Značilnosti osmiškega številskega sistema. Ilustrirana vadnica o digitalni grafiki
Uvod
Sodoben človek V Vsakdanje življenje nenehno soočanje s številkami: zapomnimo si številke avtobusov in telefonov, v trgovini
izračunajte stroške nakupov obdržite svoj družinski proračun v rubljih in kopejkah (stotinkah rublja) itd. Številke, številke. Povsod so z nami.
Koncept števila - temeljni koncept tako matematika kot računalništvo. Danes, na samem koncu 20. stoletja, človeštvo za zapisovanje števil uporablja predvsem decimalni številski sistem. Kaj je številski sistem?
Številski sistem je način zapisovanja (upodabljanja) števil.
Različni številski sistemi, ki so obstajali prej in so trenutno v uporabi, so razdeljeni v dve skupini: pozicijski in nepozicijski. Najbolj popolni so pozicijski številski sistemi, tj. sistemi zapisovanja števil, pri katerih je prispevek posamezne števke k vrednosti števila odvisen od njenega položaja (položaja) v zaporedju števk, ki predstavljajo število. Na primer, naš običajni decimalni sistem je pozicijski: v številu 34 številka 3 označuje število desetic in "prispeva" k vrednosti števila 30, v številu 304 pa ista številka 3 označuje število stotic in "prispeva" k vrednosti števila 300.
Številčni sistemi, v katerih vsaka številka ustreza vrednosti, ki ni odvisna od njenega mesta v zapisu števila, se imenujejo nepozicijski.
Pozicijski številski sistemi so rezultat dolgega zgodovinskega razvoja nepozicijskih številskih sistemov.
1. Zgodovina številskih sistemov
- Številski sistem enot
Potreba po zapisovanju številk se je pojavila že v zelo starih časih, takoj ko so ljudje začeli šteti. Število predmetov, na primer ovc, so upodabljali z risanjem črt ali serifov na trdni podlagi: kamen, glina, les (pred izumom papirja je bilo še zelo zelo daleč). Vsaka ovca v takem zapisu je ustrezala eni vrstici. Arheologi so takšne "zapise" našli med izkopavanji kulturnih plasti iz obdobja paleolitika (10 - 11 tisoč let pr. n. št.).
Znanstveniki so ta način zapisovanja števil poimenovali enotni ("palični") številski sistem. V njem je bila za zapis številk uporabljena le ena vrsta znaka - "palica". Vsako število v takem številskem sistemu je bilo označeno z nizom, sestavljenim iz palic, katerih število je bilo enako označenemu številu.
Neprijetnosti takšnega sistema zapisovanja števil in omejitve njegove uporabe so očitne: večja kot je številka, ki jo je treba napisati, daljši je niz paličic. Da, tudi pri snemanju. veliko število enostavno je narediti napako, če uporabite dodatno število palic ali, nasprotno, če jih ne dodate.
Predlagamo lahko, da so ljudje zaradi lažjega štetja začeli združevati predmete v 3, 5, 10 kosov. In pri snemanju so uporabili znake, ki ustrezajo skupini več predmetov. Seveda so pri štetju uporabljali prste, zato so se pojavili prvi znaki, ki so označevali skupino predmetov po 5 in 10 kosov (enot). Tako so nastali bolj priročni sistemi za zapisovanje števil.
- Staroegipčanski decimalni nepozicijski številski sistem
V staroegipčanskem številskem sistemu, ki je nastal v drugi polovici tretjega tisočletja pred našim štetjem, so bile za označevanje števil 1, 10, 10 uporabljene posebne številke. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Številke v egipčanskem številskem sistemu so bile zapisane kot kombinacije teh števk, pri čemer se je vsaka od njih ponovila največ devetkrat.
Primer. Stari Egipčani so številko 345 zapisali takole:
Slika 1 Zapis števila v staroegipčanskem številskem sistemu
Označevanje številk v nepozicijskem staroegipčanskem številskem sistemu:
Slika 2 Enota
Slika 3 Desetice
Slika 4 Stotine
Slika 5 Tisoči
Slika 6 Desettisoči
Slika 7 Stotisoči
Tako palični kot staroegipčanski številski sistem sta temeljila na preprostem principu seštevanja, po kateremvrednost števila je enaka vsoti vrednosti števk, ki sodelujejo pri njegovem zapisu. Znanstveniki staroegipčanskemu številskemu sistemu pripisujejo decimalni nepozicijski sistem.
- Babilonski (šestnajstiški) številski sistem
Številke v tem številskem sistemu so bile sestavljene iz znakov dveh vrst: ravni klin (slika 8) je služil za označevanje enot, ležeči klin (slika 9) za označevanje desetic.
Slika 8 Ravni klin
Slika 9 Ležeči klin
Tako je bilo število 32 zapisano takole:
Slika 10 Zapis števila 32 v babilonskem šestdesetem številskem sistemu
Število 60 smo ponovno označili z istim znakom (slika 8) kot 1. Isti znak je označil števila 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 vse druge stopinje pa so 60. Zato so babilonski številski sistem imenovali šestdeseti.
Za določitev vrednosti števila je bilo treba sliko števila razdeliti na števke od desne proti levi. Menjava skupin enakih znakov ("številk") je ustrezala menjavi števk:
Slika 11 Digitalizacija števila
Vrednost števila je bila določena z vrednostmi njegovih sestavnih "števk", vendar ob upoštevanju dejstva, da so "števke" v vsaki naslednji števki pomenile 60-krat več kot enake "števke" v prejšnji števki.
Babilonci so zapisali vse številke od 1 do 59 v decimalnem nepozicijskem sistemu, število kot celoto pa v pozicijskem sistemu z osnovo 60.
Zapis števila med Babilonci je bil dvoumen, saj ni bilo "števila", ki bi označevalo nič. Vnos števila 92 bi lahko pomenil ne le 92 = 60 + 32, ampak tudi 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 itd. Za določitevabsolutna vrednost številaso bile potrebne dodatne informacije. Kasneje so Babilonci uvedli poseben simbol (slika 12), ki označuje manjkajočo šestdesetično števko, ki ustreza videzu številke 0 v vnosu številk v desetiškem sistemu, ki ga poznamo. Toda na koncu številke ta simbol običajno ni bil postavljen, to pomeni, da ta simbol v našem razumevanju ni bil nič.
Slika 12 Simbol za manjkajočo šestdesetično števko
Tako je bilo treba število 3632 zdaj zapisati takole:
Slika 13 Pisanje števila 3632
Babilonci se tablice množenja nikoli niso naučili na pamet, saj je bilo to skoraj nemogoče. Pri računanju so uporabljali že pripravljene množilne tabele.
Šestdesetletni babilonski sistem je prvi nam znani številski sistem, ki temelji na položajnem principu. Babilonski sistem je imel veliko vlogo pri razvoju matematike in astronomije, katere sledi so se ohranile do danes. Torej, uro še vedno delimo na 60 minut, minuto pa na 60 sekund. Na enak način po zgledu Babiloncev krog razdelimo na 360 delov (stopinj).
- Sistem rimskih številk
Primer nepozicijskega številskega sistema, ki se je ohranil do danes, je številski sistem, ki so ga uporabljali pred več kot dva in pol tisoč leti v starem Rimu.
Sistem rimskih številk temelji na znakih I (en prst) za številko 1, V (odprta dlan) za številko 5, X (dve sklenjeni roki) za 10 ter posebnih znakih za številke 50, 100, 500 in 1000.
Zapis zadnjih štirih številk se je s časom močno spremenil. Znanstveniki domnevajo, da je prvotno znak za številko 100 imel obliko snopa treh pomišljajev, kot je ruska črka Zh, za številko 50 pa obliko zgornje polovice te črke, ki se je kasneje spremenila v znak L:
Slika 14 Transformacija števila 100
Za označevanje števil 100, 500 in 1000 so se začele uporabljati prve črke ustreznih latinskih besed (Centum sto, Demimille pol tisoč, Mille tisoč).
Za zapis števila so Rimljani uporabljali ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje ključnih števil. V tem primeru je bilo uporabljeno naslednje pravilo.
Vrednost vsakega manjšega znaka, postavljenega levo od večjega, se odšteje od vrednosti večjega znaka.
Na primer, zapis IX pomeni število 9, zapis XI pa število 11. Decimalno število 28 je predstavljeno na naslednji način:
XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
Decimalno število 99 ima naslednjo predstavitev:
Slika 15 Številka 99
Dejstvo, da pri pisanju novih števil ključna števila ne le dodajamo, ampak tudi odštevamo, ima pomembno pomanjkljivost: zapis z rimskimi številkami odvzema številu edinstvenost predstavitve. Dejansko lahko v skladu z zgornjim pravilom številko 1995 zapišemo na primer na naslednje načine:
MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5
MVM = 1000 + (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) in tako naprej.
Še vedno ni enotnih pravil za pisanje rimskih številk, obstajajo pa predlogi za sprejetje mednarodnega standarda zanje.
