Munca creativă „semne de divizibilitate”. Începeți în știință Ce număr este divizibil cu 10 și 12

CHISTENSKY UVK „ȘCOALA GENERALĂ DE ÎNVĂȚĂMÂNT

eu – III ETAPE - gimnaziu "

DIRECȚIA MATEMATICĂ

„SEMNE DE DIVIZIBILITATE”

Am făcut treaba

elev de clasa a VII-a

Zhuravlev David

consilier științific

specialist de cea mai înaltă categorie

Fedorenko Irina Vitalievna

Curat, 2013

Cuprins

Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Divizibilitatea numerelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Semne de divizibilitate cu 2, 5, 10, 3 și 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . patru

1.2 Semne de divizibilitate cu 4, cu 25 și cu 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . patru

1.3 Semne de divizibilitate cu 8 și 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Simplificarea testului de divizibilitate cu 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Semne de divizibilitate cu 6, 12, 15, 18, 45 etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Semn de divizibilitate cu 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Criterii simple de divizibilitate cu numere prime. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Semne de divizibilitate cu 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Semne de divizibilitate cu 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . opt

2.3 Semne de divizibilitate cu 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . opt

2.4 Semne de divizibilitate cu 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Semnul combinat al divizibilității cu 7, 11 și 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Vechi și nou despre divizibilitatea cu 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zece

5. Extinderea semnului divizibilității cu 7 la alte numere. . . . . . 12

6. Criteriul generalizat de divizibilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Curiozitatea divizibilității. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cincisprezece

Concluzii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Literatură. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

INTRODUCERE

Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă, iar dacă vrei să înveți să rezolvi problemele, atunci rezolvă-le.

D. Poya

Există multe ramuri ale matematicii și una dintre ele este divizibilitatea numerelor.

Matematicienii secolelor trecute au venit cu multe trucuri convenabile pentru a facilita calculele și calculele care abundă în rezolvarea problemelor matematice. O cale de ieșire destul de rezonabilă, pentru că nu aveau nici calculatoare, nici computere. În unele situații, capacitatea de a utiliza metode de calcul convenabile facilitează foarte mult rezolvarea problemelor și reduce semnificativ timpul petrecut cu acestea.

Astfel de metode utile de calcul includ, desigur, semnele de divizibilitate cu un număr. Unele dintre ele sunt mai ușoare - aceste semne de divizibilitate a numerelor cu 2, 3, 5, 9, 10 sunt studiate ca parte a cursului școlar, iar unele sunt destul de complexe și au mai mult interes de cercetare decât practice. Cu toate acestea, este întotdeauna interesant să verificați fiecare dintre semnele de divizibilitate pe anumite numere.

Obiectiv: extinde ideile despre proprietățile numerelor asociate cu divizibilitatea;

Sarcini:

Să se familiarizeze cu diferite semne de divizibilitate a numerelor;

Organizați-le;

Pentru a forma abilitățile de aplicare a regulilor introduse, algoritmi de stabilire a divizibilității numerelor.

Divizibilitatea numerelor

Criteriul de divizibilitate este o regulă prin care, fără a împărți, poți determina dacă un număr este divizibil cu altul.

divizibilitatea sumei. Dacă fiecare termen este divizibil cu un număr, atunci și suma este divizibilă cu acel număr.

Exemplul 1.1

32 este divizibil cu 4, 16 este divizibil cu 4, deci suma 32 + 16 este divizibil cu 4.

Divizibilitatea diferenței. Dacă minuend și subtraend sunt divizibile cu un anumit număr, atunci diferența este de asemenea divizibilă cu acel număr.

Exemplul 1.2

777 e divizibil cu 7, 49 e divizibil cu 7, deci diferența 777 - 49 este divizibil cu 7.

Divizibilitatea unui produs cu un număr. Dacă cel puțin unul dintre factorii din produs este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr.

Exemplul 1.3

15 e divizibil cu 3, deci produsul 15∙17∙23 este divizibil cu 3.

Divizibilitatea unui număr după un produs. Dacă un număr este divizibil cu un produs, atunci este divizibil cu fiecare dintre factorii acelui produs.

Exemplul 1.4

90 e divizibil cu 30, 30 = 2∙3∙5, deci 30 este divizibil cu 2, 3 și 5.

B. Pascal a adus o mare contribuție la studiul semnelor de divizibilitate a numerelor.Blaise Pascal (Blaise Pascal) (1623–1662), gânditor religios francez, matematician și fizician, una dintre cele mai mari minți ale secolului al XVII-lea.El a formulat următorul criteriu de divizibilitate, care îi poartă numele:

Numar natural A este divizibil cu un alt număr natural b numai dacă suma produselor cifrelor numărului A la resturile corespunzătoare obţinute prin împărţirea unităţilor de biţi la număr b , este divizibil cu acest număr.

1.1 Semne de divizibilitate cu 2, 5, 10, 3 și 9

La școală, studiem semnele divizibilității cu 2, 3, 5, 9, 10.

Semnul divizibilității cu 10. Toate și numai acele numere sunt divizibile cu 10, a căror înregistrare se termină cu numărul 0.

Semnul divizibilității cu 5. Toate acele numere și numai acele numere sunt divizibile cu 5, a căror înregistrare se termină cu numărul 0 sau 5.

Semn de divizibilitate cu 2. Toate acele numere și numai acele numere sunt divizibile cu 2, a căror înregistrare se termină cu o cifră pară: 2,4,6,8 sau 0.

Semnul divizibilității cu 3 și 9. Toate acele numere și numai acele numere sunt divizibile cu 3 și 9, a căror suma cifrelor este divizibilă cu 3 sau, respectiv, 9.

Scriind un număr (după ultimele sale cifre), puteți seta și divizibilitatea numărului cu 4, 25, 50, 8 și 125.

1.2 Semne de divizibilitate cu 4, cu 25 și cu 50

Divizibile cu 4, 25 sau 50 sunt acele și numai acele numere care se termină cu două zerouri sau ale căror ultime două cifre exprimă un număr care este divizibil cu 4, 25 sau, respectiv, 50.

Exemplul 1.2.1

Numărul 97300 se termină cu două zerouri, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 4, 25 și 50.

Exemplul 1.2.2

Numărul 81764 este divizibil cu 4, deoarece numărul format din ultimele două cifre ale lui 64 este divizibil cu 4.

Exemplul 1.2.3

Numărul 79450 este divizibil cu 25 și 50, deoarece numărul format din ultimele două cifre ale lui 50 este divizibil cu 25 și 50.

1.3 Semne de divizibilitate cu 8 și 125

Divizibile cu 8 sau 125 sunt acele și numai acele numere care se termină cu trei zerouri sau ale căror ultime trei cifre exprimă un număr care este divizibil cu 8 sau, respectiv, 125.

Exemplul 1.3.1

Numărul 853.000 se termină cu trei zerouri, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 8 și 125.

Exemplul 1.3.2

Numărul 381864 este divizibil cu 8 deoarece numărul format din ultimele trei cifre ale lui 864 este divizibil cu 8.

Exemplul 1.3.3

Numărul 179250 este divizibil cu 125 deoarece numărul format din ultimele trei cifre ale lui 250 este divizibil cu 125.

1.4 Simplificarea testului de divizibilitate cu 8

Întrebarea divizibilității unui anumit număr se reduce la întrebarea divizibilității cu 8 a unui anumit număr de trei cifre, darîn același timp, nu se spune nimic despre cum, la rândul său, să aflați rapid dacă acest număr de trei cifre este divizibil cu 8. Divizibilitatea unui număr de trei cifre cu 8 nu este întotdeauna vizibilă imediat, de fapt trebuie să face împărțirea.

Desigur, se pune întrebarea: este posibil să simplificăm criteriul de divizibilitate cu 8? Puteți, dacă îl completați cu un semn special al divizibilității unui număr de trei cifre cu 8.

Orice număr de trei cifre este divizibil cu 8, în care numărul de două cifre format din cifrele sutelor și zecilor, adăugate la jumătate din numărul de unități, este divizibil cu 4.

Exemplul 1.4.1

Este numărul 592 divizibil cu 8?

Soluţie.

Separăm 592 de unități de număr și adăugăm jumătate din numărul lor la numărul următoarelor două cifre (zeci și sute).

Se obține: 59 + 1 = 60.

Numărul 60 este divizibil cu 4, deci numărul 592 este divizibil cu 8.

Răspuns: distribuie.

1.5 Semne de divizibilitate cu 6, 12, 15, 18, 45 etc.

Folosind proprietatea de divizibilitate a unui număr după un produs, din semnele de divizibilitate de mai sus obținem semne de divizibilitate cu 6, 12, 15, 18, 24 etc.

Semn de divizibilitate cu 6. Divizibile cu 6 sunt acele numere și numai acele numere care sunt divizibile cu 2 și 3.

Exemplul 1.5.1

Numărul 31242 este divizibil cu 6 deoarece este divizibil cu 2 și cu 3.

Semn de divizibilitate cu 12. Divizibile cu 12 sunt acele numere și numai acele numere care sunt divizibile cu 4 și 3.

Exemplul 1.5.2

Numărul 316224 este divizibil cu 12 deoarece este divizibil cu 4 și cu 3.

Semn de divizibilitate cu 15. Acele și numai acele numere care sunt divizibile cu 3 și 5 sunt divizibile cu 15.

Exemplul 1.5.3

Numărul 812445 este divizibil cu 15 deoarece este divizibil cu 3 și cu 5.

Semn de divizibilitate cu 18. Divizibile cu 18 sunt acele numere și numai acele numere care sunt divizibile cu 2 și 9.

Exemplul 1.5.4

Numărul 817254 este divizibil cu 18 deoarece este divizibil cu 2 și cu 9.

Semn de divizibilitate cu 45. 45 este divizibil cu acele și numai acele numere care sunt divizibile cu 5 și 9.

Exemplul 1.5.5

Numărul 231705 este divizibil cu 45 deoarece este divizibil cu 5 și cu 9.

Există un alt semn de divizibilitate a numerelor cu 6.

1.6 Test de divizibilitate cu 6

Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 6:

Înmulțiți numărul de sute cu 2,

Scădeți rezultatul din numărul de după sute.

Dacă rezultatul este divizibil cu 6, atunci numărul întreg este divizibil cu 6. Exemplul 1.6.1

Este numărul 138 divizibil cu 6?

Soluţie.

Numărul sutelor este 1 2=2, 38-2=36, 36:6, deci 138 este divizibil cu 6.

Criterii simple de divizibilitate cu numere prime

Un număr se numește prim dacă are doar doi divizori (unul și numărul însuși).

