljivosti s 3
Včasih cela števila niso podana eksplicitno, ampak kot vrednost nekega izraza s spremenljivko za dano vrednost spremenljivke. Na primer, vrednost izraza za neki naravni n je naravno število. Jasno je, da pri tej dodelitvi številk neposredno deljenje s 3 ne bo pomagalo ugotoviti njihove deljivosti s 3, znaka deljivosti s 3 pa ne bo mogoče vedno uporabiti. Zdaj bomo razmislili o več pristopih k reševanju takšnih težav.
Bistvo teh pristopov je, da prvotni izraz predstavimo kot zmnožek več faktorjev, in če je vsaj eden izmed faktorjev deljiv s 3, potem bo zaradi pripadajoče lastnosti deljivosti mogoče sklepati, da je celoten produkt je deljiv s 3.
Včasih je ta pristop mogoče izvesti z uporabo Newtonovega binoma. Oglejmo si primer rešitve.
Ali je vrednost izraza deljiva s 3 za vsak naravni n?
Enakopravnost je očitna. Uporabimo Newtonovo binomsko formulo: 
V zadnjem izrazu lahko vzamemo 3 iz oklepaja in dobimo. Dobljeni produkt je deljiv s 3, saj vsebuje faktor 3, vrednost izraza v oklepaju za naravni n pa je naravno število. Zato je deljivo s 3 za vsak naravni n.
V mnogih primerih je mogoče deljivost s 3 dokazati z metodo matematične indukcije. Analizirajmo njegovo uporabo pri reševanju primera.
Dokažite, da je za vsak naravni n vrednost izraza deljiva s 3.
Za dokaz uporabimo metodo matematične indukcije.
Za n=1 je vrednost izraza , 6 pa je deljivo s 3 .
Recimo, da je vrednost izraza deljiva s 3, ko je n=k , to je deljiva s 3 .
Ob upoštevanju, da je deljiv s 3, bomo pokazali, da je vrednost izraza za n=k+1 deljiva s 3, to je, pokazali bomo, da 
je deljivo s 3.
Naredimo nekaj preobrazb: 
Izraz je deljen s 3 in izrazom 
je deljiva s 3, torej je njihova vsota deljiva s 3.
Torej je metoda matematične indukcije dokazala deljivost s 3 za vsak naravni n.
Pokažimo še en pristop k dokazu deljivosti s 3 . Če pokažemo, da je za n=3 m, n=3 m+1 in n=3 m+2, kjer je m poljubno celo število, vrednost nekega izraza (s spremenljivko n) deljiva s 3, potem bo to dokazalo, deljivost izraza s 3 za poljubno celo število n. Upoštevajte ta pristop pri reševanju prejšnjega primera.
Pokažite, kaj je deljivo s 3 za poljuben naravni n.
Za n=3 m imamo. Dobljeni produkt je deljiv s 3, ker vsebuje faktor 3, deljiv s 3.
Dobljeni produkt je prav tako deljiv s 3.
In ta produkt je deljiv s 3.
Zato je deljivo s 3 za vsak naravni n.
Za zaključek predstavljamo rešitev še enega primera.
Ali je vrednost izraza deljiva s 3 
za nekatere naravne n.
Za n=1 imamo. Vsota števk dobljenega števila je 3, zato nam znak deljivosti s 3 omogoča, da trdimo, da je to število deljivo s 3.
Za n=2 imamo. Vsota števk in tega števila je 3, torej je deljivo s 3.
Jasno je, da bomo za vsak drug naravni n imeli števila, katerih vsota števk je 3, zato so ta števila deljiva s 3.
V to smer, kajti vsak naravni n je deljiv s 3.
www.cleverstudents.ru
Matematika, 6. razred, učbenik za študente izobraževalnih organizacij, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014
Matematika, 6. razred, učbenik za študente izobraževalnih organizacij, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.
Teoretična snov v učbeniku je podana tako, da lahko učitelj uporabi problemski pristop k poučevanju. S pomočjo notnega sistema ločimo vaje štirih stopenj zahtevnosti. V vsakem odstavku so kontrolne naloge oblikovane glede na to, kaj morajo učenci znati in znati doseči, da bi dosegli raven standarda matematične izobrazbe. Domača naloga je podana na koncu učbenika. testne naloge in odgovori. Barvne ilustracije (risbe in diagrami) zagotavljajo visoko stopnjo jasnosti učne snovi.