Danes je predlagano, da se katera koli rimska številka v eno številko zapiše največ trikrat zapored. Na podlagi tega je bila zgrajena tabela, ki je priročna za označevanje številk z rimskimi številkami:
|
Enote |
Na desetine |
na stotine |
na tisoče |
|
10 X |
100C |
1000M |
|
|
2II |
20XX |
200CC |
2000MM |
|
3III |
30XXX |
300CC |
3000MM |
|
4IV |
40XL |
400 CD-jev |
|
|
50 L |
500D |
||
|
6VI |
60LX |
600 DC |
|
|
7 VII |
70LXX |
700 DCC |
|
|
8 VIII |
80 LXXX |
800 DCCC |
|
|
9IX |
90XC |
900 CM |
Tabela 1 Tabela rimskih številk
Rimske številke se uporabljajo že zelo dolgo. Še pred 200 leti bi morale biti v poslovnih dokumentih številke označene z rimskimi številkami (verjelo se je, da je navadne arabske številke enostavno ponarediti).
Trenutno se sistem rimskih številk ne uporablja, z nekaterimi izjemami:
- Oznake stoletij (XV. stoletje itd.), letnice našega štetja e. (MCMLXXVII itd.) in mesece pri podajanju datumov (npr. 1.V.1975).
- Zapisovanje vrstnih številk.
- Zapis za izpeljanke majhnih vrst, večjih od treh: yIV, yV itd.
- Oznaka valence kemičnih elementov.
- Slovanski številski sistem
To številčenje je bilo ustvarjeno skupaj s slovanskim abecednim sistemom za korespondenco. svete knjige za Slovane grška meniha brata Ciril (Konstantin) in Metod v 9. st. Ta oblika pisanja številk je bila široko uporabljena zaradi dejstva, da je bila popolnoma podobna grškemu zapisu številk.
|
Enote |
Na desetine |
na stotine |
|||
Tabela 2 Slovanski številski sistem
Če dobro pogledate, boste videli, da za "a" pride črka "c", in ne "b", kot bi moralo biti po slovanski abecedi, torej samo črke, ki so v grška abeceda. Do 17. stoletja je bila ta oblika zapisovanja številk uradna na ozemlju sodobna Rusija, Belorusija, Ukrajina, Bolgarija, Madžarska, Srbija in Hrvaška. Do zdaj se to oštevilčenje uporablja v pravoslavnih cerkvenih knjigah.
- Majevski številski sistem
Ta sistem je bil uporabljen za koledarske izračune. V vsakdanjem življenju so Maji uporabljali nepozicijski sistem, podoben staroegipčanskemu. Same majevske številke dajejo predstavo o tem sistemu, ki ga je mogoče razlagati kot zapis prvih 19 naravnih števil v kvinarnem nepozicijskem številskem sistemu. Podoben princip sestavljenih števk se uporablja v babilonskem šestdesetemičnem številskem sistemu.
Majevske števke so bile sestavljene iz nič (znak školjke) in 19 sestavljenih števk. Te številke so bile sestavljene iz znaka ena (pika) in znaka pet (vodoravna črta). Na primer, številka za številko 19 je bila zapisana kot štiri pike v vodoravni vrsti nad tremi vodoravnimi črtami.
Slika 16 Majevski številski sistem
Števila nad 19 so bila zapisana po položajnem principu od spodaj navzgor s potencami 20. Na primer:
32 je bilo zapisano kot (1)(12) = 1×20 + 12
429 kot (1)(1)(9) = 1x400 + 1x20 + 9
4805 kot (12)(0)(5) = 12x400 + 0x20 + 5
Podobe božanstev so včasih uporabljali tudi za zapisovanje števil od 1 do 19. Takšne figure so bile uporabljene izjemno redko, ohranjene so le na nekaj monumentalnih stelah.
Pozicijski številski sistem zahteva uporabo ničle za označevanje praznih števk. Prvi datum z ničlo, ki je prišel do nas (na steli 2 v Chiapa de Corso, Chiapas), je datiran iz leta 36 pr. e. Prvi pozicijski številski sistem v Evraziji, ustvarjen v starem Babilonu leta 2000 pr. e., sprva ni imel ničle, pozneje pa je bil znak nič uporabljen le v vmesnih cifrah števila, kar je privedlo do dvoumnega zapisa števil. Nepozicijski številski sistemi starih ljudstev praviloma niso imeli ničle.
Pri "dolgem štetju" majevskega koledarja je bila uporabljena različica 20-decimalnega številskega sistema, v katerem je lahko druga številka vsebovala le številke od 0 do 17, nato pa je bila tretji številki dodana ena. Tako enota tretje kategorije ni pomenila 400, ampak 18 × 20 = 360, kar je blizu števila dni v sončnem letu.
- Zgodovina arabskih številk
To je danes najpogostejše oštevilčenje. Ime Arabka zanjo ni povsem pravilno, saj čeprav so jo v Evropo prinesli iz arabskih dežel, tudi tam ni bila domača. Pravo rojstno mesto tega oštevilčenja je Indija.
V različnih delih Indije so obstajali različni sistemi številčenja, vendar je na neki točki eden izmed njih izstopal med njimi. V njem so številke izgledale kot začetne črke ustreznih številk v starodavnem indijskem jeziku - sanskrtu, z uporabo abecede devanagari.
Sprva so ti znaki predstavljali številke 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; z njihovo pomočjo so bila zapisana druga števila. Toda kasneje je bil uveden poseben znak - krepka pika ali krog, ki označuje prazen izpust; in številčenje "devanagari" je postalo lokalni decimalni sistem. Kako in kdaj je prišlo do tega prehoda, še ni znano. Do sredine 8. stoletja je bil sistem pozicijskega številčenja široko uporabljen. Hkrati prodira v sosednje države: Indokino, Kitajsko, Tibet, Srednjo Azijo.
Odločilno vlogo pri širjenju indijskega številčenja v arabskih državah je imel priročnik, ki ga je v začetku 9. stoletja sestavil Muhammad Al Khorezmi. Prevedeno je bilo v Zahodna Evropa na latinski jezik v dvanajstem stoletju. V trinajstem stoletju v Italiji prevzame indijsko številčenje. V drugih državah sega do XVI stoletje. Evropejci, ki so si oštevilčenje izposodili od Arabcev, so ga poimenovali "arabski". To zgodovinsko nepravilno ime se je ohranilo do danes.
Od arabsko izposojena je tudi beseda "figura" (v arabščini "syfr"), ki pomeni dobesedno "prazno mesto" (prevod sanskrtske besede "sunya", ki ima enak pomen). Ta beseda je bila uporabljena za poimenovanje znaka praznega izpusta in je ta pomen ohranila do 18. stoletja, čeprav se je latinski izraz "nič" (nullum - nič) pojavil v 15. stoletju.
Oblika indijskih številk je doživela številne spremembe. Oblika, ki jo uporabljamo zdaj, je bila uveljavljena v 16. stoletju.
- Zgodovina Zero
Zero je drugačen. Prvič, ničla je številka, ki se uporablja za označevanje praznega bita; drugič, nič je nenavadno število, saj ga je nemogoče deliti z nič, in ko se pomnoži z nič, vsako število postane nič; tretjič, za odštevanje in seštevanje je potrebna ničla, sicer pa, koliko bo, če od 5 odštejemo 5?
Ničla se je prvič pojavila v starobabilonskem številskem sistemu, uporabljali so jo za označevanje manjkajočih števk v številih, vendar so številke, kot sta 1 in 60, zapisali na enak način, saj na koncu številke niso postavili ničle. V njihovem sistemu je ničla služila kot presledek v besedilu.
Velikega grškega astronoma Ptolomeja lahko štejemo za izumitelja oblike ničle, saj je v njegovih besedilih znak za presledek nadomeščen z grško črko omikron, ki zelo spominja na sodobno ničlo. Toda Ptolomej uporablja ničlo v istem pomenu kot Babilonci.
Na stenskem napisu v Indiji v 9. stoletju n. prvič, ko se na koncu številke pojavi ničelni znak. To je prvi splošno sprejet zapis za sodobno ničlo. Indijski matematiki so izumili ničlo v vseh treh pomenih. Na primer, indijski matematik Brahmagupta v 7. stoletju našega štetja. aktivno začela uporabljati negativna števila in operacije z ničlo. Trdil pa je, da je število, deljeno z ničlo, nič, kar je vsekakor napaka, ampak prava matematična drznost, ki je vodila do še enega izjemnega odkritja indijskih matematikov. In v XII stoletju drugi indijski matematik Bhaskara naredi še en poskus razumeti, kaj se bo zgodilo, če ga delimo z nič. Piše: "Količina, deljena z nič, postane ulomek, katerega imenovalec je nič. Ta ulomek se imenuje neskončnost."