2.1 Semne de divizibilitate cu 7

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 7, trebuie să:

Înmulțiți un număr de până la zeci cu doi

Adăugați numărul rămas la rezultat.

Verificați dacă rezultatul este divizibil cu 7 sau nu.

Exemplul 2.1.1

Este numărul 4690 divizibil cu 7?

Soluţie.

Numărul până la zeci este 46 2=92, 92+90=182, 182:7=26, deci 4690 este divizibil cu 7.

2.2 Condiții de divizibilitate cu 11

Un număr este divizibil cu 11 dacă diferența dintre suma cifrelor din locurile impare și suma cifrelor din locurile pare este un multiplu de 11.

Diferența poate fi un număr negativ sau zero, dar trebuie să fie un multiplu al lui 11.

Exemplul 2.2.1

Este numărul 100397 divizibil cu 11?

Soluţie.

Suma numerelor din locuri pare: 1+0+9=10.

Suma numerelor din locuri impare: 0+3+7=10.

Diferența de sume: 10 - 10=0, 0 este un multiplu al lui 11, deci 100397 este divizibil cu 11.

2.3 Semne de divizibilitate cu 13

Un număr este divizibil cu 13 dacă și numai dacă rezultatul scăderii ultimei cifre ori 9 din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 13.

Exemplul 2.3.1

Numărul 858 este divizibil cu 13 deoarece 85 - 9∙8 = 85 - 72 = 13 este divizibil cu 13.

2.4 Teste de divizibilitate cu 19

Un număr este divizibil cu 19 fără rest atunci când numărul zecilor lui, adăugat la dublul numărului de unități, este divizibil cu 19.

Exemplul 2.4.1

Stabiliți dacă 1026 este divizibil cu 19.

Soluţie.

Există 102 zeci și 6 uni în numărul 1026. 102 + 2∙6 = 114;

În mod similar, 11 + 2∙4 = 19.

Ca urmare a efectuării a doi pași consecutivi, am obținut numărul 19, care este divizibil cu 19, prin urmare, numărul 1026 este divizibil cu 19.

Semnul combinat al divizibilității cu 7, 11 și 13

În tabelul numerelor prime, numerele 7, 11 și 13 sunt unul lângă celălalt. Produsul lor este: 7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Prin urmare, numărul 1001 este divizibil cu 7, 11 și 13.

Dacă orice număr de trei cifre este înmulțit cu 1001, atunci produsul va fi scris în aceleași numere ca și multiplicand, repetat doar de două ori:abc- un număr din trei cifre;abc∙1001 = abcabc.

Prin urmare, toate numerele de forma abcabc sunt divizibile cu 7, cu 11 și cu 13.

Aceste regularități ne permit să reducem soluția problemei divizibilității unui număr cu mai multe cifre cu 7 sau cu 11, sau cu 13 la divizibilitatea prin ele a unui alt număr - nu mai mult de trei cifre.

Dacă diferența dintre sumele fețelor unui număr dat, luate prin unu, este divizibil cu 7 sau cu 11, sau cu 13, atunci numărul dat este divizibil cu 7, sau cu 11, sau, respectiv, cu 13.

Exemplul 3.1

Stabiliți dacă numărul 42623295 este divizibil cu 7, 11 și 13.

Soluţie.

Să împărțim acest număr de la dreapta la stânga în fețe de 3 cifre. Marginea din stânga poate avea sau nu trei cifre. Să determinăm care dintre numerele 7, 11 sau 13 împarte diferența sumelor fețelor acestui număr:

623 - (295 + 42) = 286.

Numărul 286 este divizibil cu 11 și 13, dar nu este divizibil cu 7. Prin urmare, numărul 42.623.295 este divizibil cu 11 și 13, dar nu cu 7.

Vechi și nou despre divizibilitatea cu 7

Din anumite motive, numărul 7 era foarte îndrăgostit de oameni și a introdus cântecele și cuvintele lor:

Încercați de șapte ori, tăiați o dată.

Șapte necazuri, un singur răspuns.

Șapte vineri într-o săptămână.

Unul cu un bipod și șapte cu o lingură.

Prea mulți bucătari strică bulionul.

Numărul 7 este bogat nu numai în proverbe, ci și în diverse semne de divizibilitate. Cunoști deja două semne de divizibilitate cu 7 (în combinație cu alte numere). Există, de asemenea, câteva criterii individuale de divizibilitate cu 7.

Să explicăm primul semn de divizibilitate cu 7 cu un exemplu.

Să luăm numărul 5236. Să scriem acest număr după cum urmează:

5 236 = 5∙10 3 + 2∙10 2 + 3∙10 + 6

și peste tot înlocuim baza 10 cu baza 3: 5∙3 3 + 2∙3 2 + 3∙3 + 6 = 168

Dacă numărul rezultat este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci numărul dat este divizibil (nu este divizibil) cu 7.

Deoarece 168 e divizibil cu 7, 5236 e și divizibil cu 7.

Modificarea primului semn de divizibilitate cu 7. Înmulțiți prima cifră din stânga numărului de test cu 3 și adăugați următoarea cifră; înmulțiți rezultatul cu 3 și adăugați următoarea cifră etc. la ultima cifră. Pentru a simplifica, după fiecare acțiune, este permisă scăderea 7 sau un multiplu de șapte din rezultat. Dacă rezultatul final este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci numărul dat este și divizibil (nu este divizibil) cu 7. Pentru numărul selectat anterior 5236:

5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 - 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 - 14 = 1); 1 + 6 = 7 este divizibil cu 7, deci 5236 este divizibil cu 7.

Avantajul acestei reguli este că este ușor de aplicat mental.

Al doilea semn de divizibilitate cu 7. În acest semn, trebuie să acționați exact la fel ca în cel precedent, singura diferență fiind că înmulțirea trebuie să înceapă nu din cifra cea mai din stânga a numărului dat, ci din cea mai dreaptă. unu și înmulțiți nu cu 3, ci cu 5.

Exemplul 4.1

Este 37184 divizibil cu 7?

Soluţie.

4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6+8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1=1; 1∙5 = 5; adăugarea numărului 7 poate fi omisă, deoarece numărul 7 este scăzut din rezultat; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 este divizibil cu 7, deci 37184 este divizibil cu 7.

Al treilea test de divizibilitate cu 7. Acest test este mai puțin ușor de făcut mental, dar este și foarte interesant.

Dublați ultima cifră și scădeți a doua din dreapta, dublați rezultatul și adăugați a treia din dreapta și așa mai departe, alternând scăderea și adunarea și reducând fiecare rezultat, acolo unde este posibil, cu 7 sau cu un multiplu de șapte. Dacă rezultatul final este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci numărul testului este divizibil (nu este divizibil) cu 7.

Exemplul 4.2

E 889 divizibil cu 7?

Soluţie.

9∙2 = 18; 18 - 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 sau

9∙2 = 18; (18 - 7 = 11) 11 - 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 este divizibil cu 7, deci 889 este divizibil cu 7.

Și mai multe semne de divizibilitate cu 7. Dacă orice număr din două cifre este divizibil cu 7, atunci este divizibil cu 7 și numărul inversat, mărit cu cifra zecilor acestui număr.

Exemplul 4.3

14 este divizibil cu 7, deci 7 este și divizibil cu 41 + 1.

35 este divizibil cu 7, deci 53 + 3 este divizibil cu 7.

Dacă orice număr de trei cifre este divizibil cu 7, atunci este divizibil cu 7 și numărul inversat, redus cu diferența dintre cifrele unităților și sutele acestui număr.

Exemplul 4.4

Numărul 126 este divizibil cu 7. Prin urmare, numărul 621 - (6 - 1) este divizibil cu 7, adică 616.

Exemplul 4.5

Numărul 693 este divizibil cu 7. Prin urmare, numărul 396 este divizibil și cu 7 - (3 - 6), adică 399.

Extinderea criteriului de divizibilitate cu 7 la alte numere

Cele trei criterii de mai sus pentru divizibilitatea numerelor cu 7 pot fi utilizate pentru a determina divizibilitatea unui număr cu 13, 17 și 19.

Pentru a determina divizibilitatea unui număr dat cu 13, 17 sau 19, înmulțiți cifra cea mai din stânga a numărului testat cu 3, 7 sau, respectiv, 9 și scădeți cifra următoare; înmulțiți din nou rezultatul, respectiv, cu 3, 7 sau 9 și adăugați următoarea cifră etc., alternând scăderea și adăugarea cifrelor ulterioare după fiecare înmulțire. După fiecare acțiune, rezultatul poate fi redus sau mărit, respectiv, cu numărul 13, 17, 19 sau un multiplu al acestuia.

Dacă rezultatul final este divizibil (nu este divizibil) cu 13, 17 și 19, atunci numărul dat este și el divizibil (nu este divizibil).

Exemplul 5.1

Este numărul 2075427 divizibil cu 19?

Soluţie.

2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);

2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 - 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 este divizibil cu 19, deci 2075427 este divizibil cu 19.

Test de divizibilitate generalizată

Ideea disecției unui număr în fețe cu adăugarea lor ulterioară pentru a determina divizibilitatea unui anumit număr s-a dovedit a fi foarte fructuoasă și a condus la un criteriu uniform pentru divizibilitatea numerelor cu mai multe valori cu un grup destul de mare de numere prime . Unul dintre grupurile de divizori „fericiți” sunt toți factorii întregi p ai numărului d = 10n + 1, unde n = 1, 2, 3,4, ... (pentru valori mari ale lui n, semnificația practică a semnului e pierdut).

101

101

1001

7, 11, 13

10001

73, 137

2) îndoiți fețele printr-una, începând din extrema dreaptă;

3) pliați fețele rămase;

4) Scădeți cantitatea mai mică din cea mai mare.

Dacă rezultatul este divizibil cu p, atunci numărul dat este și divizibil cu p.

Deci, pentru a determina divizibilitatea unui număr cu 11 (p \u003d 11), tăiem numărul de pe fața unei cifre (n \u003d 1). Procedând mai departe, așa cum este indicat, ajungem la testul binecunoscut pentru divizibilitate cu 11.

Când determinăm divizibilitatea unui număr cu 7, 11 sau 13 (p = 7, 11, 13), tăiem câte 3 cifre (n = 3). Când determinăm divizibilitatea unui număr cu 73 și 137, tăiem fiecare 4 cifre (n = 4).

Exemplul 6.1

Aflați divizibilitatea numărului de cincisprezece cifre 837 362 172 504 831 cu 73 și cu 137 (p = 73, 137, n = 4).

