> >

Sekizli sayı sisteminin özellikleri. Dijital grafiklerle ilgili resimli eğitim


giriiş

Modern adam V Gündelik Yaşam Sürekli sayılarla karşı karşıya kalıyoruz: Mağazadaki otobüs ve telefon numaralarını hatırlıyoruz

satın almaların maliyetini hesaplayın, aile bütçesi ruble ve kopek (bir rublenin yüzde biri) vb. cinsinden. Sayılar, rakamlar. Her yerde bizimle birlikteler.

Sayı kavramı - temel kavram hem matematik hem de bilgisayar bilimi. Bugün, yani 20. yüzyılın sonlarında, insanoğlu sayıları yazmak için esas olarak ondalık sayı sistemini kullanıyor. Sayı sistemi nedir?

Sayı sistemi sayıları yazmanın (görüntülemenin) bir yoludur.

Daha önce var olan ve şu anda kullanımda olan çeşitli sayı sistemleri iki gruba ayrılmıştır: konumsal ve konumsal olmayan. En mükemmel olanı konumsal sayı sistemleridir, yani. Her basamağın sayının değerine katkısının, sayıyı temsil eden basamak dizisindeki konumuna (konumuna) bağlı olduğu sayı yazma sistemleri. Örneğin, olağan ondalık sistemimiz konumsaldır: 34 sayısında 3 sayısı onlarca sayısını belirtir ve 30 sayısının değerine "katkıda bulunur" ve 304 sayısında aynı 3 sayısı yüzlerin sayısını ve 300 sayısının değerine "katkıda bulunur".

Her rakamın sayı notasyonundaki yerine bağlı olmayan bir değere karşılık geldiği sayı sistemlerine konumsal olmayan sistemler denir.

Konumsal sayı sistemleri, konumsal olmayan sayı sistemlerinin uzun tarihsel gelişiminin sonucudur.


1.Sayı sistemlerinin tarihçesi

  • Birim numarası sistemi

Sayıları kaydetme ihtiyacı çok eski zamanlarda, insanlar saymaya başlar başlamaz ortaya çıktı. Koyun gibi nesnelerin sayısı katı bir yüzey üzerine çizgiler veya serifler çizilerek tasvir ediliyordu: taş, kil, ahşap (kağıdın icadından önce hala çok çok uzaktaydı). Böyle bir kayıttaki her koyun bir satıra karşılık geliyordu. Arkeologlar, Paleolitik döneme (MÖ 10 - 11 bin yıl) ait kültürel katmanların kazıları sırasında bu tür "kayıtlar" buldular.

Bilim adamları sayıların bu şekilde yazılmasına birim ("çubuk") sayı sistemi adını verdiler. İçinde sayıları yazmak için yalnızca tek bir işaret türü kullanıldı - "çubuk". Böyle bir sayı sistemindeki her sayı, sayısı belirlenen sayıya eşit olan çubuklardan oluşan bir dizi kullanılarak belirlendi.

Böyle bir sayı yazma sisteminin sakıncaları ve uygulamasının sınırlamaları açıktır: Yazılacak sayı ne kadar büyükse, çubuk dizisi de o kadar uzun olur. Evet, kayıt yaparken bile. Büyük bir sayı Fazladan sayıda çubuk uygulayarak veya tam tersi eklemeyerek hata yapmak kolaydır.

Saymayı kolaylaştırmak için insanların nesneleri 3'lü, 5'li, 10'lu parçalara ayırmaya başladıkları öne sürülebilir. Ve kayıt yaparken, birkaç nesneden oluşan bir gruba karşılık gelen işaretler kullandılar. Doğal olarak, saymada parmaklar kullanıldı, bu nedenle ilk işaretler 5 ve 10 parçadan (birimlerden) oluşan bir nesne grubunu gösteriyor gibi göründü. Böylece sayıları not etmek için daha uygun sistemler ortaya çıktı.

  • Eski Mısır ondalık konumsal olmayan sayı sistemi

MÖ 3. binyılın ikinci yarısında ortaya çıkan eski Mısır sayı sisteminde 1, 10, 10 sayılarını belirtmek için özel sayılar kullanılıyordu. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Mısır rakam sistemindeki sayılar, her biri dokuz defadan fazla tekrarlanmayacak şekilde bu rakamların birleşimi olarak yazılıyordu.

Örnek. Eski Mısırlılar 345 sayısını şöyle yazmışlardı:

Şekil 1 Eski Mısır sayı sisteminde bir sayının yazılması

Konumsal olmayan eski Mısır sayı sistemindeki sayıların belirtilmesi:

Şekil 2 Birim

Şekil 3 Onlarlık

Şekil 4 Yüzlerce

Şekil 5 Binler

Şekil 6 Onbinlerce

Şekil 7 Yüz binlerce

Hem çubuk hem de eski Mısır rakam sistemleri basit toplama ilkesine dayanıyordu.bir sayının değeri, kaydında yer alan rakamların değerlerinin toplamına eşittir. Bilim adamları, eski Mısır sayı sistemini konumsal olmayan ondalık sayıya bağlamaktadır.

  • Babil (onaltılık) sayı sistemi

Bu sayı sistemindeki sayılar iki tür işaretten oluşuyordu: birimleri ifade etmeye yarayan düz bir takoz (Şekil 8), onlarcayı ifade etmeye yarayan yatay bir takoz (Şekil 9).

Şekil 8 Düz takoz

Şekil 9 Yatar kama

Böylece 32 sayısı şu şekilde yazılmıştır:

Şekil 10 32 sayısının Babil altmışlık sayı sistemine kaydedilmesi

60 sayısı yine 1 ile aynı işaretle (Şekil 8) gösterildi. Aynı işaret 3600 = 60 sayısını gösteriyordu. 2 , 216000 = 60 3 ve diğer tüm dereceler 60'tır. Bu nedenle Babil sayı sistemine altmışlık sayı sistemi adı verildi.

Bir sayının değerini belirlemek için sayının görüntüsünü sağdan sola doğru rakamlara bölmek gerekiyordu. Aynı karakterlerden ("sayılar") oluşan grupların değişimi, rakamların değişimine karşılık geldi:

Şekil 11 Bir sayının sayısallaştırılması

Sayının değeri, kendisini oluşturan "rakamların" değerlerine göre belirlendi, ancak sonraki her rakamdaki "rakamların" önceki rakamdaki aynı "rakamlardan" 60 kat daha fazla olduğu dikkate alındı.

Babilliler, 1'den 59'a kadar olan tüm sayıları konumsal olmayan ondalık bir sistemde ve sayıyı bir bütün olarak 60 tabanlı konumsal bir sistemde yazdılar.

Sıfırı ifade edecek bir "sayı" bulunmadığından Babilliler arasında sayının kaydı belirsizdi. 92 sayısının girişi yalnızca 92 = 60 + 32 değil aynı zamanda 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 vb. anlamına da gelebilir. Belirlemek içinbir sayının mutlak değeriek bilgi gerekliydi. Daha sonra Babilliler, bize tanıdık gelen ondalık sistemdeki sayı girişinde 0 sayısının görünümüne karşılık gelen, eksik altmışlık rakamı belirtmek için özel bir sembol (Şekil 12) tanıttılar. Fakat sayının sonuna genelde bu sembol konulmazdı, yani bizim anlayışımızda bu sembol sıfır değildi.

Şekil 12 Eksik altmışlık rakamın sembolü

Dolayısıyla 3632 sayısının artık şu şekilde yazılması gerekiyordu:

Şekil 13 3632 sayısının yazılması

Babilliler çarpım tablosunu hiçbir zaman ezberlemediler çünkü bu neredeyse imkansızdı. Hesaplama yaparken hazır çarpım tablosunu kullandılar.

Altı asırlık Babil sistemi, konum ilkesine dayalı olarak bildiğimiz ilk sayı sistemidir. Babil sistemi, izleri günümüze kadar ulaşan matematik ve astronominin gelişmesinde büyük rol oynamıştır. Yani yine de bir saati 60 dakikaya, bir dakikayı da 60 saniyeye bölüyoruz. Aynı şekilde Babillilerin örneğini takip ederek daireyi 360 parçaya (dereceye) bölüyoruz.

  • Romen rakamı sistemi

Günümüze kadar ulaşan konumsal olmayan sayı sistemine bir örnek, iki buçuk bin yıldan fazla bir süre önce antik Roma'da kullanılan sayı sistemidir.

Romen rakamı sistemi, 1 rakamı için I (bir parmak), 5 rakamı için V (açık el), 10 rakamı için X (iki katlanmış el) işaretlerinin yanı sıra 50, 100 rakamları için özel işaretlere dayanmaktadır. 500 ve 1000.

Son dört sayının gösterimi zamanla önemli ölçüde değişti. Bilim adamları, başlangıçta 100 sayısının işaretinin Rusça Zh harfi gibi üç çizgiden oluşan bir demet biçiminde olduğunu ve 50 sayısı için bu harfin üst yarısının biçiminde olduğunu ve daha sonra L işaretine dönüştüğünü öne sürüyorlar:

Şekil 14 100 sayısının dönüşümü

100, 500 ve 1000 rakamlarını belirtmek için karşılık gelen Latince kelimelerin ilk harfleri kullanılmaya başlandı (Centum yüz, Demimille yarım bin, Mille bin).

Romalılar bir sayıyı yazmak için yalnızca toplamayı değil, aynı zamanda anahtar sayıların çıkarılmasını da kullandılar. Bu durumda aşağıdaki kural uygulandı.

Büyük işaretin soluna yerleştirilen küçük işaretlerin her birinin değeri, büyük işaretin değerinden çıkarılır.

Örneğin, IX notasyonu 9 sayısını, XI notasyonu ise 11 sayısını temsil eder. Ondalık sayı 28 şu şekilde temsil edilir:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

99 ondalık sayısı aşağıdaki gösterime sahiptir:

Şekil 15 Sayı 99

Yeni sayılar yazarken anahtar sayıların yalnızca eklenebilmesi değil aynı zamanda çıkarılabilmesi de önemli bir dezavantaja sahiptir: Romen rakamlarıyla kayıt yapmak, sayıyı temsilin benzersizliğinden mahrum bırakır. Aslında yukarıdaki kurala uygun olarak 1995 sayısı örneğin aşağıdaki şekillerde yazılabilir:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) vb.

Roma rakamlarını yazmak için hâlâ tek tip kurallar yok, ancak bunlar için uluslararası bir standart benimseme önerileri var.