Leonardo Fibonacci v svojem delu Liber abaci (1202) imenuje znak 0 v arabščini zephirum. Beseda zephirum je arabska beseda as-sifr, ki izhaja iz indijske besede sunya, tj. prazen, kar je bilo ime ničle. Iz besede zephirum je nastala francoska beseda zero (nič) in italijanska beseda zero. Po drugi strani pa je ruska beseda številka nastala iz arabske besede as-sifr. Do sredine 17. stoletja se je ta beseda uporabljala posebej za označevanje ničle. Latinska beseda nullus (brez) se je začela uporabljati za nič v 16. stoletju.
Nič je edinstven znak. Zero je povsem abstrakten koncept, eden največjih dosežkov človeka. V naravi okoli nas ga ni. Pri miselnem štetju lahko varno storite brez ničle, vendar je nemogoče storiti brez natančnega zapisovanja številk. Poleg tega je ničla v nasprotju z vsemi drugimi številkami in simbolizira neskončni svet. In če je »vse število«, potem nič ni vse!
- Slabosti nepozicijskega številskega sistema
Nepozicijski številski sistemi imajo številne pomembne pomanjkljivosti:
1. Obstaja stalna potreba po uvajanju novih znakov za pisanje velikih števil.
2. Nemogoče je predstaviti ulomljena in negativna števila.
3. Težko je izvajati aritmetične operacije, saj ni algoritmov za njihovo izvajanje. Zlasti vsa ljudstva so skupaj s številskimi sistemi imela metode prstnega štetja, Grki pa so imeli abakusno štetje, nekaj podobnega našim računom.
Toda v vsakdanjem govoru še vedno uporabljamo elemente nepozicijskega številskega sistema, zlasti rečemo sto, ne deset desetic, tisoč, milijon, milijarda, trilijon.
2. Dvojiški številski sistem.
V tem sistemu sta samo dve števki - 0 in 1. Število 2 in njegove moči imajo tukaj posebno vlogo: 2, 4, 8 itd. Skrajna desna številka številke prikazuje število enic, naslednja številka prikazuje število dvojk, naslednja številka prikazuje število štiric in tako naprej. Binarni številski sistem vam omogoča kodiranje katerega koli naravno število- predstavi kot zaporedje ničel in enic. V binarni obliki lahko predstavljate ne samo številke, ampak tudi vse druge informacije: besedila, slike, filme in zvočne posnetke. Binarno kodiranje privlači inženirje, ker ga je enostavno tehnično implementirati. Najenostavnejši z vidika tehnične izvedbe so dvopozicijski elementi, na primer elektromagnetni rele, tranzistorsko stikalo.
- Zgodovina binarnega številskega sistema
Inženirji in matematiki so v osnovo iskanja postavili binarno on-off naravo elementov računalniške tehnologije.
Vzemimo za primer dvopolno elektronsko napravo - diodo. Lahko je samo v dveh stanjih: bodisi prevaja električni tok - "odprto" ali ga ne prevaja - "zaklenjeno". In sprožilec? Ima tudi dve stabilni stanji. Po enakem principu delujejo spominski elementi.
Zakaj potem ne bi uporabili binarnega številskega sistema? Navsezadnje ima le dve števki: 0 in 1. In to je priročno za delo na elektronskem stroju. In novi stroji so začeli šteti z 0 in 1.
Ne mislite, da je binarni sistem sodobnik elektronskih strojev. Ne, veliko starejša je. Ljudje se že dolgo zanimajo za binarni račun. Posebno so mu bili všeč od konca XVI začetku XIX stoletja.
Leibniz je menil, da je binarni sistem preprost, priročen in lep. Dejal je, da je "računanje s pomočjo dvojk ... temeljno za znanost in ustvarja nova odkritja ... Ko se števila reducirajo na najpreprostejša načela, ki sta 0 in 1, se povsod pojavi čudovit red."
Na zahtevo znanstvenika v čast "diadičnega sistema" - kot se je takrat imenoval binarni sistem - je bila izločena medalja. Upodabljala je tabelo s številkami in najpreprostejša dejanja z njimi. Ob robu medalje je bil trak z napisom: "Da bi vse izpeljali iz nepomembnosti, je dovolj eden."
Formula 1 Količina informacij v bitih
- Pretvarjanje iz binarnega v decimalni številski sistem
Naloga pretvorbe števil iz binarnih v decimalna najpogosteje nastane, ko se vrednosti, ki jih izračuna ali obdela računalnik, pretvorijo nazaj v decimalne številke, ki so uporabniku bolj razumljive. Algoritem za pretvorbo binarnih števil v decimalna je precej preprost (včasih se imenuje substitucijski algoritem):
Za pretvorbo binarnega števila v decimalno je potrebno to število predstaviti kot vsoto produktov stopenj osnove binarnega številskega sistema in ustreznih števk v cifrah binarnega števila.
Na primer, binarno število 10110110 želite pretvoriti v decimalno. To število ima 8 števk in 8 števk (števke se štejejo od nič, kar ustreza najmanj pomembnemu bitu). V skladu z že znanim pravilom ga predstavimo kot vsoto potenc z osnovo 2:
10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0 2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10
V elektroniki se imenuje naprava, ki izvaja podobno pretvorbo dekoder (dekoder, angleški dekoder).
Dekoder to je vezje, ki pretvori binarno kodo, dobavljeno na vhode, v signal na enem od izhodov, to pomeni, da dekoder dekodira številko v binarno kodo in jo na izhodu predstavi kot logično enoto, katere številka ustreza decimalno število.
- Pretvarjanje iz binarnega v šestnajstiški številski sistem
Vsak bit šestnajstiškega števila vsebuje 4 bite informacije.
Če želite pretvoriti binarno celo število v šestnajstiško, ga morate razdeliti v skupine štirih števk (tetrade), začenši z desne, in če zadnja leva skupina vsebuje manj kot štiri števke, jo dopolnite z ničlami na levi strani. Če želite delno binarno število (pravilen ulomek) pretvoriti v šestnajstiško, ga morate razdeliti na tetrade od leve proti desni, in če zadnja desna skupina vsebuje manj kot štiri števke, jo morate dopolniti z ničlami na desni.
Nato morate vsako skupino pretvoriti v šestnajstiško števko z uporabo predhodno sestavljene korespondenčne tabele binarnih tetrad in šestnajstiških števk.
|
Shestnad- teric število |
||||||||||||||||
|
Binarno tetrad |
Tabela 3 Tabela šestnajstiških števk in binarnih tetrad
- Pretvarjanje iz binarnega v osmiški številski sistem
Pretvarjanje binarnega števila v oktalni sistem je precej preprosto, za to potrebujete:
- Razdelite binarno število na triade (skupine treh binarnih števk), začenši z najmanj pomembnimi števkami. Če so v zadnji triadi manj kot tri števke (najpomembnejše števke), jo dopolnimo na tri z ničlami na levi.
- Pod vsako triado binarnega števila zapišite ustrezno števko osmiškega števila iz naslednje tabele.
|
osmiško število |
||||||||
|
binarna triada |
Tabela 4 Tabela osmiških števil in binarnih triad
3. Osmiški številski sistem
Osmiški številski sistem je pozicijski številski sistem z osnovo 8. Za zapis števil v osmiškem sistemu se uporablja 8 števk od nič do sedem (0,1,2,3,4,5,6,7).
Uporaba: oktalni sistem se skupaj z binarnim in šestnajstiškim uporablja v digitalni elektroniki in računalniški tehnologiji, vendar se danes redko uporablja (prej se je uporabljal v nizkonivojskem programiranju, ki ga je nadomestilo šestnajstiško).
Razširjeno uporabo oktalnega sistema v elektronskem računalništvu je mogoče razložiti z dejstvom, da je zanj značilna enostavna pretvorba v binarno in obratno z uporabo preproste tabele, v kateri so vse števke oktalnega sistema od 0 do 7 predstavljene kot binarne triplete (tabela 4).
- Zgodovina osmiškega številskega sistema
Zgodovina: nastanek oktalnega sistema je povezan s takšno tehniko štetja na prste, ko niso šteli prstov, temveč presledke med njimi (samo osem jih je).
Leta 1716 je švedski kralj Karel XII. povabil slavnega švedskega filozofa Emanuela Swedenborga, naj razvije številski sistem, ki temelji na 64 namesto na 10. Vendar je Swedenborg verjel, da bi bilo za ljudi z manj inteligence kot kralj pretežko delovati s tako številski sistem in predlagal število kot osnovo 8. Sistem je bil razvit, vendar je smrt Karla XII. leta 1718 preprečila njegovo uvedbo kot splošno sprejeto, to delo Swedenborga ni objavljeno.
- Pretvarjanje iz osmiškega v decimalni številski sistem
Za prevedbo osmiškega števila v decimalno število je potrebno to število predstaviti kot vsoto produktov stopenj osnove oktalnega številskega sistema z ustreznimi števkami v cifrah osmiškega števila. [ 24]
Na primer, želite pretvoriti osmiško število 2357 v decimalno. To število ima 4 števke in 4 števke (števke se štejejo od nič, kar ustreza najmanj pomembnemu bitu). V skladu z že znanim pravilom ga predstavimo kot vsoto potenc z osnovo 8:
23578 = (2 83)+(3 82)+(5 81)+(7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310
- Pretvarjanje iz osmiškega v dvojiški številski sistem
Za pretvorbo iz osmiškega v binarno je treba vsako števko števila pretvoriti v triado triade binarnih števk (tabela 4).