Soluţie.

Împărțim numărul în fețe: 837 3621 7250 4831.

Adunăm fețele printr-una: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.

Scădeți suma mai mică din cea mai mare: 8452-8087 = 365.

365 e divizibil cu 73, dar nu este divizibil cu 137; deci numărul dat este divizibil cu 73, dar nu cu 137.

Al doilea grup de divizori „norocoși” sunt pseudo-factorii întregi p ai numărului d = 10n -1, unde n = 1, 3, 5, 7,...

Numărul d = 10n -1 dă următorii divizori:

n

d

p

1

9

3

3

999

37

5

99 999

41, 271

Pentru a determina divizibilitatea oricărui număr cu oricare dintre aceste numere p, aveți nevoie de:

1) tăiați numărul dat de la dreapta la stânga (din unități) în fețe cu n cifre fiecare (fiecare p are propriul n; fața din stânga poate avea mai puțin de n cifre);

2) îndoiți toate fețele.

Dacă rezultatul este divizibil (nu este divizibil) cu p, atunci numărul dat este și el divizibil (nu este divizibil).

Rețineți că 999 = 9∙111, ceea ce înseamnă că 111 este divizibil cu 37, dar numerele 222, 333, 444, 555, 666, 777 și 888 sunt și ele divizibile cu 37.

În mod similar: 11111 este divizibil cu 41 și cu 271.

Curiozitatea divizibilității

În concluzie, aș dori să vă prezint patru numere uimitoare din zece cifre:

2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.

Fiecare dintre ele are toate cifrele de la 0 la 9, dar fiecare cifră o singură dată și fiecare dintre aceste numere este divizibil cu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 , 15, 16, 17 și 18.

concluzii

Ca urmare a acestei lucrări, m-am extinscunoștințe în matematică. euAm aflat că, pe lângă semnele cunoscute de mine prin 2, 3, 5, 9 și 10, există și semne de divizibilitate cu 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25. , 50, 125 și alte numere , iar semnele de divizibilitate cu același număr pot fi diferite, ceea ce înseamnă că există întotdeauna un loc pentru creativitate.

Lucrarea este teoretică șiuz practic. Acest studiu va fi util în pregătirea pentru olimpiade și competiții.

Familiarizându-mă cu semnele de divizibilitate a numerelor, cred că pot folosi cunoștințele dobândite în activitățile mele educaționale, pot aplica în mod independent acest semn sau acel semn la o anumită sarcină și pot aplica semnele învățate într-o situație reală. În viitor, intenționez să continui să lucrez la studiul semnelor de divizibilitate a numerelor.

Literatură

1. N. N. Vorobyov „Semne de divizibilitate” Moscova „Nauka” 1988

2. K. I. Shchevtsov, G. P. Bevz „Manual de matematică elementară” Kiev „Naukova Dumka” 1965

3. M. Ya. Vygodsky „Manual de matematică elementară” Moscova „Nauka” 1986

4. Resurse de internet

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

La lecțiile de matematică, la studierea subiectului „Semne de divizibilitate”, unde ne-am familiarizat cu semnele de divizibilitate cu 2; 5; 3; 9; 10, m-a interesat dacă există semne de divizibilitate cu alte numere și dacă există o metodă universală de divizibilitate cu orice număr natural. Așa că am început să fac cercetări pe această temă.

Scopul studiului: studiul semnelor de divizibilitate a numerelor naturale până la 100, adăugarea semnelor deja cunoscute de divizibilitate a numerelor naturale în ansamblu, studiate la școală.

Pentru atingerea scopului au fost stabilite sarcini:

Colectează, studiază și sistematizează material despre semnele de divizibilitate a numerelor naturale, folosind diverse surse de informare.

Găsiți un criteriu universal de divizibilitate cu orice număr natural.

Aflați cum să utilizați testul de divizibilitate al lui Pascal pentru a determina divizibilitatea numerelor și, de asemenea, încercați să formulați semnele de divizibilitate după orice număr natural.

Obiectul de studiu: divizibilitatea numerelor naturale.

Subiect de studiu: semne de divizibilitate a numerelor naturale.

Metode de cercetare: colectare de informații; lucrul cu materiale tipărite; analiză; sinteză; analogie; interviu; chestionare; sistematizarea si generalizarea materialului.

Ipoteza cercetării: Dacă este posibil să se determine divizibilitatea numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10, atunci trebuie să existe semne prin care se poate determina divizibilitatea numerelor naturale cu alte numere.

Noutate Lucrarea de cercetare efectuată este că această lucrare sistematizează cunoștințele despre semnele de divizibilitate și metoda universală de divizibilitate a numerelor naturale.

Semnificație practică: materialul acestei lucrări de cercetare poate fi folosit la clasele 6-8 la clasele opționale la studierea temei „Divizibilitatea numerelor”.

Capitolul I. Definiția și proprietățile divizibilității numerelor

1.1.Definiții ale conceptelor de divizibilitate și semne de divizibilitate, proprietăți ale divizibilității.

Teoria numerelor este o ramură a matematicii care studiază proprietățile numerelor. Obiectul principal al teoriei numerelor este numere întregi. Principala lor proprietate, care este considerată de teoria numerelor, este divizibilitatea. Definiție: Un număr întreg a este divizibil cu un număr întreg b care nu este egal cu zero dacă există un număr întreg k astfel încât a = bk (de exemplu, 56 este divizibil cu 8, deoarece 56 = 8x7). semn de divizibilitate- o regulă care vă permite să stabiliți dacă un anumit număr natural este divizibil cu alte numere, adică fără urmă.

Proprietăți de divizibilitate:

Orice număr diferit de zero a este divizibil cu el însuși.

Zero este divizibil cu orice b care nu este egal cu zero.

Dacă a este divizibil cu b (b0) și b este divizibil cu c (c0), atunci a este divizibil cu c.

Dacă a este divizibil cu b (b0) și b este divizibil cu a (a0), atunci a și b sunt numere egale sau opuse.

1.2. Proprietățile de divizibilitate ale sumei și ale produsului:

Dacă în suma numerelor întregi fiecare termen este divizibil cu un anumit număr, atunci suma este divizibilă cu acel număr.

2) Dacă în diferența numerelor întregi minuendul și subtraend sunt divizibile cu un anumit număr, atunci diferența este și divizibilă cu un anumit număr.

3) Dacă în suma numerelor întregi toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un anumit număr, atunci suma nu este divizibilă cu acest număr.

4) Dacă în produsul numerelor întregi unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr.

5) Dacă în produsul numerelor întregi unul dintre factori este divizibil cu m și celălalt cu n, atunci produsul este divizibil cu mn.

În plus, în timp ce studiam semnele de divizibilitate a numerelor, m-am familiarizat cu conceptul "radacina digitala". Să luăm un număr natural. Să găsim suma cifrelor sale. Găsim și suma cifrelor rezultatului și așa mai departe până când se obține un număr dintr-o singură cifră. Rezultatul se numește rădăcina digitală a numărului. De exemplu, rădăcina digitală a lui 654321 este 3: 6+5+4+3+2+1=21.2+1=3. Și acum vă puteți gândi la întrebarea: „Care sunt semnele de divizibilitate și există un semn universal al divizibilității unui număr cu altul?”

Capitolul II. Semne de divizibilitate a numerelor naturale.

2.1. Semne de divizibilitate cu 2,3,5,9,10.

Dintre semnele de divizibilitate, cele mai convenabile și cunoscute de la cursul de matematică din clasa a VI-a sunt:

Divizibil cu 2. Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră pară sau cu zero, atunci numărul este divizibil cu 2. Numărul 52738 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră 8 este pară.

Divizibil cu 3 . Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3 (numărul 567 este divizibil cu 3, deoarece 5+6+7 = 18, iar 18 este divizibil cu 3.)

Divizibil cu 5. Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu numărul 5 sau zero, atunci numărul este divizibil cu 5 (numerele 130 și 275 sunt divizibile cu 5, deoarece ultimele cifre ale numerelor sunt 0 și 5, dar numărul 302 este nu este divizibil cu 5, deoarece ultimele cifre nu sunt 0 și 5).

Divizibil cu 9. Dacă suma cifrelor este divizibil cu 9, atunci numărul este divizibil cu 9 (676332 este divizibil cu 9 deoarece 6+7+6+3+3+2=27, iar 27 este divizibil cu 9).

Divizibil cu 10 . Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu numărul 0, atunci acest număr este divizibil cu 10 (230 este divizibil cu 10, deoarece ultima cifră a numărului este 0).

2.2.Semne de divizibilitate cu 4,6,8,11,12,13 etc.

După ce am lucrat cu diverse surse, am aflat și alte semne de divizibilitate. Voi descrie unele dintre ele.

Împărțire cu 6 . Trebuie să verificăm divizibilitatea numărului care ne interesează cu 2 și cu 3. Numărul este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este par, iar rădăcina sa digitală este divizibil cu 3. (De exemplu, 678 este divizibil cu 6, deoarece este par și 6 +7+8=21, 2+1=3) Un alt semn de divizibilitate: un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă de patru ori numărul zecilor adăugat la numărul unilor este divizibil. cu 6. (73,7*4+3=31, 31 nu este divizibil cu 6, deci 7 nu este divizibil cu 6.)

Împărțire cu 8. Un număr este divizibil cu 8 dacă și numai dacă ultimele sale trei cifre formează un număr divizibil cu 8. (12224 este divizibil cu 8 deoarece 224:8=28). Un număr din trei cifre este divizibil cu 8 dacă și numai dacă numărul de unități adăugat la dublul numărului de zeci și de patru ori numărul de sute este divizibil cu 8. De exemplu, 952 este divizibil cu 8 deoarece 8 este divizibil cu 9* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .

Împărțiți la 4 și la 25. Dacă ultimele două cifre sunt zero sau exprimă un număr divizibil cu 4 sau (și) cu 25, atunci numărul este divizibil cu 4 sau (și) cu 25 (numărul 1500 este divizibil cu 4 și 25, deoarece se termină în două zerouri, numărul 348 este divizibil cu 4, pentru că 48 este divizibil cu 4, dar acest număr nu este divizibil cu 25, pentru că 48 nu este divizibil cu 25, numărul 675 este divizibil cu 25, pentru că 75 este divizibil cu 25, dar nu este divizibil cu 4, deci .k. 75 nu este divizibil cu 4).