Günümüzde, Romen rakamlarından herhangi birinin arka arkaya üç defadan fazla olmayacak şekilde tek bir rakamla yazılması önerilmektedir. Buna dayanarak, sayıları Romen rakamlarıyla belirtmek için kullanılması uygun olan bir tablo oluşturuldu:

Birimler

Düzinelerce

yüzlerce

binlerce

10X

100°C

1000 milyon

2II

20XX

200CC

2000MM

3III

30XXX

300CC

3000MM

4IV

40XL

400 CD

50 litre

500D

6VI

60LX

600 DC

7VII

70LXX

700DCC

8VIII

80 LXXX

800DCCC

9IX

90XC

900CM

Tablo 1 Romen Rakamları Tablosu

Romen rakamları çok uzun zamandır kullanılmaktadır. 200 yıl önce bile iş evraklarında sayıların Romen rakamlarıyla belirtilmesi gerekirdi (sıradan Arap rakamlarının sahte olmasının kolay olduğuna inanılıyordu).

Şu anda, bazı istisnalar dışında Romen rakamı sistemi kullanılmamaktadır:

  • Yüzyılların (XV. Yüzyıl vb.), MS yıllarının adları e. (MCMLXXVII vb.) ve tarihleri ​​belirtirken ayları (örneğin, 1.V.1975) belirtin.
  • Sıra sayılarının gösterimi.
  • Üçten büyük küçük dereceli türevlerin gösterimi: yIV, yV, vb.
  • Kimyasal elementlerin değerinin belirlenmesi.
    • Slav sayı sistemi

Bu numaralandırma, yazışmalar için Slav alfabetik sistemiyle birlikte oluşturuldu. kutsal kitaplar 9. yüzyılda Yunan rahipler Cyril (Konstantin) ve Methodius kardeşler tarafından Slavlar için. Bu sayı yazma biçimi, Yunan sayı gösterimine tamamen benzemesi nedeniyle yaygın olarak kullanıldı.

Birimler

Düzinelerce

yüzlerce

Tablo 2 Slav sayı sistemi

Dikkatli bakarsanız "a" harfinden sonra Slav alfabesine göre olması gerektiği gibi "b" harfinin değil "c" harfinin geldiğini, yani sadece içinde yer alan harflerin geldiğini göreceksiniz. Yunan alfabesi. 17. yüzyıla kadar bu sayı yazma biçimi bölgede resmiydi. modern Rusya, Belarus, Ukrayna, Bulgaristan, Macaristan, Sırbistan ve Hırvatistan. Şimdiye kadar bu numaralandırma Ortodoks kilise kitaplarında kullanılıyordu.

  • Maya sayı sistemi

Bu sistem takvim hesaplamaları için kullanıldı. Günlük yaşamda Mayalar, eski Mısır'dakine benzer, konumsal olmayan bir sistem kullanıyordu. Maya rakamlarının kendileri bu sistem hakkında bir fikir veriyor ve bu, beşli konumsal olmayan sayı sistemindeki ilk 19 doğal sayının kaydı olarak yorumlanabiliyor. Benzer bir bileşik rakam prensibi Babil'in altmışlık sayı sisteminde de kullanılmaktadır.

Maya rakamları sıfır (kabuk işareti) ve 19 bileşik rakamdan oluşuyordu. Bu sayılar bir işareti (nokta) ve beş işareti (yatay çizgi) kullanılarak oluşturulmuştur. Örneğin 19 sayısına ait rakam, üç yatay çizginin üzerinde yatay bir sırada dört nokta olarak yazılmıştır.

Şekil 16 Maya sayı sistemi

19'un üzerindeki sayılar konum ilkesine göre aşağıdan yukarıya doğru 20'nin kuvvetleri şeklinde yazılmıştır. Örneğin:

32 (1)(12) = 1×20 + 12 şeklinde yazılmıştır.

429, (1)(1)(9) = 1x400 + 1x20 + 9

4805 (12)(0)(5) = 12x400 + 0x20 + 5 olarak

Bazen 1'den 19'a kadar olan sayıları yazmak için tanrı resimleri de kullanılıyordu. Bu tür figürler son derece nadir kullanılmış ve yalnızca birkaç anıtsal stelde korunmuştur.

Konumsal sayı sistemi, boş rakamları belirtmek için sıfırın kullanılmasını gerektirir. Bize ulaşan sıfırlı ilk tarih (Chiapa de Corso, Chiapas'taki stel 2'de) MÖ 36 tarihlidir. e. Avrasya'daki ilk konumsal sayı sistemi, MÖ 2000 yılında eski Babil'de oluşturuldu. örneğin, başlangıçta sıfır yoktu ve daha sonra sıfır işareti yalnızca sayının ara basamaklarında kullanıldı, bu da sayıların belirsiz gösterimine yol açtı. Eski halkların konumsal olmayan sayı sistemlerinde kural olarak sıfır yoktu.

Maya takviminin "uzun sayımında", 20 ondalık sayı sisteminin bir varyasyonu kullanıldı; burada ikinci basamak yalnızca 0'dan 17'ye kadar olan sayıları içerebiliyordu ve ardından üçüncü basamağa bir tane eklendi. Dolayısıyla üçüncü kategorideki birim 400 değil, 18 × 20 = 360 anlamına geliyordu; bu da bir güneş yılındaki gün sayısına yakındır.

  • Arap sayılarının tarihi

Bu bugün en yaygın numaralandırmadır. Onun için "Arap" ismi tam olarak doğru değil çünkü onu Arap ülkelerinden Avrupa'ya getirmiş olsalar da o da orada yerli değildi. Bu numaralandırmanın asıl doğum yeri Hindistan'dır.

Hindistan'ın farklı yerlerinde çeşitli numaralandırma sistemleri vardı, ancak bir noktada aralarından biri öne çıktı. İçinde sayılar, Devanagari alfabesini kullanan eski Hint dili Sanskritçe'deki karşılık gelen sayıların ilk harflerine benziyordu.

Başlangıçta bu işaretler 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000 sayılarını temsil ediyordu; onların yardımıyla diğer sayılar yazıldı. Ancak daha sonra özel bir işaret eklendi - boş bir deşarjı belirtmek için kalın bir nokta veya bir daire; ve "Devanagari" numaralandırması yerel ondalık sistem haline geldi. Bu geçişin nasıl ve ne zaman gerçekleştiği hala bilinmiyor. 8. yüzyılın ortalarına gelindiğinde konumsal numaralandırma sistemi yaygın olarak kullanıldı. Aynı zamanda komşu ülkelere de nüfuz ediyor: Çinhindi, Çin, Tibet, Orta Asya.

Hint numaralandırmasının Arap ülkelerinde yayılmasında belirleyici bir rol, 9. yüzyılın başında Muhammed Al Khorezmi tarafından derlenen kılavuz tarafından oynandı. Şu dile çevrildi: Batı Avrupa Açık Latin dili onikinci yüzyılda. On üçüncü yüzyılda İtalya'da Hint numaralandırması kullanılmaya başlandı. Diğer ülkelerde, şuraya kadar uzanır: XVI. yüzyıl. Numaralandırmayı Araplardan ödünç alan Avrupalılar buna "Arapça" adını verdiler. Bu tarihsel olarak yanlış isim günümüze kadar korunmuştur.

İtibaren Arapça"Figür" kelimesi (Arapça "syfr") de ödünç alınmıştır ve kelimenin tam anlamıyla "boş yer" anlamına gelir (aynı anlama gelen Sanskritçe "sunya" kelimesinin çevirisi). Bu kelime, boş bir deşarjın işaretini adlandırmak için kullanıldı ve 18. yüzyıla kadar bu anlamını korudu, ancak Latince "sıfır" (nullum - hiçbir şey) terimi 15. yüzyılda ortaya çıktı.

Hint rakamlarının biçimi birçok değişikliğe uğradı. Şu anda kullandığımız form 16. yüzyılda kuruldu.

  • Sıfırın Tarihi

Sıfır farklıdır. Birincisi, sıfır, boş bir biti belirtmek için kullanılan bir rakamdır; ikincisi, sıfır alışılmadık bir sayıdır, çünkü sıfıra bölmek imkansızdır ve sıfırla çarpıldığında herhangi bir sayı sıfır olur; üçüncüsü, çıkarma ve toplama için sıfıra ihtiyaç vardır, aksi takdirde 5'ten 5 çıkarılırsa ne kadar olur?

Sıfır ilk olarak eski Babil sayı sisteminde ortaya çıktı, sayılardaki eksik rakamları belirtmek için kullanılıyordu ancak 1 ve 60 gibi sayılar sayının sonuna sıfır koymadıkları için aynı şekilde yazılıyordu. Onların sisteminde sıfır, metinde boşluk görevi görüyordu.

Büyük Yunan gökbilimci Ptolemy, sıfır formunun mucidi olarak kabul edilebilir, çünkü metinlerinde uzay işaretinin yerini, modern sıfır işaretini çok anımsatan Yunanca omikron harfi almıştır. Ancak Batlamyus sıfırı Babillilerle aynı anlamda kullanıyor.

MS 9. yüzyılda Hindistan'da bir duvar yazıtı. bir sayının sonunda ilk kez boş bir karakter oluştuğunda. Bu, modern sıfır işareti için genel olarak kabul edilen ilk gösterimdir. Sıfırın üç anlamını da icat edenler Hintli matematikçilerdi. Örneğin, MS 7. yüzyılda Hintli matematikçi Brahmagupta. Negatif sayıları ve sıfırla işlemleri aktif olarak kullanmaya başladım. Ancak sıfıra bölünen bir sayının sıfır olduğunu iddia etti; bu kesinlikle bir hataydı, ancak gerçek bir matematiksel cesaretti ve bu da Hintli matematikçiler tarafından başka bir dikkate değer keşfe yol açtı. Ve XII.Yüzyılda başka bir Hintli matematikçi Bhaskara, sıfıra bölündüğünde ne olacağını anlamak için başka bir girişimde bulunur. Şöyle yazıyor: "Sıfıra bölünen bir miktar, paydası sıfır olan bir kesir haline gelir. Bu kesire sonsuzluk denir."