- Pretvarjanje iz osmiškega v šestnajstiški številski sistem
Za pretvorbo iz šestnajstiške v binarno je treba vsako števko števila pretvoriti v skupino treh binarnih števk v tetradi (tabela 3).
3. Šestnajstiški številski sistem
Pozicijski številski sistem v osnovi celega števila 16.
Običajno se decimalne številke od 0 do 9 in latinične črke od A do F uporabljajo kot šestnajstiške številke za predstavitev števil od 1010 do 1510, to je (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Široko se uporablja v programiranju na nizki ravni in računalniški dokumentaciji, saj je v sodobnih računalnikih najmanjša enota pomnilnika 8-bitni bajt, katerega vrednosti so priročno zapisane v dveh šestnajstiških cifrah.
V standardu Unicode je običajno zapisati številko znakov v šestnajstiški obliki z uporabo vsaj 4 števk (če je potrebno, z začetnimi ničlami).
Heksadecimalna barva zapiše tri barvne komponente (R, G in B) v šestnajstiški obliki.
- Zgodovina šestnajstiškega številskega sistema
Šestnajstiški številski sistem je uvedla ameriška korporacija IBM. Pogosto se uporablja pri programiranju za IBM-združljive računalnike. Najmanjša naslovljiva (pošiljana med računalniškimi komponentami) enota informacije je bajt, običajno sestavljen iz 8 bitov (eng. bit binary digit binary digit, binary system digit), dva bajta, to je 16 bitov, pa sestavljata strojno besedo (ukaz). Tako je priročno uporabljati osnovni sistem 16 za pisanje ukazov.
- Pretvarjanje iz šestnajstiškega v dvojiški številski sistem
Algoritem za pretvorbo števil iz šestnajstiške v dvojiško je izjemno preprost. Potrebno je le zamenjati vsako šestnajstiško števko z njenim dvojiškim ekvivalentom (v primeru pozitivnih števil). Upoštevamo le, da je treba vsako šestnajstiško število nadomestiti z binarnim številom, ki ga dopolni do 4 števk (v smeri višjih števk).
- Pretvarjanje iz šestnajstiškega v decimalni številski sistem
Če želite pretvoriti šestnajstiško število v decimalno, je treba to število predstaviti kot vsoto produktov stopenj osnove šestnajstiškega številskega sistema in ustreznih števk v cifrah šestnajstiškega števila.
Na primer, želite pretvoriti šestnajstiško število F45ED23C v decimalno. To število ima 8 števk in 8 števk (ne pozabite, da se števke štejejo od nič, kar ustreza najmanj pomembnemu bitu). V skladu z zgornjim pravilom ga predstavimo kot vsoto potenc z osnovo 16:
F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12 16 0 ) = 4099854908 10
- Pretvarjanje iz šestnajstiškega v osmiški številski sistem
Običajno pri pretvarjanju števil iz šestnajstiškega v osmiško najprej pretvorite šestnajstiško število v binarno, nato ga razdelite na triade, začenši z najmanj pomembnim bitom, nato pa triade zamenjajte z njihovimi ustreznimi ekvivalenti v oktalnem sistemu (tabela 4).
Zaključek
Zdaj v večini držav sveta kljub temu, da govorijo različnih jezikih, upoštevajte enako, "v arabščini".
Vendar ni bilo vedno tako. Pred kakšnimi petsto leti česa takega ni bilo niti v razsvetljeni Evropi, da ne govorimo o kakšni Afriki ali Ameriki.
Toda kljub temu so si ljudje še vedno nekako zapisovali številke. Vsak narod je imel svoj sistem zapisovanja številk ali pa si ga je izposodil od soseda. Nekateri so uporabljali črke, drugi - ikone, tretji - vijuge. Nekaterim je bilo bolj udobno, nekaterim ne preveč.
Trenutno uporabljamo različne številske sisteme različna ljudstva, kljub dejstvu, da ima decimalni številski sistem številne prednosti pred drugimi.
Babilonski seksagezimalni številski sistem se še vedno uporablja v astronomiji. Njen odtis se je ohranil do danes. Čas še vedno merimo v šestdesetih sekundah, šestdeset minut v urah, uporablja pa se tudi v geometriji za merjenje kotov.
Rimski nepozicijski številski sistem uporabljamo za označevanje odstavkov, razdelkov in seveda v kemiji.
Računalniška tehnologija uporablja binarni sistem. Ravno zaradi uporabe samo dveh števil 0 in 1 je osnova delovanja računalnika, saj ima dve stabilni stanji: nizko ali visoko napetost, tok ali brez toka, namagneten ali nemagneten.Za ljudi je binarno številski sistem ni primeren iz - zaradi okornega pisanja kode, vendar pretvorba števil iz binarnih v decimalna in obratno ni tako priročna, zato so začeli uporabljati osmiške in šestnajstiške številske sisteme.
Seznam risb
Seznam tabel
Formule
Seznam literature in virov
- Berman N.G. "Štetje in število". OGIZ Gostehizdat Moskva 1947.
- Brugsch G. Vse o Egiptu M:. Združenje duhovne edinosti "Zlata doba", 2000. 627 str.
- Vygodsky M. Ya. Aritmetika in algebra v starodavni svet M.: Nauka, 1967.
- Van der Waerden Prebujanje znanosti. Matematika starega Egipta, Babilona in Grčije / Per. s ciljem I. N. Veselovski. M., 1959. 456 str.
- G. I. Glazer. Zgodovina matematike v šoli. Moskva: Razsvetljenje, 1964, 376 str.
- Bosova L. L. Informatika: učbenik za 6. razred
- Fomin S.V. Številski sistemi, M.: Nauka, 2010
- Vse vrste številčenja in številski sistemi (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
- Matematični enciklopedični slovar. M.: »Sove. enciklopedija”, 1988. Str. 847
- Talakh V.N., Kuprienko S.A. Amerika je izvirna. Viri o zgodovini Majev, znanosti (Aztekov) in Inkov
- Talakh V.M. Uvod v majevske hieroglife
- A.P. Juškevič, Zgodovina matematike, 1. zvezek, 1970
- I. Ya. Depman, Zgodovina aritmetike, 1965
- L.Z. Shautsukova, "Osnove informatike v vprašanjih in odgovorih", Založniški center "El-Fa", Nalčik, 1994
- A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Triune zero(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
- 2007-2014 "Računalniška zgodovina" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
- Računalništvo. Osnovni tečaj. / Ed. S.V.Simonovič. - Sankt Peterburg, 2000
- Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Računalništvo: Vadnica za 10 11 celic. srednje splošne šole. K.: Forum, 2001. 496 str.
- GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
- Računalništvo. Računalniška tehnologija. Računalniške tehnologije. / Priročnik, ur. O.I.Pushkarya - Založniški center "Akademija", Kijev, - 2001
- Učbenik "Aritmetične osnove računalnikov in sistemov." 1. del. Številski sistemi
- O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich "Tečaj računalniške tehnologije" učbenik za srednješolce
- Kagan B.M. Elektronski računalniki in sistemi.- M.: Energoatomizdat, 1985
- Maiorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Uvod v mikroračunalnike, L .: Mašinostroenie, 1988.
- Fomin S.V. Številski sistemi, M.: Nauka, 1987
- Vygodsky M.Ya. Priročnik za osnovno matematiko, M.: Državna založba tehnične in teoretične literature, 1956.
- Matematična enciklopedija. M: "Sovjetska enciklopedija" 1985.
- Shauman A. M. Osnove strojne aritmetike. Leningrad, Leningrad University Press. 1979
- Voroščuk A. N. Osnove digitalnih računalnikov in programiranja. M: "Znanost" 1978
- Rolich Ch. N. Od 2 do 16, Minsk, Višja šola, 1981
Nazaj naprej
Pozor! Predogled diapozitiva je zgolj informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.
Vrsta lekcije: ura uvajanja nove snovi v 8. razredu.
Didaktični cilj lekcije: seznanitev učencev z osmiškim številskim sistemom, s prenosom števil iz osmiškega v decimalni številski sistem in obratno ter prevajanjem iz osmiškega številskega sistema v binarni številski sistem in obratno. Urjenje prevajanja iz enega številskega sistema v drugega.
Razvojni cilj lekcije: razvoj sposobnosti sklepanja, primerjanja, sklepanja. Razvoj spomina, pozornosti, kognitivnega interesa za predmet z uporabo ustreznih nalog.
Izobraževalni: oblikovanje samokontrole pri šolarjih.
Koraki lekcije:
- Organizacija začetka lekcije - 2 min.
- Preverjanje domače naloge - 10 min.