Cunoscând principalele semne de divizibilitate cu numere prime, putem deriva semne de divizibilitate prin numere compuse:

Semn de divizibilitate prin11 . Dacă diferența dintre suma cifrelor din locurile pare și suma cifrelor din locurile impare este divizibilă cu 11, atunci numărul este și el divizibil cu 11 (numărul 593868 este divizibil cu 11, deoarece 9 + 8 + 8 = 25 și 5 + 3 + 6 = 14, diferența lor este 11 și 11 este divizibil cu 11).

Semnul divizibilității cu 12: Un număr este divizibil cu 12 dacă și numai dacă ultimele două cifre sunt divizibile cu 4 și suma cifrelor este divizibilă cu 3.

deoarece 12= 4 ∙ 3, adică Numărul trebuie să fie divizibil cu 4 și 3.

Semnul divizibilității cu 13: Un număr este divizibil cu 13 dacă și numai dacă suma alternantă de numere formată din triplete consecutive de cifre ale numărului dat este divizibilă cu 13. De unde știi, de exemplu, că numărul 354862625 este divizibil cu 13? 625-862+354=117 este divizibil cu 13, 117:13=9, deci 354862625 este și divizibil cu 13.

Semnul divizibilității cu 14: un număr este divizibil cu 14 dacă și numai dacă se termină cu o cifră pară și dacă rezultatul scăderii de două ori a ultimei cifre din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 7.

deoarece 14= 2 ∙ 7, adică. Numărul trebuie să fie divizibil cu 2 și 7.

Semnul divizibilității cu 15: Un număr este divizibil cu 15 dacă și numai dacă se termină cu 5 și 0 și suma cifrelor este divizibilă cu 3.

deoarece 15= 3 ∙ 5, adică. Numărul trebuie să fie divizibil cu 3 și 5.

Semnul divizibilității cu 18: Un număr este divizibil cu 18 dacă și numai dacă se termină cu o cifră pară și suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.

deoarece k18= 2 ∙ 9, i.e. Numărul trebuie să fie divizibil cu 2 și 9.

Semnul divizibilității cu 20: un număr este divizibil cu 20 dacă și numai dacă numărul se termină cu 0 și penultima cifră este pară.

deoarece 20 = 10 ∙ 2 i.e. Numărul trebuie să fie divizibil cu 2 și 10.

Semnul divizibilității cu 25: un număr cu cel puțin trei cifre este divizibil cu 25 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 25.

Semn de divizibilitate prin30 .

Semn de divizibilitate prin59 . Un număr este divizibil cu 59 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat la numărul de unități înmulțit cu 6 este divizibil cu 59. De exemplu, 767 este divizibil cu 59, deoarece 76 + 6*7 = 118 și 11 + 6* sunt divizibile cu 59 8 = 59.

Semn de divizibilitate prin79 . Un număr este divizibil cu 79 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat la numărul de unități înmulțit cu 8 este divizibil cu 79. De exemplu, 711 este divizibil cu 79, deoarece 71 + 8*1 = 79 sunt divizibil cu 79.

Semn de divizibilitate prin99. Un număr este divizibil cu 99 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de două cifre (începând cu unități) este divizibilă cu 99. De exemplu, 12573 este divizibil cu 99, deoarece 1 + 25 + 73 = 99 este divizibil cu 99.

Semn de divizibilitate prin100 . Numai acele numere sunt divizibile cu 100 dacă ultimele două cifre sunt zerouri.

Semnul divizibilității cu 125: un număr cu cel puțin patru cifre este divizibil cu 125 dacă și numai dacă numărul format din ultimele trei cifre este divizibil cu 125.

Toate caracteristicile de mai sus sunt rezumate sub forma unui tabel. (Atasamentul 1)

2.3 Semne de divizibilitate cu 7.

1) Luați pentru testare numărul 5236. Să scriem acest număr astfel: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 („sistematic » forma de notație numerică), iar peste tot înlocuim baza 10 cu baza 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Dacă numărul rezultat este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci acest număr este divizibil (nu este divizibil) cu 7. Deoarece 168 este divizibil cu 7 , atunci 5236 e divizibil cu 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) În acest semn trebuie să acționați exact la fel ca în cel precedent, singura diferență fiind că înmulțirea trebuie să înceapă din extrema dreaptă și să se înmulțească nu cu 3, ci cu 5. (5236 se împarte la 7). , deoarece 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Acest semn este mai puțin ușor de implementat în minte, dar și foarte interesant. Dublați ultima cifră și scădeți a doua de la dreapta, dublați rezultatul și adăugați a treia din dreapta etc., alternând scăderea și adunarea și reducând fiecare rezultat, acolo unde este posibil, cu 7 sau cu un multiplu de șapte. Dacă rezultatul final este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci și numărul testului este divizibil (nu este divizibil) cu 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) Un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă suma alternantă de numere formată din triplete consecutive de cifre ale numărului dat este divizibilă cu 7. De unde știi, de exemplu, că numărul 363862625 este divizibil cu 7? 625-862+363=126 este divizibil cu 7, 126:7=18, deci 363862625 este și divizibil cu 7, 363862625:7=51980375.

5) Unul dintre cele mai vechi semne de divizibilitate cu 7 este după cum urmează. Cifrele numărului trebuie luate în ordine inversă, de la dreapta la stânga, înmulțind prima cifră cu 1, a doua cu 3, a treia cu 2, a patra cu -1, a cincea cu -3, a șasea cu - 2, etc. (dacă numărul de caractere este mai mare de 6, succesiunea factorilor 1, 3, 2, -1, -3, -2 trebuie repetată de câte ori este necesar). Produsele rezultate trebuie adăugate. Numărul inițial este divizibil cu 7 dacă suma calculată este divizibilă cu 7. Iată, de exemplu, ceea ce oferă această caracteristică pentru numărul 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, deci și numărul 5236 este divizibil cu 7.

6) Numărul este divizibil cu 7 dacă și numai dacă numărul triplu al zecilor, adăugat la numărul unu, este divizibil cu 7. De exemplu, 154 este divizibil cu 7, deoarece 7 este numărul 49, pe care îl obținem. această bază: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Semnul lui Pascal.

O mare contribuție la studiul semnelor de divizibilitate a numerelor a avut-o B. Pascal (1623-1662), un matematician și fizician francez. El a găsit un algoritm pentru găsirea criteriilor de divizibilitate a oricărui număr întreg cu orice alt întreg, pe care l-a publicat în tratatul „Despre natura divizibilității numerelor”. Aproape toate semnele de divizibilitate cunoscute în prezent sunt un caz special al semnului lui Pascal: „Dacă suma resturilor la împărțirea unui numărA prin cifre pe numărîn impartit deîn , apoi numărulA impartit deîn ». Să știi că este util și astăzi. Cum putem demonstra criteriile de divizibilitate formulate mai sus (de exemplu, criteriul de divizibilitate cu 7, care ne este familiar)? Voi încerca să răspund la această întrebare. Dar mai întâi, să cădem de acord asupra unei modalități de a scrie numere. Pentru a scrie un număr ale cărui cifre sunt indicate prin litere, suntem de acord să trasăm o linie peste aceste litere. Astfel, abcdef va desemna un număr având f unități, e zeci, d sute etc.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Acum voi demonstra testul de divizibilitate cu 7 formulat mai sus. Avem:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(rămășii după împărțirea la 7).

Ca rezultat, obținem a 5-a regulă formulată mai sus: pentru a afla restul împărțirii unui număr natural la 7, trebuie să semnați coeficienți (rămășii din divizare) sub cifrele acestui număr de la dreapta la stânga: apoi trebuie să înmulțiți fiecare cifră cu coeficientul de sub ea și să adăugați rezultatul produse; suma găsită va avea același rest atunci când este împărțită la 7 ca numărul luat.

Să luăm ca exemplu numerele 4591 și 4907 și, acționând așa cum este indicat în regulă, găsim rezultatul:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (restul 6) (nu este divizibil cu 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (divizibil cu 7)

În acest fel, puteți găsi un criteriu de divizibilitate cu orice număr t. Este necesar doar să găsiți ce coeficienți (rămășii din divizare) ar trebui să fie semnați sub cifrele numărului luat A. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți fiecare putere de zece 10, dacă este posibil, cu același rest atunci când este împărțit la t, ca numărul 10. Când t= 3 sau t = 9, acești coeficienți s-au dovedit a fi foarte simpli: toți sunt egali cu 1. Prin urmare, testul de divizibilitate cu 3 sau 9 s-a dovedit a fi foarte simplu. La t= 11, coeficienții nu au fost, de asemenea, complexi: ei sunt alternativ egali cu 1 și - 1. Și când t=7 coeficienții s-au dovedit a fi mai complicati; prin urmare, criteriul de divizibilitate cu 7 s-a dovedit a fi mai complex. Luând în considerare semnele împărțirii până la 100, am fost convins că cei mai complexi coeficienți pentru numerele naturale sunt 23 (de la 10 23 se repetă coeficienții), 43 (de la 10 39 se repetă coeficienții).

Toate semnele enumerate de divizibilitate a numerelor naturale pot fi împărțite în 4 grupuri:

1 grup- când divizibilitatea numerelor este determinată de ultima cifră (mi) - acestea sunt semne de divizibilitate cu 2, cu 5, cu o unitate de biți, cu 4, cu 8, cu 25, cu 50.

2 grupa- când divizibilitatea numerelor este determinată de suma cifrelor numărului, acestea sunt semne de divizibilitate cu 3, cu 9, cu 7, cu 37, cu 11 (1 semn).

3 grupa- când se determină divizibilitatea numerelor după efectuarea unor acțiuni asupra cifrelor numărului, acestea sunt semne de divizibilitate cu 7, cu 11 (1 semn), cu 13, cu 19.

4 grupa- când se folosesc alte semne de divizibilitate pentru a determina divizibilitatea unui număr, acestea sunt semne de divizibilitate cu 6, cu 15, cu 12, cu 14.

partea experimentală

Interviu

Sondajul a fost realizat în rândul elevilor din clasele a VI-a și a VII-a. La sondaj au participat 58 de elevi ai școlii gimnaziale MOBU Karaidel nr. 1 districtul MR Karaidel din Republica Belarus. Li s-a cerut să răspundă la următoarele întrebări:

Credeți că există alte semne de divizibilitate diferite de cele care au fost studiate la lecție?

Există semne de divizibilitate pentru alte numere naturale?

Ai vrea să cunoști aceste semne de divizibilitate?

Cunoașteți semne de divizibilitate a numerelor naturale?