Ustreza zahtevam GEF LLC.
Naloge.
4. Nariši trikotnik ABC in izven njega označi točko O (kot na sliki 11). Sestavi lik, simetričen trikotniku ABC glede na točko O.
5. Nariši trikotnik KMN in sestavi lik, ki je temu trikotniku simetričen glede na:
a) njegova oglišča - točke M;
b) točke O - razpolovišča stranice MN.
6. Zgradite figuro, ki je simetrična:
a) žarek OM glede na točko O; zapiši, katera točka je simetrična s točko O;
b) žarek OM glede na poljubno točko A, ki ne pripada temu žarku;
c) premica AB glede na točko O, ki ne pripada tej premici;
d) premica AB glede na točko O, ki pripada tej premici; zapiši, katera točka je simetrična s točko O.
V vsakem primeru opišite relativni položaj sredinsko simetričnih likov.
Kazalo
Poglavje I. Pozitivna in negativna števila. Koordinate
§ 1. Vrtenje in središčna simetrija
§ 2. Pozitivna in negativna števila. Koordinatna črta
§ 3. Modul števila. Nasprotna števila
§ 4. Primerjava števil
§ 5. Vzporednost črt
§ 6. Številski izrazi, ki vsebujejo znake "+", "-"
§ 7. Algebraična vsota in njene lastnosti
§ 8. Pravilo za izračun vrednosti algebraične vsote dveh števil
§ 9. Razdalja med točkami koordinatne črte
§ 10. Osna simetrija
§ 11. Vrzeli v številu
§ 12. Množenje in deljenje pozitivnih in negativnih števil
§ 13. Koordinate
§ 14. Koordinatna ravnina
§ 15. Množenje in deljenje navadnih ulomkov
§ 16. Pravilo množenja za kombinatorične probleme
Poglavje II. Pretvarjanje dobesednih izrazov
§ 17. Razširitev nosilca
§ 18. Poenostavitev izrazov
§ 19. Rešitev enačb
§ 20. Reševanje problemov za sestavljanje enačb
§ 21. Dva glavna problema o ulomkih
§ 22. Krog. Obseg
§ 23. Krog. Območje kroga
§ 24. Žoga. krogla
Poglavje III. Deljivost naravnih števil
§ 25. Delitelji in večkratniki
§ 26. Deljivost dela
§ 27. Deljivost vsote in razlike števil
§ 28. Znaki deljivosti z 2, 5, 10, 4 in 25
§ 29. Znaki deljivosti s 3 in 9
§ 30. Praštevila. Razstavljanje števila na prafaktorje
§ 31. Največji skupni delitelj
§ 32. Kopraštevila. Znak deljivosti z zmnožkom. Najmanjši skupni večkratnik
poglavje IV. Matematika okoli nas
§ 33. Razmerje dveh števil
§ 34. Diagrami
§ 35. Sorazmernost količin
§ 36. Reševanje problemov z uporabo razmerij
§ 37. Razna opravila
§ 38. Prvo seznanitev s pojmom "verjetnost"
§ 39. Prva seznanitev z izračunom verjetnosti
Domači testi
Teme za projektne dejavnosti
odgovori
Brezplačno prenesite e-knjigo v priročni obliki in preberite:
matematika
REFERENČNO GRADIVO ZA MATEMATIKO ZA 1.-6. RAZRED.
Dragi starši!Če iščete inštruktorja matematike za vašega otroka, potem je ta oglas za vas. Ponujam Skype mentorstvo: priprava na OGE, enotni državni izpit, odprava vrzeli v znanju. Vaše prednosti so jasne:
1) Vaš otrok je doma in ste lahko mirni zanj;
2) Pouk poteka v času, ki je primeren za otroka, in se lahko celo udeležite teh razredov. Razlagam preprosto in jasno na običajni šolski tabli.
3) Druge pomembne prednosti tečajev Skype si lahko omislite sami!
Pišite mi na: ali me takoj dodajte na Skype, pa se bomo dogovorili o vsem. Cene so dostopne.