- Priprava učencev na učenje novega znanja - 5 min.
- Uvajanje nove snovi - 8 min.
- Primarna fiksacija novega materiala - 5 min.
- Kontrola in samopreverjanje znanja - 10 min.
- Informacije o domači nalogi - 3 min.
- Povzetek lekcije - 2 min.
Struktura lekcije:
- Preverjanje domače naloge.
- Uvod v osmiška števila.
- Pretvarjanje celega števila iz osmiškega v decimalno s preverjanjem.
- Pretvarjanje števila iz osmiškega v binarno in obratno.
- Informacije o domačih nalogah.
- Povzetek lekcije.
Sredstva izobraževanja:
- Aplikacijski operacijski sistem Windows XP-Kalkulator.
- Individualna izkaznica študenta.
- Algoritem dela v aplikaciji o.s. Windows XP Kalkulator.
- Predstavitev.
- Kartica z nalogo za pretvarjanje števil iz osmiškega številskega sistema v decimalni številski sistem.
- Kartica z nalogami za pretvorbo iz enega številskega sistema v drugega z uporabo binarno-oktalne tabele.
- Kartica z ustvarjalno nalogo.
Med poukom
1. stopnja Organizacija začetka pouka.
Namen stopnje: priprava učencev na delo v razredu.
Zdravo družba!
Danes se bomo v lekciji seznanili z osmiškim številskim sistemom in razvijali veščine prevajanja iz enega številskega sistema v drugega.
Prejmejo posamezne kartončke, ki jih podpišejo in kamor bodo vpisali odgovore nalog.
| F.I. | ||
| №1 | №2 | №3 |
2. stopnja. Preverjanje domače naloge.
Namen faze: ugotavljanje pravilnosti in zavedanja domačih nalog pri vseh učencih, prepoznavanje vrzeli in njihovo odpravljanje.
Preverimo domačo nalogo s standardno aplikacijo Windows XP-Calculator.
Domača naloga: pretvori števila iz dvojiškega v decimalno in preveri.
Prejmejo liste z algoritmom dela v aplikaciji Kalkulator, domačo nalogo preverijo na osebnem računalniku.
Odgovore bomo preverili s pomočjo predstavitve za lekcijo.
- 10 2 =2 10
- 11 2 =3 10
- 100 2 =4 10
- 101 2 =5 10
- 110 2 =6 10
- 111 2 =7 10
3. stopnja. Uvajanje novega materiala.
Namen stopnje: zagotoviti zaznavanje, razumevanje in primarno pomnjenje znanja in načinov delovanja, povezav in odnosov v predmetu študija.
Zapišite temo današnje lekcije: "Oktalni številski sistem" .
Osnova: 8
Abecedne številke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Razmislite o prevodu celega števila iz osmiškega v decimalno in izvedite preverjanje.
Algoritem za pretvorbo celega števila iz osmiškega v decimalno.
Zapišite osmiško število v razširjeni obliki in izračunajte njegovo vrednost.
10
21 8 =2*8 1 +1*8 0 =16+1=17 10
Naredimo pregled.
Algoritem za pretvorbo celega števila iz decimalne v osmiško.
- Dosledno izvajajte deljenje prvotnega celega decimalnega števila z 8, dokler rezultat ni strogo manjši od osnove sistema.
- Nastali ostanki so zapisani v obratnem vrstnem redu.
10
71 8 =7*8 1 +1*8 0 =56+1=57 10
4. stopnja. Primarno utrjevanje novega gradiva.
Namen faze: vzpostavitev pravilnosti in zavedanja asimilacije novega učnega gradiva.
Naloga št. 1 za primarno utrjevanje novega gradiva. Priloga 3
Število pretvorite iz osmiškega v decimalno in preverite.
210
114 8 =1*8 2 +1*8 1 +4*8 0 =64+8+4=76 10
Pregled:
Izberi pravilen odgovor pod pripadajočo črko in črko zapiši na posamezno kartico.
O) 84 10
U) 76 10
E) 97 10
5. stopnja Kontrola in samopreverjanje znanja.
Namen faze: ugotavljanje kakovosti in stopnje obvladovanja znanja in metod delovanja.
Naučili smo se prevesti številke iz enega sistema v drugega, zdaj pa bomo razmislili o metodah prevajanja, ki od nas ne zahtevajo nobenih izračunov. Če želite to narediti, v zvezek narišite tabelo, sestavljeno iz dveh stolpcev. Število v 8. številskem sistemu ustreza trem števkam binarnega številskega sistema. Na primer 0 8 \u003d 000 2, 1 8 \u003d 001 2, nato pa se obrnemo na domačo nalogo, ki je preverjena na začetku lekcije. Tabela je enostavna za dokončanje.
Dvojiško-oktalni številski sistem.
| 8 | 2 |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Pri pretvorbi osmiškega števila v dvojiško se vsako osmiško število nadomesti z ustreznim trojnikom števk iz tabele. Za obratno operacijo, to je za pretvorbo iz binarnega v osmiško, se binarno število razdeli na triplete števk, nato pa se vsaka skupina nadomesti z eno osmiško številko.
Na primer:
714 8 =111 001 100 2
101 110 100 2 =564 8 .
Učenci dobijo naloge. Po rešitvi se pravilni odgovori vpišejo v dijakov individualni karton.
Naloge št. 2, št. 3 za kontrolo in samopreverjanje znanja. Dodatek 4
Pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega (z uporabo binarno-oktalne tabele).
2. Število pretvorite iz osmiškega v dvojiško.
c) 1101001 2; p) 101 011 010 2 ; c) 111001100 2;
3. Pretvarjanje iz binarnega v osmiško.
a) 77 8 ; o) 64 8 ; c) 29 8 ;
Oddajte posamezne kartice in izročke. Preverimo odgovore s pomočjo diapozitiva št. 7 predstavitve za lekcijo.
Pravilni odgovori:
№2 p)101 011 010 2
Posamezna kartica bo videti takole:
| F.I. | ||
| №1 | №2 | №3 |
| pri | R | A |
Učenci prejmejo izročke z ustvarjalnimi nalogami. Koordinate točk so podane v različnih številskih sistemih. Potrebno je pretvoriti koordinate v decimalni številski sistem, označiti in povezati točke na koordinatni ravnini.
Podane so koordinate točk:
1 (100 2 ,1 2)
2 (100 2 , 110 2)
3 (100 2 , 1000 2)
4 (10 8 ,10 8)
5 (6 8 ,7 8)
6 (10 8 ,6 8)
Izvedite pretvorbo števil v decimalni številski sistem in postavite in povežite vse točke v koordinatni ravnini.
Odgovor (v decimalnem zapisu):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| (4,1) | (4,6) | (4,8) | (8,8) | (6,7) | (8,6) |
Slika 1
6. stopnja Informacije o domačih nalogah.
Namen stopnje: zagotoviti razumevanje namena, vsebine in metod domače naloge.
Pretvarjanje števil iz osmiškega v dvojiško in nato v decimalno.
35 8 →A 2 →A 10
65 8 → A 2 → A 10
215 8 → A 2 → A 10
7. stopnja. Povzetek lekcije.
Namen stopnje: analizirati in oceniti uspešnost doseganja cilja.
Če imate na vaši osebni kartici besedo: URA, potem imate "5".
Če ste opravili 2 nalogi, je rezultat "4".
Če si rešil 1. nalogo, potem si dobil "3".
Danes smo se v lekciji seznanili z oktalnim številskim sistemom, upoštevanim različne poti pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega. Nekatere metode so od nas zahtevale reševanje problemov z matematičnimi metodami, druge z uporabo računalnika, tretje pa niso zahtevale nobenih izračunov.
Pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega je pomemben del strojne aritmetike. Razmislite o osnovnih pravilih prevajanja.
1. Če želite binarno število pretvoriti v decimalno, ga morate zapisati kot polinom, sestavljen iz produktov števk števila in ustrezne moči števila 2, in izračunati v skladu s pravili decimalne aritmetike:
Pri prevajanju je priročno uporabiti tabelo moči dveh:
Tabela 4. Potence števila 2
|
n (stopnja) |
|||||||||||
Primer.
2. Če želite osmiško število prevesti v decimalno, ga morate zapisati kot polinom, sestavljen iz produktov števk števila in ustrezne moči števila 8, in izračunati v skladu s pravili decimalne aritmetike:
Pri prevajanju je priročno uporabiti tabelo moči osmih:
Tabela 5. Potence števila 8
|
n (stopnja) |
|||||||
Primer. Pretvori število v decimalni številski sistem.
3. Če želite prevesti šestnajstiško število v decimalno, ga morate zapisati kot polinom, sestavljen iz produktov števk števila in ustrezne moči števila 16, in izračunati v skladu s pravili decimalne aritmetike:
Pri prevajanju je priročen za uporabo blitz potenc 16:
Tabela 6. Potence števila 16
|
n (stopnja) |
|||||||
Primer. Pretvori število v decimalni številski sistem.