Rezultatele sondajului au arătat că 77% dintre respondenți cred că există alte semne de divizibilitate, altele decât cele care sunt studiate la școală; 9% nu cred, 13% dintre respondenți le-a fost greu să răspundă. La a doua întrebare "Ați dori să cunoașteți semnele de divizibilitate pentru alte numere naturale?" 33% au răspuns afirmativ, 17% au răspuns „Nu”, iar 50% le-a fost greu să răspundă. La a treia întrebare, 100% dintre respondenți au răspuns afirmativ. La a patra întrebare au răspuns pozitiv 89%, au răspuns „Nu” – 11% dintre studenții care au participat la sondaj în timpul lucrării de cercetare.

Concluzie

Astfel, pe parcursul lucrării, au fost rezolvate următoarele sarcini:

studiat material teoretic pe această problemă;

pe lângă semnele cunoscute de mine prin 2, 3, 5, 9 și 10, am învățat că există și semne de divizibilitate cu 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 etc. .;

3) a studiat semnul lui Pascal - un semn universal de divizibilitate cu orice număr natural;

Lucrând cu diferite surse, analizând materialul găsit pe tema studiată, m-am convins că există semne de divizibilitate cu alte numere naturale. De exemplu, pe 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, ceea ce a confirmat corectitudinea ipotezei mele despre existența altor semne de divizibilitate a numerelor naturale. Am mai aflat că există un semn universal de divizibilitate, algoritmul căruia a fost găsit de matematicianul francez Pascal Blaise și l-a publicat în tratatul său „Despre natura divizibilității numerelor”. Folosind acest algoritm, puteți obține un semn de divizibilitate cu orice număr natural.

Rezultatul muncii de cercetare a devenit un material sistematizat sub forma unui tabel „Semne de divizibilitate a numerelor”, care poate fi folosit în lecțiile de matematică, în activități extracurriculare în vederea pregătirii elevilor pentru rezolvarea problemelor olimpiadei, în pregătirea elevilor pentru OGE și Examenul Unificat de Stat. .

În viitor, intenționez să continui să lucrez la aplicarea semnelor de divizibilitate a numerelor pentru a rezolva probleme.

Lista surselor utilizate

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematica. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / - ed. a 25-a, ster. — M.: Mnemozina, 2009. — 288 p.

Vorobyov V.N. Semne de divizibilitate.-M.: Nauka, 1988.-96s.

Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 p.

Gardner M. Timp liber matematic. / Sub. Ed. Ya.A. Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 p.

Gelfman E.G., Beck E.F. etc. Cazul divizibilității și alte povești: Tutorial la matematică pentru clasa a VI-a. - Tomsk: Editura Tom.un-ta, 1992. - 176p.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică: Ref. materiale: carte. pentru studenti. - Ed. a II-a - M .: Educaţie, 1990. - 416 p.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Lucrări extracurriculare la matematică în clasele 6-8. Moscova.: Educație, 1984. - 289s.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. M.: Iluminismul, 1989. - 97p.

Kulanin E.D. Matematică. Director. -M.: EKSMO-Press, 1999-224p.

Perelman Ya.I. Algebră distractivă. M.: Triada-Litera, 1994. - anii 199.

Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Garda, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - enciclopedia liberă).

http://www.bymath.net (enciclopedie).

Atasamentul 1

TABEL SEMNELOR DE DIVIZIBILITATE

	semn	Exemplu
	Numărul se termină cu un număr par.	………………2(4,6,8,0)
	Suma cifrelor este divizibilă cu 3.	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	Numărul ultimelor două cifre ale sale este zero sau divizibil cu 4.	………………12
	Numărul se termină cu 5 sau 0.	………………0(5)
	Numărul se termină cu o cifră pară, iar suma cifrelor este divizibilă cu 3.	375018: 8-număr par 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	Rezultatul scăderii de două ori a ultimei cifre din acest număr fără ultima cifră este divizibil cu 7.	36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Ultimele trei cifre ale numărului sunt zerouri sau formează un număr care este divizibil cu 8.	……………..064
	Suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	Numărul se termină cu zero	………………..0
	Suma cifrelor unui număr cu cifre alternante este divizibilă cu 11.	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	Ultimele două cifre ale unui număr sunt divizibile cu 4, iar suma cifrelor este divizibilă cu 3.	2+1+6=9, 9:3 și 16:4
	Numărul de zeci de un număr dat, adăugat la de patru ori numărul de unități, este un multiplu de 13.	84 + (4 × 5) = 104,
	Un număr se termină cu o cifră pară și când rezultatul scăderii de două ori a ultimei cifre din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 7.	364: 4 este un număr par 36 - (2 × 4) = 28, 28:7
	Numărul 5 și 0 și suma cifrelor sunt divizibile cu 3.	6+3+4+8+0=21, 21:3
	Ultimele patru cifre ale numărului sunt zerouri sau formează un număr care este divizibil cu 16.	…………..0032
	Numărul de zeci dintr-un număr dat, adăugat la numărul de unități crescut de 12 ori, este un multiplu de 17.	29053→2905+36=2941→294+12= 306→30+72=102→10+24=34. Deoarece 34 e divizibil cu 17, atunci 29053 este și divizibil cu 17
	Numărul se termină cu o cifră pară, iar suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.	2034: 4 este un număr par
	Numărul de zeci dintr-un număr dat, adăugat cu dublul numărului de unități, este multiplu de 19	64 + (6 × 2) = 76
	Numărul se termină cu 0 și penultima cifră este pară	…………………40
	Un număr format din ultimele două cifre este divizibil cu 25	…………….75
	Un număr este divizibil cu 30 dacă și numai dacă se termină cu 0 și suma tuturor cifrelor este divizibilă cu 3.	……………..360
	Un număr este divizibil cu 59 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat la numărul unu înmulțit cu 6 este divizibil cu 59.	De exemplu, 767 este divizibil cu 59, deoarece 76 + 6*7 = 118 și 11 + 6*8 = 59 sunt divizibil cu 59.
	Un număr este divizibil cu 79 dacă și numai dacă numărul de zeci adăugat la numărul de unități înmulțit cu 8 este divizibil cu 79.	De exemplu, 711 este divizibil cu 79, deoarece 79 este divizibil cu 71 + 8*1 = 79
	Un număr este divizibil cu 99 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de două cifre (începând cu unități) este divizibilă cu 99.	De exemplu, 12573 este divizibil cu 99, deoarece 1 + 25 + 73 = 99 este divizibil cu 99.
la 125	Un număr format din ultimele trei cifre este divizibil cu 125	……………375

O serie de articole despre semnele de divizibilitate continuă semn de divizibilitate cu 3. Acest articol oferă mai întâi formularea criteriului de divizibilitate cu 3 și oferă exemple de aplicare a acestui criteriu pentru a afla care dintre numerele întregi date sunt divizibile cu 3 și care nu. În plus, este dată dovada testului de divizibilitate cu 3. Sunt luate în considerare și abordările de stabilire a divizibilității cu 3 a numerelor date ca valoare a unei expresii.

Navigare în pagină.

Semn de divizibilitate cu 3, exemple

Sa incepem cu formulări ale testului de divizibilitate cu 3: un număr întreg este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3 , dacă suma cifrelor sale nu este divizibilă cu 3 , atunci numărul în sine nu este divizibil cu 3 .

Din formularea de mai sus este clar că semnul divizibilității cu 3 nu poate fi folosit fără capacitatea de a efectua adunarea numerelor naturale. De asemenea, pentru aplicarea cu succes a semnului divizibilității cu 3, trebuie să știți că dintre toate numerele naturale cu o singură cifră, numerele 3, 6 și 9 sunt divizibile cu 3, iar numerele 1, 2, 4, 5, 7 și 8 nu sunt divizibile cu 3.

Acum putem considera cel mai simplu exemple de aplicare a testului de divizibilitate cu 3. Să aflăm dacă numărul este divizibil cu 3? 42. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor numărului?42, este egal cu 4+2=6. Deoarece 6 este divizibil cu 3, atunci, în virtutea semnului divizibilității cu 3, se poate argumenta că numărul? 42 este și divizibil cu 3. Dar numărul întreg pozitiv 71 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 7+1=8, iar 8 nu este divizibil cu 3.

Este 0 divizibil cu 3? Pentru a răspunde la această întrebare, testul de divizibilitate cu 3 nu este necesar, aici trebuie să reamintim proprietatea corespunzătoare a divizibilității, care afirmă că zero este divizibil cu orice număr întreg. Deci 0 este divizibil cu 3.

În unele cazuri, pentru a arăta că un număr dat are sau nu capacitatea de a fi divizibil cu 3, testul de divizibilitate cu 3 trebuie aplicat de mai multe ori la rând. Să luăm un exemplu.

Arătați că numărul 907444812 este divizibil cu 3.

Suma cifrelor lui 907444812 este 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Pentru a afla dacă 39 este divizibil cu 3 , îi calculăm suma cifrelor: 3+9=12 . Și pentru a afla dacă 12 este divizibil cu 3, găsim suma cifrelor numărului 12, avem 1+2=3. Deoarece am primit numărul 3, care este divizibil cu 3, atunci, datorită semnului divizibilității cu 3, numărul 12 este divizibil cu 3. Prin urmare, 39 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 12, iar 12 este divizibil cu 3. În cele din urmă, 907333812 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 39 și 39 este divizibil cu 3.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Este numărul divizibil cu 3?543205?

Să calculăm suma cifrelor acestui număr: 5+4+3+2+0+5=19 . La rândul său, suma cifrelor numărului 19 este 1+9=10 , iar suma cifrelor numărului 10 este 1+0=1 . Deoarece am primit numărul 1, care nu este divizibil cu 3, din criteriul divizibilității cu 3 rezultă că 10 nu este divizibil cu 3. Prin urmare, 19 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 10, iar 10 nu este divizibil cu 3. Prin urmare, numărul original?543205 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, egală cu 19, nu este divizibil cu 3.

Este de remarcat faptul că împărțirea directă a unui număr dat la 3 ne permite, de asemenea, să concluzionam dacă numărul dat este divizibil cu 3 sau nu. Prin aceasta dorim să spunem că diviziunea nu trebuie neglijată în favoarea semnului divizibilității cu 3. În ultimul exemplu, împărțind 543205 la 3 la o coloană, ne-am asigura că 543205 nu este divizibil cu 3, din care am putea spune că?543205 nici nu este divizibil cu 3.

Dovada testului de divizibilitate cu 3

Următoarea reprezentare a numărului a ne va ajuta să demonstrăm semnul divizibilității cu 3. Putem descompune orice număr natural a în cifre, după care regula înmulțirii cu 10, 100, 1000 și așa mai departe ne permite să obținem o reprezentare de forma a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , unde a n , a n?1 , …, a 0 sunt cifre de la stânga la dreapta în numărul a . Pentru claritate, dăm un exemplu de astfel de reprezentare: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Acum să scriem un număr de egalități destul de evidente: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 și așa mai departe.