Leonardo Fibonacci, Liber abaci'sinde (1202), Arapça zephirum'daki 0 ​​işaretini çağırır. Zephirum kelimesi Arapça as-sifr kelimesi olup Hintçe sunya yani boş kelimesinden gelir ve sıfırın adıdır. Zephirum kelimesinden Fransızca sıfır (sıfır) kelimesi ve İtalyanca sıfır kelimesi geldi. Öte yandan Rusça rakam kelimesi Arapça as-sifr kelimesinden gelmektedir. 17. yüzyılın ortalarına kadar bu kelime özellikle sıfırı belirtmek için kullanılıyordu. Latince nullus (hiçbiri) kelimesi 16. yüzyılda sıfır için kullanılmaya başlandı.

Sıfır benzersiz işaret. Sıfır, insanın en büyük başarılarından biri olan tamamen soyut bir kavramdır. Çevremizdeki doğada mevcut değildir. Zihinsel saymada sıfır olmadan güvenle yapabilirsiniz, ancak sayıların doğru kaydedilmesi için onsuz yapmak imkansızdır. Ayrıca sıfır, diğer tüm rakamlarla zıtlık teşkil eder ve sonsuz bir dünyayı simgelemektedir. Ve eğer “her şey sayıysa”, o zaman hiçbir şey her şey değildir!

  • Konumsal olmayan sayı sisteminin dezavantajları

Konumsal olmayan sayı sistemlerinin bir takım önemli dezavantajları vardır:

1. Büyük sayıları yazmak için sürekli olarak yeni karakterlerin tanıtılmasına ihtiyaç vardır.

2. Kesirli ve negatif sayıları temsil etmek imkansızdır.

3. Aritmetik işlemleri gerçekleştirmek zordur çünkü bunların uygulanmasına yönelik algoritmalar yoktur. Özellikle tüm halkların sayı sistemleriyle birlikte parmak sayma yöntemleri vardı ve Yunanlıların da bizim hesaplarımıza benzer bir abaküs sayma tahtası vardı.

Ancak günlük konuşmada hala konumsal olmayan bir sayı sisteminin unsurlarını kullanıyoruz, özellikle yüz diyoruz, on onluk değil, bin, bir milyon, bir milyar, bir trilyon.


2. İkili sayı sistemi.

Bu sistemde yalnızca iki rakam vardır - 0 ve 1. Burada 2 sayısı ve kuvvetleri özel bir rol oynar: 2, 4, 8 vb. Sayının en sağdaki rakamı birlerin sayısını, sonraki rakam ikililerin sayısını, sonraki rakam dörtlülerin sayısını vb. gösterir. İkili sayı sistemi herhangi bir şeyi kodlamanıza olanak tanır. doğal sayı- bunu sıfırlar ve birler dizisi olarak temsil edin. İkili biçimde yalnızca sayıları değil aynı zamanda diğer bilgileri de temsil edebilirsiniz: metinler, resimler, filmler ve ses kayıtları. İkili kodlama, teknik olarak uygulanmasının kolay olması nedeniyle mühendislerin ilgisini çekmektedir. Teknik uygulama açısından en basit olanı, örneğin bir elektromanyetik röle, bir transistör anahtarı gibi iki konumlu elemanlardır.

  • İkili sayı sisteminin tarihi

Mühendisler ve matematikçiler, bilgisayar teknolojisi unsurlarının ikili açık-kapalı doğasını araştırmanın temeline yerleştirdiler.

Örneğin iki kutuplu bir elektronik cihazı - bir diyotu - ele alalım. Yalnızca iki durumda olabilir: ya elektrik akımını iletir - "açık" ya da iletmez - "kilitli". Peki tetikleyici? Ayrıca iki kararlı durumu vardır. Bellek öğeleri aynı prensipte çalışır.

O halde neden ikili sayı sistemini kullanmıyorsunuz? Sonuçta, yalnızca iki rakamı var: 0 ve 1. Ve bu, elektronik bir makinede çalışmak için uygundur. Ve yeni makineler 0 ve 1'i kullanarak saymaya başladı.

İkili sistemin elektronik makinelerin çağdaşı olduğunu düşünmeyin. Hayır, o çok daha yaşlı. İnsanlar uzun zamandır ikili hesapla ilgileniyorlar. Özellikle XVI. yüzyılın sonlarından itibaren ona çok düşkündüler. XIX'in başı yüzyıl.

Leibniz ikili sistemin basit, kullanışlı ve güzel olduğunu düşünüyordu. "İkili sayıların yardımıyla hesaplama ... bilim için temeldir ve yeni keşifler üretir ... Sayılar en basit ilkeler olan 0 ve 1'e indirgendiğinde her yerde harika bir düzen ortaya çıkar" dedi.

Bilim adamının talebi üzerine, o zamanlar ikili sistem olarak adlandırılan "ikili sistem" onuruna bir madalya nakavt edildi. Sayıların olduğu bir tabloyu ve onlarla en basit eylemleri tasvir ediyordu. Madalyanın kenarında şu yazının yazılı olduğu bir kurdele vardı: "Her şeyi önemsizlikten çıkarmak için bir tane yeter."

Formül 1 Bit cinsinden bilgi miktarı

  • İkili sayı sisteminden ondalık sayı sistemine geçiş

Sayıları ikiliden ondalık sayıya dönüştürme görevi, çoğunlukla bilgisayar tarafından hesaplanan veya işlenen değerlerin kullanıcı için daha anlaşılır olan ondalık basamaklara dönüştürülmesiyle ortaya çıkar. İkili sayıları ondalık sayıya dönüştürme algoritması oldukça basittir (buna bazen ikame algoritması da denir):

Bir ikili sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, bu sayıyı, ikili sayı sisteminin tabanının dereceleri ile ikili sayının basamaklarındaki karşılık gelen basamakların çarpımlarının toplamı olarak temsil etmek gerekir.

Örneğin, 10110110 ikili sayısını ondalık sayıya dönüştürmek istiyorsunuz. Bu sayı 8 haneli ve 8 hanelidir (rakamlar en az anlamlı bit'e karşılık gelen sıfırdan başlayarak sayılır). Zaten bildiğimiz kurala uygun olarak, bunu 2 tabanına sahip kuvvetlerin toplamı olarak temsil ediyoruz:

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0 2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

Elektronikte benzer dönüşümü gerçekleştiren cihaza denirşifre çözücü (kod çözücü, İngilizce kod çözücü).

Kod çözücü bu, girişlere sağlanan ikili kodu çıkışlardan birinde bir sinyale dönüştüren bir devredir, yani kod çözücü, sayıyı ikili kodda çözer ve onu çıkışta, sayısı karşılık gelen mantıksal bir birim olarak temsil eder. ondalık sayı.

  • İkili sayı sisteminden onaltılı sayı sistemine geçiş

Onaltılı sayının her bir biti 4 bitlik bilgi içerir.

Bu nedenle, ikili bir tam sayıyı onaltılı sayıya dönüştürmek için, sağdan başlayarak dört basamaklı gruplara (dörtlü sayılara) bölünmesi gerekir ve son sol grup dört basamaktan az içeriyorsa, soldaki sıfırlarla doldurun. Kesirli bir ikili sayıyı (doğru kesir) onaltılığa dönüştürmek için, onu soldan sağa dörtlü sayılara bölmeniz gerekir ve son sağ grup dörtten az rakam içeriyorsa, o zaman onu sağda sıfırlarla doldurmanız gerekir.

Daha sonra, ikili tetradlardan ve onaltılık rakamlardan oluşan önceden derlenmiş bir yazışma tablosunu kullanarak her grubu onaltılık bir rakama dönüştürmeniz gerekir.

Shestnad...

terik

sayı

İkili

dörtlü

Tablo 3 Onaltılık basamaklar ve ikili dörtlüler tablosu

  • İkili sayı sisteminden sekizli sayı sistemine dönüştürme

İkili bir sayıyı sekizli sisteme dönüştürmek oldukça basittir, bunun için ihtiyacınız olan:

  1. Bir ikili sayıyı, en az anlamlı basamaktan başlayarak üçlülere (3 ikili basamaktan oluşan gruplar) bölün. Son üçlüde (en önemli rakamlar) üçten az rakam varsa, o zaman bunu soldaki sıfırlarla üçe tamamlayacağız.
    1. Bir ikili sayının her üçlüsünün altına, aşağıdaki tablodan sekizli sayının karşılık gelen basamağını yazın.

Sekizli

sayı

ikili üçlü

Tablo 4 Sekizli sayılar ve ikili üçlüler tablosu


3. Sekizli sayı sistemi

Sekizli sayı sistemi 8 tabanlı konumsal bir sayı sistemidir. Sekizli sistemde sayıları yazmak için sıfırdan yediye kadar 8 rakam (0,1,2,3,4,5,6,7) kullanılır.

Uygulama: sekizli sistem, ikili ve onaltılı sistemle birlikte dijital elektronik ve bilgisayar teknolojisinde kullanılır, ancak günümüzde nadiren kullanılır (daha önce düşük seviyeli programlamada kullanılmış, yerini onaltılık sistem almıştır).

Sekizli sistemin elektronik hesaplamada yaygın kullanımı, sekizli sistemin 0'dan 7'ye kadar tüm basamaklarının ikili üçlüler olarak sunulduğu basit bir tablo kullanılarak ikili sisteme kolay dönüşüm ve bunun tersi ile karakterize edilmesiyle açıklanmaktadır (Tablo). 4).

  • Sekizli sayı sisteminin tarihi

Tarih: Sekizli sistemin ortaya çıkışı, parmakların sayılmadığı, ancak aralarındaki boşlukların (sadece sekiz tane var) sayıldığı böyle bir parmak sayma tekniğiyle ilişkilidir.

1716 yılında İsveç Kralı XII. Charles, ünlü İsveçli filozof Emanuel İsveçborg'u 10 yerine 64'e dayalı bir sayı sistemi geliştirmeye davet etti. Ancak, İsveç Kralı, kraldan daha az zekaya sahip insanlar için böyle bir sayı sistemi ile çalışmanın çok zor olacağına inanıyordu. bir sayı sistemi ve temel olarak 8 sayısını önerdi. Sistem geliştirildi, ancak Charles XII'nin 1718'deki ölümü genel kabul görmüş olarak tanıtılmasına engel oldu, İsveçborg'un bu çalışması yayınlanmadı.