4. Če želite decimalno število pretvoriti v dvojiški sistem, ga morate zaporedoma deliti z 2, dokler ni ostanek manjši ali enak 1. Število v dvojiškem sistemu je zapisano kot zaporedje zadnjega rezultata deljenja in preostanek delitve v obratnem vrstnem redu.
Primer. Pretvori število v dvojiški številski sistem.
5. Če želite pretvoriti decimalno število v osmiški sistem, ga morate zaporedoma deliti z 8, dokler ni ostanek manjši ali enak 7. Število v osmiškem sistemu je zapisano kot zaporedje števk zadnjega rezultata deljenja in preostanek delitve v obratnem vrstnem redu.
Primer. Pretvori število v osmiški številski sistem.
6. Za pretvorbo decimalnega števila v šestnajstiški sistem ga je treba zaporedoma deliti s 16, dokler ni ostanek manjši ali enak 15. Število v šestnajstiškem sistemu je zapisano kot zaporedje števk zadnjega rezultata deljenja. in preostanek delitve v obratnem vrstnem redu.
Primer. Pretvori število v šestnajstiško.
Med preučevanjem kodiranja sem ugotovil, da številskih sistemov ne razumem dovolj dobro. Kljub temu je pogosto uporabljal 2-, 8-, 10-, 16-te sisteme, prevedene enega v drugega, vendar je bilo vse narejeno na "avtomatskem". Po branju številnih publikacij sem bil presenečen nad pomanjkanjem enega samega, v preprostem jeziku napisanega članka o tako osnovnem gradivu. Zato sem se odločil napisati svojega, v katerem sem na dostopen in urejen način poskušal predstaviti osnove številskih sistemov.
Uvod
Notacija je način zapisovanja (predstavljanja) števil.Kaj je mišljeno s tem? Na primer, pred seboj vidite več dreves. Vaša naloga je, da jih preštejete. Če želite to narediti, lahko upognete prste, naredite zareze na kamnu (eno drevo - en prst / zareza) ali povežete 10 dreves z nekim predmetom, na primer s kamnom, in eno kopijo s palico in jih položite na zemlja kot šteješ. V prvem primeru je številka predstavljena kot črta upognjenih prstov ali zarez, v drugem - sestava kamnov in palic, kjer so kamni na levi, palice pa na desni.
Številske sisteme delimo na pozicijske in nepozicijske, pozicijske pa na homogene in mešane.
nepozicijski- najstarejši, v njem ima vsaka številka števila vrednost, ki ni odvisna od njenega položaja (števka). To pomeni, da če imate 5 pomišljajev, potem je tudi število enako 5, saj vsak pomišljaj, ne glede na mesto v vrstici, ustreza samo 1 eni postavki.
Pozicijski sistem- vrednost posamezne števke je odvisna od njenega položaja (števke) v številu. Na primer, deseti številski sistem, ki nam je znan, je pozicijski. Razmislite o številu 453. Število 4 označuje število stotin in ustreza številu 400, 5 - število desetic in je podobno vrednosti 50, 3 pa enote in vrednost 3. Kot lahko vidite, je večji številka, višja je vrednost. Končno število lahko predstavimo kot vsoto 400+50+3=453.
homogeni sistem- za vse števke (pozicije) številke je nabor veljavnih znakov (števk) enak. Kot primer vzemimo prej omenjeni 10. sistem. Pri pisanju števila v homogenem 10. sistemu lahko v vsaki števki uporabite samo eno števko od 0 do 9, torej je dovoljeno število 450 (1. števka - 0, 2. - 5, 3. - 4), 4F5 pa ne, ker znak F ni del števk od 0 do 9.
mešani sistem- v vsaki števki (mestu) številke se lahko nabor veljavnih znakov (številk) razlikuje od nabora drugih števk. Osupljiv primer je sistem merjenja časa. V kategoriji sekund in minut je možnih 60 različnih znakov (od "00" do "59"), v kategoriji ur - 24 različni liki(od "00" do "23"), v izpustu dneva - 365 itd.
Nepozicijski sistemi
Takoj ko so se ljudje naučili šteti, se je pojavila potreba po zapisovanju števil. Na začetku je bilo vse preprosto - zareza ali črta na neki površini je ustrezala enemu predmetu, na primer enemu sadju. Tako se je pojavil prvi številski sistem - enota.Številski sistem enot
Število v tem številskem sistemu je niz pomišljajev (palic), katerih število je enako vrednosti danega števila. Tako bo pridelek 100 datljev enak številu, sestavljenemu iz 100 črtic.Toda ta sistem ima očitne nevšečnosti - večje kot je število, daljši je niz palic. Poleg tega se lahko zlahka zmotite pri pisanju številke, če pomotoma dodate dodatno palico ali, nasprotno, ne dodate.
Zaradi udobja so ljudje začeli združevati palice po 3, 5, 10 kosov. Hkrati je vsaka skupina ustrezala določenemu znaku ali predmetu. Sprva so za štetje uporabljali prste, zato so se pojavili prvi znaki za skupine po 5 in 10 kosov (enot). Vse to je omogočilo ustvarjanje bolj priročnih sistemov za beleženje številk.
staroegipčanski decimalni sistem
IN Starodavni Egipt s posebnimi znaki (številkami) so označevali števila 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Tukaj je nekaj izmed njih:Zakaj se imenuje decimalni? Kot je bilo napisano zgoraj - ljudje so začeli združevati simbole. V Egiptu so izbrali skupino 10, številko "1" pa pustili nespremenjeno. IN ta primer, se število 10 imenuje osnova decimalnega številskega sistema in vsak simbol je do neke mere predstavitev števila 10.
Številke v staroegipčanskem številskem sistemu so bile zapisane kot kombinacija teh
znakov, od katerih se je vsak ponovil največ devetkrat. Končna vrednost je bila enaka vsoti elementov števila. Omeniti velja, da je ta način pridobivanja vrednosti značilen za vsak nepozicijski sistem številk. Primer je številka 345:
Babilonski seksagezimalni sistem
Za razliko od egipčanskega sistema sta bila v babilonskem sistemu uporabljena samo 2 simbola: "ravni" klin za enote in "ležeči" za desetice. Za določitev vrednosti števila je treba sliko števila razdeliti na števke od desne proti levi. Nov izcedek se začne s pojavom ravnega klina po ležečem. Vzemimo za primer številko 32:
Število 60 in vse njegove stopinje so prav tako označene z ravnim klinom, kot je "1". Zato se je babilonski številski sistem imenoval šestdeseti.
Vsa števila od 1 do 59 so Babilonci zapisovali v desetiškem nepozicijskem sistemu in velike vrednosti- v položaju z osnovo 60. Število 92:
Zapis števila je bil dvoumen, saj števke za ničlo ni bilo. Predstavitev števila 92 bi lahko pomenila ne samo 92=60+32, ampak tudi na primer 3632=3600+32. Za določitev absolutne vrednosti števila je bil uveden poseben znak za označevanje manjkajoče šestdesetinske števke, ki ustreza videzu števke 0 v decimalnem zapisu:
Zdaj je treba številko 3632 zapisati kot:
Babilonski seksagezimalni sistem je prvi številski sistem, ki deloma temelji na položajnem principu. Ta številski sistem se danes uporablja na primer pri določanju časa - ura je sestavljena iz 60 minut, minuta pa iz 60 sekund.
rimski sistem
Rimski sistem se ne razlikuje veliko od egipčanskega. Za označevanje števil 1, 5, 10, 50, 100, 500 in 1000 uporablja velike latinične črke I, V, X, L, C, D in M. Število v sistemu rimskih številk je niz zaporednih števk.Metode za določanje vrednosti števila:
- Vrednost števila je enaka vsoti vrednosti njegovih števk. Na primer, število 32 v sistemu rimskih številk je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Če je levo od večje števke manjše število, je vrednost enaka razliki med večjo in manjšo števko. Hkrati je lahko leva številka manjša od desne za največ en red: na primer, pred L (50) in C (100) "mlajših" lahko stoji samo X (10), pred D (500) in M (1000) - samo C(100), pred V(5) - samo I(1); bo število 444 v obravnavanem številskem sistemu zapisano kot CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Vrednost je enaka vsoti vrednosti skupin in števil, ki ne sodijo pod 1 in 2 točki.
1) slovanski
2) grški (jonski)
Pozicijski številski sistemi
Kot že omenjeno, so prvi predpogoji za nastanek pozicijskega sistema nastali v starem Babilonu. V Indiji je sistem prevzel obliko pozicijskega decimalnega številčenja z uporabo ničle, od Hindujcev pa so si ta sistem števil izposodili Arabci, od katerih so ga prevzeli Evropejci. Iz nekega razloga so v Evropi temu sistemu dodelili ime "arabski".Decimalni številski sistem
To je eden najpogostejših številskih sistemov. To uporabljamo, ko imenujemo ceno blaga in izgovorimo številko avtobusa. V vsaki števki (poziciji) je lahko uporabljena samo ena cifra iz obsega od 0 do 9. Osnova sistema je številka 10.Na primer, vzemimo številko 503. Če bi to številko zapisali v nepozicijskem sistemu, bi bila njena vrednost 5 + 0 + 3 = 8. Vendar imamo pozicijski sistem, kar pomeni, da mora biti vsaka številka števila pomnožiti z osnovo sistema, v tem primeru s številom “ 10”, potenco, ki je enaka številu števk. Izkazalo se je, da je vrednost 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Da bi se izognili zmedi pri delu z več številskimi sistemi hkrati, je osnova označena kot indeks. Tako je 503 = 503 10 .