Înlocuind în ecuație a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 în loc de 10 , 100 , 1 000 și așa mai departe expresiile 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 și așa mai departe, obținem
.

Proprietățile de adunare a numerelor naturale și proprietățile de înmulțire a numerelor naturale permit ca egalitatea rezultată să fie rescrisă după cum urmează:

Expresie este suma cifrelor lui a. Să-l desemnăm pentru concizie și comoditate prin litera A, adică acceptăm . Apoi obținem o reprezentare a numărului a al formei, pe care o vom folosi pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3.

De asemenea, pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3, avem nevoie de următoarele proprietăți de divizibilitate:

• pentru ca un întreg a să fie divizibil cu un întreg b este necesar și suficient ca modulul lui a să fie divizibil cu modulul lui b;
• dacă în egalitatea a=s+t toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un număr întreg b, atunci acest singur termen este de asemenea divizibil cu b.

Acum suntem pe deplin pregătiți și putem realiza dovada de divizibilitate cu 3, pentru comoditate, formulăm această caracteristică ca o condiție necesară și suficientă pentru divizibilitatea cu 3 .

Pentru ca un întreg a să fie divizibil cu 3, este necesar și suficient ca suma cifrelor sale să fie divizibil cu 3.

Pentru a=0 teorema este evidentă.

Dacă a este diferit de zero, atunci modulul lui a este un număr natural, atunci este posibilă o reprezentare, unde este suma cifrelor lui a.

Deoarece suma și produsul numerelor întregi este un număr întreg, atunci este un număr întreg, atunci, după definiția divizibilității, produsul este divizibil cu 3 pentru orice a 0 , a 1 , …, a n .

Dacă suma cifrelor numărului a este divizibil cu 3, adică A este divizibil cu 3, atunci, datorită proprietății de divizibilitate indicată înainte de teoremă, este divizibil cu 3, prin urmare, a este divizibil cu 3. Aceasta dovedește suficiența.

Dacă a este divizibil cu 3, atunci este și divizibil cu 3, atunci datorită aceleiași proprietăți de divizibilitate, numărul A este divizibil cu 3, adică suma cifrelor numărului a este divizibil cu 3. Aceasta dovedește necesitatea.

Alte cazuri de divizibilitate cu 3

Uneori, numerele întregi sunt specificate nu în mod explicit, ci ca valoare a unei expresii cu o variabilă pentru o anumită valoare a variabilei. De exemplu, valoarea unei expresii pentru un n natural este un număr natural. Este clar că prin această atribuire a numerelor, împărțirea directă cu 3 nu va ajuta la stabilirea divizibilității lor cu 3, iar semnul divizibilității cu 3 nu va putea fi aplicat întotdeauna. Acum vom lua în considerare mai multe abordări pentru a rezolva astfel de probleme.

Esența acestor abordări este de a reprezenta expresia originală ca un produs al mai multor factori, iar dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu 3, atunci, datorită proprietății corespunzătoare de divizibilitate, se va putea concluziona că întregul produsul este divizibil cu 3.

Uneori, această abordare poate fi implementată folosind binomul lui Newton. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Este valoarea expresiei divizibilă cu 3 pentru orice n natural?

Egalitatea este evidentă. Să folosim formula binomială a lui Newton:

În ultima expresie, putem scoate 3 dintre paranteze și obținem. Produsul rezultat este divizibil cu 3, deoarece conține un factor 3, iar valoarea expresiei dintre paranteze pentru n natural este un număr natural. Prin urmare, este divizibil cu 3 pentru orice n natural.

În multe cazuri, divizibilitatea cu 3 poate fi dovedită prin metoda inducției matematice. Să analizăm aplicația sa în rezolvarea unui exemplu.

Demonstrați că pentru orice n natural valoarea expresiei este divizibilă cu 3 .

Pentru demonstrație, folosim metoda inducției matematice.

Pentru n=1, valoarea expresiei este , iar 6 este divizibil cu 3 .

Să presupunem că valoarea expresiei este divizibilă cu 3 când n=k , adică divizibil cu 3 .

Ținând cont că este divizibil cu 3 , vom arăta că valoarea expresiei pentru n=k+1 este divizibil cu 3 , adică vom arăta că este divizibil cu 3.

Să facem câteva transformări:

Expresia este împărțită la 3 și expresia este divizibil cu 3, deci suma lor este divizibil cu 3.

Deci metoda inducției matematice a dovedit divizibilitatea cu 3 pentru orice n natural.

Să arătăm încă o abordare a dovezii divizibilității cu 3 . Dacă arătăm că pentru n=3 m , n=3 m+1 și n=3 m+2 , unde m este un întreg arbitrar, valoarea unei expresii (cu variabila n) este divizibilă cu 3 , atunci acest lucru se va dovedi divizibilitatea expresiei cu 3 pentru orice număr întreg n . Luați în considerare această abordare atunci când rezolvați exemplul anterior.

Arătați ce este divizibil cu 3 pentru orice n natural.

Pentru n=3 m avem. Produsul rezultat este divizibil cu 3 deoarece conține un factor 3 divizibil cu 3 .

Produsul rezultat este, de asemenea, divizibil cu 3.

Și acest produs este divizibil cu 3.

Prin urmare, este divizibil cu 3 pentru orice n natural.

În concluzie, vă prezentăm soluția unui alt exemplu.

Este valoarea expresiei divizibilă cu 3 pentru un n firesc.

Pentru n=1 avem. Suma cifrelor numărului rezultat este 3, deci semnul divizibilității cu 3 ne permite să afirmăm că acest număr este divizibil cu 3.

Pentru n=2 avem. Suma cifrelor și a acestui număr este 3 , deci este divizibil cu 3 .

Este clar că pentru orice alt n natural vom avea numere a căror sumă de cifre este 3, prin urmare, aceste numere sunt divizibile cu 3.

În acest fel, pentru orice n natural este divizibil cu 3.

www.cleverstudents.ru

Matematică, clasa a VI-a, manual pentru studenții organizațiilor educaționale, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Matematică, clasa a VI-a, manual pentru studenții organizațiilor educaționale, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Materialul teoretic din manual este prezentat în așa fel încât profesorul să poată aplica o abordare bazată pe probleme la predare. Cu ajutorul sistemului de notație se disting exerciții de patru niveluri de complexitate. În fiecare paragraf, sarcinile de control sunt formulate pe baza a ceea ce elevii trebuie să cunoască și să poată realiza pentru a atinge nivelul standardului de educație matematică. Tema pentru acasă este dată la sfârșitul manualului. hârtii de test si raspunsuri. Ilustrațiile color (desene și diagrame) oferă un nivel ridicat de claritate a materialului educațional.
Respectă cerințele GEF LLC.

Sarcini.

4. Desenați un triunghi ABC și marcați un punct O în afara lui (ca în Figura 11). Construiți o figură simetrică triunghiului ABC față de punctul O.

5. Desenați triunghiul KMN și construiți o figură simetrică cu acest triunghi în raport cu:
a) vârfurile sale - punctele M;
b) punctele O - punctele mijlocii ale laturii MN.

6. Construiți o figură care este simetrică:
a) raza OM relativ la punctul O; notează care punct este simetric cu punctul O;
b) raza OM faţă de un punct arbitrar A care nu aparţine acestei raze;
c) dreapta AB fata de punctul O, care nu apartine acestei drepte;
d) dreapta AB fata de punctul O apartinand acestei drepte; notează care punct este simetric cu punctul O.
În fiecare caz, descrieți poziția relativă a figurilor simetrice central.

Cuprins
Capitolul I. Numerele pozitive și negative. Coordonatele
§ 1. Rotaţia şi simetria centrală
§ 2. Numerele pozitive şi negative. Linie de coordonate
§ 3. Modulul de număr. Numerele opuse
§ 4. Compararea numerelor
§ 5. Paralelismul liniilor
§ 6. Expresii numerice care conțin semnele „+”, „-”
§ 7. Suma algebrică şi proprietăţile ei
§ 8. Regula de calcul a valorii sumei algebrice a două numere
§ 9. Distanţa dintre punctele dreptei de coordonate
§ 10. Simetria axială
§ 11. Lacune de număr
§ 12. Înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive și negative
§ 13. Coordonate
§ 14. Planul de coordonate
§ 15. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor ordinare
§ 16. Regula înmulțirii pentru probleme combinatorii
Capitolul II. Conversia expresiilor literale
§ 17. Expansiunea suportului
§ 18. Simplificarea expresiilor
§ 19. Rezolvarea ecuaţiilor
§ 20. Rezolvarea problemelor de compilare a ecuaţiilor
§ 21. Două probleme principale asupra fracțiilor
§ 22. Cercul. Circumferinţă
§ 23. Cercul. Aria unui cerc
§ 24. Minge. Sferă
Capitolul III. Divizibilitatea numerelor naturale
§ 25. Divizori şi multipli
§ 26. Divizibilitatea unei opere
§ 27. Divizibilitatea sumei și diferenței numerelor
§ 28. Semne de divizibilitate cu 2, 5, 10, 4 și 25
§ 29. Semne de divizibilitate cu 3 și 9
§ 30. Numerele prime. Descompunerea unui număr în factori primi
§ 31. Cel mai mare divizor comun
§ 32. Numerele coprime. Un semn de divizibilitate după un produs. Cel mai mic multiplu comun
Capitolul IV. Matematica în jurul nostru
§ 33. Raportul a două numere
§ 34. Diagrame
§ 35. Proporţionalitatea cantităţilor
§ 36. Rezolvarea problemelor folosind proporții
§ 37. Sarcini diverse
§ 38. Prima cunoaștere a conceptului de „probabilitate”
§ 39. Prima cunoaștere cu calculul probabilității
Teste acasă
Subiecte pentru activitățile proiectului
Răspunsuri

Descărcați gratuit o carte electronică într-un format convenabil și citiți:

Matematica

MATERIAL DE REFERINȚĂ LA MATEMATICĂ PENTRU CLASELE 1-6.

Dragi părinți! Dacă ești în căutarea unui profesor de matematică pentru copilul tău, atunci acest anunț este pentru tine. Ofer tutoring Skype: pregătire pentru OGE, Unified State Examination, eliminarea lacunelor în cunoștințe. Beneficiile tale sunt clare:

1) Copilul tau este acasa, iar tu poti fi linistit pentru el;

2) Cursurile se țin la un moment convenabil pentru copil și puteți chiar să urmați aceste cursuri. Explic simplu și clar pe consiliul școlar obișnuit.