P.S. Pouk poteka v skupinah 2-4 tečajnikov.
S spoštovanjem, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko je avtorica te strani.
Dragi prijatelji!
Z veseljem vam ponujam, da prenesete brezplačna referenčna gradiva za matematiko 5. razred. Prenesite tukaj!
Dragi prijatelji!
Ni skrivnost, da imajo nekateri otroci težave z množenjem in dolgim deljenjem. Najpogosteje je to posledica nezadostnega poznavanja tabele množenja. Predlagam, da se tabelo množenja naučite s pomočjo lota. Oglejte si več tukaj. Prenesite lotto tukaj.
Dragi prijatelji! Kmalu se boste soočili (ali ste se že soočili) s potrebo po odločitvi interesne naloge. Takšne težave se začnejo reševati v 5. razredu in končajo. vendar ne rešijo problemov za odstotke! Te naloge najdemo tako pri nadzoru kot pri izpitih: tako prenosljivih kot OGE in Enotnega državnega izpita. Kaj storiti? Te težave se moramo naučiti reševati. Pri tem vam bo pomagala moja knjiga Kako rešiti probleme z odstotki. Podrobnosti tukaj!
Seštevanje števil.
- a+b=c, kjer sta a in b člena, c je vsota.
- Če želite najti neznani člen, od vsote odštejte znani člen.
Odštevanje števil.
- a-b=c, kjer je a manjšec, b subtrahend, c razlika.
- Če želite najti neznani odštevanec, morate razliki prišteti odštevanec.
- Če želite najti neznani odštevanec, morate razliko odšteti od manjšega.
Množenje števil.
- a b=c, kjer sta a in b faktorja, c je produkt.
- Če želite najti neznani faktor, morate produkt deliti z znanim faktorjem.
Deljenje števil.
- a:b=c, kjer je a dividenda, b delitelj, c količnik.
- Če želite najti neznano dividendo, morate delitelj pomnožiti s količnikom.
- Če želite najti neznani delitelj, morate dividendo deliti s količnikom.
Zakoni dodajanja.
- a+b=b+a(premik: vsota se od prerazporeditve členov ne spremeni).
- (a+b)+c=a+(b+c)(asociativno: če želite vsoti dveh členov dodati tretje število, lahko prvemu številu prištejete vsoto drugega in tretjega).
Dodatna tabela.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Zakoni množenja.
- a b=b a(premik: permutacija faktorjev ne spremeni produkta).
- (a b) c=a (b c)(kombinativno: če želite zmnožek dveh števil s tretjim številom, lahko prvo število pomnožite z zmnožkom drugega in tretjega).
- (a+b) c=a c+b c(distribucijski zakon množenja glede na seštevanje: če želite pomnožiti vsoto dveh števil s tretjim številom, lahko vsak člen pomnožite s tem številom in rezultate seštejete).
- (a-b) c=a c-b c(distribucijski zakon množenja glede na odštevanje: da bi razliko dveh števil pomnožili s tretjim številom, lahko pomnožite s tem številom ločeno zmanjšano in odšteto ter drugo odštejete od prvega rezultata).
Tabela množenja.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Delitelji in večkratniki.
- delilnik naravno število a poimenujte naravno število, s katerim a razdeljeno brez ostanka. (Števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 so delitelji števila 24, saj je 24 deljivo z vsakim od njih brez ostanka) 1-delitelj poljubnega naravnega števila. Največji delitelj katerega koli števila je število samo.
- Večkraten naravno število b je naravno število, ki je brez ostanka deljivo z b. (Števila 24, 48, 72, ... so večkratniki števila 24, saj so deljiva s 24 brez ostanka). Najmanjši večkratnik katerega koli števila je število samo.
Znaki deljivosti naravnih števil.
- Števila, ki jih uporabljamo pri štetju predmetov (1, 2, 3, 4, ...), imenujemo naravna števila. Množico naravnih števil označujemo s črko n.
- Številke 0, 2, 4, 6, 8 klical celoštevilke. Števila, ki se končajo s sodimi števkami, imenujemo soda števila.
- Številke 1, 3, 5, 7, 9 klical Čudenštevilke. Števila, ki se končajo z lihimi števkami, imenujemo liha števila.