Poleg decimalnega sistema si zaslužijo posebno pozornost še 2-, 8-, 16-ti sistemi.
Dvojiški številski sistem
Ta sistem se uporablja predvsem v računalništvu. Zakaj niso začeli uporabljati 10., ki smo ga vajeni? Prvi računalnik je ustvaril Blaise Pascal, ki je v njem uporabil decimalni sistem, ki se je v sodobnih elektronskih strojih izkazal za nepriročnega, saj je zahteval izdelavo naprav, ki lahko delujejo v 10 stanjih, kar je zvišalo njihovo ceno in končno velikost. stroja. Te pomanjkljivosti so prikrajšane za elemente, ki delujejo v 2. sistemu. Kljub temu je bil obravnavani sistem ustvarjen že dolgo pred izumom računalnikov in sega v civilizacijo Inkov, kjer so uporabljali quipu - zapletene vrvne pleksuse in vozle.Dvojiški pozicijski številski sistem ima osnovo 2 in uporablja 2 znaka (števki) za zapis števila: 0 in 1. V vsakem bitu je dovoljena samo ena cifra – 0 ali 1.
Primer je število 101. Podobno je številu 5 v decimalnem številskem sistemu. Za pretvorbo iz 2. v 10. je treba vsako števko binarnega števila pomnožiti z osnovo "2", povišano na potenco, ki je enaka števki. Tako je število 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
No, za stroje je bolj priročen 2. številski sistem, pogosto pa vidimo, da v računalniku uporabljamo številke v 10. sistemu. Kako potem stroj določi, katero številko uporabnik vnese? Kako prevede število iz enega sistema v drugega, ker ima na razpolago samo 2 znaka - 0 in 1?
Da bi računalnik deloval z binarnimi številkami (kodami), morajo biti nekje shranjene. Za shranjevanje vsake posamezne številke se uporablja sprožilec, ki je elektronsko vezje. Lahko je v 2 stanjih, od katerih eno ustreza ničli, drugo pa eni. Za shranjevanje posamezne številke se uporablja register - skupina sprožilcev, katerih število ustreza številu števk v binarnem številu. In celota registrov je RAM. Številka v registru je strojna beseda. Aritmetične in logične operacije z besedami izvaja aritmetično logična enota (ALU). Zaradi lažjega dostopa do registrov so ti oštevilčeni. Številka se imenuje naslov registra. Na primer, če morate dodati 2 številki, je dovolj, da navedete številke celic (registrov), v katerih se nahajajo, in ne samih številk. Naslovi so zapisani v 8- in šestnajstiških sistemih (o njih bomo govorili v nadaljevanju), saj je prehod iz njih v binarni sistem in obratno precej preprost. Če želite prenesti iz 2. v 8. številko, jo morate razdeliti v skupine po 3 števke od desne proti levi in preiti na 16. - vsako številko po 4. Če v skrajni levi skupini števk ni dovolj števk, potem se od leve zapolnijo z ničlami, ki se imenujejo vodilne. Vzemimo za primer številko 101100 2. V osmiškem je 101 100 = 54 8 in v šestnajstiškem 0010 1100 = 2C 16 . Super, ampak zakaj na zaslonu vidimo decimalne številke in črke? Ob pritisku na tipko se v računalnik prenese določeno zaporedje električnih impulzov, vsak znak pa ima svoje zaporedje električnih impulzov (ničle in enice). Program za gonilnik tipkovnice in zaslona dostopa do kodne tabele znakov (na primer Unicode, ki omogoča kodiranje 65536 znakov), določi, kateremu znaku ustreza prejeta koda, in jo prikaže na zaslonu. Tako se besedila in številke shranijo v pomnilnik računalnika v binarni kodi, programsko pa se pretvorijo v slike na zaslonu.
Osmiški številski sistem
Osmi številski sistem se tako kot binarni pogosto uporablja v digitalni tehnologiji. Ima osnovo 8 in za predstavitev števila uporablja števke od 0 do 7.Primer osmiškega števila: 254. Za pretvorbo v 10. sistem je treba vsako števko prvotnega števila pomnožiti z 8 n, kjer je n številka števke. Izkaže se, da je 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Šestnajstiški številski sistem
Šestnajstiški sistem se pogosto uporablja v sodobnih računalnikih, na primer se uporablja za označevanje barve: #FFFFFF - bela barva. Obravnavani sistem ima osnovo 16 in uporablja za zapis številk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kjer so črke 10, 11, 12, 13, 14, 15 oz.Vzemimo za primer številko 4F5 16. Za pretvorbo v osmiški sistem najprej pretvorimo šestnajstiško število v binarno, nato pa ga razdelimo v skupine po 3 števke v osmiško. Za pretvorbo števila v 2 mora biti vsaka števka predstavljena kot 4-bitno binarno število. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Toda v skupinah 1 in 3 ni dovolj številk, zato vsako izpolnimo z začetnimi ničlami: 0100 1111 0101. Zdaj moramo dobljeno število razdeliti v skupine po 3 števke od desne proti levi: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 110 101. Prevedimo vsako dvojiško skupino v osmiški sistem, tako da vsako števko pomnožimo z 2n, kjer je n številka števke: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Poleg obravnavanih pozicijskih številskih sistemov obstajajo tudi drugi, na primer:
1) Trojni
2) Kvartar
3) Dvanajsternik
Pozicijske sisteme delimo na homogene in mešane.
Homogeni pozicijski številski sistemi
Definicija, podana na začetku članka, dokaj v celoti opisuje homogene sisteme, zato je pojasnilo nepotrebno.Mešani številski sistemi
K že podani definiciji lahko dodamo izrek: »če je P=Q n (P, Q, n so pozitivna cela števila, medtem ko sta P in Q osnovi), potem je zapis poljubnega števila v mešani (P-Q)-ti številski sistem identično sovpada z zapisom istega števila v številskem sistemu z osnovo Q.”Na podlagi izreka lahko oblikujemo pravila za prehod iz Pth v Q sistem in obratno:
- Za prehod iz Qth v Pth je potrebno število v Qth sistemu razdeliti v skupine po n števk, začenši z desno števko, in vsako skupino nadomestiti z eno števko v P-ti sistem.
- Za prehod iz P-te v Q-to je potrebno vsako števko števila v P-tem sistemu prevesti v Q-to in manjkajoče števke dopolniti z začetnimi ničlami, razen leve, tako da vsako število v sistemu Q je sestavljeno iz n števk.
Mešani številski sistemi so tudi npr.
1) Faktoriel
2) Fibonacci
Prevod iz enega številskega sistema v drugega
Včasih morate število pretvoriti iz enega številskega sistema v drugega, zato si poglejmo, kako prevajati med različnimi sistemi.Decimalna pretvorba
V številskem sistemu z osnovo b je število a 1 a 2 a 3. Za pretvorbo v 10. sistem je treba vsako števko števila pomnožiti z b n, kjer je n številka števke. Torej (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .Primer: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Pretvarjanje iz desetiškega številskega sistema v druge
Cel del:- Celoštevilčni del decimalnega števila zaporedoma delimo z osnovo sistema, v katerega prehajamo, dokler decimalno število ne postane nič.
- Ostanki, dobljeni z deljenjem, so števke želenega števila. Število v novem sistemu se piše od zadnjega ostanka.
- Ulomek decimalnega števila pomnožimo z osnovo sistema, v katerega želite prevesti. Ločimo cel del. Nadaljujemo z množenjem ulomka z osnovo novega sistema, dokler ne postane 0.
- Število v novem sistemu so celi deli rezultatov množenja v vrstnem redu, ki ustreza njihovemu prejemu.
15\8 = 1, ostanek 7
1\8 = 0, ostanek 1
Ko napišemo vse ostanke od spodaj navzgor, dobimo končno številko 17. Torej 15 10 \u003d 17 8.
Binarno v osmiško in šestnajstiško pretvorbo
Za pretvorbo v osmiško binarno število razdelimo v skupine po 3 števke od desne proti levi in dopolnimo manjkajoče skrajne števke z začetnimi ničlami. Nato transformiramo vsako skupino tako, da zaporedoma pomnožimo števke z 2 n, kjer je n število števk.Vzemimo za primer število 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Za pretvorbo v šestnajstiško - binarno število razdelimo v skupine po 4 števke od desne proti levi, nato - podobno kot pri pretvorbi iz 2. v 8.