3) Vă puteți gândi la alte avantaje importante ale cursurilor Skype!

Scrie-mi la: sau adaugă-mă imediat pe Skype și vom fi de acord cu totul. Preturile sunt accesibile.

P.S. Lecțiile sunt disponibile în grupuri de 2-4 elevi.

Cu stimă, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko este autorul acestui site.

Dragi prieteni!

Sunt încântat să vă ofer să descărcați materiale de referință gratuite pentru matematică clasa a 5-a. Descarcă aici!

Dragi prieteni!

Nu este un secret pentru nimeni că unii copii au dificultăți în înmulțire și împărțire lungă. Cel mai adesea acest lucru se datorează cunoașterii insuficiente a tabelului înmulțirii. Vă propun să învățați tabla înmulțirii cu ajutorul loto. Vezi mai multe aici. Descarcă loto aici.

Dragi prieteni!În curând te vei confrunta (sau te-ai confruntat deja) cu nevoia de a decide sarcini de interes. Astfel de probleme încep să se rezolve în clasa a V-a și se termină. dar nu termină de rezolvat probleme pentru procente! Aceste sarcini se regăsesc atât în ​​control, cât și în examene: ambele transferabile, precum și OGE și Examenul Unificat de Stat. Ce să fac? Trebuie să învățăm cum să rezolvăm aceste probleme. Cartea mea Cum să rezolvi problemele cu procente vă va ajuta în acest sens. Detalii aici!

Adunarea numerelor.

• a+b=c, unde a și b sunt termeni, c este suma.
• Pentru a găsi termenul necunoscut, scădeți termenul cunoscut din sumă.

Scăderea numerelor.

• a-b=c, unde a este minuend, b este subtraend, c este diferența.
• Pentru a găsi minuend necunoscut, trebuie să adăugați subtraendul la diferență.
• Pentru a găsi subtraend necunoscut, trebuie să scădeți diferența din minuend.

Înmulțirea numerelor.

• a b=c, unde a și b sunt factori, c este produsul.
• Pentru a găsi factorul necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la factorul cunoscut.

Împărțirea numerelor.

• a:b=c, unde a este dividendul, b este divizorul, c este câtul.
• Pentru a găsi dividendul necunoscut, trebuie să înmulțiți divizorul cu câtul.
• Pentru a găsi un divizor necunoscut, trebuie să împărțiți dividendul la cât.

Legile adunării.

• a+b=b+a(deplasare: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor).
• (a+b)+c=a+(b+c)(asociativ: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a doi termeni, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr).

Tabel de adaos.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Legile înmulțirii.

• a b=b a(deplasare: permutarea factorilor nu modifică produsul).
• (a b) c=a (b c)(combinativ: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea).
• (a+b) c=a c+b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați rezultatele).
• (a-b) c=a c-b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea: pentru a înmulți diferența a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți cu acest număr redus și scăzut separat și scădeți al doilea din primul rezultat).

Tabelul înmulțirii.

2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.

2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.

2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.

2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.

2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.

2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.

2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.

2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.

2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Divizori și multipli.

• separator numar natural A numiți numărul natural prin care Aîmpărțit fără rest. (Numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sunt divizori ai numărului 24, deoarece 24 este divizibil cu fiecare dintre ele fără rest) 1-divizor al oricărui număr natural. Cel mai mare divizor al oricărui număr este numărul însuși.
• Multiplu numar natural b este un număr natural care este divizibil fără rest cu b. (Numerele 24, 48, 72, ... sunt multipli ai numărului 24, deoarece sunt divizibile cu 24 fără rest). Cel mai mic multiplu al oricărui număr este numărul însuși.

Semne de divizibilitate a numerelor naturale.

• Numerele folosite la numărarea obiectelor (1, 2, 3, 4, ...) se numesc numere naturale. Mulțimea numerelor naturale se notează prin literă N.
• Numerele 0, 2, 4, 6, 8 numit chiar numere. Numerele care se termină cu cifre pare se numesc numere pare.
• Numerele 1, 3, 5, 7, 9 numit ciudat numere. Numerele care se termină cu cifre impare se numesc numere impare.
• Semn de divizibilitate cu numărul 2. Toate numerele naturale care se termină cu o cifră pară sunt divizibile cu 2.
• Semnul divizibilității cu numărul 5. Toate numerele naturale care se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.
• Semnul divizibilității cu numărul 10. Toate numerele naturale care se termină cu 0 sunt divizibile cu 10.
• Semn de divizibilitate cu numărul 3. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3.
• Semnul divizibilității cu numărul 9. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul în sine este divizibil cu 9.
• Semn de divizibilitate cu numărul 4. Dacă numărul format din ultimele două cifre ale unui număr dat este divizibil cu 4, atunci numărul dat însuși este divizibil cu 4.
• Semnul divizibilității cu numărul 11. Dacă diferența dintre suma cifrelor din locurile impare și suma cifrelor din locurile pare este divizibilă cu 11, atunci numărul în sine este divizibil cu 11.

• Un număr prim este un număr care are doar doi divizori: unul și numărul însuși.
• Un număr compus este un număr care are mai mult de doi divizori.
• Numărul 1 nu este nici prim, nici număr compus.
• Scrierea unui număr compus ca produs numai de numere prime se numește factorizarea unui număr compus în factori primi. Orice număr compus poate fi reprezentat în mod unic ca produs de factori primi.

• Cel mai mare divizor comun al unor numere naturale date este cel mai mare număr natural cu care fiecare dintre aceste numere este divizibil.
• Cel mai mare divizor comun al acestor numere este egal cu produsul factorilor primi comuni din expansiunile acestor numere. Exemplu. MCD(24, 42)=2 3=6, deoarece 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, factorii lor primi comuni sunt 2 și 3.
• Dacă numerele naturale au un singur divizor comun - unu, atunci aceste numere se numesc coprime.

• Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale date este cel mai mic număr natural care este un multiplu al fiecăruia dintre numerele date. Exemplu. LCM(24, 42)=168. Acesta este cel mai mic număr care este divizibil cu 24 și 42.
• Pentru a găsi LCM a mai multor numere naturale date, este necesar: 1) să se descompună fiecare dintre numerele date în factori primi; 2) scrieți expansiunea celui mai mare dintre numere și înmulțiți-o cu factorii lipsă din expansiunile altor numere.
• Cel mai mic multiplu a două numere coprime este egal cu produsul acestor numere.

b- numitorul unei fracții, arată câte părți egale sunt împărțite;

A-numaratorul fractiei, arata cate astfel de parti au fost luate. Bara fracțională înseamnă semnul diviziunii.

Uneori, în loc de o linie fracțională orizontală, pun o bară oblică, iar o fracție obișnuită este scrisă astfel: a/b.

• La Fracțiunea corespunzătoare numărătorul este mai mic decât numitorul.
• La fracție improprie numărătorul este mai mare decât numitorul sau egal cu numitorul.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu acesta.

Împărțirea atât a numărătorului, cât și a numitorului unei fracții la divizorul lor comun, altul decât unul, se numește reducerea fracției.

• Un număr format dintr-o parte întreagă și o parte fracțională se numește număr mixt.
• Pentru a reprezenta o fracție improprie ca număr mixt, este necesar să împărțiți numărătorul fracției la numitor, apoi câtul incomplet va fi partea întreagă a numărului mixt, restul va fi numărătorul părții fracționale , iar numitorul va rămâne același.
• Pentru a reprezenta un număr mixt ca o fracție improprie, trebuie să înmulțiți partea întreagă a numărului mixt cu numitorul, adăugați numărătorul părții fracționale la rezultat și scrieți-l în numărătorul fracției improprie și lăsați numitorul aceeași.

• Ray Oh cu originea la punct O, pe care o singură tăietură la și direcţie, numit fascicul de coordonate.
• Se numește numărul corespunzător punctului razei de coordonate coordona acest punct. De exemplu , A(3). Citiți: punctul A cu coordonata 3.

• Cel mai mic numitor comun ( NOZ) dintre aceste fracții ireductibile este cel mai mic multiplu comun ( NOC) numitorii acestor fracții.
• Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie: 1) să găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, acesta va fi cel mai mic numitor comun. 2) găsiți un factor suplimentar pentru fiecare dintre fracții, pentru care împărțim noul numitor la numitorul fiecărei fracții. 3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

• Dintre două fracții cu același numitor, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, iar cea cu numărătorul mai mic este mai mică.
• Dintre două fracții cu același numărător, cea cu numitorul mai mic este mai mare, iar cea cu numitorul mai mare este mai mică.
• Pentru a compara fracții cu numărători diferiți și numitori diferiți, trebuie să reduceți fracțiile la cel mai mic numitor comun și apoi să comparați fracțiile cu aceiași numitori.

Operații pe fracții obișnuite.

• Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul același.
• Dacă trebuie să adăugați fracții cu numitori diferiți, mai întâi reduceți fracțiile la cel mai mic numitor comun, apoi adăugați fracțiile cu aceiași numitori.
• Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, numărătorul celei de-a doua fracții este scăzut de la numărătorul primei fracții, iar numitorul rămâne același.
• Dacă trebuie să scădeți fracții cu numitori diferiți, atunci acestea sunt mai întâi aduse la un numitor comun, iar apoi fracțiile cu aceiași numitori sunt scăzute.
• Când se efectuează operații de adunare sau scădere a numerelor mixte, aceste operații sunt efectuate separat pentru părți întregi și pentru părți fracționale, iar apoi rezultatul este scris ca număr mixt.

• Produsul a două fracții obișnuite este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor fracțiilor date.
• Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul același.
• Două numere al căror produs este egal cu unul se numesc numere reciproc reciproce.
• Când se înmulțesc numere mixte, acestea sunt mai întâi convertite în fracții improprii.
• Pentru a găsi o fracție dintr-un număr, trebuie să înmulțiți numărul cu acea fracție.

• Pentru a împărți o fracție comună la o fracție comună, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.
• La împărțirea numerelor mixte, acestea sunt mai întâi convertite în fracții improprii.
• Pentru a împărți o fracție obișnuită la un număr natural, trebuie să înmulțiți numitorul fracției cu acest număr natural și să lăsați numărătorul același. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
• Pentru a găsi un număr după fracția sa, trebuie să împărțiți la această fracție numărul care îi corespunde.

• O zecimală este un număr scris sistem zecimalși având cifre mai mici de unu. (3,25; 0,1457 etc.)
• Punctele zecimale de după virgulă se numesc zecimale.
• Fracția zecimală nu se va modifica dacă se adaugă sau se aruncă zerouri la sfârșitul fracției zecimale.