  • Sekizli sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme

Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, bu sayıyı, sekizli sayı sisteminin tabanının derecelerinin, sekizli sayının basamaklarındaki karşılık gelen basamaklarla çarpımının toplamı olarak temsil etmek gerekir. [ 24]

Örneğin, sekizlik sayı olan 2357'yi ondalık sayıya dönüştürmek istiyorsunuz. Bu sayı 4 haneli ve 4 hanelidir (rakamlar en az anlamlı bit'e karşılık gelen sıfırdan başlayarak sayılır). Zaten bildiğimiz kurala uygun olarak, bunu 8 tabanına sahip kuvvetlerin toplamı olarak temsil ediyoruz:

23578 = (2 83)+(3 82)+(5 81)+(7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310

  • Sekizli sayı sisteminden ikili sayı sistemine dönüştürme

Sekizliden ikiliye dönüştürmek için sayının her basamağının üç ikili basamaklı üçlü gruba dönüştürülmesi gerekir (Tablo 4).

  • Sekizli sayı sisteminden onaltılık sayı sistemine dönüştürme

Onaltılıdan ikiliye dönüştürmek için, sayının her basamağının bir tetraddaki üç ikili basamaktan oluşan bir gruba dönüştürülmesi gerekir (Tablo 3).


3. Onaltılık sayı sistemi

16 tam sayı tabanında konumsal sayı sistemi.

Genellikle 0'dan 9'a kadar olan ondalık rakamlar ve A'dan F'ye kadar olan Latin harfleri, 1010'dan 1510'a kadar olan sayıları temsil etmek için onaltılık rakamlar olarak kullanılır; yani (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Düşük seviyeli programlama ve bilgisayar dokümantasyonunda yaygın olarak kullanılır, çünkü modern bilgisayarlarda minimum bellek birimi, değerleri uygun şekilde iki onaltılık basamakla yazılan 8 bitlik bir bayttır.

Unicode standardında, bir karakter numarasını en az 4 rakam kullanarak (gerekirse baştaki sıfırlarla) onaltılık biçimde yazmak gelenekseldir.

Onaltılık renk, üç renk bileşenini (R, G ve B) onaltılık biçimde yazar.

  • Onaltılı sayı sisteminin tarihi

Onaltılık sayı sistemi, Amerikan şirketi IBM tarafından tanıtıldı. IBM uyumlu bilgisayarların programlanmasında yaygın olarak kullanılır. Minimum adreslenebilir (bilgisayar bileşenleri arasında gönderilen) bilgi birimi, genellikle 8 bitten (İng. bit ikili rakam ikili rakam, ikili sistem rakamı) oluşan bir bayttır ve iki bayt, yani 16 bit, bir makine kelimesini oluşturur. ( komut). Bu nedenle komut yazmak için 16 tabanlı sistemin kullanılması uygundur.

  • Onaltılı sayı sisteminden ikili sayı sistemine geçiş

Sayıları onaltılık sistemden ikili sayıya dönüştürme algoritması son derece basittir. Yalnızca her onaltılık rakamı ikili eşdeğeriyle (pozitif sayılar durumunda) değiştirmek gerekir. Yalnızca her onaltılık sayının, onu 4 basamağa kadar (daha yüksek basamaklar yönünde) tamamlayan bir ikili sayı ile değiştirilmesi gerektiğini not ediyoruz.

  • Onaltılı sayı sisteminden onlu sayı sistemine dönüştürme

Onaltılık bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, bu sayının, onaltılık sayı sisteminin tabanının dereceleri ile onaltılık sayının basamaklarındaki karşılık gelen rakamların çarpımlarının toplamı olarak temsil edilmesi gerekir.

Örneğin, F45ED23C onaltılı sayısını ondalık sayıya dönüştürmek istiyorsunuz. Bu sayı 8 haneli ve 8 hanelidir (rakamların en az anlamlı bit'e karşılık gelen sıfırdan başlayarak sayıldığını unutmayın). Yukarıdaki kurala uygun olarak, bunu 16 tabanına sahip kuvvetlerin toplamı olarak temsil ediyoruz:

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12 16 0 ) = 4099854908 10

  • Onaltılı sayı sisteminden sekizli sayı sistemine dönüştürme

Genellikle, sayıları onaltılı sayıdan sekizliye dönüştürürken, önce onaltılı sayıyı ikiliye dönüştürün, ardından en az anlamlı bitten başlayarak üçlülere bölün ve ardından üçlüleri, sekizli sistemdeki karşılık gelen eşdeğerleriyle değiştirin (Tablo 4).


Çözüm

Artık dünyanın çoğu ülkesinde konuşulmasına rağmen farklı diller, aynısını "Arapça" olarak düşünün.

Ama her zaman böyle değildi. Yaklaşık beş yüz yıl önce, Afrika ve Amerika'yı bir kenara bırakalım, aydınlanmış Avrupa'da bile böyle bir şey yoktu.

Ancak yine de insanlar yine de bir şekilde sayıları yazdı. Her ulusun kendi sayı kayıt sistemi vardı veya bir komşudan ödünç alınmıştı. Bazıları harfler, diğerleri simgeler, diğerleri ise dalgalı çizgiler kullandı. Bazıları daha rahattı, bazıları ise pek değil.

Şu anda farklı sayı sistemleri kullanıyoruz farklı insanlar ondalık sayı sisteminin diğerlerine göre bir takım avantajları olmasına rağmen.

Babil'in altmışlık sayı sistemi astronomide hâlâ kullanılmaktadır. Ayak izi bu güne kadar hayatta kaldı. Zamanı hâlâ altmış saniyeyle, altmış dakikayı ise saatle ölçüyoruz ve bu aynı zamanda geometride açıları ölçmek için de kullanılıyor.

Roma'nın konumsal olmayan sayı sistemi tarafımızdan paragrafları, bölümleri ve tabii ki kimyada belirtmek için kullanılır.

Bilgisayar teknolojisi ikili sistemi kullanır. Tam da yalnızca 0 ve 1 sayılarının kullanılması nedeniyle bir bilgisayarın çalışmasının temelini oluşturur, çünkü iki kararlı duruma sahiptir: düşük veya yüksek voltaj, akım veya akım yok, mıknatıslanmış veya mıknatıslanmamış. sayı sistemi, kod yazmanın zahmetli olması nedeniyle uygun değildir, ancak sayıları ikiliden ondalık sayıya ve tam tersi şekilde dönüştürmek o kadar uygun olmadığından sekizlik ve onaltılık sayı sistemlerini kullanmaya başladılar.


Çizimler listesi


Tablo listesi


Formüller


Referansların ve kaynakların listesi

  1. Berman N.G. "Say ve numara". OGIZ Gostekhizdat Moskova 1947.
  2. Brugsch G. Mısır hakkında her şey M:. Manevi Birlik Derneği "Altın Çağ", 2000. 627 s.
  3. Vygodsky M.Ya.Aritmetik ve cebir Antik Dünya M.: Nauka, 1967.
  4. Van der Waerden Uyanış Bilimi. Eski Mısır, Babil ve Yunanistan'ın matematiği / Per. bir amaç ile I. N. Veselovsky. M., 1959. 456 s.
  5. G. I. Glazer. Okulda matematiğin tarihi. Moskova: Aydınlanma, 1964, 376 s.
  6. Bosova L. L. Bilişim: 6. sınıf için ders kitabı
  7. Fomin S.V. Sayı sistemleri, M.: Nauka, 2010
  8. Her türlü numaralandırma ve numara sistemleri (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
  9. Matematiksel Ansiklopedik Sözlük. M.: “Baykuşlar. Ansiklopedi”, 1988. S. 847
  10. Talakh V.N., Kuprienko S.A. Amerika orijinaldir. Maya tarihi, bilim (Aztek) ve İnkalar ile ilgili kaynaklar
  11. Talakh V.M. Maya hiyerogliflerine giriş
  12. A.P. Yushkevich, Matematik Tarihi, Cilt 1, 1970
  13. I.Ya.Depman, Aritmetiğin Tarihi, 1965
  14. L.Z. Shautsukova, "Soru ve Cevaplarda Bilişimin Temelleri", "El-Fa" Yayın Merkezi, Nalçik, 1994
  15. A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Üçlü sıfır(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
  16. 2007-2014 "Bilgisayar Tarihi" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
  17. Bilgisayar Bilimi. Temel kurs. / Ed. S.V.Simonovich. - St.Petersburg, 2000
  18. Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Bilgisayar Bilimi: öğretici 10 11 hücre için. orta genel eğitim okulları. K.: Forum, 2001. 496 s.
  19. GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
  20. Bilgisayar Bilimi. Bilgisayar Teknolojisi. Bilgisayar teknolojileri. / Kılavuz, ed. O.I.Pushkarya - "Akademi" Yayın Merkezi, Kiev, - 2001
  21. Ders Kitabı "Bilgisayarların ve sistemlerin aritmetik temelleri." Bölüm 1. Sayı sistemleri
  22. O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich Lise öğrencileri için "Bilgisayar teknolojisi dersi" ders kitabı
  23. Kagan B.M. Elektronik bilgisayarlar ve sistemler.- M.: Energoatomizdat, 1985
  24. Maiorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Mikrobilgisayarlara Giriş, L .: Mashinostroenie, 1988.
  25. Fomin S.V. Sayı sistemleri, M.: Nauka, 1987
  26. Vygodsky M.Ya. İlköğretim matematik el kitabı, M .: Teknik ve teorik literatürün devlet yayınevi, 1956.
  27. Matematik ansiklopedisi. M: "Sovyet Ansiklopedisi" 1985.
  28. Shauman A. M. Makine aritmetiğinin temelleri. Leningrad, Leningrad Üniversitesi Yayınları. 1979
  29. Voroshchuk A. N. Dijital bilgisayarların ve programlamanın temelleri. M: "Bilim" 1978
  30. Rolich Ch.N. 2'den 16'ya, Minsk, Yüksek Okul, 1981










İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tamamını temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Ders türü: 8. sınıfta yeni materyallerin tanıtılması dersi.

Dersin didaktik hedefi:öğrencilerin sekizli sayı sistemine aşinalığı, sayıların sekizli sayı sisteminden ondalık sayı sistemine ve bunun tersinin aktarımı ve ayrıca sekizli sayı sisteminden ikili sayı sistemine ve bunun tersinin çevrilmesi. Bir sayı sisteminden diğerine çeviri becerilerinin uygulanması.

Dersin gelişimsel hedefi: akıl yürütme, karşılaştırma, sonuç çıkarma yeteneğinin geliştirilmesi. Uygun görevleri kullanarak hafızanın, dikkatin, konuya bilişsel ilginin geliştirilmesi.

Eğitici: Okul çocuklarında öz kontrolün oluşumu.