- Znak deljivosti s številom 2. Z 2 so deljiva vsa naravna števila, ki se končajo s sodo števko.
- Znak deljivosti s številom 5. Vsa naravna števila, ki se končajo z 0 ali 5, so deljiva s 5.
- Znak deljivosti s številom 10. Vsa naravna števila, ki se končajo z 0, so deljiva z 10.
- Znak deljivosti s številom 3. Če je vsota števk števila deljiva s 3, potem je samo število deljivo s 3.
- Znak deljivosti s številom 9. Če je vsota števk števila deljiva z 9, potem je samo število deljivo z 9.
- Znak deljivosti s številom 4. Če je število, sestavljeno iz zadnjih dveh števk danega števila, deljivo s 4, potem je samo dano število deljivo s 4.
- Znak deljivosti s številom 11.Če je razlika med vsoto števk na lihih mestih in vsoto števk na sodih mestih deljiva z 11, potem je samo število deljivo z 11.
- Praštevilo je število, ki ima samo dva delitelja: ena in samo število.
- Sestavljeno število je število, ki ima več kot dva delitelja.
- Število 1 ni niti praštevilo niti sestavljeno število.
- Zapisovanje sestavljenega števila kot produkta samo praštevil se imenuje faktoriziranje sestavljenega števila na prafaktorje. Vsako sestavljeno število je mogoče enolično predstaviti kot produkt prafaktorjev.
- Največji skupni delitelj danih naravnih števil je največje naravno število, s katerim je vsako od teh števil deljivo.
- Največji skupni delitelj teh števil je enak produktu skupnih prafaktorjev v razširitvah teh števil. Primer. GCD(24, 42)=2 3=6, ker je 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, sta njuna skupna prafaktorja 2 in 3.
- Če imajo naravna števila samo en skupni delitelj - ena, potem se ta števila imenujejo soprosta.
- Najmanjši skupni večkratnik danih naravnih števil je najmanjše naravno število, ki je večkratnik vsakega od danih števil. Primer. LCM(24, 42)=168. To je najmanjše število, ki je deljivo s 24 in 42.
- Da bi našli LCM več danih naravnih števil, je potrebno: 1) vsako od danih števil razstaviti na prafaktorje; 2) izpiši razširitev največjega izmed števil in jo pomnoži z manjkajočimi faktorji iz razširitev drugih števil.
- Najmanjši večkratnik dveh soprostih števil je enak produktu teh števil.
b- imenovalec ulomka, kaže, koliko enakih delov je razdeljenih;
a- števec ulomka, kaže, koliko takih delov je bilo vzetih. Ulomek pomeni znak deljenja.
Včasih namesto vodoravne ulomne črte postavijo poševnico, navaden ulomek pa je napisan takole: a/b.
- pri pravi ulomekštevec je manjši od imenovalca.
- pri nepravilni ulomekštevec je večji od imenovalca ali enak imenovalcu.
Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom, dobimo njemu enak ulomek.
Deljenje tako števca kot imenovalca ulomka z njunim skupnim deliteljem, ki ni ena, se imenuje redukcija ulomka.
- Število, sestavljeno iz celega in delnega dela, imenujemo mešano število.
- Da bi nepravilni ulomek predstavili kot mešano število, je treba števec ulomka deliti z imenovalcem, potem bo nepopolni količnik celo število mešanega števila, ostanek pa števec ulomka. , imenovalec pa bo ostal enak.
- Če želite mešano število predstaviti kot nepravilni ulomek, morate celi del mešanega števila pomnožiti z imenovalcem, rezultatu dodati števec ulomka in ga zapisati v števec nepravilnega ulomka, imenovalec pa pustiti enako.
- žarek Oh z izvorom na točki O, na katerem enojni rez do in smer, poklical koordinatni žarek.
- Imenuje se število, ki ustreza točki koordinatnega žarka koordinirati to točko. Na primer , A(3). Beri: točka A s koordinato 3.
- Najmanjši skupni imenovalec ( NOZ) teh nezmanjšanih ulomkov je najmanjši skupni večkratnik ( NOC) imenovalci teh ulomkov.