Pretvarjanje iz osmiškega in šestnajstiškega sistema v dvojiško
Pretvarjanje iz osmiškega v binarno - vsako števko osmiškega števila pretvorimo v binarno 3-mestno število z deljenjem z 2 (za več informacij o deljenju glejte zgornji odstavek »Pretvorba iz decimalne v drugo«), manjkajoče skrajne števke bodo izpolniti z začetnimi ničlami.Na primer, razmislite o številu 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Prevod iz 16. v 2. - vsako števko šestnajstiškega števila pretvorimo v binarno 4-mestno število z deljenjem z 2, pri čemer manjkajoče skrajne števke dopolnimo z začetnimi ničlami.
Pretvarjanje ulomkov katerega koli številskega sistema v decimalni
Pretvorba se izvede na enak način kot pri celih delih, le da se števke števila pomnožijo z osnovo na potenco “-n”, kjer se n začne z 1.
Primer: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0) 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Pretvarjanje ulomkov dvojiškega sistema v 8. in 16
Prevod ulomkov se izvede na enak način kot pri celih delih števila, z edino izjemo, da gre razčlenitev v skupine po 3 in 4 števke desno od decimalne vejice, manjkajoče števke pa se podpolnijo. z ničlami na desni.Primer: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Pretvarjanje ulomkov decimalnega sistema v kateri koli drug
Če želite ulomek števila prevesti v druge številske sisteme, morate celoštevilski del spremeniti na nič in začeti množiti dobljeno število z osnovo sistema, v katerega želite prevesti. Če se zaradi množenja spet pojavijo celi deli, jih je treba ponovno spremeniti na nič, potem ko si zapomnimo (zapišemo) vrednost dobljenega celega dela. Operacija se konča, ko je ulomek enak nič.Na primer, prevedimo 10,625 10 v binarni sistem:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Če zapišemo vse ostanke od zgoraj navzdol, dobimo 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
S pomočjo tega spletni kalkulator Cela in delna števila lahko pretvorite iz enega številskega sistema v drugega. Podana je podrobna rešitev z obrazložitvijo. Za prevod vnesite izvirno število, nastavite osnovo številskega sistema izvirnega števila, nastavite osnovo številskega sistema v katerega želite pretvoriti število in kliknite gumb "Prevedi". Glej teoretični del in numerične primere spodaj.
Rezultat je že prejet!
Prevod celih in delnih števil iz enega številskega sistema v katerikoli drug - teorija, primeri in rešitve
Obstajajo pozicijski in nepozicijski številski sistemi. Arabski številski sistem, ki ga uporabljamo v vsakdanjem življenju, je pozicijski, rimski pa ne. V pozicijskih številskih sistemih položaj števila enolično določa velikost števila. Razmislite o tem na primeru števila 6372 v decimalnem številskem sistemu. Oštevilčimo to številko od desne proti levi, začenši z nič:
Potem lahko številko 6372 predstavimo na naslednji način:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
Število 10 določa številski sistem (v tem primeru je to 10). Vrednosti položaja dane številke so vzete kot stopinje.
Razmislite o realnem decimalnem številu 1287,923. Oštevilčimo ga začenši z ničelnim položajem števila od decimalne vejice levo in desno:
Potem lahko število 1287.923 predstavimo kot:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
Na splošno lahko formulo predstavimo na naslednji način:
C n s n + C n-1 s n-1 +...+C 1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
kjer je C n celo število na položaju n, D -k - delno število na položaju (-k), s- številski sistem.
Nekaj besed o številskih sistemih Število v decimalnem številskem sistemu je sestavljeno iz niza števk (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmiškem številskem sistemu pa iz niz števk (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binarnem sistemu - iz niza števk (0,1), v šestnajstiškem številskem sistemu - iz niza števk (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kjer A,B,C,D,E,F ustrezajo številkam 10,11, 12,13,14,15 V tabeli 1 so števila predstavljena v različnih številskih sistemih.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacija | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega
Za prevajanje števil iz enega številskega sistema v drugega je najlažje, da število najprej pretvorimo v decimalni številski sistem, nato pa ga iz decimalnega številskega sistema prevedemo v želeni številski sistem.
Pretvarjanje števil iz poljubnega številskega sistema v decimalni številski sistem
S formulo (1) lahko pretvorite števila iz katerega koli številskega sistema v decimalni številski sistem.
Primer 1. Pretvorite število 1011101.001 iz dvojiškega številskega sistema (SS) v decimalni SS. rešitev:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Primer2. Pretvorite število 1011101.001 iz osmiškega številskega sistema (SS) v decimalni SS. rešitev:
Primer 3 . Pretvori število AB572.CDF iz šestnajstiškega v decimalno CC. rešitev:
Tukaj A- zamenjano z 10, B- ob 11, C- ob 12, F- ob 15.
Pretvarjanje števil iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem
Če želite pretvoriti števila iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem, morate ločeno prevesti celo število in delni del števila.
Celi del števila se prevede iz decimalnega SS v drug številski sistem - z zaporednim deljenjem celega dela števila z osnovo številskega sistema (za binarni SS - z 2, za 8-mestno SS - z 8, za 16-mestno - za 16 itd. ), da dobimo cel ostanek, manjši od osnove SS.
Primer 4 . Prevedimo število 159 iz decimalne SS v dvojiško SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kot je razvidno iz sl. 1 da število 159, če ga delimo z 2, količnik 79 in ostanek 1. Nadalje, število 79, če ga delimo z 2, da količnik 39 in ostanek 1 itd. Posledično s konstruiranjem števila iz ostanka delitve (od desne proti levi) dobimo število v binarni SS: 10011111 . Zato lahko zapišemo:
159 10 =10011111 2 .
Primer 5 . Pretvorimo število 615 iz decimalne SS v osmiško SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Ko pretvarjate število iz decimalne SS v osmiško SS, morate zaporedno deliti število z 8, dokler ne dobite celega ostanka, manjšega od 8. Kot rezultat, sestavljanje števila iz ostanka delitve (od desne proti levi) dobite številko v osmiškem SS: 1147 (glej sliko 2). Zato lahko zapišemo:
615 10 =1147 8 .
Primer 6 . Prevedimo število 19673 iz decimalnega številskega sistema v šestnajstiški SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kot je razvidno iz slike 3, smo z zaporednim deljenjem števila 19673 s 16 dobili ostanke 4, 12, 13, 9. V šestnajstiškem številskem sistemu številka 12 ustreza C, številka 13 - D. Torej, naše šestnajstiško število je 4CD9.
Če želite pretvoriti pravilne decimalke (realno število z nič celim delom) v številski sistem z osnovo s, potrebujete dano številko zaporedoma množimo s s, dokler ulomek ni čista ničla ali pa dobimo zahtevano število števk. Če pri množenju dobimo število, katerega celoštevilski del ni nič, se ta celoštevilski del ne upošteva (so zaporedno vključeni v rezultat).
Oglejmo si zgoraj navedeno s primeri.
Primer 7 . Prevedimo število 0,214 iz decimalnega številskega sistema v dvojiški SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kot je razvidno iz slike 4, se število 0,214 zaporedno pomnoži z 2. Če je rezultat množenja število s celim delom, ki ni nič, se celo število zapiše ločeno (levo od števila), število pa je zapisano z nič celim delom. Če pri množenju dobimo število z ničelnim celim delom, se levo od njega zapiše nič. Postopek množenja se nadaljuje, dokler v ulomku ne dobimo čiste ničle ali dokler ne dobimo zahtevanega števila števk. Če pišemo krepke številke (slika 4) od zgoraj navzdol, dobimo zahtevano število v dvojiškem sistemu: 0. 0011011 .
Zato lahko zapišemo:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Primer 8 . Prevedimo število 0,125 iz decimalnega številskega sistema v dvojiški SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Za pretvorbo števila 0,125 iz decimalne SS v dvojiško, to število zaporedno pomnožimo z 2. V tretji fazi smo dobili 0. Zato smo dobili naslednji rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Primer 9 . Prevedimo število 0,214 iz decimalnega številskega sistema v šestnajstiški SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Po primerih 4 in 5 dobimo številke 3, 6, 12, 8, 11, 4. Toda v šestnajstiškem SS številki C in B ustrezata številkama 12 in 11. Zato imamo:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Primer 10 . Prevedimo število 0,512 iz decimalnega številskega sistema v osmiškega SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
dobil:
0.512 10 =0.406111 8 .
Primer 11 . Prevedimo število 159.125 iz decimalnega številskega sistema v dvojiški SS. Da bi to naredili, ločeno prevedemo cel del števila (primer 4) in delni del števila (primer 8). Če združimo te rezultate, dobimo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Primer 12 . Prevedimo število 19673,214 iz decimalnega številskega sistema v šestnajstiški SS. Da bi to naredili, ločeno prevedemo celi del števila (primer 6) in delni del števila (primer 9). Z nadaljnjim združevanjem teh rezultatov dobimo.