Ders adımları:

  1. Dersin başlangıcının organizasyonu - 2 dk.
  2. Ödev kontrolü - 10 dk.
  3. Öğrencileri yeni bilgiler öğrenmeye hazırlamak - 5 dk.
  4. Yeni materyalin tanıtılması - 8 dk.
  5. Yeni malzemenin birincil fiksasyonu - 5 dk.
  6. Bilginin kontrolü ve kendi kendine incelenmesi - 10 dk.
  7. Ödev hakkında bilgi - 3 dk.
  8. Dersin özeti - 2 dk.

Ders yapısı:

  • Ev ödevlerini kontrol ediyorum.
  • Sekizlik sayılara giriş.
  • Doğrulama ile bir tam sayıyı sekizliden ondalığa dönüştürme.
  • Bir sayıyı sekizliden ikiliye ve tam tersi şekilde dönüştürme.
  • Ev ödevi hakkında bilgi.
  • Dersi özetlemek.

Eğitim araçları:

  1. Uygulama işletim sistemi Windows XP-Hesap Makinesi.
  2. Öğrencinin bireysel kartı.
  3. Uygulamadaki çalışma algoritması o.s. Windows XP Hesap Makinesi.
  4. Sunum.
  5. Sayıları sekizli sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme görevi olan bir kart.
  6. İkili-sekizli tablo kullanarak bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme görevlerini içeren bir kart.
  7. Yaratıcı bir görev içeren kart.

Dersler sırasında

1. Aşama. Dersin başlangıcının organizasyonu.

Aşamanın amacı: öğrencileri sınıfta çalışmaya hazırlamak.

Merhaba beyler!

Bugün derste sekizlik sayı sistemini tanıyacağız ve bir sayı sisteminden diğerine çeviri yapma becerilerini geliştireceğiz.

İmzalayacakları ve görevlerin cevaplarını nereye girecekleri bireysel kartlar alırlar.

F.I.
№1 №2 №3

2. aşama. Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

Aşamanın amacı: Tüm öğrencilerin ödevlerinin doğruluğunu ve farkındalığını oluşturmak, eksiklikleri tespit etmek ve düzeltmek.

Standart Windows XP-Hesap Makinesi uygulamasını kullanarak ödevimizi kontrol edelim.

Ödev: sayıları ikiliden ondalığa dönüştürün ve kontrol edin.

Hesap Makinesi uygulamasında çalışma algoritmasını içeren sayfalar alırlar, ödevlerini bir PC için kontrol ederler.

Cevapları ders sunumu yardımıyla kontrol edeceğiz.

  1. 10 2 =2 10
  2. 11 2 =3 10
  3. 100 2 =4 10
  4. 101 2 =5 10
  5. 110 2 =6 10
  6. 111 2 =7 10

Sahne 3. Yeni malzemenin tanıtılması.

Aşamanın amacı: Çalışma nesnesindeki bilgi ve eylem yöntemlerinin, bağlantıların ve ilişkilerin algılanmasını, anlaşılmasını ve birincil ezberlenmesini sağlamak.

Bugünkü dersin konusunu yazın: "Sekizli sayı sistemi" .

Taban: 8

Alfabe numaraları: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Bir tam sayının sekizliden ondalığa çevrilmesini düşünün ve bir kontrol yapın.

Bir tamsayıyı sekizliden ondalık sayıya dönüştürmek için algoritma.

Sekizli sayıyı genişletilmiş biçimde yazın ve değerini hesaplayın.

10
21 8 =2*8 1 +1*8 0 =16+1=17 10

Bir kontrol yapalım.

Bir tam sayıyı ondalık sayıdan sekizli sayıya dönüştürme algoritması.

  1. Sonuç, sistemin tabanından tam olarak küçük olana kadar, orijinal tam sayı ondalık sayıyı tutarlı bir şekilde 8'e bölme işlemini gerçekleştirin.
  2. Ortaya çıkan kalıntılar ters sırada yazılır.

10
71 8 =7*8 1 +1*8 0 =56+1=57 10

Aşama 4. Yeni malzemenin birincil konsolidasyonu.

Aşamanın amacı: Yeni eğitim materyallerinin özümsenmesinin doğruluğunu ve farkındalığını oluşturmak.

Yeni malzemenin birincil konsolidasyonu için Görev No. 1. Ek 3

Sayıyı sekizliden ondalığa dönüştürün ve kontrol edin.

210
114 8 =1*8 2 +1*8 1 +4*8 0 =64+8+4=76 10

Muayene:

İlgili harfin altındaki doğru cevabı seçin ve mektubu ayrı bir karta yazın.

Ç) 84 10
U) 76 10
97 10

Aşama 5 Bilginin kontrolü ve kendi kendini incelemesi.

Aşamanın amacı: Bilgi ve eylem yöntemleri konusundaki ustalığın kalitesini ve düzeyini belirlemek.

Sayıları bir sistemden diğerine nasıl çevireceğimizi öğrendik ve şimdi bizden herhangi bir hesaplama gerektirmeyen çeviri yöntemlerini ele alacağız. Bunu yapmak için not defterine iki sütundan oluşan bir tablo çizin. 8'inci sayı sistemindeki sayı, ikili sayı sisteminin üç hanesine karşılık gelir. Örneğin 0 8 \u003d 000 2, 1 8 \u003d 001 2, ardından dersin başında kontrol edilen ödevlere dönüyoruz. Tabloyu tamamlamak kolaydır.

İkili-sekizli sayı sistemi.

8 2
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

Sekizli bir sayıyı ikili sayıya dönüştürürken, her sekizli basamak, tablodaki karşılık gelen üçlü basamakla değiştirilir. Ters işlem için, yani ikiliden sekizliye dönüştürmek için, ikili sayı üç basamaklı sayılara bölünür, ardından her grup bir sekizli basamakla değiştirilir.

Örneğin:

714 8 =111 001 100 2
101 110 100 2 =564 8 .

Öğrencilere görev kartları verilir. Çözüldükten sonra doğru cevaplar öğrencinin bireysel kartına yerleştirilir.

Bilginin kontrolü ve kendi kendine incelenmesi için 2, No. 3 Görevleri. Ek 4

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürün (ikili-sekizli tabloyu kullanarak).

2. Sayıyı sekizliden ikiliye dönüştürün.

c) 11010012; p) 101 011 010 2; c) 1110011002;

3. İkiliden sekizliye dönüştürün.

a) 77 8; o) 64 8; c) 298;

Bireysel kartları ve bildirileri teslim edin. Ders sunumunun 7 numaralı slaytı yardımıyla cevapları kontrol edelim.

Doğru cevaplar:

№2 s)101 011 010 2

Bireysel kart şöyle görünecek:

F.I.
№1 №2 №3
Şu tarihte: R A

Öğrencilere yaratıcı ödevler içeren broşürler verilir. Noktaların koordinatları farklı sayı sistemlerinde verilmiştir. Koordinatları ondalık sayı sistemine dönüştürmek, koordinat düzlemindeki noktaları işaretleyip bağlamak gerekir.

Noktaların koordinatları verilmiştir:

1 (100 2 ,1 2)
2 (100 2 , 110 2)
3 (100 2 , 1000 2)
4 (10 8 ,10 8)
5 (6 8 ,7 8)
6 (10 8 ,6 8)

Sayıların ondalık sayı sistemine dönüştürülmesini gerçekleştirin ve tüm noktaları koordinat düzlemine yerleştirip bağlayın.

Cevap (ondalık gösterimle):

1 2 3 4 5 6
(4,1) (4,6) (4,8) (8,8) (6,7) (8,6)


Resim 1

Aşama 6 Ev ödevi hakkında bilgi.

Aşamanın amacı: Ödev yapmanın amacı, içeriği ve yöntemlerinin anlaşılmasını sağlamak.

Sayıları sekizliden ikiliye, ardından ondalık sayıya dönüştürün.

35 8 →A 2 →A 10

65 8 → A 2 → A 10

215 8 → A 2 → A 10

Aşama 7. Dersi özetlemek.

Aşamanın amacı: hedefe ulaşma başarısını analiz etmek ve değerlendirmek.

Bireysel kartınızda URA kelimesini aldıysanız, "5" elde edersiniz.

2 görevle başa çıktıysanız puan "4" olur.

1. görevi çözdüyseniz "3" elde edersiniz.

Bugün derste sekizlik sayı sistemiyle tanıştık. Farklı yollar sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme. Yöntemlerden bazıları problemleri matematiksel yöntemlerle çözmemizi gerektiriyordu, bazıları bilgisayar kullanarak, bazıları ise herhangi bir hesaplama yapmamızı gerektirmiyordu.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek makine aritmetiğinin önemli bir parçasıdır. Çevirinin temel kurallarını göz önünde bulundurun.

1. İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının çarpımlarından ve 2 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken iki kuvvetler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 4. 2'nin kuvvetleri

n (derece)

Örnek.

2. Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, sayının rakamlarının çarpımlarından ve 8 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken sekizli kuvvetler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 5. 8'in kuvvetleri

n (derece)

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

3. Onaltılık bir sayıyı ondalık sayıya çevirmek için, sayının rakamlarının çarpımlarından ve 16 sayısının karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom olarak yazmak ve ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamak gerekir:

Çeviri yaparken kullanımı uygundur 16'nın kuvvetlerinin saldırısı:

Tablo 6. 16'nın kuvvetleri

n (derece)

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

4. Bir ondalık sayının ikili sisteme dönüştürülmesi için, 1'den küçük veya 1'e eşit bir kalan kalana kadar art arda 2'ye bölünmesi gerekir. İkili sistemde bir sayı, bölme işleminin son sonucunun dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürün.

5. Bir ondalık sayıyı sekizli sisteme dönüştürmek için, 7'den küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda 8'e bölünmelidir. Sekizli sistemdeki bir sayı, bölmenin son sonucunun basamak dizisi olarak yazılır. ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

6. Ondalık sayının onaltılık sisteme dönüştürülmesi için, 15'ten küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar art arda 16'ya bölünmelidir. Onaltılık sistemde sayı, bölme işleminin son sonucunun rakam dizisi olarak yazılır. ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün.

Kodlamaları incelerken sayı sistemlerini yeterince anlamadığımı fark ettim. Bununla birlikte, sık sık 2-, 8-, 10-, 16'lı sistemleri kullandı, birbirini diğerine çevirdi, ancak her şey "otomatik" olarak yapıldı. Pek çok yayını okuduktan sonra, bu kadar temel materyal üzerine basit bir dille yazılmış tek bir makalenin bulunmamasına şaşırdım. Bu yüzden sayı sistemlerinin temellerini erişilebilir ve düzenli bir şekilde sunmaya çalıştığım kendi yazımı yazmaya karar verdim.

giriiş

Gösterim sayıları yazmanın (temsil etmenin) bir yoludur.