- Če želite ulomke spraviti na najmanjši skupni imenovalec, morate: 1) najti najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo najmanjši skupni imenovalec. 2) za vsakega od ulomkov poiščemo dodaten faktor, pri katerem novi imenovalec delimo z imenovalcem posameznega ulomka. 3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z njegovim dodatnim faktorjem.
- Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je tisti z večjim števcem večji, tisti z manjšim števcem pa manjši.
- Od dveh ulomkov z enakim števcem je tisti z manjšim imenovalcem večji, tisti z večjim pa manjši.
- Če želite primerjati ulomke z različnimi števci in imenovalci, morate ulomke zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec in nato primerjati ulomke z enakimi imenovalci.
Operacije z navadnimi ulomki.
- Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak.
- Če morate sešteti ulomke z različnimi imenovalci, najprej ulomke zmanjšajte na najmanjši skupni imenovalec in nato seštejte ulomke z enakimi imenovalci.
- Za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci se števec drugega ulomka odšteje od števca prvega ulomka, imenovalec pa ostane enak.
- Če morate odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih najprej spravite na skupni imenovalec, nato pa odštejete ulomke z enakimi imenovalci.
- Pri izvajanju operacij seštevanja ali odštevanja mešanih števil se te operacije izvajajo ločeno za cele dele in za ulomke, nato pa se rezultat zapiše kot mešano število.
- Zmnožek dveh navadnih ulomkov je enak ulomku, katerega števec je enak zmnožku števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev danih ulomkov.
- Če želite navaden ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate števec ulomka pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti enak.
- Dve števili, katerih produkt je enak ena, imenujemo medsebojno vzajemni števili.
- Pri množenju mešanih števil se najprej pretvorijo v neprave ulomke.
- Če želite najti ulomek števila, morate število pomnožiti s tem ulomkom.
- Če želite navadni ulomek deliti z navadnim ulomkom, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.
- Pri deljenju mešanih števil se najprej pretvorijo v neprave ulomke.
- Če želite navaden ulomek deliti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka pomnožiti s tem naravnim številom, števec pa pustiti enak. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- Če želite najti število po njegovem ulomku, morate s tem ulomkom deliti število, ki mu ustreza.
- Decimalka je število, zapisano v decimalni sistem in ima števke, manjše od ena. (3,25; 0,1457 itd.)
- Decimalna mesta za decimalno vejico imenujemo decimalna mesta.
- Decimalni ulomek se ne bo spremenil, če na koncu decimalnega ulomka dodate ali zavržete ničle.
Če želite dodati decimalne ulomke, morate: 1) izenačiti število decimalnih mest v teh ulomkih; 2) zapiši jih eno pod drugo tako, da bo vejica zapisana pod vejico; 3) izvedite seštevanje, pri čemer ne upoštevajte vejice, in postavite vejico pod vejice v seštevanih ulomkih v vsoti.
Za izvedbo odštevanja decimalnih ulomkov morate: 1) izenačiti število decimalnih mest v minuendu in subtrahendu; 2) pod pomanjšano podpiši odšteto tako, da bo vejica pod vejico; 3) izvedite odštevanje, pri čemer ne upoštevajte vejice, in v rezultatu postavite vejico pod vejice minuend in subtrahend.
- Če želite decimalni ulomek pomnožiti z naravnim številom, ga morate pomnožiti s tem številom, pri čemer ne upoštevate vejice, v dobljenem zmnožku pa na desni ločite toliko števk, kolikor jih je bilo za decimalno vejico v danem ulomku.
- Če želite pomnožiti en decimalni ulomek z drugim, morate izvesti množenje, ne da bi upoštevali vejice, in v dobljenem rezultatu z vejico na desni ločiti toliko števk, kolikor jih je bilo za vejicami v obeh faktorjih skupaj.
- Če želite decimalno število pomnožiti z 10, 100, 1000 itd., morate decimalno vejico premakniti v desno za 1, 2, 3 itd.
- Za množenje decimalke z 0,1; 0,01; 0,001 itd., morate premakniti vejico v levo za 1, 2, 3 itd.
- Če želite deliti decimalni ulomek z naravnim številom, morate ulomek deliti s tem številom, saj se naravna števila delijo in postavijo v zasebno vejico, ko je deljenje celotnega dela končano.