Pentru a adăuga fracții zecimale, trebuie să: 1) egalizați numărul de zecimale din aceste fracții; 2) notează-le unul sub celălalt astfel încât virgula să fie scrisă sub virgulă; 3) efectuați adunarea, ignorând virgula și puneți o virgulă sub virgule în fracțiile însumate în sumă.

Pentru a efectua scăderea fracțiilor zecimale, trebuie să: 1) egalizați numărul de zecimale din minuend și subtraend; 2) semnează scăderea sub mic astfel încât virgula să fie sub virgulă; 3) efectuați scăderea, ignorând virgula, iar în rezultat, puneți virgula sub virgulele minuendului și subtraendului.

• Pentru a înmulți o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să o înmulțiți cu acest număr, ignorând virgula, iar în produsul rezultat, separați în dreapta câte cifre au existat după punctul zecimal din fracția dată.
• Pentru a înmulți o fracție zecimală cu alta, trebuie să efectuați înmulțirea, ignorând virgulele, iar în rezultatul rezultat, să separați cu virgulă în dreapta câte cifre au fost după virgulă în ambii factori împreună.
• Pentru a înmulți o zecimală cu 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre.
• Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.

• Pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, trebuie să împărțiți fracția la acest număr, deoarece numerele naturale sunt împărțite și puse într-o virgulă privată când împărțirea întregii părți se termină.
• Pentru a împărți o zecimală la 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.

• Pentru a împărți un număr cu o zecimală, trebuie să mutați virgulele în dividend și divizor câte cifre la dreapta sunt după punctul zecimal din divizor și apoi împărțiți la un număr natural.
• Pentru a împărți o zecimală la 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre. (Împărțirea unei zecimale cu 0,1; 0,01; 0,001 etc. este același cu înmulțirea acelei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.)

Pentru a rotunji un număr la o anumită cifră, subliniem cifra acestei cifre, apoi înlocuim toate cifrele din spatele celei subliniate cu zerouri, iar dacă sunt după virgulă zecimală, aruncăm. Dacă prima cifră înlocuită cu zero sau eliminată este 0, 1, 2, 3 sau 4, atunci cifra subliniată rămâne neschimbată. Dacă prima cifră înlocuită cu zero sau aruncată este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci cifra subliniată este mărită cu 1.

Media aritmetică a mai multor numere.

Media aritmetică a mai multor numere este câtul împărțirii sumei acestor numere la numărul de termeni.

Intervalul unei serii de numere.

Diferența dintre cele mai mari și cele mai mici valori ale seriei de date se numește intervalul seriei de numere.

Moda seria de numere.

Numărul care apare cu cea mai mare frecvență dintre numerele date ale seriei se numește modul seriei de numere.

• O sutime se numește procent. Cumpără o carte care învață „Cum să rezolvi problemele procentuale”.
• Pentru a exprima procentele ca fracție sau număr natural, trebuie să împărțiți procentul la 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
• Pentru a exprima un număr ca procent, trebuie să-l înmulțiți cu 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
• Pentru a găsi un procent dintr-un număr, trebuie să exprimați procentul ca o fracție obișnuită sau zecimală și să înmulțiți fracția rezultată cu numărul dat.
• Pentru a găsi un număr după procentul său, trebuie să exprimați procentul ca o fracție obișnuită sau zecimală și să împărțiți numărul dat la această fracție.
• Pentru a găsi procentul primului număr din al doilea, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea și să înmulțiți rezultatul cu 100%.

• Coeficientul a două numere se numește raportul acestor numere. a:b sau a/b este raportul numerelor a și b, în ​​plus, a este termenul anterior, b este termenul următor.
• Dacă termenii acestei relații sunt rearanjați, atunci relația rezultată se numește inversul acestei relații. Relațiile b/a și a/b sunt reciproc inverse.
• Raportul nu se va modifica dacă ambii termeni ai raportului sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr diferit de zero.

• Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
• a:b=c:d. Aceasta este proporția. Citit: A deci se aplica la b, Cum c se refera la d. Numerele a și d sunt numite membrii extremi ai proporției, iar numerele b și c sunt membrii mijlocii ai proporției.

• Produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii. Pentru proporție a:b=c:d sau a/b=c/d proprietatea principală este scrisă astfel: a d=b c.
• Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, trebuie să împărțiți produsul termenilor medii ai proporției la termenul extrem cunoscut.
• Pentru a găsi termenul mediu necunoscut al proporției, trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi ai proporției la termenul mediu cunoscut. Sarcini de proporție.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Daca cu o crestere X de mai multe ori mai mare la crește cu același factor, apoi astfel de valori Xși la se numesc direct proportionale.

Dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori arbitrare ale primei mărimi este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi.

Raportul dintre lungimea segmentului de pe hartă și lungimea distanței corespunzătoare pe sol se numește scara hărții.

Lasă valoarea la depinde de marime X. Daca cu o crestere X de mai multe ori mai mare la scade cu acelasi factor, apoi astfel de valori Xși la sunt numite invers proporționale.

Dacă două cantități sunt invers proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare celeilalte cantități.

• Un set este o colecție de obiecte sau numere compilate după niște proprietăți sau legi generale (multe litere pe o pagină, multe fracții regulate cu numitor 5, multe stele pe cer etc.).
• Mulțimile sunt compuse din elemente și sunt fie finite, fie infinite. O mulțime care nu conține niciun element se numește mulțime goală și se notează Oh
• Multe LA numită submulțime a mulțimii DAR dacă toate elementele setului LA sunt elemente ale ansamblului DAR.
• Stabiliți intersecția DARși LA este o mulţime ale cărei elemente aparţin mulţimii DARși multe LA.
• Unirea seturi DARși LA este o mulțime ale cărei elemente aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile date DARși LA.

Seturi de numere.

• N- set de numere naturale: 1, 2, 3, 4,...
• Z– mulțime de numere întregi: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
• Q este mulțimea numerelor raționale reprezentabile ca fracție m/n, Unde m- întreg, n– natural (-2; 3/5; v9; v25 etc.)

• O linie de coordonate este o linie dreaptă pe care sunt date o direcție pozitivă, un punct de referință (punctul O) și un segment unitar.
• Fiecare punct de pe linia de coordonate corespunde unui anumit număr, care se numește coordonatele acestui punct. De exemplu, A(5). Citiți: punctul A cu coordonata cinci. LA 3). Citiți: punctul B cu coordonatele minus trei.

• Modulul numărului a (notați |a|) se numește distanța de la origine până la punctul corespunzător număr dat A. Valoarea modulului oricărui număr este nenegativă. |3|=3; |-3|=3, deoarece distanța de la origine la numărul -3 și la numărul 3 este egală cu trei segmente unitare. |0|=0 .
• Prin definiția modulului unui număr: |a|=a, dacă a?0și |a|=-a, dacă a b.
• Dacă, la compararea numerelor a și b, diferența a-b este un număr negativ, atunci a , atunci ele se numesc inegalități stricte.
• Dacă inegalitățile sunt scrise în semne? sau ?, atunci ele se numesc inegalități nestrictive.

Proprietățile inegalităților numerice.

G) O inegalitate de forma x?a. Răspuns:

Principalele idei și concepte necesare organizării activităților de voluntariat (voluntar). 1. Abordări generale ale organizării activităților de voluntariat (voluntar). 1.1.Idei și concepte de bază necesare organizării activităților de voluntariat (voluntar). 1.2. Cadrul legislativ pentru voluntari […]

Legea lui Muna Legile lui Manu - o colecție indiană antică de prescripții privind datoria religioasă, morală și socială (dharma), numită și „legea arienilor” sau „codul de onoare al arienilor”. Manavadharmashastra este unul dintre cele douăzeci de dharmashastra. Aici sunt fragmente selectate (traduse de Georgy Fedorovich […]

„Managementul și optimizarea unei întreprinderi de producție” REZUMAT Sunt prezentate conceptele de bază ale etichetei în afaceri. Se arată că în prezent, atunci când întreprinderile și organizațiile autohtone sunt integrate în viața economică a diferitelor regiuni ale planetei, regulile de comunicare în afaceri necesită o atenție deosebită. Se fac teste […]

Pentru a simplifica împărțirea numerelor naturale, au fost derivate regulile de împărțire la numerele primelor zece și numerele 11, 25, care sunt combinate într-o secțiune semne de divizibilitate a numerelor naturale. Mai jos sunt regulile prin care analiza unui număr fără a-l împărți la un alt număr natural va răspunde la întrebarea, este un număr natural un multiplu al numerelor 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 și un pic de unitate?

Numerele naturale care au cifre (terminate în) 2,4,6,8,0 în prima cifră se numesc pare.

Semnul divizibilității numerelor cu 2

Toate numerele naturale pare sunt divizibile cu 2, de exemplu: 172, 94,67 838, 1670.

Semnul divizibilității numerelor cu 3

Toate numerele naturale a căror sumă de cifre este multiplu de 3 sunt divizibile cu 3. De exemplu:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Semnul divizibilității numerelor cu 4

Toate numerele naturale sunt divizibile cu 4, ultimele două cifre ale cărora sunt zerouri sau un multiplu de 4. De exemplu:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Semnul divizibilității numerelor cu 5

Semnul divizibilității numerelor cu 6

Acele numere naturale care sunt divizibile cu 2 și 3 în același timp sunt divizibile cu 6 (toate numere pare, care sunt divizibile cu 3). De exemplu: 126 (b - par, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Semnul divizibilității numerelor cu 9

Acele numere naturale sunt divizibile cu 9, a căror suma cifrelor este multiplu de 9. De exemplu:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Semnul divizibilității numerelor cu 10

Semnul divizibilității numerelor cu 11

Numai acele numere naturale sunt divizibile cu 11, în care suma cifrelor care ocupă locuri pare este egală cu suma cifrelor care ocupă locuri impare sau diferența dintre suma cifrelor locurilor impare și suma cifrelor locurilor pare este un multiplu al lui 11. De exemplu:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 și 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 și 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Semnul divizibilității numerelor cu 25

Acele numere naturale sunt divizibile cu 25, ultimele două cifre ale cărora sunt zerouri sau sunt multiplu de 25. De exemplu:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Semnul divizibilității numerelor cu o unitate de biți

Acele numere naturale sunt împărțite într-o unitate de biți, în care numărul de zerouri este mai mare sau egal cu numărul de zerouri al unității de biți. De exemplu: 12.000 este divizibil cu 10, 100 și 1000.