Bununla ne kastediliyor? Örneğin önünüzde birkaç ağaç görüyorsunuz. Göreviniz onları saymaktır. Bunu yapmak için parmaklarınızı bükebilir, bir taşa çentikler açabilir (bir ağaç - bir parmak / çentik) veya 10 ağacı bir taş gibi bir nesneyle ve tek bir kopyayı bir değnek ile eşleştirip üzerine yerleştirebilirsiniz. saydığınız kadar topraklayın. İlk durumda, sayı bükülmüş parmaklar veya çentiklerden oluşan bir çizgi olarak temsil edilir, ikincisinde - taşların solda ve çubukların sağda olduğu taş ve çubuklardan oluşan bir bileşim.

Sayı sistemleri konumsal ve konumsal olmayan, konumsal ise homojen ve karışık olarak ikiye ayrılır.

konumsal olmayan- en eskisi, içinde bir sayının her basamağının konumuna (rakama) bağlı olmayan bir değeri vardır. Yani, 5 çizginiz varsa, o zaman sayı da 5'e eşittir, çünkü her çizgi, satırdaki yerine bakılmaksızın yalnızca 1 öğeye karşılık gelir.

Konumsal sistem- her rakamın değeri sayı içindeki konumuna (rakamına) bağlıdır. Örneğin bize tanıdık gelen 10. sayı sistemi konumsaldır. 453 sayısını ele alalım. 4 sayısı yüzlerin sayısını belirtir ve 400 sayısına karşılık gelir, 5 - onlar sayısı ve 50 değerine benzer ve 3 - birim ve 3 değerine benzer. Gördüğünüz gibi, daha büyük olan rakam ne kadar yüksek olursa değer o kadar yüksek olur. Son sayı 400+50+3=453'ün toplamı olarak gösterilebilir.

homojen sistem- sayının tüm rakamları (konumları) için geçerli karakter (rakamlar) kümesi aynıdır. Örnek olarak daha önce bahsettiğimiz 10. sistemi ele alalım. Homojen 10. sistemde bir sayı yazarken, her rakamda 0'dan 9'a kadar yalnızca bir rakam kullanabilirsiniz, bu nedenle 450 sayısına izin verilir (1. rakam - 0, 2. - 5, 3. - 4), ancak 4F5'e izin verilmez, çünkü F karakteri 0'dan 9'a kadar olan rakamların parçası değildir.

karma sistem- sayının her basamağında (konumunda), geçerli karakter (sayı) kümesi diğer basamak kümelerinden farklı olabilir. Çarpıcı bir örnek, zaman ölçüm sistemidir. Saniye ve dakika kategorisinde 60 farklı karakter ("00"dan "59"a kadar) mümkündür, saat kategorisinde - 24 farklı karakterler("00" ile "23" arası), günün taburculuğunda - 365, vb.

Konumsal olmayan sistemler

İnsanlar saymayı öğrenir öğrenmez sayıları kaydetme ihtiyacı doğdu. Başlangıçta her şey basitti; yüzeydeki bir çentik veya çizgi tek bir nesneye, örneğin bir meyveye karşılık geliyordu. İlk sayı sistemi bu şekilde ortaya çıktı - birim.
Birim numarası sistemi
Bu sayı sistemindeki bir sayı, sayısı verilen sayının değerine eşit olan bir çizgi dizisidir (çubuklar). Böylece 100 hurma mahsulü, 100 tireden oluşan bir sayıya eşit olacaktır.
Ancak bu sistemin bariz sakıncaları var - sayı ne kadar büyük olursa, çubuk dizisi de o kadar uzun olur. Ayrıca sayı yazarken yanlışlıkla fazladan bir çubuk ekleyerek veya tam tersi eklemeyerek kolayca hata yapabilirsiniz.

Kolaylık sağlamak için insanlar çubukları 3, 5, 10 parçaya göre gruplandırmaya başladı. Aynı zamanda her grup belirli bir işarete veya nesneye karşılık geliyordu. Başlangıçta saymak için parmaklar kullanıldı, bu nedenle ilk işaretler 5 ve 10 parçadan (birimlerden) oluşan gruplar için ortaya çıktı. Bütün bunlar, sayıları kaydetmek için daha uygun sistemler oluşturmayı mümkün kıldı.

eski Mısır ondalık sistemi
İÇİNDE Antik Mısır 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 sayılarını belirtmek için özel karakterler (sayılar) kullanıldı. Bunlardan bazıları:

Neden ondalık sayı denir? Yukarıda yazıldığı gibi insanlar sembolleri gruplandırmaya başladı. Mısır'da 1 rakamını değiştirmeden 10'lu gruplamayı seçtiler. İÇİNDE bu durum 10 sayısına ondalık sayı sisteminin tabanı denir ve her simge bir ölçüde 10 sayısını temsil eder.

Eski Mısır sayı sistemindeki sayılar bunların birleşimi olarak yazılıyordu.
Her biri dokuz defadan fazla tekrarlanmayan karakterler. Nihai değer, sayının unsurlarının toplamına eşitti. Bu değer elde etme yönteminin konumsal olmayan her sayı sisteminin özelliği olduğunu belirtmekte fayda var. Bir örnek 345 sayısıdır:

Babil altmışlık sistemi
Mısır sisteminden farklı olarak Babil sisteminde yalnızca 2 sembol kullanılıyordu: Birimler için "düz" bir dilim ve onlar için "yalancı" bir dilim. Bir sayının değerini belirlemek için sayının görüntüsünü sağdan sola doğru rakamlara bölmek gerekir. Yeni bir akıntı, yatay bir kamanın ardından düz bir kamanın ortaya çıkmasıyla başlar. Örnek olarak 32 sayısını ele alalım:

60 sayısı ve onun tüm dereceleri de "1" gibi düz bir kama ile gösterilir. Bu nedenle Babil sayı sistemine altmışlık sayı sistemi adı verildi.
1'den 59'a kadar olan tüm sayılar Babilliler tarafından konumsal olmayan ondalık bir sistemde yazılmıştır ve büyük değerler- 60 tabanıyla aynı konumda. Sayı 92:

Sıfır için herhangi bir rakam olmadığından sayının gösterimi belirsizdi. 92 sayısının temsili sadece 92=60+32 değil aynı zamanda örneğin 3632=3600+32 anlamına da gelebilir. Sayının mutlak değerini belirlemek için, ondalık gösterimde 0 rakamının görünümüne karşılık gelen eksik altmışlık rakamı belirtmek için özel bir karakter tanıtıldı:

Şimdi 3632 sayısı şu şekilde yazılmalıdır:

Babil altmışlık sistemi, kısmen konum ilkesine dayanan ilk sayı sistemidir. Bu sayı sistemi günümüzde örneğin zamanı belirlerken kullanılmaktadır - bir saat 60 dakikadan ve bir dakika 60 saniyeden oluşur.

Roma sistemi
Roma sistemi Mısır sisteminden pek farklı değil. Sırasıyla 1, 5, 10, 50, 100, 500 ve 1000 rakamlarını belirtmek için sırasıyla I, V, X, L, C, D ve M büyük Latin harflerini kullanır. Romen rakamı sistemindeki bir sayı, ardışık rakamlardan oluşan bir dizidir.

Bir sayının değerini belirleme yöntemleri:

  1. Bir sayının değeri, rakamlarının değerlerinin toplamına eşittir. Örneğin Romen rakamı sisteminde 32 sayısı XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32 şeklindedir.
  2. Büyük rakamın solunda daha küçük bir sayı varsa, bu durumda değer, büyük ve küçük rakamlar arasındaki farka eşittir. Aynı zamanda sol rakam sağ rakamdan en fazla bir sıra küçük olabilir: örneğin “küçük” olanların L (50) ve C (100) rakamlarından önce sadece X (10) durabilir, D (500) ve M (1000)'den önce - yalnızca C(100), V(5)'ten önce - yalnızca I(1); ele alınan sayı sisteminde 444 sayısı CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444 şeklinde yazılacaktır.
  3. Değer, 1 ve 2 puanın altına sığmayan grup ve sayıların değerlerinin toplamına eşittir.
Dijitalin yanı sıra alfabetik (alfabetik) sayı sistemleri de vardır, işte bunlardan bazıları:
1) Slav
2) Yunanca (İyonca)

Konumsal sayı sistemleri

Yukarıda bahsedildiği gibi konumsal bir sistemin ortaya çıkmasının ilk önkoşulları eski Babil'de ortaya çıktı. Hindistan'da sistem sıfır kullanarak konumsal ondalık numaralandırma biçimini aldı ve bu sayı sistemi Hindulardan Avrupalılar tarafından benimsenen Araplar tarafından ödünç alındı. Nedense Avrupa'da bu sisteme "Arap" adı verildi.
Ondalık sayı sistemi
Bu en yaygın sayı sistemlerinden biridir. Malın fiyatını çağırırken ve otobüs numarasını söylerken kullandığımız şey budur. Her rakamda (pozisyonda) 0'dan 9'a kadar olan aralıktan yalnızca bir rakam kullanılabilir.Sistemin tabanı 10 rakamıdır.

Örneğin 503 sayısını ele alalım. Bu sayı konumsal olmayan bir sistemde yazılsaydı değeri 5 + 0 + 3 = 8 olurdu. Ancak konumsal bir sistemimiz var, bu da sayının her rakamının zorunlu olduğu anlamına geliyor. sistemin tabanıyla, bu durumda “10” sayısının basamaklı sayının üssüne yükseltilmesiyle çarpılır. Değerin 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 olduğu ortaya çıktı. Aynı anda birkaç sayı sistemiyle çalışırken karışıklığı önlemek için taban bir olarak gösterilir. alt simge. Böylece 503 = 503 10 olur.

Ondalık sisteme ek olarak 2'li, 8'li, 16'lı sistemler de özel ilgiyi hak ediyor.