- Če želite decimalko deliti z 10, 100, 1000 itd., morate premakniti vejico v levo za 1, 2, 3 itd.
- Če želite število deliti z decimalko, morate vejice v deljeniku in delitelju premakniti za toliko števk v desno, kot so za decimalno vejico v delitelju, in nato deliti z naravnim številom.
- Za deljenje decimalke z 0,1; 0,01; 0,001 itd., morate premakniti vejico v desno za 1, 2, 3 itd. številke. (Deljenje decimalke z 0,1; 0,01; 0,001 itd. je enako kot množenje te decimalke z 10, 100, 1000 itd.)
Da zaokrožimo število na določeno števko, podčrtamo števko te števke, nato pa vse števke za podčrtano nadomestimo z ničlami, če pa so za decimalno vejico, zavržemo. Če je prva z ničlo zamenjana ali zavržena števka 0, 1, 2, 3 ali 4, potem podčrtana cifra ostane nespremenjena. Če je prva številka, zamenjana z ničlo ali zavržena, 5, 6, 7, 8 ali 9, se podčrtana številka poveča za 1.
Aritmetična sredina več števil.
Aritmetična sredina več števil je količnik deljenja vsote teh števil s številom členov.
Razpon niza števil.
Razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo niza podatkov se imenuje obseg niza števil.
Moda serije številk.
Število, ki se najpogosteje pojavlja med danimi števili niza, imenujemo način niza števil.
- Stotinko imenujemo odstotek. Kupite knjigo, ki uči "Kako rešiti probleme z odstotki."
- Če želite odstotke izraziti kot ulomek ali naravno število, morate odstotek deliti s 100 %. (4 %=0,04; 32 %=0,32).
- Če želite izraziti število kot odstotek, ga morate pomnožiti s 100 %. (0,65=0,65 100 %=65 %; 1,5=1,5 100 %=150 %).
- Če želite najti odstotek števila, morate odstotek izraziti kot navaden ali decimalni ulomek in dobljeni ulomek pomnožiti z danim številom.
- Če želite poiskati število po odstotku, morate odstotek izraziti kot navaden ali decimalni ulomek in dano število deliti s tem ulomkom.
- Če želite najti odstotek prve številke od druge, morate prvo številko deliti z drugo in rezultat pomnožiti s 100%.
- Kvocient dveh števil imenujemo razmerje teh števil. a:b oz a/b je razmerje števil a in b, poleg tega je a prejšnji člen, b je naslednji člen.
- Če so členi te relacije preurejeni, potem se nastala relacija imenuje inverzna relacija. Relaciji b/a in a/b sta medsebojno inverzni.
- Razmerje se ne spremeni, če oba člana razmerja pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič.
- Enakost dveh razmerij imenujemo sorazmerje.
- a:b=c:d. To je razmerje. Preberite: a tako velja za b, kako c se nanaša na d. Števili a in d imenujemo skrajni členi razmerja, števili b in c pa srednji členi razmerja.
- Produkt skrajnih členov deleža je enak produktu njegovih srednjih členov. Za razmerje a:b=c:d oz a/b=c/d glavna lastnost je zapisana takole: a d=b c.
- Če želite najti neznani skrajni člen deleža, morate produkt povprečnih členov deleža deliti z znanim skrajnim členom.
- Če želite najti neznan srednji člen deleža, morate produkt skrajnih členov deleža deliti z znanim srednjim členom. Proporcijske naloge.
Naj vrednost l odvisno od velikosti X. Če s povečanjem X nekajkrat večji pri poveča za enak faktor, potem take vrednosti X in pri se imenujejo neposredno sorazmerni.
Če sta dve količini neposredno sorazmerni, potem je razmerje dveh poljubnih vrednosti prve količine enako razmerju dveh ustreznih vrednosti druge količine.
Razmerje med dolžino odseka na zemljevidu in dolžino ustrezne razdalje na tleh se imenuje merilo zemljevida.
Naj vrednost pri odvisno od velikosti X. Če s povečanjem X nekajkrat večji pri zmanjša za enak faktor, potem take vrednosti X in pri se imenujejo obratno sorazmerni.
Če sta dve količini obratno sorazmerni, potem je razmerje dveh poljubno vzetih vrednosti ene količine enako obratnemu razmerju ustreznih vrednosti druge količine.
- Množica je zbirka nekaterih predmetov ali števil, sestavljenih po nekaterih splošnih lastnostih ali zakonitostih (veliko črk na strani, veliko pravilnih ulomkov z imenovalcem 5, veliko zvezd na nebu itd.).
- Množice so sestavljene iz elementov in so končne ali neskončne. Množico, ki ne vsebuje nobenega elementa, imenujemo prazna množica in označujemo Oh
- Veliko AT imenujemo podmnožica množice AMPAKče so vsi elementi množice AT so elementi množice AMPAK.
- Nastavite križišče AMPAK in AT je množica, katere elementi pripadajo množici AMPAK in mnogi AT.
- Zveza sklopov AMPAK in AT je množica, katere elementi pripadajo vsaj eni od danih množic AMPAK in AT.
Nizi števil.
- n– množica naravnih števil: 1, 2, 3, 4,…
- Z– nabor celih števil: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q je množica racionalnih števil, ki jih je mogoče predstaviti kot ulomek m/n, kje m- cela, n– naravno (-2; 3/5; v9; v25 itd.)
- Koordinatna daljica je premica, na kateri so podane pozitivna smer, referenčna točka (točka O) in enotski odsek.
- Vsaka točka na koordinatni premici ustreza določenemu številu, ki se imenuje koordinata te točke. na primer A(5). Beri: točka A s koordinato pet. NA 3). Beri: točka B s koordinato minus tri.
- Modul števila a (zapišite |a|) se imenuje razdalja od izhodišča do točke, ki ustreza dano številko a. Vrednost modula katerega koli števila je nenegativna. |3|=3; |-3|=3, ker razdalja od izhodišča do števila -3 in do števila 3 je enaka trem enotskim odsekom. |0|=0 .
- Po definiciji modula števila: |a|=a, če a?0 in |a|=-a, če a b.
- Če pri primerjavi števil a in b razlika a-b je torej negativno število a , potem jih imenujemo stroge neenakosti.
- Če so neenačbe zapisane v predznakih? ali ?, potem jih imenujemo nestroge neenakosti.
Lastnosti številskih neenačb.
G) 
Neenačba oblike x?a. odgovor:
Za poenostavitev deljenja naravnih števil so bila izpeljana pravila za deljenje s številkami prve desetice in številkami 11, 25, ki so združena v razdelek znaki deljivosti naravnih števil. Spodaj so pravila, po katerih bo analiza števila brez deljenja z drugim naravnim številom odgovorila na vprašanje, ali je naravno število večkratnik števil 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 in bitna enota?
Naravna števila, katerih prva števka se konča na 2,4,6,8,0, imenujemo soda.
Znak deljivosti števil z 2
Vsa soda naravna števila so deljiva z 2, npr.: 172, 94,67 838, 1670.
Znak deljivosti števil s 3
Vsa naravna števila, katerih vsota števk je večkratnik 3, so deljiva s 3. Na primer:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Znak deljivosti števil s 4
Vsa naravna števila so deljiva s 4, pri čemer sta zadnji dve števki ničle ali večkratnik števila 4. Na primer:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Znak deljivosti števil s 5
Znak deljivosti števil s 6
Tista naravna števila, ki so deljiva z 2 in 3 hkrati, so deljiva s 6 (vsa Soda števila, ki sta deljiva s 3). Na primer: 126 (b - sodo, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Znak deljivosti števil z 9
Ta naravna števila so deljiva z 9, katerih vsota števk je večkratnik števila 9. Na primer:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Znak deljivosti števil z 10
Znak deljivosti števil z 11
Z 11 so deljiva samo tista naravna števila, pri katerih je vsota sodih števk enaka vsoti lihih števk oziroma razlika med vsoto lihih in sodih števk. je večkratnik 11. Na primer:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 in 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 in 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Znak deljivosti števil s 25
Ta naravna števila so deljiva s 25, katerih zadnji dve števki sta ničli ali večkratnik 25. Na primer:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Znak deljivosti števil z bitno enoto
Ta naravna števila so razdeljena na bitne enote, v katerih je število ničel večje ali enako številu ničel bitne enote. Na primer: 12.000 je deljivo z 10, 100 in 1000.