İkili sayı sistemi
Bu sistem esas olarak bilgisayarlarda kullanılır. Neden alıştığımız 10'uncuyu kullanmaya başlamadılar? İlk bilgisayar, modern elektronik makinelerde sakıncalı olduğu ortaya çıkan ondalık sistemi kullanan Blaise Pascal tarafından yaratıldı, çünkü 10 eyalette çalışabilen cihazların üretimini gerektirdi, bu da fiyatlarını ve son boyutunu artırdı. makinenin. Bu eksiklikler 2.sistemde çalışan unsurlardan yoksundur. Bununla birlikte, söz konusu sistem bilgisayarların icadından çok önce oluşturulmuş ve quipu'nun kullanıldığı İnka uygarlığına kadar uzanıyor - karmaşık halat pleksusları ve düğümleri.

İkili konumsal sayı sisteminin tabanı 2'dir ve sayıyı yazmak için 2 karakter (rakam) kullanır: 0 ve 1. Her bitte yalnızca bir rakama izin verilir - 0 veya 1.

Örnek olarak 101 sayısı verilebilir. Ondalık sayı sistemindeki 5 sayısına benzer. 2'den 10'a dönüşüm için, ikili sayının her basamağını, basamağa eşit bir kuvvete yükseltilen "2" tabanıyla çarpmak gerekir. Böylece, 101 2 sayısı = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 olur.

Evet, makineler için 2. sayı sistemi daha kullanışlıdır ancak bilgisayarda 10. sistemdeki sayıları kullandığımızı sıklıkla görüyoruz. Peki makine kullanıcının hangi sayıyı girdiğini nasıl belirliyor? Elinde sadece 2 karakter (0 ve 1) olduğuna göre, bir sayıyı bir sistemden diğerine nasıl çeviriyor?

Bir bilgisayarın ikili sayılarla (kodlarla) çalışabilmesi için bunların bir yerde saklanması gerekir. Her bir rakamı saklamak için elektronik devre olan bir tetikleyici kullanılır. Biri sıfıra, diğeri bire karşılık gelen 2 durumda olabilir. Tek bir sayıyı saklamak için bir kayıt kullanılır - sayısı ikili sayıdaki basamak sayısına karşılık gelen bir grup tetikleyici. Ve kayıtların toplamı RAM'dir. Kayıtta bulunan sayı bir makine sözcüğüdür. Kelimelerle yapılan aritmetik ve mantıksal işlemler, bir aritmetik mantık birimi (ALU) tarafından gerçekleştirilir. Kayıtlara erişimi kolaylaştırmak için numaralandırılmışlardır. Numaraya kayıt adresi denir. Örneğin, 2 sayı eklemeniz gerekiyorsa, sayıların kendilerini değil, bulundukları hücrelerin (kayıtların) sayısını belirtmeniz yeterlidir. Adresler 8 ve onaltılık sistemlerde yazılmıştır (bunlar aşağıda tartışılacaktır), çünkü onlardan ikili sisteme geçiş ve bunun tersi oldukça basittir. 2. rakamdan 8. rakama geçiş yapmak için sağdan sola 3 haneli gruplara bölüp her birinde 16. - 4 haneye gitmek gerekir.En soldaki rakam grubunda yeterli rakam yoksa, daha sonra soldan başlayarak satır aralığı adı verilen sıfırlarla doldurulurlar. Örnek olarak 101100 2 sayısını ele alalım. Sekizli sistemde 101 100 = 54 8 ve onaltılı sistemde 0010 1100 = 2C 16'dır. Harika ama neden ekranda ondalık sayıları ve harfleri görüyoruz? Bir tuşa basıldığında, bilgisayara belirli bir elektriksel uyarı dizisi iletilir ve her karakterin kendi elektriksel uyarı dizisi (sıfırlar ve birler) vardır. Klavye ve ekran sürücüsü programı, karakter kod tablosuna erişir (örneğin, 65536 karakteri kodlamanıza olanak sağlayan Unicode), alınan kodun hangi karaktere karşılık geldiğini belirler ve ekranda görüntüler. Böylece metinler ve sayılar bilgisayarın belleğinde ikili kod olarak depolanır ve programlı olarak ekrandaki görüntülere dönüştürülür.

Sekizli sayı sistemi
8'inci sayı sistemi, ikili sistem gibi, dijital teknolojide sıklıkla kullanılır. 8 tabanına sahiptir ve sayıyı temsil etmek için 0'dan 7'ye kadar olan rakamları kullanır.

Sekizli sayıya bir örnek: 254. 10'uncu sisteme dönüştürmek için orijinal sayının her basamağının 8 n ile çarpılması gerekir; burada n, basamak sayısıdır. 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 olduğu ortaya çıktı.

Onaltılık sayı sistemi
Onaltılı sistem modern bilgisayarlarda yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin rengi belirtmek için kullanılır: #FFFFFF - beyaz renk. Söz konusu sistemin 16 tabanı vardır ve sayıları yazmak için kullanır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F; burada harfler Sırasıyla 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Örnek olarak 4F5 16 sayısını ele alalım. Sekizli sisteme dönüştürmek için önce onaltılık sayıyı ikiliye, ardından 3 basamaklı gruplara bölerek sekizli sayıya dönüştürüyoruz. Bir sayıyı 2'ye dönüştürmek için her rakamın 4 bitlik ikili sayı olarak temsil edilmesi gerekir. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ancak 1. ve 3. gruplarda yeterli rakam yok, bu yüzden her birini baştaki sıfırlarla dolduralım: 0100 1111 0101. Şimdi ortaya çıkan sayıyı sağdan sola 3 haneli gruplara ayırmamız gerekiyor: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 110 101. Her bir ikili grubu sekizlik sisteme çevirelim, her rakamı 2n ile çarpalım, burada n rakam sayısıdır: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Dikkate alınan konumsal sayı sistemlerine ek olarak, örneğin başkaları da vardır:
1) Üçlü
2) Kuaterner
3) Onikilik sayı

Konumsal sistemler homojen ve karışık olarak ikiye ayrılır.

Homojen konumsal sayı sistemleri
Makalenin başında verilen tanım homojen sistemleri oldukça ayrıntılı bir şekilde tanımlamaktadır, bu nedenle açıklamaya gerek yoktur.
Karışık sayı sistemleri
Daha önce verilen tanıma şu teoremi ekleyebiliriz: “Eğer P=Q n (P, Q, n pozitif tam sayılar ise, P ve Q taban ise), o zaman karışık (P-Q)-th'deki herhangi bir sayının gösterimi sayı sistemi aynı sayının Q tabanlı bir sayı sisteminde yazılmasıyla aynı zamana denk gelir.”

Teoreme dayanarak, Pth'den Pth'e transfer kurallarını formüle edebiliriz. Q sistemi ve tam tersi:

  1. Q'uncudan Pth'e geçiş için Q'uncu sistemdeki sayıyı sağdaki rakamdan başlayarak n'lik gruplara bölmek ve her grubu bir rakamla değiştirmek gerekir. P-th sistemi.
  2. P-th'den Q-th'e geçiş yapmak için, P-th sistemindeki sayının her basamağını Q-th'e çevirmek ve eksik rakamları soldaki hariç baştaki sıfırlarla doldurmak gerekir, böylece Q tabanlı sistemdeki her sayı n rakamdan oluşur.
Çarpıcı bir örnek, ikiliden sekizliye dönüşümdür. 10011110 2 ikili sayısını alalım, bunu sekizliye dönüştürmek için sağdan sola 3 basamaklı gruplara böleceğiz: 010 011 110, şimdi her basamağı 2 n ile çarpın, burada n basamak sayısıdır, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . 10011110 2 = 236 8 olduğu ortaya çıktı. İkili sekizli sayının görüntüsünün benzersizliği için üçe bölünmüştür: 236 8 \u003d (10 011 110) 2-8.

Karışık sayı sistemleri ayrıca örneğin:
1) Faktöriyel
2) Fibonacci

Bir sayı sisteminden diğerine çeviri

Bazen bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmeniz gerekebilir, o halde gelin farklı sistemler arasında nasıl çeviri yapılacağına bakalım.
Ondalık dönüşüm
B tabanlı sayı sisteminde a 1 a 2 a 3 sayısı vardır. 10'uncu sisteme dönüştürmek için sayının her basamağının b n ile çarpılması gerekir; burada n, basamak sayısıdır. Yani (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10 .

Örnek: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Ondalık sayı sisteminden diğerlerine dönüştürme
Bütün parça:
  1. Ondalık sayının tam sayı kısmını, ondalık sayı sıfır olana kadar art arda transfer yaptığımız sistemin tabanına bölüyoruz.
  2. Bölme işleminden elde edilen kalanlar istenilen sayının rakamlarıdır. Yeni sistemde sayı son kalandan başlanarak yazılmaktadır.
Kesir:
  1. Ondalık sayının kesirli kısmını çevirmek istediğiniz sistemin tabanıyla çarpıyoruz. Bütün kısmı ayırıyoruz. Kesirli kısmı yeni sistemin tabanıyla 0 olana kadar çarpmaya devam ediyoruz.
  2. Yeni sistemdeki sayı, çarpma sonuçlarının alındıkları sıraya göre tamsayı kısımlarıdır.
Örnek: 15 10'u sekizliye dönüştürün:
15\8 = 1, kalan 7
1\8 = 0, kalan 1

Tüm kalanları aşağıdan yukarıya yazdıktan sonra son sayı olan 17'yi elde ederiz. Dolayısıyla 15 10 \u003d 17 8.

İkiliden sekizliye ve onaltılı sayıya dönüştürme
Sekizli sayıya dönüştürmek için ikili sayıyı sağdan sola 3 basamaklı gruplara böleriz ve eksik olan son basamakları baştaki sıfırlarla doldururuz. Daha sonra, rakamları art arda 2 n ile çarparak her grubu dönüştürürüz; burada n, rakam sayısıdır.

Örnek olarak 1001 2 sayısını ele alalım: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Onaltılı sayıya dönüştürmek için, ikili sayıyı sağdan sola 4 basamaklı gruplara böleriz, ardından 2'den 8'e dönüştürmeye benzer şekilde.

Sekizli ve onaltılı sistemlerden ikili sisteme dönüştürme
Sekizliden ikiliye dönüştürme - sekizli bir sayının her basamağını 2'ye bölerek 3 basamaklı ikili bir sayıya dönüştürürüz (bölme hakkında daha fazla bilgi için yukarıdaki "Ondalıktan diğerine dönüştürme" paragrafına bakın), eksik olan son basamaklar baştaki sıfırlarla doldurulmalıdır.

Örneğin 45 8 sayısını düşünün: 45 = (100) (101) = 100101 2

16'dan 2'ye çeviri - onaltılık sayının her basamağını 2'ye bölerek, eksik olan aşırı basamakları baştaki sıfırlarla doldurarak ikili 4 basamaklı bir sayıya dönüştürürüz.

Herhangi bir sayı sisteminin kesirli kısmını ondalık sayıya dönüştürme

Dönüşüm, tamsayı kısımlarla aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak sayının rakamları, n'nin 1'den başladığı "-n" üssü ile çarpılır.

Örnek: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

İkili sistemin kesirli kısmını 8. ve 16. sayıya dönüştürme
Kesirli kısmın çevirisi, sayının tamsayı kısımlarıyla aynı şekilde gerçekleştirilir; tek istisna, 3 ve 4 basamaklı gruplara ayırmanın ondalık noktanın sağına gitmesi, eksik rakamların doldurulmasıdır. sağda sıfırlar var.

Örnek: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Ondalık sistemin kesirli kısmını başka bir sayıya dönüştürme
Bir sayının kesirli kısmını diğer sayı sistemlerine çevirmek için tamsayı kısmını sıfıra çevirmeniz ve elde edilen sayıyı çevirmek istediğiniz sistemin tabanıyla çarpmaya başlamanız gerekir. Çarpma sonucunda tamsayı kısımlar tekrar ortaya çıkarsa, elde edilen tamsayı kısmının değeri hatırlandıktan (yazıldıktan) sonra tekrar sıfıra çevrilmeleri gerekir. Kesirli kısmın tamamen ortadan kalkmasıyla işlem sona erer.

Örneğin 10.625 10 sayısını ikili sisteme çevirelim:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Kalanları yukarıdan aşağıya yazarsak 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2 elde ederiz.

Bunun yardımıyla cevrimici hesap makinesi Tam ve kesirli sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürebilirsiniz. Açıklamalarla birlikte ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Çevirmek için orijinal numarayı girin, orijinal numaranın sayı sisteminin tabanını ayarlayın, numarayı dönüştürmek istediğiniz sayı sisteminin tabanını ayarlayın ve "Çevir" butonuna tıklayın. Aşağıdaki teorik kısma ve sayısal örneklere bakın.

Sonuç zaten alındı!

Tamsayı ve kesirli sayıların bir sayı sisteminden diğerine çevirisi - teori, örnekler ve çözümler

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri vardır. Günlük yaşamda kullandığımız Arap sayı sistemi konumsaldır, Roma sayı sistemi ise değildir. Konumsal sayı sistemlerinde bir sayının konumu, sayının büyüklüğünü benzersiz bir şekilde belirler. Bunu ondalık sayı sistemindeki 6372 sayısı örneğini kullanarak düşünün. Bu sayıyı sıfırdan başlayarak sağdan sola doğru numaralandıralım:

Daha sonra 6372 sayısı şu şekilde temsil edilebilir:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

10 sayısı sayı sistemini tanımlar (bu durumda 10'dur). Verilen sayının konumunun değerleri derece olarak alınır.

1287.923 gerçek ondalık sayısını düşünün. Sayının sıfır noktasından başlayarak virgülden sola ve sağa doğru numaralandırırız:

O halde 1287.923 sayısı şu şekilde temsil edilebilir:

1287.923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

Genel olarak formül şu şekilde temsil edilebilir:

Cn S n + C n-1 S n-1 +...+C 1 S 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

burada C n konumunda bir tam sayıdır N, D -k - (-k) konumundaki kesirli sayı, S- sayı sistemi.

Sayı sistemleri hakkında birkaç kelime Ondalık sayı sisteminde bir sayı bir dizi rakamdan (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) oluşur, sekizli sayı sisteminde ise oluşur bir rakam seti (0,1, 2,3,4,5,6,7), ikili sistemde - rakam setinden (0,1), onaltılık sayı sisteminde - rakam setinden (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), burada A,B,C,D,E,F, 10,11 sayılarına karşılık gelir, 12,13,14,15 Tablo 1'de sayılar farklı sayı sistemlerinde temsil edilmektedir.

tablo 1
Gösterim
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 e
15 1111 17 F

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine çevirmenin en kolay yolu, önce sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürmek, ardından ondalık sayı sisteminden gerekli sayı sistemine çevirmektir.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme

Formül (1)'i kullanarak sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürebilirsiniz.

Örnek 1. 1011101.001 sayısını ikili sayı sisteminden (SS) ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Örnek2. 1011101.001 sayısını sekizlik sayı sisteminden (SS) ondalık SS'ye dönüştürün. Çözüm:

Örnek 3 . AB572.CDF sayısını onaltılı SS'den ondalık sayıya dönüştürün. Çözüm:

Burada A-10 ile değiştirildi, B- 11'de, C- 12'de, F- 15'te.

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürmek için sayının tam sayı kısmını ve kesirli kısmını ayrı ayrı çevirmeniz gerekir.

Sayının tamsayı kısmı, ondalık SS'den başka bir sayı sistemine çevrilir - sayının tamsayı kısmı sayı sisteminin tabanına art arda bölünerek (ikili SS için - 2'ye, 8 basamaklı SS için - 8'e, 16 haneli için - 16'ya kadar, vb. ) SS'nin tabanından daha az bir kalanın tamamını elde etmek için.

Örnek 4 . 159 sayısını ondalık SS'den ikili SS'ye çevirelim:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Olarak Şekil l'de görülebilir. 1, 159 sayısı 2'ye bölündüğünde bölüm 79'u verir ve kalan 1'dir. Ayrıca 79 sayısı 2'ye bölündüğünde bölüm 39'u verir ve kalan 1 olur, vb. Sonuç olarak, bölümün geri kalanından (sağdan sola) bir sayı oluşturarak ikili SS cinsinden bir sayı elde ederiz: 10011111 . Bu nedenle şunu yazabiliriz:

159 10 =10011111 2 .

Örnek 5 . 615 sayısını ondalık SS'den sekizlik SS'ye dönüştürelim.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

Bir sayıyı ondalık SS'den sekizli SS'ye dönüştürürken, 8'den küçük bir tamsayı kalanı elde edene kadar sayıyı sırayla 8'e bölmeniz gerekir. Sonuç olarak, bölümün geri kalanından (sağdan sola) bir sayı oluştururuz. sekizlik SS'de bir sayı alın: 1147 (bkz. Şekil 2). Bu nedenle şunu yazabiliriz:

615 10 =1147 8 .

Örnek 6 . 19673 sayısını ondalık sayı sisteminden onaltılık SS'ye çevirelim.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Şekil 3'ten görüldüğü gibi 19673 sayısını 16'ya art arda bölerek 4, 12, 13, 9 kalanlarını elde ettik. Onaltılı sayı sisteminde 12 sayısı C'ye, 13 - D sayısına karşılık gelir. Dolayısıyla, onaltılık sayımız 4CD9'dur.

Doğru ondalık sayıları (sıfır tam sayı kısmına sahip bir gerçek sayı) s tabanlı bir sayı sistemine dönüştürmek için ihtiyacınız olan şey verilen numara Kesirli kısım saf sıfır olana kadar art arda s ile çarpıyoruz veya gerekli sayıda rakamı elde ediyoruz. Çarpma işleminde tamsayı kısmı sıfırdan farklı bir sayı elde edilirse bu tamsayı kısmı dikkate alınmaz (sırasıyla sonuca dahil edilirler).

Yukarıdakilere örneklerle bakalım.

Örnek 7 . 0,214 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye çevirelim.

0.214
X 2
0 0.428
X 2
0 0.856
X 2
1 0.712
X 2
1 0.424
X 2
0 0.848
X 2
1 0.696
X 2
1 0.392

Şekil 4'ten görüleceği üzere 0,214 sayısı sırasıyla 2 ile çarpılmaktadır. Çarpma sonucu tam sayı kısmı sıfırdan farklı bir sayı ise tam sayı kısmı ayrı olarak (sayının soluna) yazılmaktadır. ve sayı sıfır tamsayı kısmıyla yazılır. Çarpıldığında tam sayı kısmı sıfır olan bir sayı elde edilirse soluna sıfır yazılır. Çarpma işlemi kesirli kısımda saf sıfır elde edilene veya gerekli sayıda rakam elde edilene kadar devam eder. Yukarıdan aşağıya kalın sayılar (Şekil 4) yazarak ikili sistemde gerekli sayıyı elde ederiz: 0. 0011011 .

Bu nedenle şunu yazabiliriz:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Örnek 8 . 0,125 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye çevirelim.

0.125
X 2
0 0.25
X 2
0 0.5
X 2
1 0.0

0,125 sayısını ondalık SS'den ikiliye dönüştürmek için bu sayı art arda 2 ile çarpılır. Üçüncü aşamada 0 elde edilir ve böylece aşağıdaki sonuç elde edilir:

0.125 10 =0.001 2 .

Örnek 9 . 0,214 sayısını ondalık sayı sisteminden onaltılık SS'ye çevirelim.

0.214
X 16
3 0.424
X 16
6 0.784
X 16
12 0.544
X 16
8 0.704
X 16
11 0.264
X 16
4 0.224

4 ve 5 numaralı örnekleri takip ederek 3, 6, 12, 8, 11, 4 sayılarını elde ederiz. Ancak onaltılık SS'de C ve B sayıları 12 ve 11 sayılarına karşılık gelir. Dolayısıyla elimizde:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Örnek 10 . 0,512 sayısını ondalık sayı sisteminden sekizlik SS'ye çevirelim.

0.512
X 8
4 0.096
X 8
0 0.768
X 8
6 0.144
X 8
1 0.152
X 8
1 0.216
X 8
1 0.728

Var:

0.512 10 =0.406111 8 .

Örnek 11 . 159.125 sayısını ondalık sayı sisteminden ikili SS'ye çevirelim. Bunu yapmak için sayının tamsayı kısmını (Örnek 4) ve kesirli kısmını (Örnek 8) ayrı ayrı çeviriyoruz. Bu sonuçları birleştirerek şunu elde ederiz:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Örnek 12 . 19673.214 sayısını ondalık sayı sisteminden onaltılık SS'ye çevirelim. Bunu yapmak için sayının tamsayı kısmını (Örnek 6) ve kesirli kısmını (Örnek 9) ayrı ayrı çeviriyoruz. Bu sonuçları daha da birleştirerek elde ederiz.

Hastalıklar ansiklopedisi
En ilginç:
Druid ağacı burcu: doğum gününe göre karakter, işaret uyumluluğu Doğum tarihine göre ağacım nedir
Neden altın takıların hayalini kuruyorsun?
Kahve telvesi üzerine falcılık